Ćw.22
Ruch drgający harmoniczny. Wyznaczanie okresu drgań
wahadła sprężynowego.
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest:
1. poznanie praw rzÄ…dzÄ…cych drganiami harmonicznymi;
2. wyznaczenie wartości okresu drgań wahadła sprężynowego zmierzonego bezpośrednio i porównanie go
z wartością obliczoną na podstawie wzoru wyprowadzonego z równania ruchu układu drgającego
(sprężyna-ciężarek);
3. sprawdzenie, jak zmienia się stała sprężystości k, a w następstwie okres drgań wahadła złożonego z
ciężarka zawieszonego na połączonych ze sobą szeregowo lub równolegle sprężynach.
Zakres obowiązującego materiału teoretycznego
Równanie ruchu harmonicznego i jego rozwiązanie. Wykresy wychylenia, prędkości i przyspieszenia w
funkcji czasu (x=f(t), v=f(t) oraz a=f(t)) dla ruchu harmonicznego. Wyprowadzenie wzoru na okres wahań
wahadła sprężynowego. Szeregowe i równoległe połączenie sprężyn (wzory na obliczenie współczynnika
sprężystości dla układu sprężyn.
Przyrządy i materiały użyte w ćwiczeniu
Statyw z uchwytami do zawieszania wahadła sprężynowego, dwie sprężyny, komplet odważników,
podziałka milimetrowa, sekundomierz.
Wprowadzenie
Ruch drgajÄ…cy
Ruchem drgającym nazywamy każdy ruch lub zmianę stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie
wartości wielkości fizycznych określających ten ruch lub stan. Jeśli wartości wielkości fizycznych
zmieniające się podczas drgań powtarzają się w równych odstępach czasu, to taki ruch drgający nazywamy
okresowym. Najprostszym rodzajem drgań okresowych są tzw. drgania harmoniczne. Mówimy, że wielkość
fizyczna x wykonuje drgania harmoniczne, jeśli jej zależność od czasu opisana jest przez funkcje
harmoniczne sinusa lub cosinusa:
(1)
x = A sin(Ét + ´)
gdzie: A, É, ´ sÄ… wielkoÅ›ciami staÅ‚ymi w danym ruchu.
Jako przykład takich drgań rozpatrzymy ruch punktu materialnego pod działaniem siły sprężystości. Siła
r
sprężystości jest proporcjonalna do przemieszczenia x ciała z położenia równowagi (wychylenia) oraz
przeciwnie do tego przemieszczenia zwrócona:

F(x) = -k x
(2)
1
gdzie: k jest pewną stałą zwaną współczynnikiem sprężystości (stałą sprężystości). Siła sprężystości jest
siłą przywracająca układowi równowagę, gdyż jest ona zawsze skierowana w stronę początkowego
położenia. Siłę taką realizuje idealna sprężyna ściśnięta lub rozciągnięta o długość x. Rozpatrzmy więc ruch
ciała o masie m przyczepionego do idealnej sprężyny i mogącego poruszać się po doskonale gładkiej
poziomej powierzchni (rys. 1). Masę sprężyny w porównaniu z masą ciała możemy zaniedbać.
Rys.1. Różne stany ruchu oscylatora harmonicznego.
Według II zasady Newtona:

(3)
m a = -k x
Ruch odbywa się wzdłuż jednej prostej, więc równanie ruchu możemy zapisać bezpośrednio w postaci
skalarnej:
(4)
ma = -k x
Można je również napisać w postaci różniczkowej:
d2x
m + kx = 0 (5)
dt2
Wielkości k i m są dodatnie, wobec tego możemy przyjąć, że ich stosunek jest równy kwadratowi pewnej
wielkoÅ›ci rzeczywistej É i oznaczyć:
(6)
k
= É2
m
Mamy wtedy:
(7)
d2x
+ É2x = 0
dt2
Równanie to określa związek między przemieszczeniem ciała, a jego drugą pochodną względem czasu.
Równania tego typu nazywane są równaniami różniczkowymi drugiego rzędu. Rozwiązaniem tego równania
nazywamy każdą funkcję x(t), która po wstawieniu do równania spełnia je. Przez bezpośrednie przeliczenia
można sprawdzić, że takimi funkcjami są:
(8)
x(t) = A sin(Ét + ´)
(9)
x(t) = A cos(Ét + Õ)
2
gdzie: A, ´, Õ, É sÄ… wielkoÅ›ciami staÅ‚ymi.
W teorii równaÅ„ różniczkowych dowodzi siÄ™, że poprzez odpowiedni dobór staÅ‚ych A i ´ we wzorze (8) lub A
oraz Õ we wzorze (9) możemy otrzymać wszystkie rozwiÄ…zania badanego równania. Innych rozwiÄ…zaÅ„ nie
ma. Jak widać, drgania które zachodzą pod działaniem siły sprężystości są drganiami harmonicznymi.
Wyrażenia (8) i (9) mogÄ… być używane równoważnie, ponieważ dla Õ=´-Ä„/2 mamy:
(10)
sin(Ét + ´) = cos(Ét + Õ)
WartoÅ›ci liczbowe staÅ‚ych ´ i Õ zależą od wyboru chwili, w której zaczynamy liczyć czas. JeÅ›li przyjmiemy
t=0 przy x=0 to ´=0 oraz x=AsinÉt, jeÅ›li zaÅ› przyjmiemy t=0 przy x=A to Õ=0 oraz x=AcosÉt.
Jak widać, możliwy jest dobór takiej chwili początkowej aby funkcja opisująca wychylenie miała jak
najprostszą postać. Stała A równa największemu wychyleniu z położenia równowagi jest amplitudą ruchu.
Wyrażenie (Ét+´) lub (Ét+Õ) okreÅ›la wychylenie x w danej chwili t i nazywamy je fazÄ… drgaÅ„. W chwili, kiedy
zaczynamy liczyć czas (t=0) faza drgaÅ„ równa siÄ™ odpowiednio ´ lub Õ i nazywana jest fazÄ… poczÄ…tkowÄ…
drgań. Aby znalez
ć sens fizyczny staÅ‚ej É porównujemy wartoÅ›ci wychyleÅ„ w chwili t oraz w chwili o czasie
2Ä„/É póz
niejszym:
(11)
x(t) = A sin(Ét + ´)
(12)
x(t + 2Ä„ / É) = A sin[É(t + 2Ä„ / É)+ ´]= A sin(Ét + 2Ä„ + ´) = A sin(Ét + ´)
r r
Można sprawdzić, że po czasie 2Ä„/É powtarzajÄ… siÄ™ także wartoÅ›ci v i a , a wiÄ™c jest on najmniejszym
odstępem czasu, po którym powtarzają się wartości wszystkich wielkości fizycznych charakteryzujących
drgania i nazywa się on okresem drgań T:
(13)
2Ä„
T =
É
CzÄ™stość drgaÅ„ ½=1/T, zatem:
(14)
É = 2Ä„½
Wobec tego staÅ‚a É jest co do wartoÅ›ci równa liczbie drgaÅ„ w ciÄ…gu 2Ä„ sekund. Nazywamy jÄ… czÄ™stoÅ›ciÄ…
kątową albo kołową.
Zgodnie z wprowadzonym oznaczeniem É2=k/m, okres drgaÅ„ jest równy:
m
T = 2Ä„ (15)
k
Jak widać okres drgań zależny jest tylko od masy m drgającego punktu materialnego i stałej sprężystości k,
nie zależy natomiast od amplitudy ruchu. Dla danego układu drgającego okres drgań, amplituda oraz stała
fazowa pozostają stałe tak długo, jak długo inne siły nie podziałają na układ.
Omówiliśmy ruch punktu materialnego pod wpływem siły sprężystości wywołanej odkształceniem ciała.
Znane są też takie siły, nie związane z odkształceniem ciała, które powodują jego ruch wokół położenia
równowagi z zachowaniem proporcjonalności do wychylenia i przeciwnego zwrotu siły i wychylenia. Siły te
nazywamy quasi-sprężystymi.
W ogólnej postaci możemy je zapisać następująco :
(16)
F(z) = -Az
3
gdzie: A oznacza stały współczynnik dodatni natomiast z - dowolną współrzędną opisującą położenie ciała.
Jeśli dla danego układu równanie ruchu wywołanego siłą quasi-sprężystą (porównaj z równaniem 2) będzie
miało postać:
d2z
B + Az = 0 (17)
dt2
gdzie: B jest stałą dodatnią określającą cechy fizyczne układu. Rozumując dokładnie tak samo, jak w
przypadku wahadła sprężynowego dochodzimy do wniosku, że równanie to opisuje ruch harmoniczny:
(18)
ëÅ‚ öÅ‚
A
ìÅ‚ ÷Å‚
z = ZsinìÅ‚ t + ²0 ÷Å‚
B
íÅ‚ Å‚Å‚
(19)
ëÅ‚ öÅ‚
A
ìÅ‚ ÷Å‚
z = Z cosìÅ‚ t + ²1÷Å‚
B
íÅ‚ Å‚Å‚
o okresie drgań równym:
B
T = 2Ä„ (20)
A
Badanie ruchu wahadła sprężynowego - sprawdzenie wzoru na okres drgań
Jeżeli nieważką sprężynę zawiesimy pionowo (rys.2) i do jej swobodnego końca przymocowujemy ciało o
masie m, to ciało to może wykonywać drgania analogiczne do drgań idealnego wahadła sprężynowego.
Odciągnąwszy np. ciało w dół, powodujemy pojawienie się siły sprężystości sprężyny, która dążąc do
przywrócenia układowi równowagi powoduje ruch drgający.
Rys.2. Przesunięcie położenia równowagi wahadła sprężynowego
4
Zauważmy, że w tym przypadku układ osiąga stan równowagi wtedy, gdy równoważą się dwie siły: siła
ciężkości ciężarka rozciągająca sprężynę o xo oraz siła sprężystości wywołana tym odkształceniem, czyli:
(21)
mg = kx0
Jeśli wychylenie ciężarka względem tego położenia równowagi oznaczymy przez x1, to całkowite wydłużenie
r
sprężyny jest równe x=xo+x1. Na odciągnięty w dół ciężarek działa siła sprężystości F(x) skierowana do
r
góry i siła ciężkości Q . Równanie ruchu masy m ma więc postać:
(22)
d2x
m = -k(x0 + x1)+ mg
dt2
Wychylenie xo nie zależy od czasu, wobec tego:
(23)
d2x1 d2x
=
dt2 dt2
Uwzględniając zależność (21) otrzymujemy równanie ruchu w postaci:
d2x1
m + kx1 = 0 (24)
dt2
identyczne jak równanie (5). Ruch ciężarka jest więc ruchem harmonicznym - stała siła ciężkości działająca
na ciężarek nie zmienia charakteru ruchu, powoduje jedynie przesunięcie położenia równowagi. Okres tych
drgań można wyliczyć ze wzoru (15).
W rzeczywistości nie możemy wykonać sprężyny nieważkiej. Uwzględnienie masy sprężyny ms w ruchu
drgającym układu sprężyna-ciężarek powoduje, jak zobaczymy niżej, zmianę okresu tych drgań.
Jeśli zaniedbać opory ruchu rozpatrywanego układu, to na podstawie zasady zachowania energii możemy
napisać:
(25)
Ek + Ep = const
gdzie: Ek jest energią kinetyczną układu natomiast Ep jego energią potencjalną.
Energia kinetyczna układu stanowi sumę energii kinetycznej ciężarka Ek1 oraz energii kinetycznej sprężyny
Ek2.
Ruch opisujemy względem położenia równowagi, które w tym przypadku zależy od siły ciężkości ciężarka i
siły ciężkości sprężyny, gdyż obydwie te siły powodują rozciąganie sprężyny i wzbudzenie w niej
równoważącej siły sprężystości.
W tej części rozważań będziemy wychylenie oznaczać dla wygody przez x (bez dodatkowych indeksów)
pamiętając, że jest to wychylenie względem   nowego  położenia równowagi.
Chcąc wyznaczyć energię kinetyczną sprężyny wez
my pod uwagę jej element o długości dz. Prędkość tego
elementu zależy od jego odległości od punktu zawieszenia sprężyny. Zamocowany koniec sprężyny ma
prędkość równą zeru, natomiast koniec na którym jest zawieszona masa m posiada prędkość dx/dt. Dla
sprężyny jednorodnej, zmianę prędkości elementów przypadająca na jednostkę długości sprężyny
otrzymamy dzieląc różnice prędkości obu końców czyli dx/dt przez długość l sprężyny. Jeśli więc rozważany
element dz jest odległy o z od punktu zawieszenia sprężyny, to jego prędkość jest równa:
5
(26)
z dx
=
l dt
a jego energia kinetyczna:
2
(27)
1 ms z dx
ëÅ‚
dEk2 = dzöÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
2 l l dt
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie ms/l jest masą jednostki długości sprężyny.
Energię kinetyczną całej sprężyny określamy więc następująco :
2 2 2
l l (28)
1 ms z dx 1 dx
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Ek2 = dz = msëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
k2
+"dE = +"
2 l l dt 6 dt
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
Energię potencjalną układu względem stanu równowagi policzymy jako pracę potrzebną do wydłużenia
sprężyny o x:
x
(29)
kx2
Ep =
+"kxdx =
2
0
Zasadę zachowania energii dla rozpatrywanego układu sprężyna-ciężarek zapiszemy:
2 2
(30)
m dx 1 dx k
ëÅ‚ öÅ‚
+ msëÅ‚ öÅ‚ + x2 = const
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 dt 6 dt 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczmy pochodną tego wyrażenia względem czasu:
(31)
dx d2x 1 dx d2x dx
m + ms + kx = 0
dt dt2 3 dt dt2 dt
W trakcie ruchu dx/dt`"0, zatem po uproszczeniu i uporządkowaniu wyrazów powyższego wyrażenia
otrzymujemy równanie ruchu układu: sprężyna-ciężarek (porównaj z równaniem (5)):
(32)
1 d2x
ëÅ‚m + ms öÅ‚
+ kx = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
3 dt2
íÅ‚ Å‚Å‚
Aby obliczyć okres drgań tego układu, postępujemy dokładnie tak samo, jak w przypadku idealnego wahadła
sprężynowego a mianowicie:
1
m + ms
k
3
(33)
É2 = oraz okres drgaÅ„ T = 2Ä„
1
k
m + ms
3
Część doświadczalna
Wykonanie ćwiczenia
(I) Wyznaczenie stałej k sprężyny (układu sprężyn).
1. Jeden z końców sprężyny zamocować w uchwycie statywu, a na drugim końcu zawiesić najmniejszy
ciężarek (rys.3).
6
Rys. 3 Zestaw do sprawdzenia wzoru na okres drgań wahadła sprężynowego.
2. Odczytać wychylenie x ciężarka z położenia równowagi, jako różnicę położeń przy obciążonej x1 i
nieobciążonej xo sprężynie:
(34)
x = x1 - x0
3. Znając masę ciężarka obliczyć ciężar ciężarka Q, który jest siłą równą co do wartości wzbudzającej sile
sprężystości.
4. Obliczyć współczynnik k zgodnie z równaniem (2) jako stosunek Q/x.
5. Czynności z punktów 1-4 powtórzyć zwiększając masę ciężarków (pomiary wykonać dla 5 różnych
obciążeń sprężyny).
6. Wyliczyć średnią arytmetyczną badanej sprężyny.
7. Obliczyć okres drgań T wahadła na podstawie wzoru (33). Masa sprężyny wynosi 0,03145kg
8. Wyniki pomiarów i obliczeń wpisać w tabeli 1
9. Sprężynę obciążyć ciężarkami o łącznej masie m odpowiadającej wartościom określonym w tabeli 2 (przy
mo=0.0104kg).
10. Pobudzić wahadło do drgań i zmierzyć czas trwania n=50 wahnięć.
11. Wyznaczyć okres drgań jako Td =t/n.
12. Wyniki zapisać w tabeli 2.
13. Czynności z punktów1-13 powtórzyć dla drugiej sprężyny oraz dla układu dwóch sprężyn zawieszonych
równolegle i szeregowo.
Opracowanie wyników
1. Obliczyć błąd bezwzględny maksymalny "RTmax różnicy okresów drgań:
1
m + ms t
3
RT = 2Ä„ -
k n
7
metodą różniczki zupełnej:
2Ä„2 îÅ‚ 1 1 "k Å‚Å‚ "t
ëÅ‚m öÅ‚
"RT = +
ïÅ‚"m + 3 "ms + ìÅ‚ + 3 ms ÷Å‚ k śł
kT n
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2. Porównać otrzymaną wartość z wartościami T-Td.
W tym celu należy oszacować błędy: "m, "ms, "t, "k.
Za błąd bezpośredni popełniony przy wyznaczeniu stałej k przyjmujemy największe odchylenie od wartości
średniej. Błędy "m, "ms są równe i są bezpośrednim błędem powstałym podczas ważenia (przyjąć wartość
najmniejszej podziałki wagi), błąd "t jest błędem pomiaru czasu i powstaje przy pomiarze sekundomierzem
(przyjąć najmniejszą podziałkę stopera).
Tabela 1
Nr L.p. M Q xo x1 x = x1-xo k
sprężyny [kg] [N] [m] [m] [m] [N/m] [N/m]
(m0 + " mi)
1 1 0.0104 - - -
2
3
4
5
6
2 1 0.0104 - - -
2
3
4
5
6
1+2 1 0.0104 - - -
Szeregowo
2
3
4
5
6
1+2 1 0.0104 - - -
Równolegle
2
3
4
5
6
7
gdzie:
m0=0.0104kg - masa wskazówki;
mi - masa poszczególnego odważnika, wybita na każdym z odważników;
"mi - suma mas użytych odważników;
8
Tabela 2
Nr Ms m k T n T Td RT=T-Td
Sprężyny [kg] [kg] [N/m] [s] [s] [s] [s]
(m0 +" mi)
1 0.03145 50
2 0.03145 50
1+2 0.0629 50
szeregowo
1+2 0.0629 50
równolegle
Opracowanie sprawozdania
Sprawozdania powinno zawierać:
- wstęp teoretyczny z podkreśleniem celu i zakresu wykonanych pomiarów;
- tabele pomiarowe;
- wyniki obliczeń zestawione w tabeli;
- obliczenia błędu i oszacowanie granic wyników;
- wyniki końcowe podane w postaci: x=xą"x;
- porównanie uzyskanych wartości z wartościami teoretycznymi;
- wnioski.
9