MATEMATYKA II
PAWEA
ZAPAA
OWSKI
1. Równania i nierówności
Zadanie 1.1. Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g, gdzie
1
(1) f(x) = x2 - 1, g(x) =
x
",
(2) f(x) = 3x + 4, g(x) = x.
Zadanie 1.2. Dla f(x) = 3x - 5 i g(x) = -8x znalez
ć f(g(0)), g(f(2)), f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)) i
g(g(x)).
Zadanie 1.3. Dla f(x) = x3 i g(x) = x + 1 znalez
ć f(g(-2)), g(f(-2)), f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)) i
g(g(x)).
1 -3
Zadanie 1.4. Dla f(x) = i g(x) = znalez
ć f(g(x)) i g(f(x)).
x+7 1-x
Zadanie 1.5. Rozwiązać
(1) 2(x - 1) = 5,
(2) |5x - 2| = 1,
(3) x - 1 + 2x - 5 < 9,
(4) 3x - 5 < x + 9,
(5) |x - 2| < 2 - 3x,
(6) |x - 2| > |x + 1| - 1.
Zadanie 1.6. Dla f(x) = x2 naszkicować wykresy y = f(x), y = f(x - 2), y = 2 - f(x).
Zadanie 1.7. Naszkicować wykresy, znalez
ć obraz, pierwiastki, punkt przecięcia z osią y, wierzchołek i
przedziały monotoniczności dla
(1) f(x) = (x - 3)(x + 1),
(2) f(x) = x(1 - x),
(3) f(x) = 1 - 2x2 - 3x.
Zadanie 1.8. Rozwiązać
(1) x2 - 5x + 4 = 0,
(2) 2x2 + 17x + 8 = 0,
(3) x2 - 6x + 9 = 0,
(4) x2 + x + 2 = 0,
(5) 1 - 2x2 - 3x = 0,
(6) x2 + 3x + 3 = -1,
(7) x2 + 1 = -x,
2x+1 x-1 x+3 4+x
(8) - = - ,
x+3 x2-9 3-x 3+x
(9) x2 - 5 = 1,
(10) x4 + 5x2 = 6,
(11) |x2 + x - 6| = 2.
Zadanie 1.9. Rozwiązać
(1) x + 5 > 4 - 3x,
(2) (x - 3)(x + 5) < 0,
(3) 4x2 d" 4x + 1,
(4) x2 - 6x + 9 e" 0,
(5) x2 + x + 2 < 0,
(6) x2 - 6x + 9 e" 0,
Date: 17 maja 2011.
1
(7) x2 - 7x > 8,
(8) x2 + 3 3x,
x+3 x-1
(9) > ,
x-3 x+5
5x-3
(10) 2,
2x+7
(11) x2 - 4x > 5,
(12) |2x2 + 5x - 12| < 9,
(13) |2x2 + x - 10| e" 4,
(14) |x2 + 5x - 2| < x + 3,
(15) |x2 + x + 1| e" 5 - x.
Zadanie 1.10. Naszkicować wykresy i znalez
ć współrzędne wierzchołka
(1) f(x) = -(x - 3)(x + 2),
(2) f(x) = -3x2 + 4x - 1,
(3) f(x) = x2 - x - 2,
1
(4) f(x) = x2 - x + 4.
2
Zadanie 1.11. Wykazać, że qx2 + 3x - 6 - 4q = 0 zawsze ma pierwiastki rzeczywiste, niezależnie od
wartości parametru q.
4x2+3
Zadanie 1.12. Wykazać, że jeśli x " R i s = , to s2 - 4s - 12 e" 0.
2x-1
Zadanie 1.13. Wykazać, że y = x - 3 jest styczna do krzywej y = x2 - 5x + 6.
1
Zadanie 1.14. Wykazać, że y = x + 1 nie przecina krzywej y = -1 - x2.
2
Zadanie 1.15. Wykazać, że 3x + 2 jest czynnikiem 3x3 - x2 - 20x - 12.
Zadanie 1.16. Zapisać w postaci iloczynowej
(1) x3 - x2 - x - 1,
(2) 2x5 + 6x4 + 7x3 + 21x2 + 5x + 15,
(3) x4 - 7x2 - 18.
Zadanie 1.17. Znalez
ć p i q, jeśli
(1) (x - 2) jest czynnikiem x3 - 3x2 - 10x + p,
(2) (x + 5) jest czynnikiem 3x4 + 15x3 - px2 - 9x + 5,
(3) (x + 3) i (x + 7) sÄ… czynnikami x4 + px3 + 30x2 + 11x + q.
Zadanie 1.18. Rozwiązać
(1) x3 - 6x2 + 5x + 12 = 0,
(2) x4 - 4x3 - 19x2 + 46x + 120 = 0,
(3) x(x - 2)3(x + 1)2(x - 3)(2x - 1) e" 0,
(4) x3 + 7x2 + 4x - 12 d" 0.
Zadanie 1.19. Znalez
ć wielomian f wiedząc, że
(1) “f jest parabolÄ… oraz (-4, 0), (1, 0), (0, -4) " “f ,
(2) (-4, 0), (-1, 0), (3, 0), (0, -12) " “f i f jest stopnia 3.
"
1
(a5)-3
4
Zadanie 1.20. Uprościć p5p11, x5x- 3
, 3y-27 16y, a.
2
a- 3
1
1 2 -
9 2
Zadanie 1.21. Obliczyć 81- 4 3
, 27 , .
4
Zadanie 1.22. Rozwiązać
(1) x-6 - 64 = 0,
"
5
6
(2) 7 x = x- 6
,
3
4
(3) x = 27,
"
(4) x x.
Zadanie 1.23. Obliczyć
1
(1) log5 125, log" log4 32, log3 27, log64 4,
0.0001,
1
(2) loga a3, logb b, logx x .
Zadanie 1.24. Uprościć
2
(1) loga 6 - 2 loga 2 + loga 8,
1 1
(2) log 80 - log 5,
2 2
(3) 3 loga(x + 2) - loga(3x2 - 12) + loga(x - 2).
Zadanie 1.25. Rozwiązać
(1) loga x2 + loga 1 = loga 32,
2
(2) log4(3x - 1) - log4(x - 1) = 1,
(3) 19x = 2, 52x+1 = 10,
(4) 2x-1 = 3x+1, 61-x = 23x+1,
(5) log4 x + 5 logx 4 = 6,
x+1
(6) log2 2x-3 = 3,
(7) loga x2 + loga 1 = loga 32,
2
(8) log5(x + 1) + log5(x - 3) = 1,
(9) log7(2x + 5) - log7(x - 5) = log7 x ,
2
(10) log2(log3(4x + 1)) = 0,
1 2
(11) + = 1,
5-log x 1+log x
(12) ln2 x3 - 10 ln x + 1 = 0,
(13) logx-2(x2 - 3x - 2) = 2,
(14) 4x5x+1 = 22x+1,
3
(15) 2 · 4x+1 = 2 + ,
4x
(16) 9x + 4 · 3x - 12 = 0,
(17) 2x+2 - 2x = 3,
(18) 276x-5 · 812x+3 = 310x+13,
(19) 32x - 8 · 3x = 9,
(20) 3x+1 + 9x = 108,
256
(21) (0, 25)2-x = .
2x+3
Zadanie 1.26.
Naszkicować wykresy
1
(1) y = 3x, y = ( )x, y = 5-x,
2
(2) y = log2 x, y = log0.25 x, y = log x,
(3) y = 2x-1 + 2, y = -4-x, y = 2|x| - 4,
(4) y = | log5 x|, y = log(x - 2) + 4, y = log3 |x|3.
Zadanie 1.27. Znalez
ć
(1) k, p, jeÅ›li (0, 5), (1, 7) " “f , gdzie f(x) = k · 2x + p.
(2) a, p, jeÅ›li (-2, 0), (1, 1) " “f , gdzie f(x) = loga(x + p).
Zadanie 1.28. Znalez
ć najmniejsze x " N, jeśli
(1) 7x > 350,
(2) 8x > 28.
Zadanie 1.29. Rozwiązać
1
(1) 21-x - ( )3x-3 d" 0,
2
(2) log3(2x - 1) < 2 log3(x + 2) - 1,
(3) log0.2(x + 1) > - log0.2(2 - x),
(4) log0,1(2x - 1) 0,
x+3
(5) log2 x-1 - log2 5 > 0,
(6) log 1 log8 x2-2x 0,
x-3
2
x+3
(7) logx x-1 > 1,
log2 x+1 2-log x3
2 25
(8) > ,
5 4
(9) 23x+5 - 4x-1 > 0,
1 -2x
1
x
(10) 3 < ,
3
x x-1
4 27 2
(11) ,
9 8 3
(12) 7 + 49x 8 · 7x,
(13) (x2 - 6x + 9)x+3 < 1.
3
2. Rachunek różniczkowy
Zadanie 2.1. Obliczyć pochodne
(1) f(x) = -3x5,
4
(2) f(x) = ,
x4
"
1
3
(3) y = 6x3 - + 4 x,
x
3x2(x3-3)
"
(4) y = .
5 x
4-x2
Zadanie 2.2. Obliczyć g (6) dla g(x) = .
x
4x2-9
"
Zadanie 2.3. Obliczyć gradient funkcji y = dla x = 16.
x
2 9
Zadanie 2.4. Znalez
ć współrzędne punktu, w którym gradient równy jest 2 dla f(x) = x3- x2-3x+8.
3 2
Zadanie 2.5. Obliczyć pochodne
(1) f(x) = (3x - 4)2,
(2) f(x)" (7x - 2x2)10,
=
3
(3) y = 6x - 5,
3
(4) p = .
(4-3k)2
Zadanie 2.6. Obliczyć pochodne
(1) f(x) = -e7x,
6
(2) f(x) = ,
e9x2
(3) y = ln 3x,
(4) f(x) = ln(2x2 + 4),
(5) y = 6 · 5x,
(6) y = log2 x.
Zadanie 2.7. Obliczyć pochodne
(1) y = (x - 1)10(2x - 1)7,
(2) y = 4x log8 x,
(3) y = 4x2 ln(x2 + 2x - 5),
3 Ä„
(4) y = tg(3x + ),
x4 2
(5) y = e3x(x + 2)2 tg x.
Zadanie 2.8. Obliczyć pochodne
ex
(1) f(x) = ,
cos x
7x
(2) f(x) = ,
tg x
log6 x
(3) f(x) = ,
(x+6)2
ex
(4) f(x) = ,
ex-e-x
4(3x-2)5
(5) f(x) = .
(2x+3)2
Zadanie 2.9. Obliczyć pochodne
(1) y = 7x2 - 5 sin x + 2 ctg x,
(2) y = tg 6x,
4
(3) y = 3 sin 5x - "
,
(3x+4)5
(4) y = tg2"
4x,
(5) y = sin x + 1,
Ä„
(6) f(x) = cos(3x - ),
4
(7) y = e4x - sin 2x + ln x,
(8) y = tg ln x,
(9) y = x3 cos x,
(10) y = ln x sin x,
(11) y = 5x cos x,
(12) y = e4x sec 3x,
Ä„
ctg(2x- )
3
(13) f(x) = ,
ln(3x+1)
(14) f(x) = ln cos 2x.
4
Zadanie 2.10. Znalez
ć równanie stycznej i normalnej do
(1) y = x2 - 3x w punkcie x = 2,
4
(2) y = w punkcie x = -1,
x2
(3) y = x3 w punkcie x = 0.
Zadanie 2.11. Styczna w punkcie P = (1, 0) do krzywej y = x3 + x2 - 2 przecina tę krzywą także w
punkcie Q. Znalez
ć współrzędne punktu Q.
Zadanie 2.12. Znalez
ć równania stycznych do krzywej y = (2x + 1)(x - 1) w punktach, w których
krzywa przecina oÅ› x. Znalez
ć punkty przecięcia się tych stycznych.
Zadanie 2.13. Wyznaczyć punkty stacjonarne i ich rodzaj analizując znaki pochodnej
(1) f(x) = x3 - 12x + 7,
(2) f(x) = 5x4,
1
(3) f(x) = 4x + .
x
Zadanie 2.14. Wyznaczyć punkty stacjonarne i ich rodzaj analizując znak drugiej pochodnej
(1) f(x) = 2x3 - 9x2 + 12x + 5,
(2) f(x) = 3x5,
1
(3) f(x) = 16x - .
x2
Zadanie 2.15. Wyznaczyć asymptoty pionowe i ukośne dla funkcji
x
(1) f(x) = ,
x-3
-2x2-7x-1
(2) f(x) = ,
x-4
x3-4x
(3) f(x) = ,
x2+1
x2+6
(4) f(x) = .
x2-1
Zadanie 2.16. Naszkicować wykres funkcji f uwzględniając asymptoty, punkty stacjonarne i punkty
przecięcia z osiami, jeśli
x-1
(1) f(x) = ,
x(x+1)
2x2
(2) f(x) = ,
x+4
x
(3) f(x) = ,
x2-1
1
(4) f(x) = .
x2-x-12
1
Zadanie 2.17. Naszkicować wykres funkcji , jeśli
f(x)
(1) f(x) = 2x - 1,
(2) f(x) = (x - 2)2,
(3) f(x) = ln x,
(4) f(x) = cos x.
Zadanie 2.18. Wyznaczyć współczynnik nachylenia stycznej do krzywej
"
Ä„
(1) y = ln 1 - cos 2x w punkcie x = ,
4
(2) 2x ln x - y ln y = 2e(1 - e) w punkcie (e, e2).
Zadanie 2.19. Abażur lampy biurkowej ma kształt walca z jednym końcem otwartym, a drugim za-
mkniętym. Znalez
ć promień podstawy abażuru tak, aby ilość materiału zużytego do produkcji abażuru
była minimalna jeśli wiadomo, że objętość walca wynosi 1000 cm3.
Zadanie 2.20. Otwarty pojemnik wykonano z czterech kawałków blachy. Dwa końce są trójkątami
równoramiennymi o długościach boków 13x, 13x i 24x. Dwa pozostałe kawałki tworzące pojemnik są
prostokątami o długości y i szerokości 13x. Do produkcji pojemnika zużyto 900 cm2 blachy.
450-60x2
(1) Wykazać, że y = .
13x
(2) Wyrazić objętość pojemnika w x.
(3) Znalez
ć wartość x, dla której objętość V pojemnika ma wartość stacjonarną i sprawdzić, czy jest
to maksimum czy minimum.
Zadanie 2.21. Populacja P moskitów w regionie Kilimandżaro, liczona w tysiącach, w ciągu 30-dniowego
okresu w maju zależy od dwóch czynników: średniego dziennego opadu deszczu r, i średniej dziennej
temperatury ¸. Opad deszczu dany jest przez funkcjÄ™ r = t cos t + 6, a temperatura dana jest przez
t
10
funkcjÄ™ ¸ = e + 7, gdzie t oznacza czas (wyrażony w dniach). OkazaÅ‚o siÄ™, że P = r + ¸. Wyznaczyć
minimalną liczbę moskitów w ciągu pierwszych pięciu dni maja.
5
3. Rachunek całkowy
Zadanie 3.1. Scałkować wyrażenia 2x - 1, x1/2, 7 - 4x-3.
Zadanie 3.2. Obliczyć całki
(1) x-1/2 dx,
(2) (1 - 2x + 6x2 - x3) dx.
Zadanie 3.3. Znalez
ć funkcje spełniające warunki
"
dy
1
(1) = x - "
,
dx x
dy
(2) = 8x(2x2 - 3).
dx
"
dy t-4t3
(3) = .
dt 3t
Zadanie 3.4. Scałkować funkcje
2
(1) x3 - ,
x
(2) 4ex + sin
"x,
ex
(3) - 15 x + cos x.
15
Zadanie 3.5. Obliczyć całki
(1) sin 5x dx,
(2) 4e4x dx,
(3) -5 cos 2x dx.
Zadanie 3.6. Znalez
ć y, jeśli
dy
1
(1) = ,
dx 2x-3
dy
4
(2) = ,
dx (3x-2)3
dy
(3) = (4x - 7)6.
dx
Zadanie 3.7.
Znając pochodną krzywej i punkt leżący na krzywej, znalez
ć równanie krzywej, jeśli
dy
(1) = 6, (2, 8),
dx
dy
(2) = 4x3 - 6x2 + 7, (1, 9),
dx
dy 6
(3) = 4x2 + , (4, -1).
dx x2
Zadanie 3.8. Obliczyć całki oznaczone
2
(1) 2x dx,
1
-1
6
(2) dx,
-3 x3
Ä„/2
(3) sin 3x dx,
0
2
(4) (3 - 2x)4 dx,
-1
-1
5
(5) dt.
-4 t-2
Zadanie 3.9. Narysować obszary zadane następującymi całkami
3
(1) (2x + 3) dx,
0
Ä„
(2) sin x dx.
0
Zadanie 3.10. Obliczyć pole obszaru ograniczonego daną krzywą i osią x.
1
(1) y = -(4x + 1)2 + 9 and the lines x = -1 and x = ,
2
Ä„
(2) y = e2x - sin 2x and the line x = - and the y-axis.
2
a
25 5
Zadanie 3.11. Wyznaczyć a, jeśli dx = .
-a (9-x)2 8
Zadanie 3.12. Obliczyć pole obszaru ograniczonego danymi krzywymi i osią x, jeśli
(1) y = -(x + 4)(2x + 1)(x - 3),
(2) y = x2 - x - 6, x = -2 i x = 4,
Ä„
(3) y = cos(2x - ), x = 0 i x = Ä„.
6
Zadanie 3.13. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami dwóch funkcji
(1) y = 8 - x2, y = 2 - x,
(2) y = ex, y = 4 - x2.
6
Zadanie 3.14. Obliczyć całki
"
(1) x 1 + x2 dx,
2
(2) 2 cos xesin x dx,
0
(3) x5(x6 - 9)8 dx,
(4) (x + 1)(x2 + 2x - 4)5 dx,
2x-3
(5) dx,
x2-3x+5
p
2 ln x
(6) dx.
1 x
Zadanie 3.15. Obliczyć
1
(1) dx,
9+x2
1
"
(2) dx,
1-3x2
1
"
(3) dx,
-x2+2x
1/2
1
(4) dx.
0 x2+4x+7
Zadanie 3.16. Obliczyć
(1) cos3 x dx,
(2) sin4 2x dx,
(3) tg3 3x dx,
(4) sin2 x cos2 x dx.
cos 2x
"
Zadanie 3.17. Obliczyć dx stosując podstawienie u = 1 - sin 2x.
1-sin 2x
2x
Zadanie 3.18. Obliczyć dx stosując podstawienie u = x2.
1+x4
1
Zadanie 3.19. Obliczyć dx stosując podstawienie u = tg x.
cos2 x+4 sin2 x
"
p
Zadanie 3.20. Obliczyć 4 - x2 dx stosujÄ…c podstawienie x = 2 sin ¸.
1/2
p
6 x
Zadanie 3.21. Obliczyć dx stosując podstawienie t = tg .
0 5+3 sin x 2
Zadanie 3.22. Obliczyć
(1) x cos x dx,
(2) x4 ln x dx,
(3) x2e-3x dx,
(4) sin-1 x dx,
(5) ln x dx,
(6) ex cos x dx.
Zadanie 3.23. Obliczyć
"x+1
(1) dx,
1-x2
x+3
(2) dx.
x-4
Zadanie 3.24. Obliczyć
x2
(1) dx stosujÄ…c podstawienie t = x + 5,
(x+5)2
"1
(2) dx stosujÄ…c podstawienie x = 2 sin ¸.
x2 4-x2
Zadanie 3.25. Obliczyć całkując przez części
1
(1) ln x dx,
x2
x
(2) x2 sin dx.
2
Zadanie 3.26. Obliczyć
(1) cos x sin2 x dx,
(2) cos4 x dx.
6
7