Matematyka, RMT, MTA

2010/2011, sem. letni

Zastosowania całki oznaczonej

Twierdzenie 1 Jeśli f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą i nieujemną, to

b

Z

a

f (x) dx

jest

polem

obszaru zawartego między wykresem funkcji y = f (x), osią OX oraz prostymi

x = a i x = b.

Twierdzenie 2 Niech f : [a, b] → R, g : [a, b] → R będą funkcjami ciągłymi oraz
f (x) ≤ g(x) dla x ∈ [a, b]. Wtedy

pole

obszaru zawartego

pomiędzy

wykresami funkcji

y = f (x) i y = g(x) oraz prostymi x = a i y = b wynosi:

b

Z

a

(g(x) − f (x)) dx .

Twierdzenie 3 Niech f : [a, b] → będzie funkcją ciągłą.

Objętość

bryły powstałej przez

obrót krzywej y = f (x) dla x ∈ [a, b], dana jest wzorem:

π

b

Z

a

(f (x))

2

dx .

Twierdzenie 4 * Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła w [a, b] i różniczkowalna w (a, b),
to

długość krzywej

opisanej równaniem y = f (x) dla x ∈ [a, b], wyraża się wzorem:

b

Z

a

p

1 + (f

0

(x))

2

dx .

Twierdzenie 5 * Niech funkcja f : [a, b] → R będzie ciągła w [a, b] i różniczkowalna w
(a, b). Wtedy

pole powierzchni bryły

powstałej przez obrót krzywej y = f (x) wokół osi OX

dla x ∈ [a, b] wynosi:

2π

b

Z

a

|f (x)|

p

1 + (f

0

(x))

2

dx .

1