1
OSCYLATOR DRGA
Ń
HARMONICZNYCH
(NIETŁUMIONYCH)
x
k
F
−
=
Sił
ą
harmoniczn
ą
(spr
ęż
ysto
ś
ci) nazywamy sił
ę
działaj
ą
c
ą
na ciało, proporcjonaln
ą
do przesuni
ę
cia tego ciała od pocz
ą
tku układu i skierowan
ą
ku pocz
ą
tkowi układu.
x
k
ma
−
=
Korzystamy z drugiej zasady
dynamiki Newtona:
Masa na spr
ęż
ynie
x
k
t
x
m
−
=
2
2
d
d
Czyli:
Aby znale
źć
kinematyczne równanie ruchu x(t) trzeba rozwi
ą
za
ć
równanie ró
ż
niczkowe
tzw. równanie oscylatora drga
ń
harmonicznych.
równanie
ró
ż
niczkowe
(II rz
ę
du):
x
m
k
t
d
x
d
−
=
2
2
(*)
inaczej:
0
2
2
=
+
x
m
k
t
d
x
d
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
ω
+
−
=
=
t
A
t
d
x
d
(t
v
Zgadujemy rozwi
ą
zanie postaci:
Obliczamy pierwsz
ą
:
i drug
ą
pochodn
ą
:
(przy okazji obliczyli
ś
my pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie)
)
(
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
t
x
ω
t
Aω
dt
x
d
dt
d
a(t)
−
=
+
−
=
=
=
ϕ
ω
v
Rozwi
ą
zanie ogólne równania
Podstawiamy do równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
0
)
cos(
)
cos(
0
0
2
0
=
+
+
+
−
ϕ
ω
ϕ
ω
t
A
m
k
t
Aω
m
k
ω
=
0
(*)
to:
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
gdzie:
m
k
ω
=
2
0
2
Ogólniej mo
ż
emy zapisa
ć
,
ż
e rozwi
ą
zaniem równania oscylatora drga
ń
harmonicznych postaci:
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
0
2
0
2
2
=
+
x
ω
dt
x
d
jest funkcja:
0
ω
gdzie:
zale
ż
y od układu drgaj
ą
cego
Dla oscylatora drga
ń
harmonicznych okres drga
ń
nie zale
ż
y od amplitudy
A
.
0
/
2
ω
T
π
=
Okres drga
ń
wynosi
, cz
ę
stotliwo
ść
drga
ń
definiujemy jako:
0
/
2
ω
T
π
=
π
2
/
/
1
0
ω
T
f
=
=
(jednostka cz
ę
stotliwo
ś
ci drga
ń
1 Hz = 1 s
-1
)
Dla spr
ęż
yny mieli
ś
my:
0
d
d
2
2
=
+
x
m
k
t
x
m
k
ω
=
0
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
Ogólne równanie oscylatora drga
ń
harmonicznych
Je
ś
li ruch ciała opisany jest powy
ż
szym równaniem ró
ż
niczkowym to
znamy jego rozwi
ą
zanie.
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
ω
+
−
=
=
t
A
t
d
x
d
(t
v
m
k
ω
=
0
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
gdzie:
Interpretacja rozwi
ą
zania:
A - amplituda ruchu
ωt + φ - fazą drgań
ω
0
=2
π
/T – częst. kątowa
T- okres drgań
φ - faza początkowa
Stałe A i
φ
s
ą
wyznaczone
przez warunki pocz
ą
tkowe:
)
cos(
)
0
(
ϕ
A
x
=
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
A
(
−
=
v
t
A
-A
T
T/2
x(t)
0
0
2T
3T
v
max
T
T/2
v(t)
0
0
2T
3T
T
T/2
0
0
2T
3T
-v
max
a
max
-a
max
a(t)
t
t
2
0
max
0
max
max
Aω
a
Aω
A
x
=
=
=
v
φ=0
)
(
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
t
x
ω
t
Aω
dt
x
d
dt
d
a(t)
−
=
+
−
=
=
=
ϕ
ω
v
3
Energia w ruchu harmonicznym
2
cos
2
cos
2
0
2
2
2
0
0
2
2
2
t
A
m
t
A
k
x
k
E
p
ω
ω
ω
=
=
=
t
A
(t)
0
0
sin
ω
ω
−
=
v
t
A
t
x
0
cos
)
(
ω
=
k
m
=
2
0
ω
2
sin
2
sin
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
t
kA
t
A
m
m
E
k
ω
ω
ω
=
=
=
v
2
)
(
2
)
cos
1
(
2
2
0
2
2
x
A
k
t
kA
E
k
−
=
−
=
ω
inaczej:
.
2
2
2
)
(
2
2
2
2
const
A
k
x
k
x
A
k
E
E
E
p
k
c
=
=
+
−
=
+
=
-A
E
p
(t)
0
x
E
k
(t)
E
c
A
lub
cz
ę
stotliwo
ść
drga
ń
atomów: f
≅≅≅≅
10
14
Hz
Przykład 1.
atomy w sieci krystalicznej
4
Przykład 2.
wahadło matematyczne
ciało o masie punktowej,
zawieszone na cienkiej,
niewa
ż
kiej, nierozci
ą
gliwej nici
składowa siły
powoduj
ą
ca
ruch:
2
2
d
d
t
x
m
ma
F
=
=
θ
sin
d
d
2
2
mg
t
x
m
−
=
θ
sin
mg
F
−
=
II zasada dynamiki
Newtona:
czyli:
dla małych wychyle
ń
θ
:
rozwiazanie równania oscylatora
drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
+
=
t
x
t
x
l
g
=
0
ω
g
l
T
π
2
=
0
2
2
=
+
x
l
g
d t
x
d
poniewa
ż
:
l
x
=
≈
θ
θ
sin
0
2
0
2
2
=
+
x
ω
d t
x
d
moment siły
powoduj
ą
cy
ruch:
2
2
d
d
t
I
I
M
θ
ε
=
=
θ
θ
sin
d
d
2
2
mgd
t
I
−
=
θ
sin
d
mg
M
−
=
II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:
czyli:
dla małych wychyle
ń
θ
:
0
d
d
2
2
=
+
θ
θ
I
mgd
t
poniewa
ż
:
θ
θ
≈
sin
rozwi
ą
zanie równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
θ
θ
+
=
t
t
I
mgd
=
0
ω
mgd
I
T
π
2
=
0
d
d
2
0
2
2
=
+
θ
ω
θ
t
Przykład 3.
wahadło fizyczne
5
dt
dx
b
b
F
x
t
−
=
−
=
v
x
k
F
s
−
=
siły działaj
ą
ce na ciało:
2
2
d t
x
d
m
ma
F
F
F
t
s
=
=
+
=
II zasada dynamiki Newtona:
0
2
2
x =
m
k
+
dt
dx
m
b
+
d t
x
d
2
2
d t
x
d
= m
dt
dx
-kx -b
inaczej:
równania oscylatora
drga
ń
harmonicznych
tłumionych (r. ruchu)
0
2
2
0
2
2
x =
+ ω
dt
dx
β
+
d t
x
d
2m
b
=
β
m
k
=
2
0
ω
β
ω
ω
2
2
-
=
0
rozwi
ą
zanie:
(dodatek 1)
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
(
ββββ
- współczynnik tłumienia, w
0
-cz
ę
st. kołowa drga
ń
własnych)
gdzie:
RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY
2
2
0
β
ω
ω
−
=
Oscylacyjny charakter ruchu zachowany
zostaje dla
słabego tłumienia.
β
ω
>
0
Gdy tłumienie (opór) stanie si
ę
dostatecznie
du
ż
e ruch przestaje by
ć
ruchem drgaj
ą
cym,
a ciało wychylone z poło
ż
enia równowagi
powraca do niego
asymptotycznie.
β
ω
<
0
Szczególny przypadek odpowiada sytuacji,
gdy mówimy wtedy o tłumieniu
krytycznym.
β
ω
=
0
t
e
A
x
β
−
=
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
Oscylator tłumiony - wnioski
6
Je
ż
eli chcemy podtrzyma
ć
drgania to musimy działa
ć
odpowiedni
ą
sił
ą
zewn
ę
trzn
ą
F(t)
Sił
ę
tak
ą
nazywamy sił
ą
wymuszaj
ą
c
ą
:
t
F
t
F
ω
sin
)
(
0
=
Równanie ruchu:
)
(t
F
b
x
k
ma
x
+
−
−
=
v
F(t)
t
d
x
d
b
x
k
t
d
x
d
m
+
−
−
=
2
2
t
ω
α
x
ω
t
d
x
d
β
t
d
x
d
sin
2
0
2
0
2
2
=
+
+
m
F
m
k
m
b
0
0
2
0
oraz
,
2
=
=
=
α
ω
β
układ jest zasilany z cz
ę
sto
ś
ci
ą
ω
ró
ż
n
ą
od cz
ę
sto
ś
ci własnej
ω
0
)
sin(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
2
2
0
2
ω
ω
βω
ϕ
−
−
=
tg
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
gdzie:
WNIOSKI:
•Drgania (wymuszone) w stanie ustalonym odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
siły
zewn
ę
trznej, a nie z cz
ę
sto
ś
ci
ą
własn
ą
•Amplituda i faza zale
żą
od relacji pomi
ę
dzy cz
ę
sto
ś
ci
ą
wymuszaj
ą
c
ą
ω
, a cz
ę
sto
ś
ci
ą
własn
ą
ω
0
oraz od współczynnika tłumienia
DRGANIA WYMUSZONE I REZONANS
ω
0
A
ω
β
4
β
3
β
2
β
1
β
0
= 0
Gdy siła wymuszaj
ą
ca osi
ą
ga
odpowiedni
ą
cz
ę
stotliwo
ść
(rezonansow
ą
)
:
β
0
<β
1
<β
2
<β
3
<β
4
)
2
2
0
2
β
ω
ω
−
=
r
2
2
0
0
2
β
ω
β
α
−
=
r
A
..... rezonans
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
Dla drgań nietłumionych =>
0
→
β
∞
→
r
A
to amplituda drgań gwałtownie
rośnie:
7
Drgania prostopadłe:
)
cos(
;
cos
2
2
1
1
ϕ
ω
ω
+
=
=
t
A
y
t
A
x
Krzywe Lissajous
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IMIC przyklady drgania id 21180 Nieznany
Przykład-drgania ogólne, bhp
przykład-drgania ogólne, lolo, WSB, II płyta, Badania i pomiary czynników szkodliwych dla zdrowia
IMIC przyklady grawitacja
IMIC przyklady elektrostatyka
Przykład-drgania miejscowe, bhp
IMIC przykłady indukcja elektromagnetyczna
IMIC przyklady praca i energia Nieznany
IMIC przyklady prady id 211813 Nieznany
5 IMIR przykłady drgania
przykład-drgania miejscowe, lolo, WSB, II płyta, Badania i pomiary czynników szkodliwych dla zdrowia
IMIC przykłady indukcja elektromagnetyczna
IMIC przyklady pole magnetyczne Nieznany
IMIR przykłady drgania
Przykład-drgania ogólne, bhp
IMIC przyklady pole magnetyczne
więcej podobnych podstron