1

1

Izolowany przewodnik

W izolatorze nadmiarowy ładunek mo

ż

e by

ć

rozmieszczony w całej jego obj

ę

to

ś

ci.

Ładunek rozmieszczony w przewodniku wytwarza pole elektryczne przemieszczaj

ą

ce

swobodne elektrony na powierzchni

ę

przewodnika dopóty, dopóki nie zniknie pole

wewn

ą

trz przewodnika.

Wtedy na ładunki nie działa ju

ż

siła i otrzymujemy statyczny rozkład ładunku.

0

d

=

∫

S

E

Wewn

ą

trz przewodnika

E

= 0

0

0

ε

.

wewn

Q

=

0

.

=

wewn

Q

Cały ładunek gromadzi si

ę

na powierzchni przewodnika

Prawo Gaussa - przykłady

2

Procedura obliczania pola

E

od symetrycznych rozkładów ładunków:

1. Trzeba okre

ś

li

ć

symetri

ę

pola

2. Wybra

ć

odpowiedni

ą

powierzchni

ę

Gaussa

3. Obliczy

ć

strumie

ń

przez t

ę

powierzchni

ę

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana sfera (lub kula z
przewodnika)

∫

=

)

π

r

E(

EdS

2

4

0

2

)

4

(

ε

π

Q

r

E

=

2

2

0

4

1

r

Q

k

r

Q

E

=

=

πε

Na zewn

ą

trz sfery tj. dla r > R pole jest takie jakby cały ładunek skupiony był w

ś

rodku sfery. Natomiast wewn

ą

trz sfery (r < R) Q

wewn.

= 0 wi

ę

c E

wewn.

= 0.

2

3

Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula

2

.

r

Q

k

E

wewn

=

3

3

3

.

3

4

3

4













=

=

R

r

Q

R

r

Q

Q

wewn

π

π

2

3

0

4

1

r

R

r

Q

E













=

πε

r

R

Q

k

r

R

Q

E

3

3

0

4

1

=

=

πε

4

Płaskie rozkłady ładunków

0

2

ε

σ

S

S

E

=

0

2

ε

σ

=

E

3

5

W praktyce stosuje si

ę

układ dwóch płaskich

równoległych płyt naładowanych ładunkami jednakowej
wielko

ś

ci ale o przeciwnych znakach (kondensator

płaski ).

0

0

0

2

2

ε

σ

ε

σ

ε

σ

=

+

=

E

0

2

2

0

0

=













−

+

=

ε

σ

ε

σ

E

0

2

2

0

0

=













−

+

=

ε

σ

ε

σ

E

po lewej stronie

po prawej stronie

pomi

ę

dzy płytami

Na zewn

ą

trz układu pole jest równe zeru a pomi

ę

dzy

płytami ma w ka

ż

dym punkcie stał

ą

warto

ść

σ

/

ε

0

.

Takie pole nazywamy polem jednorodnym.

Całka nieoznaczona

∫

=

)

(

)

(

x

f

dx

x

g

Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, że po zróżniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

ś

ciślej:

Przykłady:

C

x

1

n

1

dx

x

1

n

n

+

+

=

+

∫

∫ e

x

dx = e

x

+ C

∫ (1/x) dx = ln x + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = - cos x + C

Wstawka matematyczna

[

]

C

x

f

dx

d

x

g

+

=

)

(

)

(

4

Całka oznaczona:

[

] [

]

∫

∫

=

=

−

=

+

−

+

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

g

a

f

b

f

C

a

f

C

b

f

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

Niech :

przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:

nazywamy całką oznaczoną.

)

(

)

(

)

(

a

f

b

f

dx

x

g

b

a

−

=

∫

CZYLI CAŁKA OZNACZONA TO:

C

x

f

dx

x

g

+

=

∫

)

(

)

(

gdzie:

Wstawka matematyczna

i

N

i

i

i

N

i

i

i

b

a

x

x

g

x

x

f

x

a

f

b

f

dx

x

g

∆

→

∆

=

∆

→

∆

=

−

=

∑

∑

∫

)

(

0

lim

)

(

0

lim

)

(

)

(

)

(

Znaczenie całki oznaczonej:

i

i

i

i

i

x

x

f

x

dx

x

df

x

g

∆

∆

→

∆

=

=

)

(

0

lim

)

(

)

(

i

i

i

x

x

g

x

f

∆

=

∆

)

(

)

(

∫

=

b

a

dx

x

g

S

)

(

Wstawka matematyczna

5

Przykłady całek:

Wstawka matematyczna

i

N

i

i

i

b

a

x

x

g

x

dx

x

g

∆

→

∆

=

∑

∫

)

(

0

lim

)

(

droga

dt

t

s

b

a

t

t

−

=

∫

)

(

v

zenie

przemieszc

dt

t

b

a

t

t

−

=

∆

∫

)

(

v

r

praca

d

W

−

=

∫

b

b

r

r

r

r

F )

(

10

Energia potencjalna i potencjał pola elektrycznego

Pole elektryczne jest polem zachowawczym (potencjalnym), wi

ę

c warto

ść

pracy

nie zale

ż

y od wyboru drogi pomi

ę

dzy punktami A i B.

∫

−

=

−

=

−

B

A

AB

pA

pB

d

W

E

E

r

F

F

)

(

∫

−

=

B

A

pA

pB

d

q

E

E

r

E

Potencjał elektryczny

Potencjał elektryczny to energia potencjalna
podzielona przez jednostkowy ładunek czyli

V = E

p

/q

:

∫

−

=

B

A

A

B

d

V

V

r

E

Jednostk

ą

potencjału elektrycznego jest wolt (V); 1 V = 1 J/C.

∫

∑

=

∆

=

→

∆

B

A

i

i

AB

d

W

i

r

F

r

F

r

F

0

)

(

lim

6

11

W fizyce posługujemy si

ę

cz

ę

sto poj

ę

ciem ró

ż

nicy potencjałów czyli napi

ę

ciem

U

.

Znak minus odzwierciedla fakt,

ż

e

potencjał maleje w kierunku
wektora

E

.

∫

−

=

−

=

B

A

A

B

d

V

V

U

r

E

Czyli energia potencjalna dla ładunku punktowego

q

umieszczonego w polu

ładunku

Q

wynosi:

r

qQ

k

(r)

E

p

=

r

Q

k

r

kQ

dr

r

Q

k

V

V(r)

r

r

=









−

−

=

−

∞

=

∞

∞

∫

'

1

'

'

)

(

2

1) Potencjał pola ładunku punktowego

Q

:

przyjmujemu,

ż

e:

0

)

(

=

∞

V

Przykłady:

2

r

Q

k

E(r)

=

12

2) Jednorodnie naładowana sfera

r

Q

k

V(r)

=

2

r

Q

k

E(r)

=

R

r

≥

R

Q

k

V(r)

=

R

r

<

0

=

E(r)

7

13

V(x,y)

Potencjał elektryczny mo

ż

na przedstawi

ć

graficznie rysuj

ą

c

powierzchnie

lub

linie ekwipotencjalne

.

V(x,y)

-Q
+Q

X

Y

r

Q

k

r

V

=

)

(

Powierzchnia ka

ż

dego przewodnika w stanie ustalonym jest powierzchni

ą

stałego

potencjału (powierzchni

ą

ekwipotencjaln

ą

). Wektor

E

jest prostopadły do powierzchni

przewodnika oraz do ka

ż

dej powierzchni ekwipotencjalnej.

Ładunek umieszczony na izolowanym przewodniku gromadzi si

ę

na jego powierzchni

pole

E

wzdłu

ż

powierzchni przewodnika równa si

ę

zeru

na powierzchni

∆

V = 0

14

Generator elektrostatyczny Van de Graaffa.

Elektrofor

8

15

dla N ładunków punktowych

∑

∑

=

∧

=

=

=

N

i

i

N

i

i

i

i

r

Q

k

1

1

2

r

E

E

Zasada superpozycji – potencjał i nat

ęż

enie

Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowy potencjał
pola (energi

ę

potencjaln

ą

), obliczamy dodaj

ą

c skalarnie potencjały pól od

pojedynczych ładunków.

i

∑

∑

=

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

r

Q

k

V

V

1

1

0

=

−

=

r

q

k

r

q

k

V

oraz

Przykład :

dipol elektryczny

r

l

E

E

=

1

3

3

2

1

r

p

k

r

Ql

k

r

Q

k

r

l

E

r

l

E

=

=













=

=

Gdy mamy do czynienia z kilkoma naładowanymi ciałami, wypadkowe nat

ęż

enie

pola (sił

ę

wypadkow

ą

), obliczamy dodaj

ą

c wektorowo nat

ęż

enia pól od

pojedynczych ładunków.

16

Pojemno

ś

ci

ą

elektryczn

ą

nazywamy stosunek ładunku kondensatora

do ró

ż

nicy potencjałów (napi

ę

cia) mi

ę

dzy okładkami.

Układ przewodników, który mo

ż

e gromadzi

ć

ładunek elektryczny, przy przyło

ż

onej ró

ż

nicy

potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora.

Jednostk

ą

pojemno

ś

ci jest farad (F); 1F = 1C/1V. Powszechnie stosuje si

ę

jednak mniejsze

jednostki:

µ

F, nF, pF.

U

Q

V

Q

C

=

∆

=

Pojemno

ś

ci

ą

elektryczn

ą

przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na

przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez
ten ładunek.

Definicj

ę

pojemno

ś

ci mo

ż

na rozszerzy

ć

na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika

Przewodnik uwa

ż

amy za jedn

ą

z okładek kondensatora, a druga okładka kondensatora

znajduje si

ę

w niesko

ń

czono

ś

ci i ma potencjał równy zeru.

Kondensatory i dielektryki

Pojemno

ść

elektryczna

9

17

pojemno

ść

kuli o promieniu R

V

Q

C

=

R

Q

k

V

=

R

k

R

C

0

4

πε

=

=

Przykłady:

kondensator płaski

0

ε

σ

=

E

l

El

d

U

B

A

0

ε

σ

=

=

−

=

∫

r

E

l

S

l

S

U

Q

C

El

U

0

0

ε

ε

σ

σ

=

=

=

=

Pojemno

ść

zale

ż

y od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego poło

ż

enia

A

B

r

18

Umieszczenie dielektryka (izolatora) pomi

ę

dzy okładkami

kondensatora zwi

ę

ksza jego pojemno

ść

ε

r

razy:

ε

r

nazywamy wzgl

ę

dn

ą

przenikalno

ś

ci

ą

elektryczna lub stał

ą

dielektryczn

ą

Materiał

Stała dielektryczna

pró

ż

nia

powietrze

teflon

polietylen

papier

szkło (pyrex)

porcelana

woda

TiO

2

1.0000
1.0005

2.1
2.3
3.5
4.5
6.5

78

100

Kondensator z dielektrykiem

r

C

C

ε

=

0

10

19

Praca zu

ż

yta na przeniesienie porcji ładunku

dq

pomi

ę

dzy okładkami

przy panuj

ą

cej w danej chwili ró

ż

nicy potencjałów

U=∆V.

Ładowanie kondensatora pró

ż

niowego.

C

U

C

Q

q

C

q

q

U

W

Q

Q

2

2

0

0

2

1

2

1

d

d

=

=













=

=

∫

∫

Energia pola elektrycznego

∑

=

i

i

i

q

U

W

d

20

Dla poł

ą

czenia równoległego ró

ż

nica potencjałów mi

ę

dzy

okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama
(poł

ą

czone okładki stanowi

ą

jeden przewodnik).

3

3

2

2

1

1

C

q

C

q

C

q

V

=

=

=

∆

(

)

3

2

1

3

2

1

3

2

1

C

C

C

V

V

C

C

C

V

q

q

q

V

Q

C

+

+

=

∆

∆

+

+

=

∆

+

+

=

∆

=

Przy poł

ą

czeniu szeregowym ładunek wprowadzony na

okładki zewn

ę

trzne wywołuje równomierny rozkład

(rozdzielenie) ładunku pomi

ę

dzy okładkami wewn

ę

trznymi.

3

3

2

2

1

1

C

V

C

V

C

V

q

∆

=

∆

=

∆

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1

1

1

1

C

C

C

q

C

q

C

q

C

q

q

V

V

V

q

V

C

+

+

=

+

+

=

∆

+

∆

+

∆

=

∆

=

Baterie kondensatorów