Anna Ociepa Gr.1

Zad 1.

a)

𝜕𝑑

𝜕𝑖

=

𝜕

𝜕𝑖

𝑖

𝑖+1

=

1+𝑖−𝑖

(1+𝑖)

2

=

1

(1+𝑖)

2

b)

𝜕𝑑

𝑚

𝜕𝑑

=

𝜕

𝜕𝑑

𝑘 1 − 1 − 𝑑

𝑘

=

= 𝑘 ∙

1
𝑘

(1 − 𝑑)

1

𝑘−1

= (1 − 𝑑)

1

𝑘−1

c)

𝜕𝑑
𝜕𝛿

=

𝜕

𝜕𝛿

1 −

1

𝑒

𝛿

=

𝑒

𝛿

𝑒

2𝛿

=

1

𝑒

𝛿

d)

𝜕𝛿

𝜕𝑖

=

𝜕

𝜕𝑖

(ln 1 + 𝑖 ) =

1

1+𝑖

e)

𝜕𝛿
𝜕𝑣

=

𝜕

𝜕𝑣

ln

1
𝑣

= −

1

𝑣

2

∙ 𝑣 = −

1
𝑣

Zad 2.

Z treści zadania:

𝛿 𝑡 = 3 ∙ 5

𝑡

𝑖

4

=

𝑎(4)
𝑎(3)

− 1

Korzystam ze wzoru:

Z poniższego równania wyznaczam d :

1 + 𝑖 =

1

1−𝑑

stąd 𝑑 =

𝑖

1+𝑖

Z poniższego równania wyznaczam 𝑑

(𝑚)

:

1

(1−

𝑑(𝑚 )

𝑘

)

𝑘

=

1

1−𝑑

stąd 𝑑

(𝑚)

= 𝑘 1 − 1 − 𝑑

𝑘

Z poniższego równania wyznaczam d :

1

1−𝑑

= 𝑒

𝛿

stąd 𝑑 = 1 −

1

𝑒

𝛿

Z poniższego równania wyznaczam 𝛿 :

1 + 𝑖 = 𝑒

𝛿

stąd 𝛿 = ln⁡

(1 + 𝑖)

Z poniższego równania wyznaczam 𝛿 :

1
𝑣

= 𝑒

𝛿

stąd 𝛿 = ln⁡

(

1
𝑣

)

𝑎 𝑇 = 𝑒

𝛿 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

0

3 ∙ 5

𝑡

dt =

𝑇

0

3 ∙

1

ln5

∙ 5

𝑡

|

0

𝑇

=

3

𝑙𝑛5

(5

𝑇

− 1)

𝑎 𝑇 = 𝑒

3

𝑙𝑛5(5

𝑇

−1)

Podstawiam T=4 i T=3 :

𝑎 4 = 𝑒

3

𝑙𝑛5(5

4

−1)

= 𝑒

3

𝑙𝑛 5∙624

𝑎 3 = 𝑒

3

𝑙𝑛5(5

3

−1)

= 𝑒

3

𝑙𝑛 5∙124

Stąd:

𝑖

4

= 𝑒

3

𝑙𝑛5 624−124

− 1 = 𝑒

3

𝑙𝑛5∙500

− 1

𝑖

4

≈ 𝑒

923

− 1

Zad 3.

𝐾

4

= $1000 - Kapitał koocowy

n=3,5 - czas inwestycji w latach

𝑑

(12)

= 10% - nominalna stopa dyskonta

k=12 - ilośd podokresów

𝐾 = 𝐾

𝑛

∙ (1 −

𝑑

𝑘

𝑘

)

𝑛∙𝑘

𝐾 = 1000 ∙ 1 −

1

10 ∙ 12

3,5∙12

= 1000 ∙ 1 −

1

120

= 1000 ∙

119
120

42

= 1000 ∙ 0,70366

𝐾 = $703,66

Zad 4.

𝑖

2

= 8%

k=2

Z poniższego równania wyznaczam i, a następnie podstawiam dane wartości :

1 + 𝑖 = (1 +

𝑖

(𝑘)

𝑘

)

𝑘

𝑖 = 1 +

𝑖

𝑘

𝑘

𝑘

− 1

𝑖 = 1 +

𝑖

2

2

2

− 1

𝑖 = 8,16%

Z treści zadania tworzę równanie:

−5000 −

𝑋

(1 + 𝑖)

1

+

3000

(1 + 𝑖)

5

+

10000

(1 + 𝑖)

10

= 0

Z którego wyznaczam X :

𝑋 = 1 + 𝑖

3000

1 + 𝑖

5

+

10000

1 + 𝑖

10

− 5000

I podstawiając 𝑖 = 8,16% otrzymuję kwotę X :

𝑋 = 1720,35

Zad 5.

Z treści zadania:

156,85

1 + 𝑖

3

=

100

(1 + 𝑖)

3

+

200

(1 + 𝑖)

6

56,85

1 + 𝑖

3

=

200

(1 + 𝑖)

6

1 + 𝑖

3

∙ 56,85 = 200

𝑖 = 52,09%

Z poniższego równania wyznaczam X :

300

(1 + 𝑖)

0

+

200

(1 + 𝑖)

4

=

𝑋

(1 + 𝑖)

6

𝑋 = 1 + 𝑖

6

300

1 + 𝑖

0

+

200

1 + 𝑖

4

Podstawiając 𝑖 = 52,09% otrzymuję szukane X :

𝑋 = $4175,59

Zad 6.

𝐾 = $100 - kapitał początkowy

n=5 - liczba lat

𝐾

𝑛

= $180,61 - kapitał koocowy

k=4 - ilośd kapitalizacji

𝑖

𝑘

- nominalna stopa oprocentowania

Z poniższego równania wyznaczam 𝑖

(𝑘)

:

𝐾

𝑛

= 𝐾 ∙ (1 +

𝑖

𝑘

𝑘

)

𝑛∙𝑘

𝑖

𝑘

= 𝑘 ∙

𝐾

𝑛

𝐾

𝑛 ∙𝑘

− 1 Podstawiam wartości :

𝑖

4

= 4 ∙

180,61

100

20

− 1

𝑖

4

= 0,12

𝑖

4

= 12%

Zad 7.

𝛿

𝑡

= 𝑐 ∙ 𝑡

2

Z definicji nominalnej stopy oprocentowania ciągłego mamy :

𝐾 10 = 𝐾 0 ∙ 𝑒

𝑐∙𝑡

2

𝑑𝑡

10

0

𝑐 ∙ 𝑡

2

𝑑𝑡 =

𝑐
3

10

0

∙ 𝑡

3

|

0

10

=

1000

3

∙ 𝑐

Mamy równania 𝐾 10 = 𝐾(0) ∙ 𝑒

1000

3

∙𝑐

i z treści zadania 3 ∙ 𝐾 10 =

𝐾(0) stąd:

𝑒

1000

3 ∙𝑐

= 3

ln 3 =

1000

3

∙ 𝑐

𝑐 =

3

1000

∙ ln3

𝑐 = 0,0033

Zad 8.

Z treści zadania tworzę równanie:

5000 = 2𝑋(1 + 𝑖)

𝑘

+ 𝑋(1 + 𝑖)

𝑛

15

𝑛=1

5

𝑘=1

Podstawiam 𝑖 = 5%

5000 = 2𝑋(1,05)

𝑘

+ 𝑋(1,05)

𝑛

15

𝑛=1

5

𝑘=1

5000 = 𝑋(2 ∙ (1,05)

𝑘

+ (1,05)

𝑛

)

15

𝑛=1

5

𝑘=1

i wyznaczam X :

𝑋 =

5000

2 ∙

(1,05)

𝑘

+

(1,05)

𝑛

)

15

𝑛=1

5

𝑘=1

Rozbijam mianownik ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego :

𝑋 =

5000

2 ∙ 1,05 ∙

1 − 1,05

5

1 − 1,05 + 1,05 ∙

1 − 1,05

15

1 − 1,05

Stąd szukana kwota X wynosi :

𝑋 = 1756,89

Zad 9.

Z treści zadania :

𝐾

5

= 100000 ∙ 1 + 0,05

5

∙ 1 + 0,03

𝐾

5

≈ 131457

𝐾

5

= 𝑅 ∙ (1 +

𝑖

12

12

)

𝑘

60

𝑘=1

131457 = 𝑅 ∙ (1 +

𝑖

12

12

)

𝑘

60

𝑘=1

𝑅 =

131457

1 +

𝑖

12

12

𝑘

60

𝑘=1

Podstawiam

𝑖

12

12

=

6%

12

= 0,005 :

𝑅 =

131457

1 + 0,005

𝑘

60

𝑘=1

𝑅 =

131457

1,005

𝑘

60

𝑘=1

Rozbijam mianownik ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego :

𝑅 =

131457

1.005 ∙

1 − 1,005

60

1 − 1,005

Stąd szukane R wynosi :

𝑅 = 1874,77