Przykład 7.2. Skręcanie pręta  zadanie statycznie niewyznaczalne
Przedstawić wykresy momentu skręcającego i kąta skręcenia pręta zamocowanego sztywno
na obu końcach według schematu statycznego
Rysunek 1. Pręt skręcany
Równanie równowagi:
(1)
M - M - m 2l - ml = 0 , M - M = 3ml .
A B A B
Zadanie jest statycznie niewyznaczalne; dwie niewiadome MA i MB, a tylko jedno
równanie (1). Dodatkowe równanie otrzymamy z warunków:
ÕA = 0 i ÕB = 0
(2)
Pierwszy z tych warunków sÅ‚uży do obliczenia Õ(x), gdyż ÕA = Õ(0). Natomiast drugi
warunek ÕB = 0 jest dodatkowym równaniem dla obliczenia momentów w zamocowaniach.
Obliczamy, kolejno:
Ä… -Ä… ; 0 d" x d" l , MS(x) = M ,
A
M x M l
A A
Õ(x) = , Õ(l) = ;
GJ0 GJ0
² - ² ; 0 d" x d" l , M (x) = M - mx ,
S A
M l M x mx2 2M l ml2
A A A
Õ(x) = + - , Õ(l) = - ;
GJ0 GJ0 2GJ0 GJ0 2GJ0
Å‚ - Å‚ ; 0 d" x d" l , M (x) = M - ml - mx ,
S A
(3)
2M l ml2 M - ml mx2 5M l 5ml2
A A A
Õ(x) = - + x - , Õ(l) = - ;
GJ0 2GJ0 2GJ0 4GJ0 2GJ0 4GJ0
´ -´ ; 0 d" x < l , MS(x) = M - 2ml ,
A
5M l 5ml2 M x 2ml 3M l 9ml2
A A A
Õ(x) = - + - x , Õ(l) = - ;
2GJ0 4GJ0 2GJ0 2GJ0 GJ0 4GJ0
µ -µ ; 0 d" x d" l , MS(x) = M - 3ml ,
A
3M l 9ml2 M - 3ml 4M l 21ml2
A A A
Õ(x) = - + x , Õ(l) = - .
GJ0 4GJ0 GJ0 GJ0 4GJ0
OczywiÅ›cie Õ(l) dla przedziaÅ‚u µ -µ jest kÄ…tem skrÄ™cenia ÕB , który musi być równy zeru.
Zatem,
4M l 21ml2
A
(4)
- = 0 .
GJ0 4GJ0
Równania (1) i (4) dają rozwiązanie:
21
M = ml ,
A
16
(5)
27
M = - ml
B
16
Z równań (3) i (5) obliczamy:
21 21 ml2
Ä… -Ä… ; MS(x) = ml , Õ(l) = ;
16 16 GJ0
21 5 17 ml2
² - ² ; MS(x) = ml - mx , M (l) = ml , Õ(l) = ;
16 16 8 GJ0
(6)
5 11 65 ml2
Å‚ - Å‚ ; MS(x) = ml - mx , M (l) = - ml , Õ(l) = ;
16 16 32 GJ0
11 27 ml2
´ -´ ; M (x) = - ml , Õ(l) = ;
S
16 16 GJ0
27
µ -µ ; M (x) = - ml , Õ(l) = 0 .
S
16
Ekstremalny kąt skręcenia występuje w przekroju ł - ł i wynosi:
5 2201 ml2
öÅ‚
(7)
ÕëÅ‚ l = .
ìÅ‚ ÷Å‚
1024 GJ0
íÅ‚16 Å‚Å‚
Zauważmy, że
27
maks MS = ml
16
(8)
2201 ml2
maksÕ = .
1024 GJ0
2