Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

1

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

B A D A N I A O P E R A C Y J N E

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU

CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

Prezentacja materiałów pomocniczych do wykładu

STOCHASTYCZNE MODELE STEROWANIA ZASOBAMI

[e-mail]

WPROWADZENIE

C e l e m w y k ł a d u j e s t prezentacja stochastycznego modelu pewnej polityki odnawiania wybranego

asortymentu części wymiennych.

Rozważany jest system pojazdów, w którym zużycie zasobów części wymiennych oraz czas dostaw

uzupełniających zapas zasobu są zmiennymi losowymi o znanych rozkładach prawdopodobieństwa.

Zakres wyk ładu obejmuje:

♦

budowę modelu matematycznego polityki odnawiania zasobów części wymiennych;

♦

opis komputerowego modelu symulacyjnego polityki odnawiania zasobów części wymiennych;

♦

sformułowanie przykładowego zadania, przeprowadzenie eksperymentu symulacyjnego
i pokazanie jego wybranych wyników.

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

2

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

2. MODEL MATEMATYCZNY

Rozpatrywany jest system pojazdów, w którym zużycie zasobów części wymiennych oraz czas dostaw

uzupełniających zapas zasobu są zmiennymi losowymi. W systemie stosowana jest określona polityka
odnawiania zasobów części wymiennych. Schemat ideowy modelu matematycznego takiej polityki
sterowania zasobami części wymiennych i schemat stosowanych w modelu matematycznym oznaczeń,
przedstawia

rys. 1

.

T

i

T

i+1

t

i-1

t

i+1

t

i

t

i+2

t

M

t

M+1

T

M

S(T

i

)

S(T

i+1

)

S(T

i-1

)

S(T

M

)

Z(T

i-1

)

Z

śr

(T)

i-1

Z

śr

(T)

i

Z

śr

(T)

i+1

Z

śr

(T)

M

Z(T

i

)

Z(T

i+1

)

Z(T

M

)

t

r

t

r+1

T

r

τ

r

, U(T

i

)=1

S(T

r

)

Z

śr

(T)

r

Z(T

r

)

T

i-1

Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (

1

)

Koncepcję niniejszego modelu matematycznego i zbudowanego na jego podstawie symulatora

cyfrowego, oparto na koncepcjach i procedurach wcześniej już prezentowanych modeli.

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

3

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

T

i

T

i+1

t

i-1

t

i+1

t

i

t

i+2

t

M

t

M+1

T

M

S(T

i

)

S(T

i+1

)

S(T

i-1

)

S(T

M

)

Z(T

i-1

)

Z

śr

(T)

i-1

Z

śr

(T)

i

Z

śr

(T)

i+1

Z

śr

(T)

M

Z(T

i

)

Z(T

i+1

)

Z(T

M

)

t

r

t

r+1

T

r

τ

r

, U(T

i

)=1

S(T

r

)

Z

śr

(T)

r

Z(T

r

)

T

i-1

Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (

2

)

1. System zasobów części wymiennych pracuje w sposób ciągły, ale wszystkie możliwe zmiany stanu

systemu dokonywane i rejestrowane są w określonych chwilach czasu t

1

, t

2

, … .

2. W okresie T

i

system zasobów dysponuje losową ilością części wymiennych n

sys

(T

i

) stanowiącą podstawę

realizacji przez niego zadań.

3. Niech w chwili t

i

określane jest zadanie do realizacji przez system zasobów części wymiennych,

wyrażające się popytem x na zasób jaki trzeba zaspokoić. Rozkład określający popyt na zasób części
wymiennych w okresie pracy T

i

przedstawia zależność:

(

)

( )

{

}

(

)

1

,

,

N

,

,

=

∈

=

=

∑

x

i

popyt

i

popyt

i

popyt

x

T

p

x

x

T

X

P

x

T

p

.

(1)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

4

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

T

i

T

i+1

t

i-1

t

i+1

t

i

t

i+2

t

M

t

M+1

T

M

S(T

i

)

S(T

i+1

)

S(T

i-1

)

S(T

M

)

Z(T

i-1

)

Z

śr

(T)

i-1

Z

śr

(T)

i

Z

śr

(T)

i+1

Z

śr

(T)

M

Z(T

i

)

Z(T

i+1

)

Z(T

M

)

t

r

t

r+1

T

r

τ

r

, U(T

i

)=1

S(T

r

)

Z

śr

(T)

r

Z(T

r

)

T

i-1

Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (

3

)

4. Istnieje poziom zasobu części wymiennych n

u

wskazujący na potrzebę wdrożenia procedury jego

uzupełniania w systemie, tzn. procedura uzupełniania zasobu jest inicjowana gdy n

sys

(T

i

)

≤ n

u

. Niech

( )

⎩

⎨

⎧

=

,

0

,

1

i

T

U

(2)

(2)

gdy w okresie T

i

nie trwa procedura uzupełniania zasobu.

gdy w okresie T

i

trwa procedura uzupełniania zasobu,

5. Od chwili t

i

(początek okresu T

i

) wdrożenia procedury uzupełniania zasobu części wymiennych

(złożenia zamówienia) do dostarczenia zasobu w chwili t

r

(początek okresu T

r

) upływa losowy czas τ

r

zwany czasem opóźnienia realizacji zamówienia. Czas opóźnienia realizacji zamówienia ma rozkład
dyskretny postaci:

( ) {

}

( )

1

,

N

,

=

∈

Δ

⋅

=

=

∑

r

op

r

op

r

p

r

t

r

P

r

p

τ

.

(3)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

5

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

T

i

T

i+1

t

i-1

t

i+1

t

i

t

i+2

t

M

t

M+1

T

M

S(T

i

)

S(T

i+1

)

S(T

i-1

)

S(T

M

)

Z(T

i-1

)

Z

śr

(T)

i-1

Z

śr

(T)

i

Z

śr

(T)

i+1

Z

śr

(T)

M

Z(T

i

)

Z(T

i+1

)

Z(T

M

)

t

r

t

r+1

T

r

τ

r

, U(T

i

)=1

S(T

r

)

Z

śr

(T)

r

Z(T

r

)

T

i-1

Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (

4

)

6. Wielkość partii dostawczej zasobu części wymiennych jest stała i wynosi zawsze n

dost

.

7. Stan systemu zasobów wybranego asortymentu części wymiennych w okresie pracy T

i

określa wektor:

( )

( )

( ) ( )

[

]

i

i

popyt

i

sys

i

T

U

T

X

T

n

T

S

,

,

=

(4)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

6

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

8. Koszty i przychody w działalności systemu zasobów wybranego asortymentu części wymiennych

wynikają z następujących jednostkowych kosztów i jednostkowych cen sprzedaży:

k

n

− jednostkowy koszt nabycia zasobu;

k

r

− jednostkowy koszt realizacji procedury uzupełniania zasobu;

k

m

(T

i

)

− jednostkowy koszt magazynowania zasobu w jednym okresie pracy systemu;

k

b

(T

i

)

− jednostkowy koszt niedoboru (braku) zasobu w jednym okresie pracy systemu;

c

s

− wartość jednostki zasobu w chwili jej wykorzystania (cena sprzedaży jednostki zasobu

znajdującej się magazynie).cena sprzedaży jednostki zasobu przez system.

9. W warunkach losowego popytu na zasoby części wymiennych (rozkład p

popyt

(T

i

, x)) i losowego czasu

realizacji zamówień na zasoby (rozkład p

op

(r)), w okresie pracy T

i

, w systemie wypracowywany jest

zysk Z(T

i

). Zysk ten przedstawiają następujące modele matematyczne:

– jeżeli n

sys

(T

i

)

≥ X

popyt

(T

i

), to

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

dost

n

r

i

sys

i

m

i

popyt

s

i

n

k

k

T

n

T

k

T

X

c

T

Z

⋅

+

−

⋅

−

⋅

=

,

(5)

– jeżeli n

sys

(T

i

) < X

popyt

(T

i

), to

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

dost

n

r

i

sys

i

popyt

b

i

sys

i

m

i

sys

s

i

n

k

k

T

n

T

X

k

T

n

T

k

T

n

c

T

Z

⋅

+

−

−

⋅

−

⋅

−

⋅

=

.

(6)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

7

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

T

i

T

i+1

t

i-1

t

i+1

t

i

t

i+2

t

M

t

M+1

T

M

S(T

i

)

S(T

i+1

)

S(T

i-1

)

S(T

M

)

Z(T

i-1

)

Z

śr

(T)

i-1

Z

śr

(T)

i

Z

śr

(T)

i+1

Z

śr

(T)

M

Z(T

i

)

Z(T

i+1

)

Z(T

M

)

t

r

t

r+1

T

r

τ

r

, U(T

i

)=1

S(T

r

)

Z

śr

(T)

r

Z(T

r

)

T

i-1

Rys. 1. Schemat ideowy modelu i schemat wybranych oznaczeń stosowanych w modelu matematycznym (

5

)

10. Rozpatrując funkcjonowanie systemu zasobów części wymiennych w długim okresie czasu T takim,

że jest on wielokrotnością M okresów T

i

o długości

Δt, to w następujący sposób można przedstawić

model matematyczny średniego zysku wypracowywanego przez system zasobów w okresach pracy
o długości

Δt:

( )

( )

∑

=

⋅

=

M

i

i

M

śr

T

Z

M

T

Z

1

1

(7)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

8

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

3. MODEL SYMULACYJNY POLITYKI ODNAWIANIA ZASOBU

Model matematyczny polityki odnawiania zasobu części wymiennych odwzorowano w symulatorze

cyfrowym Sym_Sys_Zas_2.xls. Symulator składa się z arkuszy kalkulacyjnych opracowanych w formacie
programu Microsoft Excel. Podstawą symulatora jest arkusz szablonu symulacji. Na podstawie arkusza
szablonu tworzone są arkusze robocze do przeprowadzania kolejnych eksperymentów symulacyjnych.

Widok ekranu monitora z uruchomionym symulatorem pokazano na

rys. 2

.

Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym

symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (

1

)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

9

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

Na ekranie monitora zawsze widoczny jest formularz do wprowadzania danych opisujących warunki

eksperymentu symulacyjnego. W formularzu deklaruje się parametry systemu zasobów części wymiennych,
z których najważniejsze to:
– wielkość partii dostawczej zasobu n

dost

,

– poziom uzupełniania zasobów n

u

,

– jednostkowe koszty związane z funkcjonowaniem systemu: k

r

, k

n

, k

b

, k

m

,

– cena sprzedaży jednostki zasobu (tzn. wartość jednostki zasobu w chwili jej wykorzystania) c

s

,

– rozkład popytu na zasoby jaki trzeba

zaspokoić

p

popyt

(T

i

, x) oraz rozkład

opóźnienia realizacji zamówienia
uzupełniającego poziom zapasów

zasobu p

op

(r).

Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym

symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (

2

)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

10

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

Wyniki symulacji po kolejnych okresach pracy symulowanego systemu zasobów części wymiennych

zapisywane i zapamiętywane są w bazie danych w układzie kolumnowym (

rys. 2

). Najbardziej istotne z

rejestrowanych lub obliczanych w niej wielkości to:
– numer i-tego symulowanego okresu pracy odpowiadający numerowi doświadczenia eksperymentu

symulacyjnego,

– zapas zasobu na początku i-tego okresu pracy,
– wielkość symulowanego popytu na zasób, wyznaczana na podstawie rozkładu popytu na zasób oraz

liczby wylosowanej przez generator liczb losowych,

– zapas zasobu na końcu i-tego okresu pracy,
– czas realizacji zamówienia, określający

wielkość opóźnienia w czasie realizacji
zamówienia,

– średni zysk do bieżącego (tzn. i-tego)

okresu pracy.

Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym

symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (

3

)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

11

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

Użytkownik symulatora Sym_Sys_Zas_2.xls ma do dyspozycji szereg przycisków, które pozwalają w

wygodny sposób prowadzić badania symulacyjne. Do przycisków przypisano procedury operacyjne (

rys. 2

).

Dwie najważniejsze z nich to: realizacja kolejnego doświadczenia eksperymentu symulacyjnego (przycisk
«Krok po kroku») i pełna realizacja (od doświadczenia bieżącego do doświadczenia odpowiadającego
zadeklarowanej liczbie okresów symulacji) eksperymentu symulacyjnego (przycisk «Uruchom symulację»).

Rys. 2. Widok ekranu monitora z uruchomionym

symulatorem Sym_Sys_Zas_2.xls (

3

)

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

12

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

4. PRZYKŁADOWY PROBLEM BADAWCZY I JEGO WYNIKI

W ramach systemu pojazdów zorganizowany jest system zasobów, który ma za zadanie zaspokoić

określony popyt na zasoby,. Niech popyt na zasoby części wymiennych i opóźnienie w czasie realizacji
zamówień uzupełniających stan zapasów zasobu, określają przedstawione poniżej empiryczne rozkłady
prawdopodobieństwa:

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

=

=

=

=

=

3,

20

.

0

2

30

.

0

1

40

.

0

0

x

10

.

0

)

,

(

x

dla

x

dla

x

dla

dla

x

T

P

i

popyt

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

=

=

=

=

=

.

4

r

15

.

0

3

r

15

.

0

2

r

40

.

0

1

30

.

0

)

(

dla

dla

dla

r

dla

r

P

op

Dodatkowo niech: jednostkowa cena sprzedaży zasobu wynosi 18 zł, koszt realizacji zamówienia wynosi
30 zł, jednostkowy średni koszt nabycia zasobu – 10 zł, jednostkowy średni koszt braku zasobu – 40 zł, zaś
jednostkowy średni koszt magazynowania zasobu – 2 zł. Niech wielkość zapasu wstępnego wynosi 10 sztuk.

Dla opisanego systemu zasobów należy wyznaczyć średni zysk Z

śr

(T

i

) przy różnej wartości poziomu

uzupełniania zasobów n

u

oraz różnej wielkości jego zamówień uzupełniających n

dost

. Na tej podstawie

należy wskazać parametry n

u

i n

dost

, przy których średni zysk jest największy.

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

13

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

W celu rozwiązania postawionego problemu przeprowadzono szereg eksperymentów wykorzystując do

tego symulator Sym_Sys_Zas_2.xls. Proces symulacji prowadzono przez 600 okresów pracy – aż do
stabilizacji wartości średniego zysku. Sposób przygotowania danych do eksperymentu pokazano na

rys. 3

.

Rysunek ten przedstawia także przykładowe wyniki kilkunastu pierwszych doświadczeń eksperymentu
symulacyjnego.

Rys. 3.

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

14

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

Rys. 3. Podstawowy ekran symulatora Sym_Sys_Zas_2.xls i przykładowe wyniki eksperymentu symulacyjnego

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

15

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

Ilustrację graficzną wybranych wyników symulacji uzyskanych podczas badania systemu zasobów

części wymiennych, pokazano na

rys. 4

. Z przeprowadzonych badań wynika m. in., że maksymalny średni

zysk systemu zasobów osiągany jest przy następujących wartościach jego parametrów:
– wielkość partii dostawczej części wymiennych: n

dost

= 11 sztuk,

– poziom uzupełniania zapasu części wymiennych: n

u

= 4 sztuki.

Dla takich parametrów sterowania systemem zasobów części wymiennych jego średni zysk wynosi

Z

śr

(T

i

) = 4,58 zł.

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

0

100

200

300

400

500

600

Numer okresu pracy

Sredni zysk

Rys. 4. Ilustracja średniego zysku w funkcji liczby okresów pracy procesu symulacji

dla parametrów n

u

= 4 oraz n

dost

= 11

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

16

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW

5. PODSUMOWANIE

Rozważano system pojazdów, w którym zużycie zasobów części wymiennych oraz czas dostaw

uzupełniających zapas zasobu są zmiennymi losowymi o znanych rozkładach prawdopodobieństwa.

Zbudowano model matematyczny pewnej polityki odnawiania zasobów części wymiennych.

Stworzono i opisano komputerowy model symulacyjny polityki odnawiania zasobów części

wymiennych.

Wykorzystując zbudowane modele

–

zaplanowano i przeprowadzono przykładowy eksperyment

symulacyjny oraz pokazano jego wybrane wyniki.

Przeprowadzone badania i ich prezentacja potwierdziły przydatność metody modelowania cyfrowego

do badań stochastycznych modeli sterowania zasobami części wymiennych.

Plik:

BO_Polityka_Odnawiania_Zasobów_w_Systemie_Pojazdów_s_p.doc

17

/

17

A. KADZIŃSKI,

POLITYKA ODNAWIANIA WYBRANEGO ASORTYMENTU CZĘŚCI WYMIENNYCH W SYSTEMIE POJAZDÓW