´

Cwiczenia z rachunku prawdopodobie´

nstwa – zadania

Semestr V, Matematyka Stosowana/Finansowa R.Akad. 2007/2008

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 1

Niech

Ω

6= ∅ oraz F ustalone σ–cia lo podzbior´ow Ω. Dla ustalonych

A, B

∈ F udowodni´c, ˙ze A ∩ B ∈ F, A r B ∈ F, A M B ∈ F. Zauwa˙zy´c, ˙ze

wystarczy tu za lo˙zy´

c, ˙ze

F jest cia lem.

Przypomnienie.
Rodzina

F podzbior´ow Ω nazywa si¸e cia lem, gdy spe lnia: ∅ ∈ F (Ω ∈ F),

F

∈ F =⇒ F

{

= Ω r F

∈ F, F

1

, F

2

∈ F =⇒ F

1

∪ F

2

∈ F.

Cia lo

F jest σ–cia lem, gdy spe lnia dodatkowo warunek: F

1

, F

2

,

· · · ∈ F =⇒

∞

S

n=1

F

n

∈ F.

Zadanie 2

Niech

F b¸edzie dowolnym σ–cia lem podzbior´ow ustalonej przestrzeni Ω 6= ∅

oraz A

⊆ Ω, A 6= ∅. Udowodni´c, ˙ze F

A

=

{F ∩ A : F ∈ F} jest σ–cia lem

podzbior´

ow zbioru A (

F

A

nazywa si¸

e czasami σ–cia lem ´

sladowym (trace

σ–field)).

Zadanie 3

Niech ψ : Ω

1

→ Ω

2

dowolne odwzorowanie, gdzie Ω

1

6= ∅. Udowodni´c, ˙ze

je˙zeli

G jest σ–cia lem podzbior´ow Ω

2

, to ψ

−1

(

G) = {A ⊆ Ω

1

:

∃

G

∈G

A =

ψ

−1

(G)

} jest σ–cia lem podzbior´ow Ω

1

.

Zadanie 4

Niech

F b¸edzie σ–cia lem podzbior´ow przestrzeni Ω

1

oraz ϕ : Ω

1

→ Ω

2

. Czy

ϕ(

F) = {B ⊆ Ω

2

:

∃

A

∈F

B = ϕ(A)

} jest zawsze σ–cia lem podzbior´ow Ω

2

?

Przyjmijmy na u˙zytek tego paragrafu nast¸

epuj¸

ac¸

a definicj¸

e:

Powiemy, ˙ze niepusty zbi´

or A

∈ F jest atomem w σ–ciele F, gdy z warunku

1

B

∈ F i B ⊆ A wynika, ˙ze B = ∅ lub B = A.

Powiemy, ˙ze σ–cia lo

F jest atomowe, gdy istnieje rodzina atom´ow {A

α

}

α

∈A

z

F taka, ˙ze

S

·

α

∈A

A

α

= Ω.

Uwaga: Wprowadzone przez nas poj¸

ecie σ–cia la atomowego r´

o ˙zni si¸

e od

poj¸

ecia σ–cia la atomowego, na kt´

orym zdefiniowana jest miara σ addytywna.

Zadanie 5

Niech

F b¸edzie atomowym σ–cia lem podzbior´ow Ω o sko´nczonej ilo´sci ato-

m´

ow A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈ F. Poda´c og´oln¸a posta´c zbioru F ∈ F przy u˙zyciu

atom´

ow.

Zadanie 6

Niech

F b¸edzie sko´nczonym σ–cia lem (cia lem) podzbior´ow Ω. Pokaza´c, ˙ze

F jest atomowe. Czy istnieje cia lo o 15 elementach?

Zadanie 7

Niech

F b¸edzie atomowym σ–cia lem podzbior´ow Ω o przeliczalnej ilo´sci

atom´

ow A

1

, A

2

, . . . . Opisa´

c zbiory F

∈ F przy u˙zyciu atom´ow.

Zadanie 8

∗

Niech Ω b¸

edzie zbiorem o przeliczalnej ilo´

sci punkt´

ow (tzn. Ω =

{x

1

, x

2

, . . .

}).

Udowodnij, ˙ze ka˙zde σ–cia lo podzbior´

ow Ω jest atomowe.

Zadanie 9

Opisa´

c wszystkie σ–cia la w przypadku

• gdy #Ω < ∞,

•• gdy card Ω = ℵ

0

.

Zadanie 10

∗

Udowodnij, ˙ze σ–cia lo podzbior´

ow Ω jest albo sko´

nczone albo mocy co naj-

mniej continuum.

2

Zadanie 11

Czy istnieje σ–cia lo niesko´

nczone przeliczalne?

Zadanie 12

∗

Niech Ω jest przestrzeni¸

a sko´

nczon¸

a o n elementach (n

≥ 1). Znajd´z liczb¸e

B

n

wszystkich cia l (σ–cia l ) na Ω (je´

sli nie potrafisz rozwi¸

aza´

c tego zadania

zapytaj Google o ”Bell numbers”).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 13

Wybrano losowo (i niezale˙znie od siebie) trzy liczby z odcinka [0, 1]. Jakie
jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze z odcink´

ow o d lugo´

sciach odpowiadaj¸

acych

tym liczbom da si¸

e zbudowa´

c tr´

ojk¸

at?

Zadanie 14

Wybieramy losowo z odcinka [0, 1] liczby x i y. Jakie jest prawdopodo-
bie´

nstwo, ˙ze nale˙z¸

a one do dziedziny funkcji f (x, y) =

p

x

2

− y + 0.2 ?

Zadanie 15

Wybrano losowo (i niezale˙znie od siebie) dwie liczby a, b z odcinka [0, 2].
Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze tr´

ojmian kwadratowy x

2

+ ax + b ma dwa

r´

o˙zne pierwiastki rzeczywiste?

Zadanie 16

Z odcinka [0, 1] wybieramy losowo dwie liczby p i q.

Jakie jest praw-

dopodobie´

nstwo tego, ˙ze r´

ownanie x

2

+ px + q = 0 b¸

edzie mia lo dwa r´

o˙zne

pierwiastki rzeczywiste?

3

Zadanie 17

Losowo wybrano dwie nieujemne liczby x, y takie, ˙ze ka˙zda z nich jest nie
wi¸

eksza od 1. Znale´

z´

c prawdopodobie´

nstwo, ˙ze x + y

≤ 1 i xy ≥ 0.09.

Zadanie 18

Ola i Jacek umawiaj¸

a si¸

e w kawiarni pomi¸

edzy 16

00

i 17

00

. Przychodz¸

a na

spotkanie niezale˙znie od siebie i losowo, i ponadto nie czekaj¸

a na partnera

d lu˙zej ni˙zeli 10 minut.

Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze do spotkania

dojdzie?

Zadanie 19 (Paradoks Bertranda)

Z okr¸

egu o promieniu 1 wybrano losowo ci¸

eciw¸e AB. Jaka jest szansa, ˙ze

b¸

edzie ona d lu˙zsza ni˙zeli bok tr´

ojk¸

ata r´

ownobocznego wpisanego w okr¸

ag?

Zadanie 20 (Ig la Buffona)

Ig l¸

e o d lugo´

sci l rzucono na pod log¸

e z desek o szeroko´

sci a (l

≤ a). Jaka jest

szansa, ˙ze ig la przetnie kraw¸

ed´

z deski?

Zadanie 21 (Paradoks kawalera de M´

er´

e )

Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki
przy rzucie 4 kostek, czy co najmniej raz dw´

och jedynek na obu kostkach

przy 24 rzutach obu kostek?

Zadanie 22 (Zadanie Samuela Pepysa)

Co jest bardziej prawdopodobne:

uzyskanie co najmniej jednej sz´

ostki

w 6 rzutach kostk¸

a, co najmniej dw´

och sz´

ostek w 12 rzutach, czy co najmniej

trzech sz´

ostek w 18 rzutach?

Zadanie 23 (Paradoks kawalera de M´

er´

e )

Jest to przyk lad wyboru w la´

sciwego modelu dla opisu zjawiska. Przy rzucie

trzema kostkami sum¸e 11 i 12 oczek mo˙zna otrzyma´

c na tyle samo sposob´

ow.

Dlaczego cz¸e´

sciej wypada suma 11 oczek?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lista 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 24

Zestaw ´

sniadaniowy sk lada si¸

e z 6 kubk´

ow i 6 talerzyk´

ow, z kt´

orych po dwa

s¸

a odpowiednio w kolorach bia lych, czerwonych i fioletowych. Gospodyni

losowo ustawi la je na stole. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze ka˙zda para

(kubek/talerzyk) jest r´

o˙znokolorowa?

Zadanie 25

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. A, B ∈ F spe lniaj¸a

P (A) =

3
4

, P (B) =

1
3

. Poka˙z, ˙ze

1

12

≤ P (A ∩ B) ≤

1
3

.

Zadanie 26

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈

F, gdzie n ≥ 2. Udowodnij, ˙ze P (

n

S

j=1

A

j

) =

n

P

j=1

P (A

j

)

−

P

i<j

P (A

i

∩ A

j

) +

P

i<j<k

P (A

i

∩ A

j

∩ A

k

)

− · · · + (−1)

n+1

P (A

1

∩ A

2

∩ · · · ∩ A

n

).

Zadanie 27

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz A

1

, A

2

,

· · · ∈ F

sko´

nczonym lub niesko´

nczonym ci¸

agiem zdarze´

n mierzalnych. Udowodnij,

˙ze P

S

n=1

A

n

≤

P

n=1

P (A

n

) .

Zadanie 28 (Nier´

owno´s´

c Bonferroni’ego)

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈

F, gdzie n ≥ 2. Udowodni´c, ˙ze P

n

S

j=1

A

j

!

≥

n

P

j=1

P (A

j

)

−

P

i<j

P (A

i

∩ A

j

).

Zadanie 29

Talia sk lada si¸

e z 52 kart w czterech kolorach. Po wyci¸

agni¸

eciu jednej karty

i zwr´

oceniu jej do talii, tasujemy karty i zn´

ow wyci¸

agamy kart¸

e. Obliczy´

c

prawdopodobie´

nstwo, ˙ze obie wyci¸

agni¸

ete karty s¸

a tego samego koloru.

5

Zadanie 30

Z talii kart (52 sztuki) wybieramy losowo (bez zwracania) trzy karty. Obli-
czy´

c prawdopodobie´

nstwo, ˙ze b¸

ed¸

a to tr´

ojka, si´

odemka i kr´

ol.

Zadanie 31

W´

sr´

od dziesi¸

eciu los´

ow trzy s¸

a wygrywaj¸

ace. Kupili´

smy 5 los´

ow. Obliczy´

c

prawdopodobie´

nstwo, ˙ze w´

sr´

od nich znajduje si¸e:

(a) jeden los wygrywaj¸

acy,

(b) dwa losy wygrywaj¸

ace,

(c) trzy losy wygrywaj¸

ace,

(d) co najmniej jeden los wygrywaj¸

acy,

(e) co najmniej dwa losy wygrywaj¸

ace.

Zadanie 32

Niech A

1

, A

2

, . . . , A

n

b¸

ed¸

a zdarzeniami mierzalnymi przestrzeni probabilis-

tycznej (Ω,

F, P ). Dla ustalonej liczby k ∈ {1, 2, . . . , n} niech N

k

oznacza

zdarzenie, ˙ze zajdzie dok ladnie k zdarze´

n spo´

sr´

od A

1

, A

2

, . . . , A

n

. Udowod-

nij, ˙ze zachodzi tzw. formu la Waringa:

P (N

k

) =

n

−k

X

j=0

(

−1)

j

k + j

k

X

i

1

<i

2

<

···<i

k+j

P (A

i

1

∩ · · · ∩ A

i

k+j

) .

Zadanie 33

∗

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈

F, gdzie n ≥ 3. Za l´o˙zmy, ˙ze P

n

S

j=1

A

j

!

= 1 i ˙ze P (A

i

∩ A

j

∩ A

k

) = 0 dla

dowolnej tr´

ojki r´

o˙znych indeks´

ow i, j, k. Pokaza´

c, ˙ze je˙zeli dla dowolnego j

mamy P (A

j

) = p oraz dla dowolnej pary indeks´

ow i

6= j mamy P (A

i

∩A

j

) =

q, to p = P (A

j

)

≥

1

n

i q = P (A

i

∩ A

j

)

≤

2

n

.

Zadanie 34

∗

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz A

1

, A

2

, . . . , A

n

∈

F, gdzie n ≥ 4. Za l´o˙zmy, ˙ze P (A

j

) = p, P (A

i

∩ A

j

) = q (i

6= j), P (A

i

∩ A

j

∩

A

k

) = x (i, j, k r´

o˙zne) i P (A

i

∩A

j

∩A

k

∩A

l

) = 0 dla dowolnej czw´

orki r´

o˙znych

6

indeks´

ow i, j, k, l. Pokaza´

c, ˙ze je˙zeli P

n

S

i=1

A

i

= 1 i P

S

i

6=j

A

i

∩ A

j

!

=

1
2

,

to w´

owczas p

≥

3

2n

i q

≤

4

n

.

Zadanie 35

∗

Niech Ω = N =

{1, 2, . . . }. Oznaczamy

F = {A ⊆ Ω : lim

n

→∞

#(A

∩ {1, 2, . . . , n})

n

= P

∞

(A) istnieje

} .

Udowodnij, ˙ze je˙zeli A, A

1

, A

2

, . . . , A

k

∈ F s¸a parami roz l¸aczne, to P

∞

(A

1

∪

A

2

∪ · · · ∪ A

k

) = P

∞

(A

1

) +

· · · + P

∞

(A

k

), P

∞

(

∅) = 0, P

∞

(Ω) = 1, P

∞

(A

{

) =

1

− P

∞

(A). Podaj przyk lad zbior´

ow A, B

∈ F takich, ˙ze A ∪ B /

∈ F.

Zadanie 36

∗

Niech A

k

b¸

edzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez k. Wykaza´

c,

˙ze nie istnieje na Ω = N prawdopodobie´

nstwo P takie, ˙ze P (A

k

) =

1
k

(k

≥ 1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 37

Wind¸

a jedzie 8 os´

ob, a ka˙zda mo˙ze wysi¸

a´

s´

c na jednym z dziesi¸

eciu poziom´

ow.

Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze na pewnym pi¸

etrze wysi¸

adzie wi¸

ecej ni˙z

jedna osoba?

Zadanie 38

(a) W m ponumerowanych urnach umieszczono w spos´

ob losowy n jed-

nakowych kul.

Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze w pierwszej

urnie jest n

1

kul, w drugiej n

2

kul, . . . , w m–tej urnie n

m

kul, gdzie

n

1

+ n

2

+

· · · + n

m

= n i n

j

≥ 0.

(b) W m urnach (bez numeracji; tzn. ich porz¸

adek jest nieistotny) umiesz-

czono w spos´

ob losowy n jednakowych kul. Obliczy´

c prawdopodobie´

n-

stwo tego, ˙ze dla zadanego zbioru parami r´

o˙znych liczb

{k

1

, k

2

, . . . , k

m

},

7

gdzie 0

≤ k

j

i k

1

+k

2

+

· · ·+k

m

= n, liczebno´

sci kul w urnach pokrywaj¸

a

si¸

e z k

j

.

Jak zmieni si¸e problem gdy kule ponumerujemy (pokolorujemy na r´

o˙zne

kolory)?

Zadanie 39

Nauczyciel kaza l uczniowi przedstawi´

c liczb¸

e 23 w postaci sumy 4 liczb

(a) ca lkowitych nieujemnych
(b) naturalnych.

Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze ucze´

n napisze 23 = 7 + 8 + 5 + 3?

Zadanie 40

Po wy lo˙zeniu kart (gramy w bryd˙za) pokaza lem, ˙ze mam 4 blotki pik, a
przeciwnik zawistowa l w dam¸

e pik. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze m´

oj

partner ma co najmniej 4 piki, w tym asa lub kr´

ola?

Zadanie 41

3–krotnie rzucono symetryczn¸

a kostk¸

a. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

(a) sz´

ostka wypad la dok ladnie raz?

(b) wszystkie wyrzucone oczka by ly parzyste?
(c) suma wyrzuconych oczek jest co najwy˙zej 5?
(d) suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez 6?

Zadanie 42

Czy z tego, ˙ze zdarzenia A, B i C s¸

a parami niezale˙zne, wynika, ˙ze A

\ C,

B s¸

a te˙z niezale˙zne?

Zadanie 43

Pokaza´

c, ˙ze je˙zeli P (B

|A) > P (B), to P (A|B) > P (A), ale P (A|B

{

) <

P (A).

Zadanie 44

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a, A ∈ F, B ∈ F spe lnia-

j¸

a P (A) > 0, P (B) > 0. Udowodnij, ˙ze P (A

|B) > P (A) ⇐⇒ P (B|A) >

P (B).

8

Zadanie 45 (B l¸

edy prokuratorskie)

Niech W oznacza zdarzenie oskar˙zony jest winny a Z, ˙ze zeznanie ´

swiadka

oskar˙zenia jest prawdziwe. Pewna grupa s¸edzi´

ow wyznaje zasad¸e: P (W

|Z) =

P (Z

|W ). Poka˙z, ˙ze tak jest wtedy i tylko wtedy gdy P (W ) = P (Z).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 46

W urnie jest n kul bia lych i k kul czarnych, gdzie n

≥ 3, k ≥ 3. Po

ka˙zdym losowaniu jednej kuli z urny dorzucamy do niej j kul koloru prze-
ciwnego, ale zatrzymujemy wylosowan¸

a kul¸

e.

W drugim losowaniu

wyci¸

agni¸eto kul¸

e bia l¸

a. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze w pierwszym

losowaniu wyci¸

agni¸

eto kul¸

e czarn¸

a?

Zadanie 47

Firma ubezpieczeniowa ma sta lych klient´

ow, stanowi¸

acych 85% wszystkich

klient´

ow, kt´

orzy powoduj¸

a w ci¸

agu roku wypadek z prawdopodobie´

nstwem

0.01 oraz 15% nowych klient´

ow, kt´

orzy powoduj¸

a wypadek z prawdopodo-

bie´

nstwem 0.05. Prawdopodobie´

nstwo, ˙ze dany klient b¸

edzie mia l w ci¸

agu

roku wypadek jest dla niego niezmienne, niezale˙zne od tego, czy mia l wy-
padek poprzednio czy nie. Zatem prawdopodobie´

nstwo, ˙ze wybrany losowo

klient b¸edzie mia l wypadek, jest r´

owne 0.016, a prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

b¸edzie mia l drugi wypadek, je˙zeli wiemy, ˙ze mia l pierwszy, jest r´

owne 0.02875.

W jaki spos´

ob jest to prawdopodobie´

nstwo obliczane? Czy aktuariusz nie

powinien wprost obliczy´

c to prawdopodobie´

nstwo jako 0.016

× 0.016 =

0.000256?

Zadanie 48 (W pewnym sensie kontynuacja zadania poprzedniego)

Kierowcy dziel¸

a si¸

e na ostro˙znych (jest ich 95%) i taki kierowca powoduje

w ci¸

agu roku wypadek z prawdopodobie´

nstwem 0.01 oraz na pirat´

ow dro-

gowych (jest ich 5%), kt´

orzy z prawdopodobie´

nstwem 0.5 maj¸

a wypadek w

ci¸

agu roku. Wybrany losowo kierowca nie spowodowa l wypadku w latach

2005 i 2006. Jaka jest szansa, ˙ze b¸

edzie on mia l wypadek w 2007 roku?

9

Zadanie 49

W urnie jest b kul bia lych i c kul czarnych. Po ka˙zdym losowaniu jednej kuli
z urny dorzucamy do niej j kul tego samego koloru i zwracamy wylosowan¸

a

kul¸

e. Wyprowadzi´

c wz´

or na p

i

= prawdopodobie´

nstwo, ˙ze w i–tym losowa-

niu wylosowano kul¸

e bia l¸

a.

Zadanie 50

W urnie jest b kul bia lych i c kul czarnych i z kul zielonych. Po ka˙zdym
losowaniu jednej kuli z urny dorzucamy do niej j kul tego samego koloru i
zwracamy wylosowan¸

a kul¸

e. Wyprowadzi´

c wz´

or na p

i

= prawdopodobie´

nstwo,

˙ze w i–tym losowaniu wylosowano kul¸

e bia l¸

a.

Zadanie 51

Cyfry 1, 2, 3, . . . , 9 zapisane s¸

a na r´

o˙znych kartkach. Wybieramy losowo

(bez zwracania) po kolei cztery z nich i zapisuj¸

ac je w kolejno´

sci losowa-

nia (od lewej do prawej), tworzymy liczb¸

e czterocyfrow¸

a. Jakie jest praw-

dopodobie´

nstwo, ˙ze b¸

edzie to liczba

(a) podzielna przez 2,

(b) podzielna przez 3,

(c) podzielna przez 4,

(d) podzielna przez 5?

Zadanie 52

W urnie jest k los´

ow pustych i n o pewnej warto´

sci. Do urny podchodz¸

a

kolejno uczestnicy loterii i ci¸

agn¸

a jeden los. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo,

˙ze j–ty uczestnik wyci¸

agnie los pusty (1

≤ j ≤ k + n)?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Zadanie 53

Urna zawiera z kul zielonych, n kul niebieskich i b kul bia lych. Wyci¸

agamy

bez zwracania kule. Niech C

k

oznacza zdarzenie polegaj¸

ace na tym, ˙ze w k–

tym losowaniu, gdzie 1

≤ k ≤ n + z + b, wylosowano kul¸e bia l¸a. Wyprowad´z

wz´

or na prawdopodobie´

nstwo P (C

k

).

Zadanie 54

Rzucamy kolejno (fa lszyw¸

a) monet¸

a (prawdopodobie´

nstwo wyrzucenia or la

jest r´

owne p). Niech p

n

oznacza prawdopodobie´

nstwo, ˙ze w n rzutach wyrzu-

cono parzyst¸

a liczb¸

e or l´

ow (0 jest te˙z liczb¸

a parzyst¸

a). Pokaza´

c, ˙ze p

0

= 1

oraz ˙ze p

n

= p(1

− p

n

−1

) + (1

− p)p

n

−1

, je´

sli n

≥ 1. Wyprowadzi´c jawn¸a

posta´

c wzoru na p

n

.

Zadanie 55

Gracze A i B graj¸

a w ”or la” i ”reszk¸e”, rzucaj¸

ac monet¸

a (niekoniecznie

symetryczn¸

a). W pojedynczej kolejce gracz A wygrywa 1 z l z prawdopodo-

bie´

nstwem p

∈ (0, 1) i przegrywa 1 z l z prawdopodobie´nstwem q = 1 − p.

Pocz¸

atkowe kapita ly graczy A i B wynosz¸

a odpowiednio a i b (a + b = z).

Gra ko´

nczy si¸e wtedy, gdy jeden z graczy nie ma pieni¸

edzy.

• Oblicz prawdopodobie´nstwo p

a

ruiny gracza A.

• Gracz przyjmuje strategi¸e, ˙ze “wychodzi” z gry, gdy po raz pierwszy

ma na swoim koncie kwot¸

e a + k, gdzie 0 < k

≤ b. Oblicz praw-

dopodobie´

nstwo, ˙ze gracz A zrealizuje swoj¸

a strategi¸

e.

• Za l´o˙zmy, ˙ze gracz A dysponuje nieograniczonym kapita lem (a = ∞) i

postanawia, ˙ze gra tak d lugo a˙z ca lkowicie “sp lucze” przeciwnika B.
Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze dokona tego w sko´

nczonym czasie?

Zadanie 56

Ufoludki nadaj¸

a przez ufoludkowe kana ly s lowa ze swojego j¸

ezyka, w kt´

o-

rym alfabet sk lada si¸

e z liter A, B, C, D. Statystycznie na dziesi¸e´

c wys-

t¸

epuj¸

acych liter literka A wyst¸

epuje 4 razy, B 3 razy, C 2 razy, a D jeden

raz. Poniewa˙z Elfy zak l´

ocaj¸

a kana ly ufoludk´

ow prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

nadana litera zostanie odczytana w la´

sciwie wynosi dla ka˙zdej litery 0.7 i z

jednakowym prwawdopodobie´

nstwem 0.1 jako jedna z pozosta lych. Litery

wchodz¸

ace w sk lad ka˙zdego s lowa s¸

a przek lamywane niezale˙znie.

1. Jakie jest prawodpodobie´

nstwo, ˙ze nadaj¸

ac s lowo

11

(a) ABBA na wyj´

sciu pojawi si¸

e s lowo BABA,

(b) BACA na wyj´

sciu pojawi si¸

e s lowo CACA?

2. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze gdy na wyj´

scie dotar lo s lowo

(c) BABA to nadano s lowo ABBA,

(d) ABBA to nadano s lowo ABBA,

(e) BACA to nadano s lowo CACA?

Zadanie 57

∗

Rzucamy kolejno (fa lszyw¸

a) monet¸

a (prawdopodobie´

nstwo wyrzucenia or la

jest r´

owne p). Jakie jest prawdopodobie´

nstwo wyrzucenia 2 or l´

ow pod rz¸

ad

zanim wyrzucimy 2 reszki pod rz¸

ad?

Zadanie 58

∗

Rzucamy kolejno (fa lszyw¸

a) monet¸

a (prawdopodobie´

nstwo wyrzucenia or la

jest r´

owne p). Jakie jest prawdopodobie´

nstwo p

n

, ˙ze liczba or l´

ow wyrzu-

conych w n rzutach jest podzielna przez 3 (0 jest podzielne przez 3)? Znajd´

z

granic¸

e lim

n

→∞

p

n

.

Uwaga: Je˙zeli zniech¸

eci le´

s si¸

e rachunkami w przypadku og´

olnym to wypro-

wad´

z wz´

or na p

n

w przypadku gdy moneta jest symetryczna; tzn.

gdy

p = q = 0.5.

Zadanie 59

∗

Na imprezie miko lajkowej wszystkie n prezent´

ow pozbawiono karteczek

z imieniem adresata, losowo wymieszano i rozdano uczestnikom. Niech p

(n)
k

oznacza szans¸e, ˙ze dok ladnie k os´

ob dosta lo w lasny prezent. Wyznaczy´

c

lim

n

→∞

p

(n)
k

.

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 60

Niech A

1

, A

2

, . . . , A

n

b¸

ed¸

a zdarzeniami niezale˙znymi w pewnej przestrzeni

probabilistycznej (Ω,

F, P ). Udowodni´c, ˙ze dla dowolnego ci¸agu ε

1

, ε

2

, . . . , ε

n

,

gdzie ε

j

= 0 albo 1, zdarzenia A

ε

1

1

, . . . , A

ε

n

2

s¸

a te˙z niezale˙zne (A

0

= A,

A

1

= Ω r A).

Zadanie 61

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz B

1

, B

2

, . . . , B

n

zdarzeniami niezale˙znymi. Udowodni´

c, ˙ze

σ(

{B

1

, B

2

, . . . , B

n

}) = C({B

1

, B

2

, . . . , B

n

})

jest cia lem atomowym o atomach B

ε

= B

(ε

1

,..., ε

n

)

= B

ε

1

1

∩ · · · ∩ B

ε

n

n

, gdzie

ε = (ε

1

, . . . , ε

n

)

∈ {0, 1}

n

. W szczeg´

olno´

sci #σ(

{B

1

, B

2

, . . . , B

n

}) = 2

2

n

(zak ladamy tutaj, ˙ze dla ka˙zdego 1

≤ j ≤ n mamy 0 < P (B

j

) < 1).

Zadanie 62

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. Niech A, B

1

, B

2

, . . . ,

B

n

∈ F tworz¸a uk lad zdarze´n niezale˙znych. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnego

B

∈ σ({B

1

, B

2

, . . . , B

n

}) zdarzenia A i B s¸a niezale˙zne.

Zadanie 63

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. Niech A

1

, A

2

, . . . , A

m

,

B

1

, B

2

, . . . , B

n

∈ F tworz¸a uk lad zdarze´n niezale˙znych. Udowodni´c, ˙ze dla

dowolnych A

∈ σ({A

1

, . . . , A

m

}), B ∈ σ({B

1

, . . . , B

n

}) zdarzenia A i B s¸a

niezale˙zne.

Zadanie 64

Na rysunku poni˙zej wida´

c dwa systemy niezale˙znie dzia laj¸

acych bezpieczni-

k´

ow. Prawdopodobie´

nstwo przepalenia si¸

e bezpiecznika przed up lywem cza-

su T jest r´

owne p (takie samo dla wszystkich bezpiecznik´

ow). Oblicz praw-

13

dopodobie´

nstwo ci¸

ag lego przep lywu pr¸

adu (a) z P do Q i (b) z R do S w

czasie T.

(a)

t

P

t

Q

(b)

t

R

t

S

Zadanie 65

Niech Ω =

{1, 2, . . . , n}, gdzie n jest liczb¸a pierwsz¸a, F = 2

Ω

i P (A) =

]A

n

.

Dla ustalonego zdarzenia

∅ 6= B $ Ω wyznacz wszsytkie zdarzenia C ⊆ Ω

kt´

ore s¸

a niezale˙zne od B.

Zadanie 66

Poda´

c przyk lad zdarze´

n A, B, C, kt´

ore nie s¸

a niezale˙zne, ale ka˙zda para z

nich jest niezale˙zna.

Zadanie 67

Poda´

c przyk lad zdarze´

n A, B, C, kt´

ore s¸

a parami niezale˙zne, ale dla pewnego

D

∈ σ({B, C}) zdarzenia A i D nie s¸a niezale˙zne.

14

Zadanie 68

Pokaza´

c, ˙ze wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czarnej (pik

lub trefl) s¸

a zdarzeniami niezale˙znymi.

Zadanie 69

Pokaza´

c, ˙ze je˙zeli zdarzenia A i B s¸

a niezale˙zne oraz A

∪B = Ω, to P (A) = 1

lub P (B) = 1.

Zadanie 70

Czy z faktu, i˙z A, B, C s¸

a parami niezale˙zne, wynika, ˙ze

(a) A

∩ B i C

(b) A

∪ B i C

s¸

a niezale˙zne?

Zadanie 71

Zdarzenia A

1

, A

2

, . . . , A

100

s¸

a niezale˙zne i maj¸

a jednakowe prawdopodo-

bie´

nstwo p. Jaka jest szansa, ˙ze zajdzie dok ladnie jedno?

Zadanie 72

Zdarzenia A

1

, A

2

, . . . , A

n

s¸

a niezale˙zne i maj¸

a jednakowe prawdopodobie´

n-

stwo p. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

(a) zajd¸

a wszystkie naraz,

(b) nie zajdzie ˙zadne z nich,
(c) zajdzie dok ladnie jedno?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 73

Niech Ω = [0, 1],

B – σ–cia lo zbior´ow borelowskich, P = λ miara Lebesgua.

Wiadomo, ˙ze ka˙zd¸

a liczb¸

e x

∈ (0, 1] mo˙zna w jedyny spos´ob przedstawi´c w

postaci x =

∞

P

j=1

x

j

2

j

, gdzie x

j

∈ {0, 1} (gdy x jest dw´ojkowo wymierne, to

x

j

ma niesko´

nczenie wiele jedynek (

1
2

=

∞

P

j=1

x

j

2

j

, gdzie x

1

= 0, x

2

= x

3

=

15

· · · = 1)). Oznaczmy I

j

=

{x ∈ (0, 1] : x

j

= 1

} , j = 1, 2, . . . . Czy zdarzenia

I

1

, I

2

, . . . s¸

a niezale˙zne w przestrzeni (Ω,

B, P )?

Zadanie 74

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. Za l´o˙zmy, ˙ze A

1

, A

2

,

. . . , A

n

, . . . s¸

a niezale˙znymi zdarzeniami o tym samym prawdopodobie´

n-

stwie p. Jaka jest szansa, ˙ze zajdzie sko´

nczenie wiele zdarze´

n, je´

sli p > 0?

Jaka jest szansa, ˙ze zajdzie sko´

nczenie wiele zdarze´

n przeciwnych A

c

n

, o ile

p < 1?

Zadanie 75

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. Niech A

1

, A

2

, . . . b¸

ed¸

a

zdarzeniami niezale˙znymi, przy czym 0 < P (A

n

) = p

n

< 1. Udowodnij, ˙ze

je˙zeli z prawdopodobie´

nstwem 1 zajdzie co najmniej jedno ze zdarze´

n A

n

, to

z prawdopodobie´

nstwem 1 zajdzie niesko´

nczenie wiele zdarze´

n spo´

sr´

od A

n

.

Zadanie 76

Niech Ω = (0, 1],

F = B – σ–cia lo zbior´ow borelowskich, P = λ miara

Lebesgua na (0, 1]. Dla ustalonego ci¸

agu liczb 0 < p

n

< 1 znajd´

z ci¸

ag

zbior´

ow B

n

∈ B niezale˙znych i takich, ˙ze P (B

n

) = p

n

.

Wskaz´

owka:

Q

Q

Q

Q

Q

Q

B

2

B

1

(

(

(

]

]

]

]

]

0

0

1

1

p

1

p

1

p

2

p

1

p

1

+ p

2

(1

− p

1

)

Niech teraz B

n

=

2

n

−1

S

·

j=1

(x

(n)
j

, y

(n)

j

]

∈ C

1,przedz.

.

16

Nast¸

epnie utw´

orzmy zbi´

or B

n+1

, wybieraj¸

ac z ka˙zdego przedzia lu wchodz¸

a-

cego w sk lad B

n

p

n+1

–t¸

a cz¸e´

s´

c (pocz¸

atkow¸

a) i podobnie post¸

apimy z prze-

dzia lami (0, 1] r B

n

. Zauwa˙z, ˙ze B

1

, B

2

, . . . s¸

a modelem dla niesko´

nczo-

nego ci¸

agu pr´

ob Bernoulliego (p

1

= p

2

=

· · · = p) z prawdopodobie´nstwem

sukcesu p.

Zadanie 77

Niech ([0, 1]

2

,

B

2

, λ

2

) b¸

edzie kwadratem jednostkowym z σ–cia lem zbior´

ow

borelowskich i miar¸

a Lebesgue. Dla ustalonego ci¸

agu liczb 0

≤ α

n

≤ 1

zbudowa´

c ci¸

ag zbior´

ow borelowskich B

n

∈ B

2

tak, aby tworzy ly one ci¸

ag

niezale˙zny i P (B

n

) = α

n

.

Zadanie 78

Oznaczmy:

A

1

=

{(−∞, a] : a ∈ R} ,

A

2

=

{(−∞, a) : a ∈ R} ,

A

3

=

{(a, +∞) : a ∈ R} ,

A

4

=

{[a, +∞) : a ∈ R} ,

A

5

=

{(a, b) : a, b ∈ R} ,

A

6

=

{[a, b] : a, b ∈ R} ,

A

7

=

{(a, b] : a, b ∈ R} ,

A

8

=

{[a, b) : a, b ∈ R} .

Udowodnij, ˙ze σ(

A

i

) = σ(

A

j

) =

B .

Zadanie 79

Oznaczmy:

A

1

=

{(−∞, a

1

]

× (−∞, a

2

] : a

1

, a

2

∈ R} ,

A

2

=

{(a

1

, b

1

]

× (a

2

, b

2

] : a

1

, a

2

, b

1

, b

2

∈ R} .

Udowodnij, ˙ze σ(

A

1

) = σ(

A

2

) =

B

2

(σ–cia lo zbior´

ow borelowskich w R

2

).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Zadanie 80

Niech Ω b¸

edzie ustalonym zbiorem niepustym.

Klas¸

e

M podzbior´ow Ω

nazywamy monotoniczn¸

a, gdy wraz z dowolnym ci¸

agiem monotonicznym

zbior´

ow A

n

∈ M, n = 1, 2, . . . klasa M zawiera granic¸e tego ci¸agu (A

1

⊆

A

2

⊆ · · · ⊆ A

n

· · · ∈ M =⇒

∞

S

n=1

A

n

∈ M oraz A

1

⊇ A

2

⊇ · · · ⊇ A

n

· · · ∈

M =⇒

∞

T

n=1

A

n

∈ M). Udowodnij, ˙ze dla ustalonego cia la C podzbior´ow

Ω najmniejsza klasa monotoniczna zawieraj¸

aca cia lo

C jest identyczna z

najmniejszym σ–cia lem zawieraj¸

acym

C.

Zadanie 81

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a oraz F

1

,

F

2

, . . . (sko´

n-

czonym lub nie) ci¸

agiem σ–cia l niezale˙znych (tzn.

∀

A

j1

∈F

j1

,A

j2

∈F

j2

,...,A

jk

∈F

jk

zachodzi P (A

j

1

∩A

j

2

∩· · ·∩A

j

k

) = P (A

j

1

)P (A

j

2

)

· · · P (A

j

k

)). Udowodnij, ˙ze

dla dowolnego podzia lu ci¸

agu

F

1

,

F

2

, . . . na dwa podci¸

agi

F

s

1

,

F

s

2

,

F

s

3

, . . .

i

F

r

1

,

F

r

2

,

F

r

3

, . . . (przy czym

{s

1

, s

2

, s

3

, . . .

} ∩ {r

1

, r

2

, r

3

, . . .

} = ∅) σ–cia la

σ(

S

j=1

F

s

j

) i σ(

S

j=1

F

r

j

) s¸

a niezale˙zne.

Zadanie 82

Niech A

1

, A

2

, . . . b¸

edzie dowolnym ci¸

agiem zdarze´

n niezale˙znych w (Ω,

F, P ).

Zauwa˙zy´

c, ˙ze σ(

{A

1

}), σ({A

2

}), . . . s¸a niezale˙zne. Udowodnij, ˙ze niezale˙zne

s¸

a σ(

{A

1

, . . . , A

n

}) i σ({A

n+1

, A

n+2

, . . .

}).

Zadanie 83 (Twierdzenie 0

− 1 Ko lmogorowa)

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie ustalon¸a przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. Pokaza´c, ˙ze

dla dowolnego zdarzenia A

∈

∞

T

n=1

σ

∞

S

k=n

F

k

, gdzie

F

1

,

F

2

,

F

3

, . . . s¸

a nieza-

le˙znymi podσ–cia lami w

F, mamy P (A) = 0 lub P (A) = 1.

Zadanie 84

Niech A

1

, A

2

, A

3

, . . . b¸

edzie ci¸

agiem zdarze´

n niezale˙znych ustalonej przes-

trzeni probabilistycznej (Ω,

F, P ). Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdego n parzystego

mamy P (A

n

) =

1

n

, a dla ka˙zdego n nieparzystego mamy P (A

n

) =

1

n

2

.

Znajd´

z prawdopodobie´

nstwa, ˙ze zajdzie niesko´

nczenie wiele zdarze´

n A

n

18

oraz, ˙ze zajd¸

a istotnie wszystkie zdarzenia A

n

(ω nale˙zy istotnie do wszys-

tkich zdarze´

n A

n

, gdy istnieje k(ω) takie, ˙ze ω

∈

∞

T

n=k(ω)

A

n

, tzn.

ω

∈

lim inf A

n

=

∞

S

k=1

∞

T

n=k

A

n

). Czy zwi¸

ekszaj¸

ac P (A

n

) do 1

−

1

n

2

dla n nieparzys-

tych, zmieni si¸

e odpowied´

z dla P (

∞

S

k=1

∞

T

n=k

A

n

)?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 85

Niech (Ω

j

,

F

j

) b¸

ed¸

a przestrzeniami mierzalnymi (j = 1, 2, 3). Za l´

o˙zmy, ˙ze

ϕ : Ω

1

→ Ω

2

, ξ : Ω

2

→ Ω

3

s¸

a odwzorowaniami mierzalnymi. Udowodni´

c,

˙ze ξ

◦ ϕ : Ω

1

→ Ω

3

jest odwzorowaniem mierzalnym. Wywnioskowa´

c st¸

ad,

˙ze gdy X : (Ω,

F, P ) → R jest zmienn¸a losow¸a, a g : R → R jest funkcj¸a

borelowsk¸

a, to g

◦ X jest zmienn¸a losow¸a.

Zadanie 86

Niech ϕ : Ω

1

→ Ω

2

b¸

edzie dowolnym odwzorowaniem pomi¸

edzy przestrze-

niemi mierzalnymi (Ω

1

,

F

1

) i (Ω

2

,

F

2

). Niech

C ⊆ F

2

b¸

edzie dowoln¸

a rodzin¸

a

podzbior´

ow Ω

2

tak¸

a, ˙ze σ(

C) = F

2

. Udowodni´

c, ˙ze nast¸

epuj¸

ace dwa warunki

s¸

a r´

ownowa˙zne:

(a) dla ka˙zdego A

∈ C zachodzi ϕ

−1

(A)

∈ F

1

,

(b) dla ka˙zdego A

∈ F

2

zachodzi ϕ

−1

(A)

∈ F

1

.

Zadanie 87

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a i X : Ω → R. Udowod-

ni´

c, ˙ze nast¸

epuj¸

ace warunki s¸

a r´

ownowa˙zne:

(a) X jest zmienn¸

a losow¸

a,

(b) X

−1

((

−∞, a)) = {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F dla ka˙zdego a ∈ R,

(c) X

−1

((

−∞, a]) = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} ∈ F dla ka˙zdego a ∈ R ,

(d) X

−1

((a,

∞)) ∈ F dla ka˙zdego a ∈ R ,

(e) X

−1

([a,

∞)) ∈ F dla ka˙zdego a ∈ R ,

19

(f) X

−1

((a, b))

∈ F dla dowolnych a < b ,

(g) X

−1

((a, b))

∈ F dla dowolnych wymiernych a < b .

Zadanie 88

Niech Ω =

{−1, 0, 1} , F = {{0, 1}, {−1}, ∅, {−1, 0, 1}} , P ({j}) =

1
4

dla

j = 0, 1 oraz P (

{−1}) =

1
2

. Niech X(ω) = ω

2

. Czy X jest zmienn¸

a losow¸

a?

Za l´

o˙zmy, ˙ze zmodyfikujemy P tak, aby P (

{j}) =

1
3

dla j =

−1, 0, 1 . Czy

teraz sytuacja poprawi si¸

e i X jest zmienn¸

a losow¸

a? Czy modyfikuj¸

ac

F

do σ–cia la maksymalnego, otrzymamy, ˙ze X : (Ω, 2

Ω

, P )

→ R jest zmienn¸a

losow¸

a?

Zadanie 89

Niech Ω = [0, 1] ,

F = B i P = λ . Okre´slamy X : Ω → R nast¸epuj¸aco:

(a) X(ω) = ω

2

,

(b) X(ω) = ω + 1 ,

(c) X(ω) =

(

1

ω

dla ω

∈ (0, 1] ,

0

dla ω = 0 ,

(d) X(ω) =

(

ln(ω)

dla ω

∈ (0, 1] ,

0

dla ω = 0 .

Znajd´

z rozk lad (dystrybuant¸

e, g¸

esto´

s´

c) zmiennej losowej X.

Zadanie 90

Niech U b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie jednostajnym na odcinku [0, 1],

tzn. F

U

(x) =











0

dla x

≤ 0 ,

x

dla 0

≤ x ≤ 1 ,

1

dla 1

≤ x .

Niech teraz F : R

→ R b¸edzie funkcj¸a ´sci´sle rosn¸ac¸a, ci¸ag l¸a i spe lniaj¸ac¸a

lim

x

→−∞

F (x) = 0 oraz lim

x

→∞

F (x) = 1. Znajd´

z dystrybuant¸

e zmiennej losowej

Y (ω) = F

−1

(U (ω)). Czy odpowied´

z ulegnie zmianie je˙zeli F b¸

edzie tylko

´

sci´

sle rosn¸

aca i prawostronnie ci¸

ag la ? A jak post¸

api´

c gdy F b¸

edzie tylko

niemalej¸

aca i prawostronnie ci¸

ag la?

20

Zadanie 91

(a) Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o ´

sci´

sle rosn¸

acej i ci¸

ag lej dystry-

buancie F

X

. Znajd´

z dystrybuant¸

e zmiennej losowej Y = F

X

(X).

(b) Dla zmiennej losowej ξ o rozk ladzie dwupunktowym P (ξ = 0) =

P (ξ = 1) =

1
2

znajd´

z (narysuj) dystrybuant¸

e zmiennej losowej η = F

ξ

(ξ).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 92

Niech zmienna losowa U ma rozk lad jednostajny na odcinku [0, 1].

Dla

ustalonej liczby naturalnej n znajd´

z rozk lad zmiennej losowej Y =

bnUc+1.

Zadanie 93

Niech zmienna losowa X ma rozk lad symetryczny (tzn. dla dowolnego zbioru
borelowskiego B

⊆ R mamy P (X ∈ B) = P (X ∈ −B) , np. zmienna

gaussowska o rozk ladzie

N (0, 1)) i a > 0 dowolnie ustalona liczba dodatnia.

Znajd´

z rozk lad zmiennej losowej

X

a

(ω) =

(

X(ω)

je˙zeli

|X|(ω) < a ,

−X(ω)

je˙zeli

|X|(ω) ≥ a .

Przypomnijmy, ˙ze zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . (okre´

slone na tej samej

przestrzeni probabilistycznej (Ω,

F, P )) s¸a niezale˙zne gdy generowane przez

nie σ cia la σ(X

1

), σ(X

2

) . . . s¸

a niezale˙zne.

Zadanie 94

Niech zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . , X

n

b¸

ed¸

a niezale˙zne o tym samym rozk ladzie

P (X

j

= 1) = p, P (X

j

= 0) = 1

− p, gdzie 0 < p < 1 (czyli mamy

do czynienia z ci¸

agiem Bernoulliego).

Znajd´

z rozk lad zmiennej losowej

S

X

n

= X

1

+ X

2

+

· · · + X

n

.

Niech zmienne losowe Y

1

, Y

2

, . . . , Y

m

b¸

ed¸

a niezale˙zne i niezale˙zne od ci¸

agu

X

j

, o tym samym rozk ladzie P (Y

j

= 1) = p, P (Y

j

= 0) = 1

− p (czyli mamy

do czynienia z dwoma niezale˙znymi ci¸

agami Bernoulliego). Znajd´

z rozk lad

zmiennej losowej S

X

n

+ S

Y

m

.

21

Zadanie 95

Niech zmienne losowe X, Y b¸

ed¸

a niezale˙zne o dystrybuantach odpowiednio

F

X

i F

Y

. Znajd´

z dystrybuanty zmiennych losowych V = max

{X, } i U =

min

{X, Y }. Zastosuj otrzymany rezultat do rozk lad´ow wyk ladniczych.

Zadanie 96

Niech zmienna losowa X ma dystrybuant¸

e F

X

(t) = t

4

dla 0

≤ t ≤ 1. Znajd´z

(i narysuj) dystrybuant¸

e

(a) zmiennej losowej Y = min

{

1
2

, X

},

(b) zmiennej losowej Z = max

{

1
4

, X

},

(c) zmiennej losowej U = max

{Y, Z}.

Zadanie 97

Niech b¸

edzie dany ci¸

ag niezale˙znych zmiennych losowych X

1

, X

2

, . . . o tym

samym rozk ladzie P (X

j

= 1) = P (X

j

=

−1) =

1
2

. Zdefiniujmy S

n

=

X

1

+ X

2

+

· · · + X

n

oraz S

0

= 0. Wprowad´

zmy zmienn¸

a losow¸

a T (ω) =

min

{n ≥ 1 : S

n

(ω) = 0

}, kt´ora oznacza czas pierwszego powrotu do 0.

Poka˙z, ˙ze

P (T = 2n) =

1

2n

− 1

2n

n

2

−2n

.

Zadanie 98

Niech X , Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o tym samym rozk ladzie

P (X = i) = P (Y = i) =

1

2

i

(i = 1, 2, . . . ) . Znajd´

z:

(a) P (min(X, Y )

≤ i) ,

(b) P (X = Y ) ,
(c) P (Y > X) ,
(d) P (Y dzieli X) .

Zadanie 99

Niech X :

{−1, 0, 1}, 2

{−1,0,1}

→ R b¸edzie odwzorowaniem mierzalnym

zdefiniowanym X(ω) = ω

2

. Znajd´

z σ(X) .

Niech Y (ω) = ω

3

+ 2 i Z(ω)

≡ π b¸ed¸a zmiennymi losowymi okre´slonymi

na tej samej przestrzeni

{−1, 0, 1}, 2

{−1,0,1}

. Znajd´z σ(Y ) i σ(Z) .

22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 100

Niech (Ω,

F, µ) b¸edzie przestrzeni¸a miarow¸a a g

0

, f

0

: Ω

→ R funkcjami

prostymi (tzn. g

0

=

m

P

j=1

y

j

1

B

j

i f

0

=

n

P

k=1

x

k

1

A

k

dla parami roz l¸

acznych

zbior´

ow B

1

, . . . , B

m

∈ F i parami roz l¸acznych zbior´ow A

1

, . . . , A

n

∈ F).

Udowodnij, ˙ze je˙zeli f

0

(ω) = g

0

(ω) zachodzi dla wszystkich ω

∈ Ω (dla µ–

prawie wszystkich ω

∈ Ω), to

R

Ω

f

0

dµ =

R

Ω

g

0

dµ . Wynika st¸

ad, ˙ze definicja

ca lki z funkcji prostej jest poprawna (tzn. nie zale˙zy od reprezentacji funkcji
prostej).

Zadanie 101

Niech

S(Ω, F) oznacza zbi´or wszystkich funkcji prostych. Udowodnij, ˙ze

S(Ω, F) jest algebr¸a (tzn. αf

0

+ βg

0

∈ S(Ω, F) , f

0

· g

0

,

f

0

g

0

(o ile 0

6=

g

0

(ω)

6= ∞) dla dowolnych f

0

, g

0

∈ S(Ω, F) i sta lych α, β ∈ R).

Zadanie 102

Niech (Ω,

F, µ) b¸edzie przestrzeni¸a miarow¸a (tzn. F jest σ–cia lem zbior´ow

w Ω, a µ :

F → [0, ∞] jest miar¸a σ–addytywn¸a). Udowodnij, ˙ze twierdzenie

Beppo–Leviego zachodzi bez dodatkowego za lo˙zenia o tym, ˙ze µ jest σ–
sko´

nczona.

Zadanie 103

Niech (Ω,

F) b¸edzie przestrzeni¸a mierzaln¸a (tzn. F jest σ–cia lem podzbio-

r´

ow Ω).

Niech f , g, f

n

b¸

ed¸

a funkcjami mierzalnymi.

Za l´

o˙zmy, ˙ze dla

ka˙zdego ω granica lim

n

→∞

f

n

(ω) = h(ω) istnieje. Udowodnij, ˙ze h jest mierzal-

na wzgl¸

edem σ–cia la

F. Udowodnij, ˙ze f + g, cf (gdzie c ∈ R) , f · g ,

f

g

(o

ile 0

6= g 6= ∞) s¸a funkcjami mierzalnymi. Czy funkcja sta la f = const jest

mierzalna na dowolnej przestrzeni mierzalnej (Ω,

F)?

23

Zadanie 104

Niech (Ω,

F) b¸edzie przestrzeni¸a mierzaln¸a. Niech dalej f, g, f

n

(n =

1, 2, . . . ) b¸

ed¸

a funkcjami mierzalnymi. Udowodnij, ˙ze

f

∨ g(ω) = max{f(ω), g(ω)} ,

f

∧ g(ω) = min{f(ω), g(ω)} ,

∞

W

n=1

f

n

(ω) = sup

{f

n

(ω) : n = 1, 2, . . .

} ,

∞

V

n=1

f

n

(ω) = inf

{f

n

(ω) : n = 1, 2, . . .

} ,

|f| ,

√

f , o ile f

≥ 0

s¸

a funkcjami mierzalnymi na (Ω,

F).

Zadanie 105

Punkt x

∈ R nazywamy punktem skokowym rozk ladu µ

X

zmiennej loso-

wej X, gdy µ

X

(

{x}) = P (X = x) > 0. Pokaza´c, ˙ze rozk lad prawdopodo-

bie´

nstwa µ

X

mo˙ze mie´

c co najwy˙zej przeliczalnie wiele punkt´

ow skokowych.

Zadanie 106

Niech X, Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi okre´

slonymi na tej samej

przestrzeni probabilistycznej (Ω,

F, P ). Za l´o˙zmy, ˙ze X ma rozk lad ci¸ag ly

(tzn. dystrybuanta F

X

jest funkcj¸

a ci¸

ag l¸

a). Udowodnij, ˙ze P (

{ω ∈ Ω :

X(ω) = Y (ω)

}) = 0.

Zadanie 107

Wykaza´

c, ˙ze je˙zeli zmienna losowa ma rozk lad dyskretny, a ϕ : R

→ R jest

funkcj¸

a borelowsk¸

a, to Y = ϕ(X) jest zmienn¸

a losow¸

a dyskretn¸

a i Y ma

rozk lad µ

Y

(

{y}) =

P

{k:ϕ(X

k

)=y

}

t

k

, gdzie t

k

= P (X = x

k

) .

24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Przypomnienie

EX =

R

Ω

XdP ,

V ar(X) =

R

Ω

(X

− EX)

2

dP = EX

2

− (EX)

2

Zadanie 108

M´

owimy, ˙ze zmienna losowa X : (Ω,

F, P ) → R ma:

(a) rozk lad jednopunktowy, gdy istnieje a

∈ R takie, ˙ze

P (X = a) = 1.
Oblicz EX , V ar(X) .

(b) rozk lad dwupunktowy, gdy istniej¸

a a

∈ R , b ∈ R takie, ˙ze

P (X = a) = p , P (X = b) = q , (p + q = 1).
Oblicz EX , V ar(X) .

(c) rozk lad Bernoulliego (dwumianowy), gdy

P (X = k) =

n
k

p

k

(1

− p)

n

−k

, k = 0, 1, . . . , n , 0

≤ p ≤ 1.

Oblicz EX , V ar(X) .

(d) rozk lad Poissona z parametrem λ > 0 , gdy

P (X = k) =

λ

k

k!

e

−λ

, k = 0, 1, 2, . . . .

Oblicz EX , V ar(X) .

(e) rozk lad geometryczny, gdy

P (X = k) = (1

− p)

k

−1

p , k = 1, 2, . . . , 0 < p < 1 .

Oblicz EX , V ar(X) .

(f) rozk lad jednostajny na odcinku [a, b], gdy

P (X

≤ t) =











0

t

≤ a

t

−a

b

−a

a < t < b

1

t

≥ b

.

Oblicz EX , V ar(X) .

25

(g) rozk lad wyk ladniczy z parametrem λ > 0, gdy

P (X

≤ t) =

(

0

t

≤ 0

1

− e

−λt

t > 0

.

Oblicz EX , V ar(X) .

(h) rozk lad gamma z parametrami a > 0, p > 0, gdy ma g¸

esto´

s´

c

f (x) =

a

p

Γ(p)

x

p

−1

e

−ax

1

[0,

∞)

(x) .

Oblicz EX , V ar(X) .

(i) rozk lad Cauchy’ego, gdy ma g¸

esto´

s´

c

f (x) =

h

π((x

−m)

2

+h

2

)

, h > 0.

Udowodnij, ˙ze tutaj warto´

s´

c oczekiwana nie istnieje.

(j) rozk lad normalny

N (m, σ

2

) , gdy ma g¸

esto´

s´

c

f (x) =

1

√

2πσ

e

−

(x

−m)

2

2σ2

.

Oblicz EX , V ar(X) .

26

Semestr VI, Matematyka Stosowana/Finansowa R.Akad. 2007/2008

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 109

Urna zawiera n kul ponumerowanych 1, 2, . . . , n. Z urny losowo wyci¸

agamy

k kul (bez zwracania), gdzie k jest ustalon¸

a liczb¸

a (1

≤ k ≤ n). Niech X

oznacza zmienn¸

a losow¸

a r´

own¸

a sumie liczb z wylosowanych kul. Znajd´

z EX

i V ar(X).

Zadanie 110

Niech zmienne losowe X, Y okre´

slone s¸

a na tej samej przestrzeni (Ω,

F, P )

i maj¸

a ten sam rozk lad. Czy zawsze E

X

X+Y

= E

Y

X+Y

?

Zadanie 111

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie gamma z parametrami a > 0,

p > 1. Oblicz E

1

X

.

Zadanie 112

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie jednostajnym na odcinku [a, b],

gdzie 0 < a < b. Oblicz

(a) E (X

r

) dla r

∈ R

(b) E

X

1+X

(c) E (X ln X).

Zadanie 113

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie gamma z parametrami a > 0,

p > 0. Oblicz

(a) E Xe

X

27

(b) E (X ln X).

Zadanie 114

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie

N (0, 1) oraz Y = e

X

. Znajd´

z

g¸

esto´

s´

c Y . Oblicz E(Y ).

Zadanie 115

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a przyjmuj¸

ac¸

a warto´

sci w zbiorze N

0

=

{0, 1, 2, . . . }

z prawdopodobie´

nstwem 1.

Udowodnij, ˙ze E(X) =

∞

P

n=0

P (X > n) =

∞

P

k=1

P (X

≥ k).

Zadanie 116

Urna zawiera b

≥ 1 kul bia lych i c ≥ 0 kul czarnych. Z urny losujemy (bez

zwracania) kule tak d lugo, a˙z wyci¸

agniemy kul¸

e bia l¸

a. Niech T oznacza

liczb¸e losowa´

n koniecznych do wyci¸

agni¸

ecia kuli bia lej (po raz pierwszy).

Pokaza´

c, ˙ze E(T ) =

b+c+1

b+1

.

Zadanie 117

Niech X b¸

edzie nieujemn¸

a (z prawdopodobie´

nstwem 1) zmienn¸

a losow¸

a.

Udowodnij, ˙ze dla ka˙zdego r

≥ 1

E(X

r

) =

∞

Z

0

rx

r

−1

P (X > x)dx .

Zadanie 118

Scharakteryzowa´

c zmienne losowe X, kt´

ore spe lniaj¸

a:

(a) 0 < a

≤ X(ω) ≤ b P pr.w. i E

1

X

=

1

E(X)

(b) µ

X

= αδ

t

1

+ βδ

t

2

0

≤ α, β ≤ 1, α + β = 1 i E

1

X

=

1

E(X)

.

Zadanie 119

Czy prawd¸

a jest, ˙ze ka˙zda zmienna losowa X spe lniaj¸

aca: X

6= 0 z praw-

dopodobie´

nstwem 1 i E

1

X

=

1

E(X)

jest sta la z prawdopodobie´

nstwem 1?

28

Zadanie 120

Dystrybuanta zmiennej losowej X ma posta´

c F

X

(t) = 0 dla t < 2, F

X

(t) =

t

20

dla 2

≤ t < 4 i F

X

(t) = 1

−

1

t

3

dla t

≥ 4. Oblicz E(X) u˙zywaj¸ac formu l:

(a) E(X) =

R

[0,

∞)

t dF

X

(t)

i

(b) E(X) =

∞

R

0

[1

− F

X

(x)]dx.

Zadanie 121

∗

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o ci¸

ag lej dystrybuancie F

X

i sko´

nczonej

warto´

sci oczekiwanej µ (= EX). Udowodnij, ˙ze

a

Z

−∞

F

X

(x)dx =

∞

Z

a

[1

− F

X

(x)]dx

zachodzi dok ladnie wtedy, gdy a = µ.

Zadanie 122

∗

Niech Φ b¸

edzie dystrybuant¸

a zmiennej losowej o rozk ladzie

N (0, 1). U-

dowodnij, ˙ze dla ka˙zdego x > 0

1

x

−

1

x

3

e

−

1
2

x

2

<

√

2π [1

− Φ(x)] <

1

x

e

−

1
2

x

2

.

Zadanie 123

∗

Sprawd´

z, ˙ze g¸

esto´

s´

c f

X

zmiennej losowej X o rozk ladzie

N (0, 1) spe lnia

f

0

X

(x) + xf

X

(x) = 0. Wywnioskuj st¸

ad, ˙ze dla x > 0

1

x

−

1

x

3

<

1

− Φ(x)

f

X

(x)

<

1

x

−

1

x

3

+

3

x

5

,

gdzie Φ oznacza dystrybuant¸

e rozk ladu normalnego.

Zadanie 124

∗

(Unikaj losowo´

sci, gdy mo ˙zesz gra´

c na pewn¸

a

wygran¸

a)

Na wy´

scigach konnych, gdzie biegnie 10 koni, bookmacher p laci w

k

£ za

ka˙zdego 1£ postawionego na k-tego konia (o ile ten wygra) i oczywi´

scie

zwraca postawionego 1£ (pieni¸

adze postawione na konie przegrane s¸

a zyskiem

29

bookmachera). Ten bookmacher jest ”lekkomy´

slny”, bo da l tak wysokie

wyp laty, ˙ze zachodzi nier´

owno´

s´

c

10

P

k=1

1

w

k

+ 1

< 1. Czy potrafisz tak ob-

stawia´

c, aby wygrywa´

c z prawdopodobie´

nstwem 1 (tzn. mie´

c pewny zysk

niezale˙znie od kolejno´

sci koni na mecie)?

Zadanie 125

∗

Niech H

0

, H

1

, H

2

. . . b¸

ed¸

a wielomianami Hermita: przypomnijmy, ˙ze wielo-

miany Hermita H

n

stopnia n s¸

a zdefiniowane w taki spos´

ob, ˙ze zachodzi

+

∞

Z

−∞

H

m

H

n

e

−x

2

√

π

dx = δ

n,m

.

Niech g : R

→ R b¸edzie funkcj¸a borelowsk¸a tak¸a, ˙ze

I = π

−1/2

Z

+

∞

−∞

g(x)e

−x

2

dx

istnieje i jest sko´

nczona.

Udowodnij, ˙ze je˙zeli ξ jest zmienn¸

a losow¸

a o

rozk ladzie normalnym o ´

sredniej 0 i wariancji 1/2 to dla dowolnych a, b

∈ R

zachodzi:

I = E[g(ξ) + aH

1

(ξ) + bH

2

(ξ)] .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 126

Niech X, Y s¸

a zmiennymi losowymi okre´

slonymi na (Ω,

F, P ) o sko´nczonym

drugim momencie, gdzie V ar(X)

6= 0. Wyznacz sta le liczbowe a, b tak, aby

E(Y

− aX − b)

2

by la minimalna.

Zadanie 127

Wykaza´

c, ˙ze wsp´

o lczynnik korelacji jest symetryczny (ρ(X, Y ) = ρ(Y, X))

oraz nie zmienia si¸

e przy przekszta lceniach liniowych,

tzn.

ρ(X, Y ) =

±ρ(aX + b, cY + d) (o ile a 6= 0, c 6= 0).

30

Zadanie 128

Z partii towaru wylosowano 10 egzemplarzy i przebadano je ze wzgl¸

edu na

cechy X i Y

x

i

3.5

3.4

2.1

5.4

1.1

5.1

6.9

4.0

4.5

2.5

y

i

1.6

2.9

1.5

3.5

0.6

2.5

7.1

3.5

2.1

2.6

Wyznaczy´

c r´

ownania prostych regresji.

Wskaz´

owka: Patrz str. 152 z ksi¸

a˙zki W. Krysicki ... cz¸e´

s´

c II Statystyka

matematyczna.

Zadanie 129

Niech X

1

, X

2

, . . . , X

N

b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi okre´

slonymi na tej samej

przestrzeni probabilistycznej (Ω,

F, P ), niezale˙znymi i o tym samym rozk ladzie.

Za l´

o˙zmy ˙ze zmienne te maj¸

a sko´

nczone wariancje. Niech X =

X

1

+X

2

+

···+X

N

N

.

Udowodnij, ˙ze dla ka˙zdego 1

≤ j ≤ N zachodzi: cov(X, X

j

− X) = 0.

Zadanie 130

W chwili t, gdzie t = 1, 2, 3, . . . , cz¸

astka albo znika z prawdopodobie´

n-

stwem q, albo przekszta lca si¸

e w m takich samych cz¸

astek z prawdopodobie´

n-

stwem p = 1

− q. Jaka jest ´srednia liczba cz¸astek w n–tym pokoleniu, je´sli

w chwili 0 by la tylko jedna cz¸

astka?

Zadanie 131 (Nier´

owno´s´

c Jensena)

Niech (Ω,

F, P ) przestrze´n probabilistyczna, X : Ω → R zmienna losowa

taka, ˙ze E

|X| < ∞ oraz g : R → R funkcja wypuk la taka, ˙ze E|g(X)| < ∞.

Udowodnij, ˙ze g(EX)

≤ Eg(X).

Zadanie 132 (Nier´

owno´s´

c H¨

oldera)

Niech p > 1, q > 1 spe lniaj¸

a

1
p

+

1
q

= 1 . Je˙zeli E

|X|

p

<

∞ , E|Y |

q

<

∞ ,

to poka˙z, ˙ze E

|XY | < ∞ i E|XY | ≤ (E|X|

p

)

1
p

(E

|Y |

q

)

1
q

.

31

Zadanie 133 (Nier´

owno´s´

c Czebyszewa)

Niech X b¸

edzie nieujemn¸

a zmienn¸

a losow¸

a, a ε > 0. Poka˙z, ˙ze wtedy

P (X

≥ ε) ≤

EX

ε

.

Zadanie 134 (Uog´

olniona nier´

owno´s´

c Czebyszewa)

Niech g : R

→ R borelowska i dodatnia. X : Ω → R zmienna losowa na

przestrzeni probabilistycznej (Ω,

F, P ). Udowodnij, ˙ze

(a) je´

sli g jest niemalej¸

aca, to dla dowolnego a

∈ R

Eg(X)

− g(a)

ess sup

{g(X)}

≤ P (X ≥ a) ≤

Eg(X)

g(a)

,

(b) je´

sli g jest parzysta i niemalej¸

aca na [0,

∞), to dla ε > 0

Eg(X)

− g(ε)

ess sup

{g(X)}

≤ P (|X| ≥ ε) ≤

Eg(X)

g(ε)

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 135

Niech (Ω,

F, P ) b¸edzie przestrzeni¸a probabilistyczn¸a. Udowodnij, ˙ze nast¸e-

puj¸

ace warunki s¸

a r´

ownowa˙zne:

(a) X

n

wg P

−−−→ X ,

(b)

∀

α>0

lim

n

→∞

E

|X

n

−X|

α

1+

|X

n

−X|

α

= 0 ,

(c)

∃

α>0

lim

n

→∞

E

|X

n

−X|

α

1+

|X

n

−X|

α

= 0 .

Wskaz´

owka: str. 111 w ksi¸

a˙zce Jakubowski & Sztencel.

32

Zadanie 136

Niech X

n

, X b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi na przestrzeni probabilistycznej

(Ω,

F, P ). Pokaza´c, ˙ze

{ω ∈ Ω : lim

n

→∞

X

n

(ω) istnieje

} ∈ F ,

{ω ∈ Ω : lim

n

→∞

X

n

(ω) = X(ω)

} ∈ F .

Zadanie 137 (Warunek Cauchy’ego)

Udowodni´

c, ˙ze

X

n

−−−→

n

→∞

X z pr 1

⇐⇒ ∀

ε>0

lim

N

→∞

P

T

n,m

≥N

|X

n

− X

m

| < ε

!

= 1 .

Zadanie 138

Udowodni´

c, ˙ze je˙zeli dla pewnego ci¸

agu wyraz´

ow dodatnich ε

n

&

n

→∞

0 za-

chodzi

∞

P

n=1

P (

|X

n

− X| > ε

n

) <

∞ , to X

n

−−−→

n

→∞

X

z prawdopodo-

bie´

nstwem 1.

Zadanie 139

Niech X

n

, Y , Z b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi na

(Ω,

F, P ) takimi, ˙ze

X

n

wg P

−−−→

n

→∞

Y i X

n

wg P

−−−→

n

→∞

Z . Pokaza´

c, ˙ze Y = Z z prawdopodobie´

nstwem 1.

Zadanie 140

Niech L

0

(Ω,

F, P ) oznacza przestrze´n wektorow¸a zmiennych losowych na

(Ω,

F, P ) . Dwie zmienne losowe (uto˙zsamiamy) s¸a w relacji

=

pr.w.

, gdy s¸

a

r´

owne prawie wsz¸edzie. Pokaza´

c, ˙ze relacja

=

pr.w.

jest relacj¸

a r´

ownowa˙zno´

sci.

Pokaza´

c,

˙ze na klasach r´

ownowa˙zno´

sci

L

0

(Ω,

F, P )/ =

pr.w.

funkcja

ρ([X], [Y ]) = E

|X−Y |

1+

|X−Y |

jest metryk¸

a.

[X] =

{Z ∈ L

0

(Ω,

F, P ) : Z =

pr.w.

X

}

33

Zadanie 141

Niech

(Ω,

F, P ) b¸edzie dyskretn¸a przestrzeni¸a probabilistyczn¸a

(tzn.

card(Ω)

≤ ℵ

0

i dla ka˙zdego ω

∈ Ω singleton {ω} ∈ F). Udowodni´c, ˙ze

wtedy X

n

p.n.

−−→ X ⇐⇒ X

n

wg P

−−−→ X.

Zadanie 142

Udowodni´

c, ˙ze je˙zeli ci¸

ag zmiennych losowych X

n

jest zbie˙zny w L

2

, to X

2

n

jest zbie˙zny w L

1

.

Zadanie 143

Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

edzie ci¸

agiem niezale˙znych zmiennych losowych, o tym

samym rozk ladzie i okre´

slonych na

(Ω,

F, P ) .

Udowodni´

c, ˙ze je˙zeli

E

|X

1

| < ∞ , to

1

n

max

{|X

1

|, . . . , |X

n

|}

wg P

−−−→ 0 .

Zadanie 144

Niech f : R

→ R b¸edzie funkcj¸a ci¸ag l¸a oraz X

1

, X

2

, . . . zmiennymi losowymi

okre´

slonymi na (Ω,

F, P ). Udowodnij, ˙ze

(a) lim

n

→∞

X

n

= X z pr 1

=

⇒ lim

n

→∞

f (X

n

) = f (X) z pr 1 ,

(b) lim

n

→∞

X

n

= X wg P

=

⇒ lim

n

→∞

f (X

n

) = f (X) wg P .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 145

Poda´

c przyk lad zmiennych losowych zale˙znych i nieskorelowanych.

Zadanie 146

Niech Z =

∞

P

n=1

ε

n

2

n

, gdzie ε

1

, ε

2

. . .

jest ci¸

agiem niezale˙znych zmiennych

losowych o rozk ladzie

1
2

δ

0

+

1
2

δ

1

(ci¸

ag Bernoulliego). Udowodni´

c, ˙ze Z ma

34

rozk lad jednostajny na [0, 1].

Zadanie 147

Niech X

1

, X

2

maj¸

a rozk lad jednostajny na odcinku [

−1, 1]. Znajd´z rozk lad

zmiennej losowej X

1

+ X

2

przy za lo˙zeniu, ˙ze X

1

i X

2

s¸

a niezale˙zne.

Zadanie 148

Niech X

1

, X

2

b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi niezale˙znymi o rozk ladach Poissona

odpowiednio z parametrami λ

1

, λ

2

. Znajd´

z rozk lad zmiennej losowej Y =

X

1

+ X

2

.

Zadanie 149

Niech X

1

, X

2

b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi niezale˙znymi o rozk ladach gamma

odpowiednio z parametrami (p

1

, α

1

), (p

2

, α

2

). Zak ladaj¸

ac, ˙ze α

1

= α

2

= α

znajd´

z rozk lad zmiennej losowej Y = X

1

+ X

2

.

Zadanie 150

Niech zmienna losowa X ma rozk lad

N (0, 1). Znajd´z rozk lad zmiennej

losowej Y = X

2

.

Zadanie 151

Niech zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . , X

n

b¸

ed¸

a niezale˙zne o tym samym rozk la-

dzie

N (0, 1). Wykorzystuj¸ac zadania 130 i 131, znajd´z rozk lad zmiennej

losowej S

2

=

n

P

j=1

X

2

j

.

Zadanie 152

Niech X , Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi, gdzie X jest zmienn¸

a

losow¸

a ci¸

ag l¸

a (tzn.

∀

x

∈R

P (X = x) = 0). Udowodnij, ˙ze X +Y jest zmienn¸

a

losow¸

a ci¸

ag l¸

a.

Zadanie 153

Niech X i Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o g¸

esto´

sciach odpo-

wiednio f

X

i f

Y

. Udowodni´

c, ˙ze:

35

(a) zmienna losowa U = X

· Y ma g¸esto´s´c h(u) =

∞

Z

−∞

f

X

(

u
y

)f

Y

(y)

1

|y|

dy ,

(b) zmienna losowa Z = X/Y ma g¸

esto´

s´

c g(z) =

∞

Z

−∞

|y|f

X

(zy)f

Y

(y)dy

(zak ladamy, ˙ze P (Y = 0) = 0).

Zadanie 154

∗

Niech zmienne losowe X, Y, Z b¸

ed¸

a niezale˙zne o tym samym rozk ladzie

N (0, 1). Znajd´z dystrybuant¸e (g¸esto´s´c):

(a) zmiennej losowej

|X|

√

X

2

+ Y

2

,

(b) zmiennej losowej

|X|

√

X

2

+ Y

2

+ Z

2

.

Zadanie 155

∗

Momenty przybycia autobus´

ow A i B s¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi

X

A

, X

B

o rozk ladach wyk ladniczych z parametrami α i µ.

(a) Znale´

z´

c rozk lad czasu oczekiwania na autobus przyje˙zd˙zaj¸

acy pierwszy.

(b) Znale´

z´

c prawdopodobie´

nstwo, ˙ze autobus A przyb¸

edzie pierwszy.

Zadanie 156

∗

Niech X , Y s¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o wsp´

olnym rozk ladzie

wyk ladniczym z parametrem λ. Niech U = min(X, Y ) , V = max(X, Y )

−

min(X, Y ) . Udowodnij, ˙ze U i V s¸

a niezale˙zne.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 157

Niech X , Y b¸

ed¸

a niezale˙zne i ca lkowalne (E

|X| < ∞ , E|Y | < ∞ ).

Wiadomo (czy ucz¸

eszczasz na wyk lad ?), ˙ze E

|X · Y | =? < ∞ . Poka˙z, ˙ze

za lo˙zenie o niezale˙zno´

sci jest istotne.

36

Zadanie 158

Niech X , Y s¸

a niezale˙zne i P (X +Y = a) = 1 dla pewnej sta lej a. Pokaza´

c,

˙ze X i Y s¸

a sta le z prawdopodobie´

nstwem 1.

Zadanie 159

Niech X , Y s¸

a niezale˙zne oraz P (X = 1) = P (Y = 1) = P (X =

−1) =

P (Y =

−1) =

1
2

. Zdefiniujmy Z = X

· Y . Poka˙z, ˙ze X , Y , Z s¸a parami

niezale˙zne, ale X , Y , Z nie s¸

a niezale˙zne.

Zadanie 160

Niech wektor losowy X, Y ma g¸

esto´

s´

c f (x, y) zdefiniowan¸

a:

(a) f (x, y) =

(

1

π

,

gdy x

2

+ y

2

≤ 1 ,

0 ,

gdy x

2

+ y

2

> 1 .

(b) f (x, y) =

(

1
4

,

gdy

|x| ≤ 1 , |y| ≤ 1 ,

0 ,

w przeciwnym razie.

(c) f (x, y) =

(

1
2

,

gdy

|x| + |y| ≤ 1 ,

0 ,

w przeciwnym razie.

W kt´

orym przypadku zmienne losowe X , Y s¸

a niezale˙zne? W ka˙zdym

z przypadk´

ow (a), (b), (c) oblicz cov(X, Y ).

Zadanie 161

Niech X, Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi. Znajd´

z rozk lad (dys-

trybuant¸

e) zmiennej losowej Z =

X

X+Y

w przypadku, gdy:

(a) X i Y maj¸

a rozk lad wyk ladniczy z parametrem λ,

(b) X i Y maj¸

a ten sam rozk lad jednostajny na odcinku [0, 1],

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 19

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Zadanie 162

Rozpatrzmy schemat Bernoulliego n pr´

ob z prawdopodobie´

nstwem sukce-

su r´

ownym p. Jaka jest ´

srednia liczba sukces´

ow w pierwszej pr´

obie, je˙zeli

wiemy, ile zasz lo sukces´

ow w ca lej serii?

Zadanie 163

L¸

aczny rozk lad zmiennych losowych X i Y jest dany tabelk¸

a:

X = 2

X = 4

Y = 0

0.3

0.1

Y = 1

0.4

Uzupe lni´

c tabelk¸

e oraz znale´

z´

c E(X

|σ(Y )) , E(X).

Zadanie 164

Niech Ω = [0, 1], P miara Lebesgua na [0, 1]. Znale´

z´

c E(X

|F) , je˙zeli

(a) X(ω) = ω ,

F = σ

0,

1
2

,

1
2

, 1

,

(b) X(ω) =

√

ω ,

F = σ

0,

1
3

,

1
3

,

2
3

,

2
3

, 1

,

(c) X(ω) =

ω

1+ω

,

F = σ {{0} , (0, 1) , {1}} .

Zadanie 165

Oblicz warto´

s´

c oczekiwan¸

a liczby pr´

ob w schemacie Bernoulliego przeprowa-

dzonego a˙z do uzyskania dw´

och kolejnych sukces´

ow.

Zadanie 166

Owad sk lada X jajeczek zgodnie rozk ladem dwumianowym z parametrami
n, p. Z ka˙zdego jajeczka (niezale˙znie od pozosta lych) z prawdopodobie´

n-

stwem r wyl¸

ega si¸

e owad. Znale´

z´

c ´

sredni¸

a liczb¸

e potomk´

ow.

38

Zadanie 167
(Nier´

owno´s´

c Jensena dla warunkowych warto´sci oczekiwanych)

Niech ϕ : R

→ R b¸edzie funkcj¸a wypuk l¸a, a zmienne losowe X i ϕ(X)

nale˙z¸

a do L

1

(Ω,

F, P ) . Udowodni´c, ˙ze dla dowolnego σ–cia la F

0

⊆ F za-

chodzi ϕ(E(X

|F

o

))

≤ E(ϕ(X)|F

0

) z prawdopodobie´

nstwem 1 (sprawdzi´

c:

Jakubowski & Sztencel str. 133).

Zadanie 168

∗

Udowodni´

c, ˙ze je˙zeli X jest zmienn¸

a losow¸

a ca lkowaln¸

a na przestrzeni pro-

babilistycznej (Ω,

F, P ) oraz σ–cia lo F

1

jest niezale˙zne od σ–cia l

F

0

i σ(X),

to E(X

|σ(F

1

,

F

0

)) = E(X

|F

0

) .

Zadanie 169

∗

Niech X i Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi, h : R

2

→ R funkcj¸a

borelowsk¸

a. Udowodni´

c, ˙ze E(h(X, Y )

|Y = t) = E(h(X, t)) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 170 Bardzo wa ˙zne:

dwuwymiarowy rozk lad gaus-

sowski

Niech f : R

2

→ R

+

b¸

edzie funkcj¸

a dwu zmiennych

f (x, y) =

1

2π

p

1

− %

2

exp

−

1

2(1

− %

2

)

(x

2

− 2%xy + y

2

)

,

gdzie % jest sta l¸

a spe lniaj¸

ac¸

a

−1 < % < 1. Sprawd´z, ˙ze

(a) f jest g¸

esto´

sci¸

a 2–wymiarowego wektora losowego (X, Y ),

(b) rozk lady brzegowe s¸

a gaussowskie

N (0, 1),

(c) cov(X, Y ) = %,

(d) je˙zeli X i Y s¸

a nieskorelowane to s¸

a niezale˙zne.

39

Zadanie 171

M´

owimy, ˙ze wektor losowy (X, Y ) ma l¸

aczny rozk lad gaussowski niezdegen-

erowany gdy ma 2–wymiarow¸

a g¸

esto´

s´

c

f (x, y) =

1

2πσ

1

σ

2

p

1

− %

2

exp[

−

1

2

Q(x, y)] ,

gdzie σ

1

, σ

2

> 0 i Q jest form¸

a kwadratow¸

a:

Q(x, y) =

1

1

− %

2

"

x − µ

1

σ

1

2

− 2%

x − µ

1

σ

1

y − µ

2

σ

2

+

y − µ

2

σ

2

2

#

.

Poka ˙z, ˙ze

(a) rozk lady brzegowe s¸

a odpowiednio

N (µ

1

, σ

2

1

) dla X i

N (µ

2

, σ

2

2

) dla Y ,

(b) cov(X, Y ) = %,

(c) X, Y s¸

a niezale˙zne wtedy i tylko wtedy gdy % = 0.

Znajd´

z g¸

esto´

sci warunkowe f

Y

|X

(x, y) i f

X

|Y

(x, y), nast¸

epnie E(Y

|X = x),

E

(X

|Y = y) i w ko´ncu E(Y |X) i E(X|Y ).

Zadanie 172

Znajd´

z E(X

|Y ) je˙zeli (X, Y ) ma 2–wymiarowy rozk lad normalny o ´sredniej

zero.

Zadanie 173

Niech wektor losowy (X, Y ) ma l¸

aczn¸

a g¸

esto´

s´

c

f (x, y) = Cexp(

−(1 + x

2

)(1 + y

2

)) .

Poka ˙z, ˙ze f nie jest g¸

esto´

sci¸

a gaussowsk¸

a ale f

Y

|X

(x, y) = f

X=x

(y) i f

X

|Y

(x, y) =

f

Y =y

(x) s¸

a rozk ladami gaussowskimi.

Zadanie 174

Niech wektor losowy 2–wymiarowy (X, Y ) ma g¸

esto´

s´

c dwuwymiarow¸

a

f (x, y) =

1

y

exp

−y −

x

y

.

Znajd´

z g¸

esto´

s´

c brzegow¸

a f

Y

.

40

Zadanie 175

Niech X i Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o tym samym rozk ladzie

i sko´

nczonej warto´

sci oczekiwanej. Znale´

z´

c E(X

|X + Y ) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 21

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 176

Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozk ladzie, E

|X

1

| < ∞ , S

n

= X

1

+ X

2

+

· · · + X

n

,

F

n

= σ(S

n

, S

n+1

, . . . ).

Wyznaczy´

c E(X

1

|F

n

) .

Zadanie 177

Znale´

z´

c rozk lad warunkowy X pod warunkiem X + Y = t , je˙zeli X i Y s¸

a

niezale˙znymi zmiennymi losowymi o tym samym rozk ladzie

(a)

N (0, 1) ;

(b) wyk ladniczym;
(c) Poissona.

Zadanie 178

Niech X , Y b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie jedno-

stajnym na [0, 1] , U = min(X, Y ) , V = max(X, Y ). Znale´

z´

c

(a) E(V

|U) ,

(b) E(sin(V

· U)|U) .

Zadanie 179

Obliczy´

c:

(a)

lim

n

→∞

1

Z

0

· · ·

1

Z

0

x

7

1

+x

7

2

+

···+x

7

n

x

2

1

+x

2

2

+

···+x

2

n

dx

1

. . . dx

n

,

41

(b)

lim

n

→∞

1

√

n

1

Z

0

· · ·

1

Z

0

px

4

1

+ x

4

2

+

· · · + x

4

n

dx

1

. . . dx

n

.

Niech f : [0, 1]

→ R b¸edzie funkcj¸a ci¸ag l¸a. Oblicz

(c)

lim

n

→∞

1

Z

0

· · ·

1

Z

0

f

x

1

+x

2

+

···+x

n

n

dx

1

. . . dx

n

,

(d)

lim

n

→∞

1

Z

0

· · ·

1

Z

0

f

n

√

x

1

· x

2

. . . x

n

dx

1

. . . dx

n

.

(e) lim

n

→∞

1

Z

0

· · ·

1

Z

0

f

n

1

x

1

+

· · · +

1

x

n

!

dx

1

. . . dx

n

.

Zadanie 180

∗

Napisz program i u˙zyj metody Monte Carlo do obliczenia

Z

1

0

sin(1 + x

2

)

√

x

dx .

Obliczaj¸

ac sumy dla pseudo-losowo wygenerowanych pr´

obek wariancj¸

e i b l¸

ad.

Zadanie 181

Niech X

n

, X b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi okre´

slonymi na (Ω,

F, P ) .

F

X

n

=

⇒ F

X

oznacza zbie˙zno´

s´

c s lab¸

a (zbie˙zno´

s´

c dystrybuant, zbie˙zno´

s´

c

rozk lad´

ow).

(a) Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

ed¸

a niezale˙zne o tym samym rozk ladzie (tzn. i.i.d.).

Niech F

n

(y)(ω) = n

−1

n

P

m=1

1

{X

m

≤y}

(ω) . Czy F

n

(y)(ω) =

⇒

n

→∞

F (y) dla

y

∈ R ?

(b) Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a i X

n

= X +

1

n

. Czy F

X

n

=

⇒ F

X

?

(c) Niech X

(n)

1

, X

(n)

2

, . . . i.i.d. zmienne losowe na (Ω,

F, P ) o rozk ladzie

P (X

(n)

1

= 0) = 1

−

1

n

, P (X

(n)

1

= 1) =

1

n

. Oznaczmy

T

(n)

(ω) =

(

min

{m : X

(n)

m

(ω) = 1

}, gdy istnieje

∞ ,

gdy X

(n)

1

(ω) = X

(n)

2

(ω) = . . . 0.

42

Udowodnij, ˙ze P (T

(n)

=

∞) = 0.

Niech F

n

(x) = P (

1

n

T

(n)

≤ x) dystrybuanta

1

n

T

(n)

. Udowodnij,

˙ze F

n

=

⇒ F , gdzie F jest dystrybuant¸a rozk ladu wyk ladniczego

(F (x) = 1

− e

−x

dla x

≥ 0).

Zadanie 182

Niech X

1

, X

2

, . . . , X

∞

b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi okre´

slonymi na (Ω,

F, P ),

spe lniaj¸

acymi P (X

n

∈ N) = 1. Udowodnij, ˙ze F

X

n

=

⇒ F

X

∞

(X

n

=

⇒ X

∞

)

wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego j

∈ N zachodzi P (X

n

= j)

−−−→

n

→∞

P (X

∞

= j) .

Zadanie 183

Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

edzie ci¸

agiem zmiennych losowych niezale˙znych o tych

samych rozk ladach jednostajnych na [0, 1]. Zdefiujmy nowy ci¸

ag zmiennych

losowych Y

1

= X

1

i rekurencyjnie Y

n

= max

{X

n

, λY

n

−1

} dla n > 1, gdzie λ

jest pewn¸

a sta l¸

a. Zbada´

c zbie˙zno´

s´

c dystrybuant zmiennych losowych Y

n

w

zale˙zno´

sci od tego do jakiego przedzia lu warto´

sci wpadnie λ (tzn. dla λ

≤ 0,

0 < λ < 1, λ = 1, λ > 1).

Zadanie 184

Udowodnij, ˙ze je´

sli zmienne losowe X

n

→ X wed lug P , to X

n

=

⇒ X . Je´sli

X

n

=

⇒ c , gdzie c jest sta l¸a, to X

n

→ c wed lug prawdopodobie´nstwa.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Niech X : (Ω,

F, P ) → R b¸edzie rzeczywist¸a zmienn¸a losow¸a. Funkcj¸e

ϕ

X

(t) = Ee

itX





=

∞

Z

−∞

e

its

dµ

X

(s) =

∞

Z

−∞

cos tsdµ

X

(s) + i

∞

Z

−∞

sin tsdµ

X

(s)





43

nazywamy funkcj¸

a charakterystyczn¸

a zmiennej losowej X.

Zadanie 185

Znajd´

z funkcj¸

e charakterystyczn¸

a zmiennych losowych dla:

(a) rozk ladu jednopunktowego (P (X = a) = 1),

(b) rozk ladu dwupunktowego (P (X = a) = p , P (X = b) = 1

− p),

(c) rozk ladu geometrycznego (P (X = k) = (1

− p)

k

−1

p , 0 < p < 1),

(d) rozk ladu Bernoulliego (P (X = k) =

n
k

p

k

(1

− p)

n

−k

, 0

≤ k ≤ n),

(e) rozk ladu Poissona (P (X = k) =

λ

k

k!

e

−k

, λ > 0 , k = 0, 1, 2, . . . ),

(f) rozk ladu jednostajnego na odcinku [a, b] ,

(g) rozk ladu wyk ladniczego (o g¸

esto´

sci g(x) = λe

−λx

, x

≥ 0),

(h) rozk ladu gamma (o g¸

esto´

sci γ

a,b

(x) =

b

a

Γ(a)

x

a

−1

e

−bx

, x

≥ 0),

(i) rozk ladu tr´

ojk¸

atnego (o g¸

esto´

sci f (x) = 1

− |x| , −1 ≤ x ≤ 1),

(j) rozk ladu dwustronnego wyk ladniczego (o g¸

esto´

sci f (x) =

1
2

e

−|x|

, x

∈ R),

(k) rozk ladu Cauchy’ego (o g¸

esto´

sci f (x) =

1

π

1

1+x

2

, x

∈ R),

(l) rozk ladu normalnego (o g¸

esto ´

sci f (x) =

1

√

2π

e

−

x2

2

, x

∈ R).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Zadanie 186

Niech X b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie Cauchy’ego. Znajd´

z funkcj¸

e

charakterystyczn¸

a zmiennej losowej

2X = X + Y , gdzie

Y = X .

Wywnioskuj st¸

ad, ˙ze istniej¸

a zale˙zne zmienne losowe X, Y okre´

slone na

tej samej przestrzeni probabilistycznej takie, ˙ze ϕ

X+Y

= ϕ

X

· ϕ

Y

.

Zadanie 187

Niech absolutnie ci¸

ag le zmienne losowe X, Y okre´

slone na tej samej przes-

trzeni probabilistycznej

(Ω,

F, P ) maj¸a odpowiednio g¸esto´sci f

X

, f

Y

i

funkcje charakterystyczne ϕ

X

, ϕ

Y

. Udowodnij, ˙ze dla ka˙zdego t

∈ R

∞

Z

−∞

ϕ

X

(y)f

Y

(y)e

−ity

dy =

∞

Z

−∞

ϕ

Y

(x

− t)f

X

(x)dx .

Zadanie 188

Niech zmienna losowa X b¸

edzie absolutnie ci¸

ag la z funkcj¸

a charakterysty-

czn¸

a ϕ

X

. Poka˙z, ˙ze lim

t

→±∞

|ϕ

X

(t)

| = 0.

Zadanie 189

Niech X, Y , U , V s¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie

N (0, 1).

Obliczy´

c funkcje charakterystyczne zmiennych losowych:

(a) XY ,
(b) X

2

,

(c) X/Y ,
(d)

1
2

(X

2

− Y

2

) ,

(e) XY + U V .

Zadanie 190

Niech X, Y b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi okre´

slonymi na (Ω,

F, P ) o rozk ladach

N (m

1

, σ

1

)

i

N (m

2

, σ

2

) odpowiednio. Znajd´

z rozk lad zmiennej losowej

X + Y , o ile X, Y s¸

a niezale˙zne.

Wskaz´

owka: Znajd´

z funkcj¸

e charakterystyczn¸

a ϕ

X+Y

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Lista 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 191

Niech X

1

, X

2

, . . . , X

n

, . . . b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi niezale˙znymi okre´

s-

lonymi na (Ω,

F, P ) o tym samym rozk ladzie Cauchy’ego. Znajd´z rozk lad

zmiennej losowej

X

1

+X

2

+

···+X

n

n

dla ustalonego n . Czy ten fakt zaprzecza

SLLN?

Zadanie 192

Zbada´

c, czy nast¸

epuj¸

ace funkcje s¸

a funkcjami charakterystycznymi i je´

sli

tak, wyznacz odpowiedni rozk lad:

(a) cos t ,

(b) cos

2

t ,

(c)

1
4

1 + e

it

2

,

(d)

1+cos t

2

.

Zadanie 193

Wykaza´

c, ˙ze je´

sli

ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

s¸

a funkcjami charakterystycznymi, a

n

P

j=1

p

j

= 1 , p

j

> 0 , to r´

ownie˙z kombinacja wypuk la

n

P

j=1

p

j

ϕ

j

jest funkcj¸

a

charakterystyczn¸

a.

Zadanie 194

Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . s¸

a niezale˙zne i maj¸

a t¸

e sam¸

a funkcj¸

e charak-

terystyczn¸

a ϕ.

Zmienna losowa N jest od nich niezale˙zna i ma rozk lad

Poissona. Wyznaczy´

c funkcj¸

e charakterystyczn¸

a X

1

+ X

2

+

· · · + X

N

.

Zadanie 195

Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

ed¸

a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozk ladzie i funkcji charakterystycznej ϕ.

Za l´

o˙zmy, ˙ze E

|X

1

| < ∞.

46

Znajd´

z

lim

n

→∞

ϕ

t

n

n

.

Zadanie 196

Niech Y

n

b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi o funkcjach charakterystycznych ϕ

n

,

n = 1, 2, . . . . Udowodnij, ˙ze Y

n

D

=

⇒ 0 , o ile tylko istnieje δ > 0 takie, ˙ze

lim

n

→∞

ϕ

n

(t) = 1 dla

|t| < δ .

Zadanie 197

Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

ed¸

a zmiennymi losowymi niezale˙znymi i oznaczamy S

n

=

n

P

j=1

X

j

. Udowodnij, ˙ze istnieje zmienna losowa S taka, ˙ze S

n

→ S wed lug P

wtedy i tylko wtedy, gdy S

n

D

=

⇒ S .

Uwaga. Trzeci r´

ownowa˙zny warunek brzmi:

S

n

→ S z prawdopodobie´n-

stwem 1.

Zadanie 198

Udowodnij, ˙ze je˙zeli zmienne losowe X, Y s¸

a niezale˙zne i X + Y , X maj¸

a

te same rozk lady, to Y

≡ 0 .

Zadanie 199

Niech zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . , X

n

b¸

ed¸

a niezale˙zne o ´

sredniej 0 i o sko´

nczonych

trzecich momentach. U˙zywaj¸

ac funkcji charakterystycznych udowodnij, ˙ze

E

[(

n

X

j=1

X

j

)

3

] =

n

X

j=1

E

(X

3

j

) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Dla zmiennej losowej X okre´

slonej na przestrzeni probabilistycznej (Ω,

F, P )

przez M

X

oznaczamy funkcj¸

e generuj¸

ac¸

a momenty, tzn. M

X

(t) = E(e

tX

).

Zauwa˙zmy, ˙ze dziedzin¸

a M

X

nie musi by´

c R. Zale˙zy ona od konkretnej

zmiennej losowej X. Oczywi´

scie, je˙zeli X

≥ 0 z pr. 1 to M

X

(t) jest dobrze

okre´

slone dla t

≤ 0.

Zadanie 200

Podaj interpretacj¸

e M

0

X

(0), M

00

X

(0), itd. .

Zadanie 201

Niech zmienna losowa X ma rozk lad

N (0, 1). Poka˙z, ˙ze M

X

(t) = e

t

2

/2

.

Zadanie 202

Niech zmienna losowa X ma rozk lad

N (0, 1). Poka˙z, ˙ze E(X

2n+1

) = 0 oraz,

˙ze E(X

P

2n =

(2n)!

2

n

n!

.

Zadanie 203

∗

Udowodnij, ˙ze

P (X

≥ x) ≤ inf

t

≥0

{e

−tx

M

X

(t)

} .

Zadanie 204

∗

Udowodnij, ˙ze nast¸

epuj¸

ace warunki s¸

a r´

ownowa˙zne:

(a) dziedzina M

X

zawiera p´

o lprost¸

a (

−∞, δ] dla pewnego δ > 0,

(b) istniej¸

a sta le λ, µ > 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego a > 0 zachodzi

P (

|X| ≥ a) ≤ µe

−λa

.

Zadanie 205

Niech

f

0

(x) =

(

1

√

2π

x

−1

exp(

−(ln x)

2

/2)

x > 0

0

x

≤ 0

i dla

−1 ≤ a ≤ 1 oznaczmy

f

a

(x) = f

0

(x)

{1 + a sin(2π ln x)} .

(a) Sprawd´

z, ˙ze f

a

s¸

a g¸

esto´

sciami.

48

(b) Oblicz

∞

Z

0

x

k

f

a

(x)dx = µ

k

. Czy µ

k

zale˙zy od parametru a?

Zmienna losowa o rozk ladzie (g¸

esto´

sci) f

0

ma bardzo wa˙zn¸

a interpretacj¸

e

w matematyce finansowej. Ten rozk lad nosi nazw¸

e lognormalnego.

(c) Niech

χ

b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a o rozk ladzie

N (0, 1). Znajd´z roz-

k lad exp(χ).

(d) Niech Y

a

b¸

edzie zmienn¸

a losow¸

a przyjmuj¸

ac¸

a z prawdopodobie´

nstwem 1

warto´

sci dyskretne ae

k

, gdzie k

∈ Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . . } , a > 0 i

P (Y

a

= ae

k

) = a

−k

exp

−

k

2

2

·

1

c

a

, gdzie c

a

jest sta l¸

a normalizuj¸

ac¸

a.

Oblicz E(Y

k

a

) , k = 0, 1, 2, . . . .

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 206

Rzucamy 100 razy monet¸

a. Niech X

j

(j = 1, 2, . . . ) oznacza wynik j–tego

rzutu. Oblicz prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze liczba wyrzuconych or l´

ow jest

wi¸

eksza od 55.

Zadanie 207

Wadliwo´

s´

c produkowanych element´

ow wynosi w = 0.05 . Z bie˙z¸

acej pro-

dukcji pobieramy w spos´

ob losowy pr´

obk¸

e o liczbno´

sci n = 100. Niech S

n

b¸edzie liczb¸

a sztuk wadliwych w pr´

obce.

(a) Obliczy´

c P (S

n

≥ 5) , P (S

n

≥ 9) .

(b) Je˙zeli w badanej pr´

obce stwierdzono, ˙ze liczba sztuk wadliwych jest

r´

owna 9, to czy wynik ten nasuwa przypuszczenie, ˙ze wadliwo´

s´

c w =

0.05 jest podana zbyt optymistycznie?

Zadanie 208

Aparat wykonuje w takich samych warunkach seri¸

e niezale˙znych zdj¸

e´

c fo-

tograficznych okre´

slonego obiektu. Wiadomo, ˙ze 10% zdj¸

e´

c spe lnia stawiane

wymagania techniczne. Ile zdj¸

e´

c nale˙zy wykona´

c, aby z prawdopodobie´

n-

stwem 0.9 co najmniej 10 zdj¸

e´

c spe lnia lo stawiane wymagania techniczne?

Zadanie 209

Prawdopodobie´

nstwo uszkodzenia elementu w ci¸

agu okre´

slonego czasu T

jest r´

owne 0.2 . Jak du˙za powinna by´

c liczba element´

ow, aby co najmniej

50 spo´

sr´

od nich z prawdopodobie´

nstwem 0.9 nie uleg lo uszkodzeniu w ci¸

agu

rozwa˙zanego czasu T ?

50

Zadanie 210

Prawdopodobie´

nstwo urodzenia si¸

e ch lopca jest r´

owne 0.52. Jakie jest praw-

dopodobie´

nstwo tego, ˙ze w´

sr´

od 1000 noworodk´

ow b¸

edzie co najwy˙zej 480

dziewczynek?

Zadanie 211

Prawdopodobie´

nstwo, ˙ze sterownik ulegnie awarii w okresie 12 miesi¸ecy jest

r´

owne p = 0.0001. Na stacji kosmicznej w trybie ci¸

ag lym pracuje ich 1250.

Ile trzeba zabra´

c zapasowych sterownik´

ow, aby z prawdopodobie´

nstwem

0.999 przez okres jednego roku, nie trzeba by lo wysy la´

c statku transportowego

z cz¸e´

sciami zamiennymi?

Zadanie 212

Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . , X

50

s¸

a niezale˙zne i maj¸

a jednakowe g¸

esto´

sci,

okre´

slone wzorem

f (x) =

1

2

√

π

e

−

x2

4

.

Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo

P

50

P

j=1

X

j

< 0

!

.

Zadanie 213

Zmienne losowe X

1

, X

2

, . . . , X

100

s¸

a niezale˙zne i maj¸

a jednakowe rozk lady

P (X

j

= k) =

e

−2

2

k

k!

,

k = 0, 1, 2, . . . .

Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo

P

100

P

j=1

X

j

> 190

!

.

Zadanie 214

Rzucamy kostk¸

a 180 razy. Oszacowa´

c prawdopodobie´

nstwo, ˙ze wyrzucono

“6” mniej ni˙z 25 razy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Zadanie 215

Pami¸

etamy, ˙ze w mocnym prawie wielkich liczb zak ladano o zmiennych

losowych X

j

, ˙ze s¸

a “tylko” parami niezale˙zne. Czy w centralnym twierdzeniu

granicznym mo˙zna zamiast niezale˙zno´

sci zak lada´

c niezale˙zno´

s´

c parami?

Wskaz´

owka: Niech

Y

1

, Y

2

, . . .

b¸

ed¸

a niezale˙zne o tym samym rozk ladzie

P (Y

j

= 1) = P (Y

j

=

−1) =

1
2

.

Niech X

1

= Y

1

, X

2

= Y

1

Y

2

i dla

m = 2

n

−1

+ j , 0 < j

≤ 2

n

−1

definiujemy (dla n

≥ 2) X

m

= X

j

Y

n+1

.

Zauwa˙zmy, ˙ze X

m

s¸

a parami niezale˙zne. Czy maj¸

a taki sam rozk lad? Czy

dla tak zdefiniowanych X

m

zachodzi CLT?

Zadanie 216

Sprawdzi´

c, czy podane funkcje zbioru s¸

a miarami zewn¸

etrznymi. W ka˙zdym

pozytywnym przypadku znale´

z´

c σ–cia lo zbior´

ow mierzalnych.

(a) Ω =

{1, 2, 3} .

τ

∗

(

∅) = 0 ,

τ

∗

(Ω) = 3 ,

τ

∗

(

{x, y}) = 1 dla dowolnych x 6= y ,

τ

∗

(

{1}) = τ

∗

(

{2}) = τ

∗

(

{3}) .

(b) Ω =

{1, 2, 3, . . . } .

µ

∗

(

∅) = 0 ,

µ

∗

(Ω) = 1 = µ

∗

(A) , gdy A jest zbiorem niesko´

nczonym,

µ

∗

(B) =

1
2

, gdy B jest zbiorem niepustym, sko´

nczonym.

(c) Ω =

{1, 2, 3, . . . } .

µ

∗

(

∅) = 0 ,

µ

∗

(A) = 1 , gdy A

6= ∅ .

(d) Ω = R .

ν

∗

(

∅) = 0 ,

ν

∗

(E) = 0 , gdy E przeliczalny,

ν

∗

(E) = 1 , gdy E

nieprzeliczalny.

(e) Ω =

{1, 2, 3, . . . } .

Dla ustalonego ci¸

agu liczb

0 = a

0

< a

1

=

1
2

< a

2

< a

3

< . . . ,

lim a

n

= 1 definiujemy

η

∗

(

∅) = 0 ,

η

∗

(E) = a

n

, gdy #E = n ,

η

∗

(E) = 1 , gdy #E =

∞ .

Zadanie 217

∗

(Twierdzenie Ulama)

Niech Ω b¸

edzie zbiorem mocy

ℵ

1

oraz µ nieujemn¸

a miar¸

a sko´

nczon¸

a na

(Ω, 2

Ω

) . W´

owczas warunek

∀

x

∈Ω

µ(

{x}) = 0 poci¸aga µ(A) = 0 dla

ka˙zdego A

⊆ Ω .

52

Zadanie 218

Niech f : [0, 1]

→ R b¸edzie funkcj¸a ci¸ag l¸a a S

n

ci¸

agiem zmiennych losowych

o rozk ladzie dwumianowym z parametrami (n, x). Niech dalej Z = f (x)

−

f (n

−1

S

n

) i dla δ > 0 zdarzenie A

δ

=

{|n

−1

S

n

− x| > δ. Udowdonij, ˙ze

lim

n

→∞

sup

0

≤x≤1

|f(x) −

n

X

j=1

f (j/n)

n

j

x

j

(1

− x)

n

−j

| = 0 .

Wskaz´

owka: E(Z) = E(Z1

A

δ

) + E(Z1

A

c
δ

) .

Zadanie 219

Niech X

n

, n = 1, 2, . . . b¸

edzie ci¸

agiem niezale˙znych zmiennych losowych o

tym samym rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem λ = 1. Udowodnij, ˙ze

P (lim sup

n

→∞

X

n

ln n

= 1) = 1 .

Zadanie 220

Niech b¸

edzie dany ci¸

ag niezale˙znych zmiennych losowych X

1

, X

2

, . . . spe lniaj¸

acych:

P (X

n

= n) = P (X

n

=

−n) =

1

2n ln n

, P (X

n

= 0) = 1

−

1

n ln n

.

Sprawd´

z, ˙ze dla tego ci¸

agu zachodzi s labe prawo wielkich liczb (tzn. A

n

=

n

−1

(X

1

+

· · · + X

n

) jest zbie˙zny do 0 wed lug prawdopodobie´

nstwa) ale nie

zachodzi mocne prawo wielkich liczb (tzn. A

n

nie jest zbie˙zny do 0 z praw-

dopodobie´

nstwem 1).

Zadanie 221 Nier´

owno´

s´

c Ko lmogorowa

Niech X

1

, X

2

, . . . b¸

edzie ci¸

agiem niezale˙znych zmiennych losowych o ´

sredniej

0 i sko´

nczonych wariancjach. Oznaczmy S

n

= X

1

+X

2

+

· · ·+X

n

. Udowod-

nij, ˙ze dla ε > 0

P ( max

1

≤j≤n

|S

j

| > ε) ≤

1

ε

2

n

X

k=1

var(X

j

) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53