Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064

Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni

Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Definicja.

Niech f (t) będzie funkcją określoną na

R

, okresową o okresie 2T

(tzn. f (t + 2T ) = f (t) dla każdego t ∈

R

) oraz całkowalną na przedziale [−T, T ].

Definiujemy ciągi (a

n

), (b

n

):

a

0

=

1

T

T

Z

−T

f (t)dt,

a

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) cos

nπt

T

dt,

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) sin

nπt

T

dt,

n = 1, 2, . . .

Szereg postaci

a

0

2

+

∞

X

n=1

a

n

cos

nπt

T

+ b

n

sin

nπt

T

nazywamy

szeregiem Fouriera funkcji f (t)

.

Uwaga.

• Jeżeli f (t) jest funkcją parzystą na przedziale [−T, T ], to b

n

= 0 dla każdego

n = 1, 2, . . . i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują sinusy.

• Jeżeli f (t) jest funkcją nieparzystą na przedziale [−T, T ], to a

n

= 0 dla każdego

n = 0, 1, 2, . . . i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują cosinusy i wyraz po-
czątkowy.

1

Twierdzenie:

Załóżmy, że f (t) określona na

R

, ograniczona, okresowa o okresie 2T spełnia warunki

Dirichleta tzn.

(1) przedział [−T, T ] można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że f (t)

jest ciągła i monotoniczna na wnętrzu każdego z nich;

(2) dla każdego t mamy

f (t) =

f (t−) + f (t+)

2

,

gdzie granice f (t±) = lim

x→t±

f (x) są właściwe.

Wtedy dla każdego t mamy

f (t) =

a

0

2

+

∞

X

n=1

a

n

cos

nπt

T

+ b

n

sin

nπt

T

gdzie po prawej stronie równości znajduje się szereg Fouriera funkcji f .

Uwaga.

• Warunek (2) jest spełniony w każdym punkcie ciągłości funkcji f . W punktach nie-

ciągłości oznacza on, że zakładamy występowanie jedynie nieciągłości pierwszego
rodzaju i że jako wartość funkcji w takim punkcie przyjmujemy średnią arytmetycz-
ną granic jednostronnych.

• Teza twierdzenia zachodzi także, gdy przyjmiemy inne założenia o funkcji f , np.

zamiast (1) założyc można, że f jest kawałkami klasy C

1

(ciągła lub nieciągła).

2

Zespolony szereg Fouriera:

Inna postać szeregu Fouriera to

f (t) =

∞

X

n=−∞

c

n

e

in

πt

T

,

gdzie

c

n

=

1

2T

T

Z

−T

f (t)e

−in

πt

T

dt.

(Symbol e

ix

oznacza liczbę zespoloną cos x + i sin x w tzw. postaci wykładniczej.)

Zauważmy, że c

0

=

a

0

2

, c

n

=

a

n

− ib

n

2

oraz c

−n

=

a

n

+ ib

n

2

dla n ­ 1.

Interpretacja:

t - czas
f (t) - sygnał okresowy
(c

n

) - widmo sygnału f

cos

nπt

T

, sin

nπt

T

to funkcje okresowe o okresie

2T

n

. Mają ν =

n

2T

okresów

w odcinku [0, 1], czyli częstotliwość ν Hz (ν okresów na sekundę).

3

Przykład 1:

Sygnał o przebiegu prostokątnym, okresowy o okresie 2T :

f (t) =











1 dla 0 < t < T

−1 dla −T < t < 0

0 dla t = −T, 0, T.

• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta.

Zatem a

n

= 0 dla każdego n = 0, 1, . . ..

Obliczamy b

n

:

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) sin

nπt

T

dt =

2

T

T

Z

0

sin

nπt

T

dt =

2

T

−

T

nπ

cos

nπt

T

T

0

=

=

2(1 − cos(nπ))

nπ

=

2(1 − (−1)

n

)

nπ

=

(

4

nπ

dla n = 2k − 1

0 dla n = 2k

, k = 1, 2, . . .

• Zatem sygnał prostokątny rozwija się w następujący szereg Fouriera:

f (t) =

2

π

∞

X

n=1

1 − (−1)

n

n

sin

nπt

T

=

4

π

∞

X

k=1

1

2k − 1

sin

(2k − 1)πt

T

!

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

sygnal o przebiegu prostokatnym

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1, 2, 3

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=100

4

Przykład 2:

Sygnał trójkątny, okresowy o okresie 2T :

f (t) =

(

t dla 0 < t ¬ T

−t dla −T ¬ t < 0.

• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja parzysta.

Zatem b

n

= 0 dla każdego n = 1, 2, . . ..

Obliczamy a

n

:

a

0

=

1

T

T

Z

−T

f (t)dt =

2

T

T

Z

0

tdt = T

a

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) cos

nπt

T

dt =

2

T

T

Z

0

t cos

nπt

T

dt =

2

T

T

nπ





t sin

nπt

T

T

0

−

T

Z

0

sin

nπt

T

dt





=

=

2

nπ

T

nπ

cos

nπt

T

T

0

=

2T ((−1)

n

− 1)

n

2

π

2

=

(

−

4T

n

2

π

2

dla

n = 2k − 1

0

dla

n = 2k

, k = 1, 2, . . .

• Zatem sygnał trójkątny rozwija się w następujący szereg Fouriera:

f (t) =

T

2

+

2T

π

2

∞

X

n=1

1 − (−1)

n

n

2

cos

nπt

T

=

T

2

−

4T

π

2

∞

X

k=1

1

(2k − 1)

2

cos

(2k − 1)πt

T

!

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5

0

0.5

1

1.5

sygnal trojkatny

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=3

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10

5

Przykład 3:

Sygnał o przebiegu piłowym, okresowy o okresie 2T :

f (t) =

(

t dla −T < t < T

0 dla t = −T, T.

• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.

• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta.

Zatem a

n

= 0 dla każdego n = 0, 1, . . ..

Obliczamy b

n

:

b

n

=

1

T

T

Z

−T

f (t) sin

nπt

T

dt =

2

T

T

Z

0

t sin

nπt

T

dt =

2

T

T

nπ





−t cos

nπt

T

T

0

+

T

Z

0

cos

nπt

T

dt





=

=

2

nπ





−(−1)

n

T +

T

nπ

sin

nπt

T

T

0





=

2T (−1)

n+1

nπ

• Zatem sygnał piłowy rozwija się w następujący szereg Fouriera:

f (t) =

2T

π

∞

X

n=1

(−1)

n+1

n

sin

nπt

T

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

sygnal o przebiegu pilowym

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1, 3

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10

suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=100

6