2301

STACJONARNY PRĄD ELEKTRYCZNY

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków

(cz. naładowa-

nych).
Ruch cz. naładowanych (+) jest równoważny ruchowi (-) o przeciw-
nym zwrocie.
UMOWA:

kierunek prądu = kierunek ruchu ładunków dodatnich (+)

i jest zgodny z kierunkiem pola el. E

, a ruch elektronów jest prze-

ciwny.

Ładunki el. mogą być przenoszone

przez poruszające się no-

śniki:
•

elektrony

(prąd przewodzenia w metalach, promienie katodo-

we...),

•

jony

- zjonizowane atomy lub cz. cieczy czy gazu (prąd w elek-

trolitach i gazach).

•

... (dziury

- wakanse po elektronach w półprzewodnikach).

Natężenie prądu elektrycznego

dt

dq

i =

[i] = 1A, 1 amper.

Gęstość prądu elektrycznego

jest lepszym parametrem od i bo po-

siada cechy wektora:

S

d

di

j

r

r

=

, lepiej

nˆ

dS

di

j

⋅

=

r

, [j]=A/m

2

S

d

j

di

r

r

•

=

,

∫

•

=

S

S

d

j

i

r

r

Ogólnie ruch ładunków:

−

+

+

=

j

j

j

r

r

r

2302

PRĘDKOŚĆ UNOSZENIA (DRYFU) NOŚNIKÓW

PRĄDU

- klasyczna teoria Drudego przewodnictwa.

Ruch nośników prądu

, ze względu na małą masę

podlega pra-

wom mechaniki kwantowej

.

Jednak pewne własności makroskopowe można z dobrym przy-

bliżeniem

opisać stosując prawa mechaniki klasycznej

.

W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego elektrony po-

ruszają się chaotycznie we wszystkich kierunkach.

W zewnętrznym polu E uzyskują wypadkową (stałą z założe-

nia)

prędkość unoszenia

v

d

.

Obl. prędkość v

d

rozpatrując przepływ elektronów o gęstości j i

koncentracji n wzdłuż walca (przewodnika) o polu pow. S w ele-
mencie o długości l.

l

S

t

q

i =

,

e

k

q

⋅

=

, k - liczba ładunków,

V

k

n =

, - objętość,

l

S

V

⋅

=

,

t

l

v

d

=

.

l

S

k

V

k

n

⋅

=

=

,

nSl

k =

nSle

e

k

q

=

⋅

=

,

d

v

l

t =

V

,

q

,

n

2303

d

d

v

nSe

v

l

l

nSe

dt

q

i

=

⋅

=

=

,

nSe

i

v

d

=

a gęstość prądu

d

v

en

S

i

j

=

=

,

d

v

en

j

r

r

=

.

Przykład 1

Obl. średnią prędkość unoszenia elektronów przewodnictwa w dru-

cie miedzianym o przekroju S=1 mm

2

, przez który płynie prąd o na-

tężeniu i=1A. Przyjąć: e=1,602•10

-19

C, n

Cu

=8,5•10

28

m

-3

Quiz; odpowiedź: a) v

d

>c,

b) v

d

=c,

c) v

d

=v

dźwięku

,

d) v

d

~1m/s,

e) v

d

<1m/s.

enS

i

v

d

=

,

s

m

1

sC

Cm

1

Cm

m

1

A

1

]

v

[

2

3

d

=

=

=

−

,

s

m

10

1

1

s

m

10

1

10

5

,

8

10

6

,

1

1

v

4

6

28

19

d

⋅

⋅

≈

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

−

−

,

s

m

10

1

v

4

d

−

⋅

≈

, dokładnie

s

m

10

4

,

7

v

5

d

−

⋅

=

,

lub inaczej

h

m

3

1

v

d

≈

tzn. 1m w czasie 3h lub 10m w czasie 30h? WHY??

Dlaczego zatem światło zapala się natychmiastowo?

Ponieważ prąd to kolektywny ruch ładuków!

2304

OPÓR ELEKTRYCZNY

Dla dowolnego przewodnika o długości l i przekroju S, opór R:

S

l

R

ρ

=

zgodnie z prawem

"kanaliz..."

jest proporcjonalny do długości przewodnika i odwrotnie proporcjo-

nalny do przekroju.

R jest oporem

o jednostce (SI) 1 (Ohm) 1

Ω.

Stałą

ρ

nazywamy

oporem właściwym

.

Ω

=

Ω

=

1

m

1

lm

m

1

]

R

[

2

,

m

]

[

Ω

=

ρ

Przewodność właściwa zwana krótko przewodnictwem jest zdefi-

niowana:

ρ

=

σ

1

,

S

1

m

1

]

[

=

Ω

=

σ

- simens

materiał

ρ [Ωm]

Al

2,8·10

-8

Cu

1,7·10

-8

Ag

1,6·10

-8

Au ?

2,3·10

-8

Pt ?

10,8·10

-8

S

l

ρ

lepsze

coraz

↓

?

lepsze

jeszcze

←

}

}

2305

Typowa zależność oporu od temperatury dla przewodników me-

talicznych jest pokazana na rys.:

ρ

0

0

T

ρ

W przybliżeniu jest to zależność liniowa ρ ~ T

)

T

1

(

0

ρ

α

+

ρ

=

ρ

,

gdzie α - wsp. temperaturowy oporu właściwego [α]=Ωm/K, skoro

R~ ρ to podobnie

)

T

1

(

R

R

R

0

α

+

=

,

α

R

- wsp. temperaturowy oporu [α

R

]=Ω /K

NADPRZEWODNICTWO

Z dobrym przybliżeniem ρ ~ T jest zależnością liniową za wyjąt-

kiem temperatur bliskich zera bezwzględnego. Wtedy zaczyna od-

grywać rolę tzw. opór resztkowy

ρ

0

zależny w dużym stopniu od

czystości metalu.

Dla pewnej grupy metali, przy

ochładzaniu w temp. 0K - 9K

liniowa

zaleznosc

T

T

k

ρ

2306

występuje nagły całkowity zanik oporu.

Zjawisko to nosi nazwę

nadprzewodnictwa

- odkryte w 1911 r.

przez H.Kamerling Onnesa.

Nadprzewodnictwo niskotemperaturowe zachodzi dla grupy ok 20

metali (gł. grupy: III i IV oraz II i V):

III gr.: Al, Ga, In, La, Tl;
IV gr.: Ti, Zr, Sn, Hf, Pb, Th;
II gr.: Zn, Cd, Hg;
V gr.: V, Nb, Ta;
(oraz VI gr.: U; VI gr.: Re);
oraz stopy: NbSn

Nadprzewodniki są idealnymi diamagnetykami!!

Zjawisko nadprzewodnictwa tłumaczy kwantowa teoria BCS -

Bardeena, Coopera, Schrieffera:

"W stanie nadprzew. elektrony wiążą się w pary Coopera. Mogą się

przemieszczać w nadprzewodniku pod wpływem zewn. pola El. bez

rozproszeń. Łączenie elektronów w pary Coop. jest zjawiskiem ko-

lektywnym i zachodzi dzięki oddziaływaniu elektronów z drganiami

sieci krystalicznej (fononami)".

PRAWO OHMA

Jeżeli do przewodnika przyłożymy różnicę potencjałów V, to

przez przewodnik płynie prąd i.

Na początku XIX wieku Ohm zdefiniował

opór przewodnika

jako

napięcie podzielone przez natężenie prądu

2307

i

U

i

V

R

=

∆

=

Ze względu na fakt, że mamy zazwyczaj do czynienia ze źródłami

stałonapięciowymi lepiej

prawo Ohma

zapisać w postaci:

R

U

i =

Ω

=

1

V

1

A

1

Def.:

Natężenie prądu jakie płynie w elemencie obwodu o oporze

R, do którego przyłożono napięcie U jest proporcjonalne do U i od-

wrotnie proporcjonalne do R

.

R-nie ww. można zapisać :

U

R

1

i

⋅

=

, funkcja typu:

x

a

y

⋅

=

, 1/R jest wsp. proporcjonalno-

ści.

Charakterystyki i(V) różnych materiałów:

i

i

i

i

V

V

V

V

R

=C

on

st

metal

lampa elektronowa
złącze półprzew.

elektrolit

termistor

2308

"POLOWE" PRAWO OHMA

R

i

U

⋅

=

,

S

l

S

l

R

σ

=

ρ

=

,

S

j

i

⋅

=

,

E

d

U

l

U

=

=

.

S

l

S

j

E

l

⋅

σ

⋅

=

⋅

,

E

j

r

r

σ

=

Polowe Prawo Ohma j ~ E

wektorowe - analog

U

R

1

i

⋅

=

.

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA

εεεε

Aby utrzymać prąd potrzeba źródła energii elektrycznej. Np. ba-

terie, generatory.

Nazywamy je źródłami

siły elektromotorycznej SEM

ε. W takich

źródłach jeden rodzaj energii jest zamieniany na drugi.

Napięcie źródła U w ogólnym przypadku zmienia się w zależno-

ści od poboru prądu, a zatem czasem jest parametrem niewygod-

nym.

W potocznym ujęciu siła elektromotoryczna

ε jest napięciem na

zaciskach źródła rozwartego

(gdy nie czerpiemy prądu). [

ε

] = V

2309

OBWODY PRĄDU STAŁEGO

Łączenie oporów:

• szeregowe (ten sam prąd przez oporniki) R

z

= R

1

+ R

2

+ .....

• równoległe (to samo napięcie na opornikach)

1/R

z

= 1/R

1

+ 1/R

2

+ .....

W obwód prądu mogą być włączone tzw.:

- przewodniki I kl. tzn. oporniki (rezystancje) R

i

,

- przewodniki II kl.:

εεεε

i

Na każdym z takich przewodników następuje spadek napięcia, np:

ε

αβ

= V

β

- V

α

< 0,

ε

δγ

= V

δ

- V

γ

> 0

V

a

- V

α

= i R

1

V

β

- V

γ

= i R

2

V

δ

- V

b

= i R

3

V

a

- V

α

+ V

β

- V

γ

+ V

δ

- V

b

= i (R

1

+ R

2

+ R

3

)

(V

a

- V

b

) + (V

β

- V

α

) + (V

δ

- V

γ

) = i (R

1

+ R

2

+ R

3

)

a

a

R

R

R

R

R

R

b

b

- +

-

+

1

1

1

a

b

2

2

2

3

3

α

α

α

α

β

β

β

β

γ

γ

γ

γ

δ

δ

δ

δ

V

V

V

V

V

V

V

L

+

2310

(V

a

- V

b

) +

ε

αβ

+

ε

δγ

= i (R

1

+ R

2

+ R

3

)

∑

∑

=

=

=

=

⋅

=

ε

+

−

3

k

1

k

k

2

j

1

j

j

b

a

R

i

V

V

Ogólna postać pr. Ohma dla niejednorodnego obwodu otwartego;

"suma różnicy potencjałów na końcach obwodu i zawartych w

nim sił elektromotorycznych równa się iloczynowi natężenia

prądu w obwodzie i całkowitego oporu przewodników".

Dla obwodu zamkniętego tzn. gdy punkty a i b pokrywają się

V

a

- V

b

= 0:

∑

∑

⋅

=

ε

k

k

j

j

R

i

.

UOGÓLNIONE PRAWO OHMA DLA OGNIW I BATERII

W ogólnym przypadku źródła siły elektromotorycznej stawiają

istotny opór płynącemu prądowi - tzw. opór wewnętrzny R

w

.

Dla przypadku obwodu, w który włączymy "k" oporów zewn. R

zk

oraz "j" sił elektromotorycznych

εεεε

j

, każda o oporze wewnętrznym

R

wj

:













+

⋅

=

ε

∑

∑

∑

k

zk

j

wj

j

j

R

R

i

- Uogólnione Prawo Ohma Dla Ogniw I Baterii

2311

PRAWA KIRCHOFFA

I PK dotyczy "węzła":

algebraiczna suma natężeń prądów

spotykających się w węźle jest rów-

na zeru

0

i

k

k

=

∑

,

lub

∑

∑

=

od

d

i

i

II PK dot. "oczka sieci":

w dowolnym oczku sieci

(obwodzie

zamkniętym)

algebraiczna suma sił elek-

tromotorycznych równa się

sumie omowych spadków

napięć poszczególnych ga-

łęzi oczka

.

∑

∑

⋅

=

ε

j

k

k

k

j

R

i

I PK wynika z prawa zachowania ładunku, a II PK jest wynikiem

prawa zachowania energii.

R

2

R

1

R

4

R

3

-

+

2

- +

1

-

+

3

i

i

i

i

i

i

1

6

5

4

3

2

1

2312

Przykład 2

Reguator napięcia (rysunek).

I

2

R

2

ε

2

ε

1

R

1

I

1

I

3

Opornik R

1

ma napięcie określone przez

ε

1

a prąd pobiera z

ε

2

.

W każdej gałęzi obwodu trzeba z osobna przyjąć kierunek prądu i

jego natężenie. Prawdziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczo-

nego natężenia. Spadek napięcia pojawia się przy przejściu przez

każdy opornik w kierunku zgodnym z prądem. Przyrost napięcia

pojawia się przy przejściu przez źródło od "

−" do "+".

Zastosowanie II prawa Kirhoffa do:

"dużego" oczka:

ε

2

– i

2

R

2

– i

3

R

1

= 0

a dla "małego":

ε

1

– i

3

R

1

= 0

ε

2

–

ε

1

– i

2

R

2

= 0

)

(−

2313

2

1

2

2

R

i

ε

−

ε

=

Dla węzła I PK i

1

+ i

2

– i

3

= 0

skąd

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

3

1

R

R

1

R

1

R

R

i

i

i

ε

−













+

ε

=

ε

−

ε

−

ε

=

−

=

Zauważmy, że gdy dobrać warunki tak aby

2

2

2

1

1

R

R

1

R

1

ε

=













+

ε

to i

1

= 0 oraz

ε

1

nie daje żadnego prądu. Taki układ ma ważne za-

stosowanie praktyczne. Napięcie

ε

1

może być niskoprądowym

ogniwem wzorcowym, mimo że R

1

może pobierać duży prąd (głów-

nie z

ε

2

).

STRATY CIEPLNE - CIEPŁO JOULEA-LENTZA

Gdy elektron zderza się z atomem traci nadwyżkę energii, którą

uzyskał w polu elektrycznym.

Prądy mogą też płynąć w gazach i cieczach (np. lampy jarze-

niowe). W gazach prąd jest wynikiem ruchu nie tylko elektronów,

ale i jonów dodatnich. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem

gazu energia może zostać zaabsorbowana przez atom, a następ-

2314

nie wypromieniowana w postaci promieniowania elektromagne-

tycznego w tym również widzialnego.

Praca wykonana przez pole elektryczne przy przemieszczaniu

ładunku dq na drodze różnicy potencjałów U wynosi:

W = q · U

i odbywa się kosztem ubytku energii potencjalnej ładunku (lub

źródła): i = dq / dt, dla i = Const. q = i t

W = Q = U i t = i

2

R t

[W] = 1J = 1 V A s = 1 A

2

Ω s

i

U

dt

dt

i

U

dt

dW

P

⋅

=

⋅

⋅

=

=

,

A

V

1

W

1

s

1

J

1

]

P

[

⋅

=

=

=

R

i

R

U

i

U

P

2

2

⋅

=

=

⋅

=

straty mocy elektrycznej

.

OBWÓD RC

Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie:

I.

zamknięcie wyłącznika do pozycji (a) - ładowanie.

ε

R

C

a

b

Korzystamy z II prawa Kirchoffa.

2315

ε = U

R

+ U

C

U

R

= i R

C = q / U

C

C

q

iR +

=

ε

dt

dq

i =

,

C

q

R

dt

dq

+

=

ε

/: R

0

R

q

RC

1

dt

dq

=

ε

−

+

r-nie różniczk. I stopnia

Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać

)

e

1

(

q

q

RC

/

t

0

−

−

=

, gdzie q

0

= C·

ε

Prąd obliczamy różniczkując dq/dt

RC

/

t

0

e

RC

1

q

t

d

q

d

i

−

⋅













=

=

II.

Przełączymy wyłącznik do pozycji (b) - rozładowywanie konden-

satora.

W obwodzie nie ma

ε

i prawo Kirchoffa przyjmuje postać:

0

C

q

iR

=

+

czyli

0

q

RC

1

t

d

q

d

=

⋅

+

Rozwiązanie ma postać

2316

RC

/

t

0

e

q

q

−

=

gdzie q

0

jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.

Natężenie prądu

RC

/

t

0

e

RC

q

t

d

q

d

i

−

−

=

=

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora

wielkość RC ma wymiar czasu i jest nazywana

stałą czasową

ob-

wodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na kondensatorze nie osiąga

od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładniczo. Po-

dobnie przy rozładowaniu.

Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz i(t).

q

q

i

t

0

0

ładowanie

rozładowanie

-e

e

-x

-x

i

IiI

RC

RC

-

z

m

ia

n

a

k

ie

ru

n

k

u

p

rą

d

u

q

q

t

0

ładowanie

rozładowanie

1-

e

-x

e

-x

q

q

2317

DRGANIA RELAKSACYJNE

Gdy do obwodu RC dołączymy neonówkę (lampkę jarzeniową)

równolegle do C.

Neonówka charakteryzuje się:

- napięciem zapłonu U

z

,

- napięciem gaśnięcia U

g

(U

g

< U

z

).

ε

+

-

C

N

R

U

U

t

z

g

ε

z

U

ln

RC

T

−

ε

ε

⋅

=

2318

ZJAWISKO TERMOELEKTRYCZNE

Zjaw. J.Seebecka 1821

- złącza dwóch odcinków drutu wykonanych z różnych metali

umieszczone w różnych temperaturach wytwarzają siłę elektromo-

toryczną (tzw. siłę termoelektryczną).

Typy termopar:

Me-

tale

mo

żna

usz

ere

gować w szereg ze względu

na

tzw. pracę wyjścia (szereg napięciowy):

Met

Se

Sb

Fe

Zn

Cu

Al

Pt

Bi

µV/K 997

32

13,4

0,3

0,0

-3,2

-5,9

-72,8

Termopara składa się z dwóch zespawanych metali, np:

Cu-Konstantan, Fe-Konstantan

Przy ogrzewaniu zmienia się wartość napięcia kontaktowego styka-

jącej się pary metali:

G

K

o

n

st

a

n

ta

n

Miedź

T

T

1

2

Termopara Laboratoryjna

G

K

o

n

s

ta

n

ta

n

M

ie

dź

T

T

1

2

Termopara Techniczna

2319

ε

=

α T (+ β T

2

+ ...), gdzie

α - wsp. termoelektryczny

Mechanizm powstawania STE:

Złą-

cza

Z

1

i Z

2

w

różnych temperaturach:

e V = f(T)

Zalety termopar:

- mała pojemność cieplna,

- końcówka może być umieszczana daleko od miernika.

Zjawisko Peltiera jest zjawiskiem odwrotnym do termoelektrycz-

nego: wytwarzanie ∆T pod wpływem przyłożonego

εεεε

G

G

T

T

1

2

1

1

2

Z

T

T

Z

1

1

2

2

Ε

p

Φ

Φ

Φ Φ Φ

1

2

1

2

+

Φ eV

1

2

-

- - - - -

=

-

=

1

2

=

przed złączeniem

po złączeniu

2320

Wykorzystanie do ochładzania (ogrzewania).