1.

a. lim

x→3

9

x

2

−

>

6

2x − 1

9

x

2

− 5

=

9 − 6 − 1

9 − 5

=

2

4

=

1

2

b. lim

x→0

(

>

0

x + 1)

>

1

e

x

:

1

cos x

= 1

c. lim

x→2

x

2

− 4

x − 2

= lim

x→2

(x − 2)(x + 2)

x − 2

= 1

d. lim

x→1

x

3

− 1

x

2

− 1

= lim

x→1

(x − 1)(x

2

+ x + 1)

(x + 1)

(x − 1)

=

3

2

e. lim

x→1

1

x − 1

−

2

x

2

− 1

= lim

x→1

x + 1 − 2

(x − 1)(x + 1)

= lim

x→1

x − 1

(x − 1)(x + 1)

=

1

2

f. lim

x→∞

2x

3

+ x

2

− x − 1

5x

3

+ x

2

− x + 1

= lim

x→∞

1

x

3

(2 +

0

1
x

−

7

0

1

x

2

−

0

1

x

3

)

1

x

3

(5 +

0

1
x

−

7

0

1

x

2

+

7

0

1

x

3

)

=

2

5

g. lim

x→∞

2x

3

+ x

2

− x − 1

5x

2

+ x + 1

= lim

x→∞

1

x

2

(2x +

0

1
x

−

7

0

1

x

2

−

7

0

1

x

3

)

1

x

2

(5 +

0

1

x

+

7

0

1

x

2

)

= ∞

h. lim

x→∞

2x

2

+ x

2

− x − 1

5x

3

+ x

2

− x + 1

= lim

x→∞

1

x

3

(

7

0

2

x

3

+

0

1
x

−

7

0

1

x

2

−

0

1

x

3

)

1

x

3

(5 +

0

1
x

−

7

0

1

x

2

+

7

0

1

x

3

)

= 0

i. lim

x→−∞

2x

4

+ 1

5x

2

− x

j. lim

x→5

√

5x − 5

x − 5

k. lim

x→0

sin 3x

5x

= lim

x→0

sin 3x

3x

·

3

5

=

3

5

l. lim

x→0

tg 2x

7x

= lim

x→0

sin 2x

2x cos 2x

·

2

7

=

2

7

m. lim

x→0

1 − cos x

x

2

= lim

x→0

1 − cos

2

x

x

2

(1 + cos x)

= lim

x→0

sin x

x

2

·

1

1 + cos x

=

1

2

n. lim

x→0

sin 3x

sin 2x

= lim

x→0

sin 3x

3x

sin 2x

2x

·

3

2

=

3

2

o. lim

x→0

tg x − sin x

x

3

= lim

x→0

sin x

cos x

− sin x

x

3

= lim

x→0

sin x(1 − cos x)

x

3

cos x

= lim

x→0

sin x(1 − cos x)

x

3

cos x

·

1 + cos x

1 + cos x

=

lim

x→0

sin

3

x

x

3

(cos x + cos

2

x)

= lim

x→0

1

sin

3

x

x

3

·

1

:

1

cos x +

:

1

cos

2

x

=

1

2

p. lim

x→0

4x

3 sin 2x

= lim

x→0

2

3

>

1

sin 2x

2x

=

2

3

1

q. lim

x→

π

2

sin x

x

r. lim

x→∞

sin x

x

= 0

(na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach)

s. lim

x→∞

1 +

1

x

x

2

= lim

x→∞

1 +

1

x

x

x

= +∞

t. lim

x→−∞

1 +

1

x

x

2

= lim

x→−∞

1 +

1

x

x

x

= 0

u. lim

x→∞

1 +

3

x

x

= lim

x→∞

1 +

3

x

x
3

!

3

= e

3

v. lim

x→∞

x + 1

x − 3

x

= lim

x→∞

x − 3 + 4

x − 3

x

= lim

x→∞

1 +

4

x − 3

x

=

= lim

x→∞





1 +

4

x − 3

x−3

4





4

1 +

4

x − 3

3

= e

4

w. lim

x→∞

(

√

x + 5 −

√

x) = lim

x→∞

√

x + 5 −

√

x

√

x + 5 +

√

x

√

x + 5 +

√

x

= lim

x→∞

5

√

x + 5 +

√

x

= 0

x. lim

x→∞

(x +

3

√

1 − x

3

)

y. lim

x→0

x

2

+ x

1 −

√

x + 1

2