Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
Zadanie 3
Oblicz naprÄ™\
enia i odkształcenia w betonie i stali dla przekroju prostokątnego
w fazie IIa (tu\
po zarysowaniu). Wielkości naprę\
eń wyznaczyć w przekrojach przez
rysę oraz między rysami. Obcią\
enia mają charakter krótkotrwały. Przekrój jest
pojedynczo zbrojony.
1. Geometria i zbrojenie
a = 35 mm
1
a = 30 mm
2
d = h  a = 45  3,5 = 41,5 cm
1
Ä„ Å"1,62
As1 = 3 Å" = 6,032 cm2
4
2. Dane materiałowe
Beton C20/25
E = 30 GPa  moduł sprę\
ystości betonu
cm
f = 2,2 MPa  wytrzymałość średnia na rozciąganie
ctm
(norma PN EN 1992 1 1:2008, tablica 3.1)
Stal A IIIN
E = 200 GPa  moduł sprę\
ystości stali
s
Współczynnik określający wspólną odkształcalność betonu oraz stali pod wpływem
działania obcią\
eń krótkotrwałych
Es
200
Ä…e = = = 6,667 [-]
Ecm 30
3. Charakterystyki geometryczne przekroju
W celu wyznaczenia charakterystyk geometrycznych wprowadzamy zastępczy
przekrój betonowy. Przekrój jest pojedynczo zbrojony, więc pręty górne traktowane
są jako zbrojenie konstrukcyjne i nie będą uwzględniane w obliczeniach.
W fazie IIa, z uwagi na zarysowanie (à > f ), beton przenosi tylko ściskanie,
ct ctm
natomiast zbrojenie rozciÄ…ganie.
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 3 1
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
Wyznaczenie poło\
enia osi obojętnej przekroju zastępczego:
Równanie sumy momentów statycznych, obliczonych względem osi obojętnej
przekroju:
Ä…eAs1(d - xII )- bxII Å" 0,5xII = 0
2
0,5bxII + Ä…eAs1xII - Ä…eAs1d = 0
WprowadzajÄ…c do powy\
szego równania kwadratowego stopień zbrojenia
As1
rozciÄ…ganego elementu Á = otrzymujemy rozwiÄ…zanie w postaci:
b Å" d
xII = d[ ÁÄ…e(2 + ÁÄ…e) - ÁÄ…e]
As1 6,032 Å"10-4
Á = = = 0,0058 [-]
b Å" d 0,25 Å" 0,415
xII = 0,415 Å"[ 0,0058 Å"6,667(2 + 0,0058 Å"6,667) - 0,0058 Å"6,667]= 0,101m
Moment bezwładności przekroju:
3
bxII
2
III = + Ä…eAs1(d - xII )
3
0,25 Å" 0,1013
2
III = + 6,667 Å"6,032 Å"10-4 Å"(0,415 - 0,101) = 4,823 Å"10-4 m4
3
4. Wyznaczenie wielkości naprę\
eń i odkształceń wywołanych momentem
rysujÄ…cym tu\
po zarysowaniu.
Wielkości momentu rysującego M = 18,5625 kNm, wyznaczono w zadaniu 1.
cr
4.1. NaprÄ™\
enia i odkształcenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu w przekroju
przez rysÄ™
Mcr 18,5625
à = Å" xII = Å" 0,101= 3,87 MPa
c
III 4,823 Å"10-4
Ã
3,87
c
µ = = Å"103 0 = 0,129 0
c
Ecm
30 Å"103
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 3 2
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
4.2. NaprÄ™\
enia i odkształcenia w skrajnym rozciąganym włóknie betonu w
przekroju przez rysÄ™
à = 0 MPa
ct
Wartość odkształceń skrajnego rozciąganego włókna betonu mo\
na wyznaczyć
z wykresu odkształceń na podstawie twierdzenia Talesa:
µc µct µc(h - xII ) 0,129Å"(0,45 - 0,101)
= Ò! µct = = = 0,448 0
xII h - xII xII 0,101
4.3. NaprÄ™\
enia i odkształcenia w zbrojeniu rozciąganym w przekroju przez rysę
Mcr 18,5625
à = Ä…e Å"(d - xII )= 6,667Å" Å" 0,314 = 80,67 MPa
s1
III 4,823 Å"10-4
à 80,68
s1
µ = = Å"103 0 = 0,403 0
s1
Es 200 Å"103
4.4. Średnie odkształcenia w przekroju pomiędzy rysami wg EN 199211:2004
fct,eff
à kt Ã
s s
µ - µcm = - (1+ Ä…eÁp,eff )e" 0,6
sm
Es Es Áp,eff Es
à naprę\
anie w zbrojeniu rozciąganym, obliczone przy zało\
eniu, \
e
s
przekrój jest zarysowany
k  współczynnik zale\
ny od czasu trwania obciÄ…\
enia
t
k = 0,6  przy obciÄ…\
eniu krótkotrwałym
t
k = 0,4  przy obciÄ…\
eniu długotrwałym
t
f  średnia wartość wytrzymałości na rozciąganie, osiągnięta w chwili, w
ct,eff
której  jak się oczekuje  powstaną rysy. W przypadku zarysowania po
28 dniach f = f
ct,eff ctm
'
As + ¾12Ap
Áp,eff =
Ac,eff
¾  skorygowany w zale\
ności od średnic stali sprę\
ajÄ…cej i zbrojeniowej,
1
stosunek sił przyczepności
A   pole przekroju cięgien sprę\
ajÄ…cych le\
Ä…cych w granicach A
p c,eff
A  efektywne pole betonu rozciÄ…ganego otaczajÄ…cego zbrojenie o
c,eff
wysokości h = min: 2,5(h  d); (h  x)/3; h/2
c,eff
hc,eff = min(2,5(0,45 - 0,415); (0,45 - 0,101)/ 3; 0,45/ 2)= 0,116 m
Ac,eff = hc,eff Å" b = 0,116 Å" 0,25 = 0,0291m2
6,032 Å"10-4
Áp,eff = = 0,021[-]
0,0291
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 3 3
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
80,67 0,6 2,2
µ - µcm = - (1+ 6,667Å" 0,021)Å"103 0 = 0,0410
sm
200 Å"103 200 Å"103 0,021
à 80,67
s
µ - µcm = 0,0410 e" 0,6 = 0,6 Å" Å"103 0 = 0,242 0
sm
Es 200 Å"103
5. Uwagi i wnioski
" Dla tej samej wielkości momentu zginającego M = M w chwili tu\
przed
sd cr
zarysowaniem, naprÄ™\
enia w skrajnym ściskanym włóknie betonu wynosiły
à = 2,11 MPa, natomiast po zarysowaniu wzrosły do wielkości à = 3,87 MPa.
c c
W wyniku zarysowania nastąpił przyrost naprę\
eń w betonie o 83,41%.
" NaprÄ™\
enia w zbrojeniu rozciąganym zwiększyły się z à = 11,14 MPa do
s1
à = 80,67 MPa w wyniku przekroczenia wytrzymałości betonu na rozciąganie
s1
co stanowiło przyrost o 624,15% w stosunku do wielkości przed zarysowaniem.
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 3 4