Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
Zadanie 5
Sprawdz
nośność elementu \
elbetowego o przekroju prostokÄ…tnym i teowym,
podwójnie zbrojonego.
1. Geometria przekroju
1.1. Przekrój prostokątny  1 1.2. Przekrój prostokątny  2
1.3. Przekrój teowy  1 1.4. Przekrój teowy  2
a = 3,5 cm pręty Ć16 uło\
one w jednym rzędzie a = 3 cm
1 2
a = 6,5 cm pręty Ć25 uło\
one w dwóch rzędach
1
d = h  a = 45  3,5 = 41,5 cm
1
d = h  a = 45  6,5 = 38,5 cm
1
2. Dane materiałowe
Beton C20/25:
fck 20
fcd = = = 14,286 MPa  wytrzymałość obliczeniowa na ściskanie
Å‚ 1,4
c
Stal:
f = 500 MPa  obliczeniowa granica plastyczności
yk
fyk 500
fyd = = = 434,783 MPa obliczeniowa granica plastyczności
Å‚ 1,15
s
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 5 1
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
µcu1 3,5 Å"10-3
¾eff,lim = 0,8 = 0,8 = 0,493  graniczna wzglÄ™dna
fyd 434,783
3,5 Å"10-3 +
µ +
cu1
200 Å"103
Es
wysokość strefy ściskanej
3. Nośność przekroju prostokątnego  1
1,62 Å"Ä„
As1 = 3 Å" = 6,032 cm2
4
1,02 Å"Ä„
As2 = 2 Å" = 1,571cm2
4
b = 0,25 m
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
b Å" xeff Å" fcd + As2 Å" fyd = As1 Å" fyd
fyd
(As1 - As2 )Å" = (6,032 -1,571)Å"10-4 434,783
xeff = Å" = 0,0543 m
b fcd 0,25 14,286
xeff 0,0543
¾eff = = = 0,131[-]
d 0,415
¾eff = 0,131d" ¾eff,lim = 0,493 Ò! zbrojenie rozciÄ…gane w przekroju jest w peÅ‚ni
wykorzystane à = f
s yd
x = 5,431 cm d" 2a = 6 cm Ò! zakÅ‚adamy, \
e wypadkowa siła F działa w osi
eff 2 c
zbrojenia ściskanego A , nośności oblicza się
s2
na podstawie sumy momentów względem
zbrojenia ściskanego poło\
onego w odległości
a od krawędzi
2
MRd = Fs1 Å" z = Fs1 Å"(d - a2 ) = As1 Å" fyd Å"(d - a2 )
MRd = 6,032 Å"10-4 Å" 434,783 Å"(0,415 - 0,03)
M d" M = 100,968 kNm
Sd Rd
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 5 2
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
4. Nośność przekroju prostokątnego  2
2,52 Å"Ä„
As1 = 5 Å" = 24,544 cm2
4
1,02 Å"Ä„
As2 = 2 Å" = 1,571cm2
4
d = 38,5 cm
b = 25 cm
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
b Å" xeff Å" fcd + As2 Å" fyd = As1 Å" fyd
fyd
(As1 - As2 )Å" = (25,544 -1,571)Å" 434,783
xeff = = 0,280 m
b fcd 0,25 14,286
xeff 0,280
¾eff = = = 0,726 [-]
d 0,385
¾eff = 0,726 > ¾eff,lim = 0,493 Ò! do dalszych obliczeÅ„ przyjmujemy ¾ = ¾ =
eff eff,lim
0,493 poniewa\
, gdy względna wysokość strefy
ściskanej jest równa granicznej, beton ulega
zniszczeniu przez mia\
d\
enie
xeff,lim = ¾eff,lim Å" d = 0,493 Å" 0,385 = 0,190 [-]
Nośność obliczamy zapisując sumę momentów względem zbrojenia ściskanego:
MRd = Fs1 Å" z1 - Fc Å" z2
Fs1 = As1 Å" fyd = 24,544 Å"10-4 Å" 434,783 Å"103 = 1067,117 kN
Fc = b Å" xeff,lim Å" fcd = 0,25 Å" 0,190 Å"14,286 Å"103 = 678,544 kN
z = d  a = 0,385  0,03 = 0,355 m
1 2
z = 0,5 x  a = 0,095  0,03 = 0,065 m
2 eff 2
MRd = (1067,117 Å" 0,355 - 678,544 Å" 0,065)
M d" M = 334,724 kNm
Sd Rd
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 5 3
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
5. Nośność przekroju teowego  1
1,62 Å"Ä„
As1 = 3 Å" = 6,032 cm2
4
1,02 Å"Ä„
As2 = 4 Å" = 3,142 cm2
4
d = 41,5 cm
b = 15 cm b = 45 cm
w eff
Zakładamy przekrój pozornie teowy:
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
beff Å" xeff Å" fcd + As2 Å" fyd = As1 Å" fyd
fyd
(As1 - As2 )Å" = (6,032 - 3,142)Å"10-4 434,783
xeff = Å" = 0,0196 m
beff fcd 0,45 14,286
x = 1,96 < h = 15 cm Ò! zaÅ‚o\
enie przekroju pozornie teowego poprawne
eff f
xeff 0,0196
¾eff = = = 0,047 [-]
d 0,415
¾eff = 0,047 d" ¾eff,lim = 0,493 Ò! zbrojenie rozciÄ…gane w przekroju jest w peÅ‚ni
wykorzystane à = f
s yd
x = 1,96 cm d" 2a = 6 cm Ò! zakÅ‚adamy, \
e wypadkowa siła F działa w osi
eff 2 c
zbrojenia ściskanego A , nośności oblicza się
s2
na podstawie sumy momentów względem
zbrojenia ściskanego poło\
onego w odległości
a od krawędzi
2
MRd = Fs1 Å" z = Fs1 Å"(d - a2 ) = As1 Å" fyd Å"(d - a2 )
MRd = 6,032 Å"10-4 Å" 434,783 Å"(0,415 - 0,03)
M d" M = 100,968 kNm
Sd Rd
Wniosek:
je\
eli wysokość strefy ściskanej spełnia warunek x < 2a to przy takiej samej
eff 2
wysokości u\
ytecznej przekroju d oraz ilości zbrojenia rozciąganego A , nośność
s1
przekroju prostokątnego i teowego będzie taka sama.
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 5 4
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
6. Nośność przekroju teowego  2
2,52 Å"Ä„
As1 = 4 Å" = 19,635 cm2
4
1,02 Å"Ä„
As2 = 4 Å" = 3,142 cm2
4
d = 38,5 cm
b = 15 cm b = 45 cm
w eff
Zakładamy przekrój pozornie teowy:
Z równowagi sił: F + F = F
c s2 s1
beff Å" xeff Å" fcd + As2 Å" fyd = As1 Å" fyd
fyd
(As1 - As2 )Å" = (19,635 - 3,142)Å"10-4 434,783
xeff = Å" = 0,112 m
beff fcd 0,45 14,286
x = 11,2< h = 8 cm Ò! zaÅ‚o\
enie przekroju pozornie teowego błędne
eff f
Tok postępowania jest analogiczny jak w przypadku przekroju rzeczywiście teowego,
pojedynczo zbrojonego, z tą ró\
nicÄ… , \
e w strefie ściskaną dodatkowo występuje siła
ściskająca F przenoszona przez zbrojenie A .
s2 s2
Fc1 = (beff - bw)Å" hf Å" fcd
Fc2 = xeff Å" bw Å" fcd
Fs1 = As1 Å" fyd
Fs2 = As2 Å" fyd
Z równowagi sił w przekroju wyznaczamy rzeczywisty zasięg strefy ściskanej:
Fc1 + Fc2 + Fs2 = Fs1
(beff - bw )Å" hf Å" fcd + xeff Å" bw Å" fcd + As2 Å" fyd = As1 Å" fyd
(As1 - As2)Å" fyd - (beff - bw)Å" hf Å" fcd
xeff =
bw Å" fcd
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 5 5
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu Pomoce dydaktyczne
(19,635 - 3,142)Å"10-4 Å" 434,783 - (0,45 - 0,15)Å" 0,08 Å"14,286
xeff = = 0,175 m
0,15 Å"14,286
xeff 0,175
¾eff = = = 0,454 [-]
d 0,385
¾eff = 0,454 < ¾eff,lim = 0,493 Ò! zbrojenie rozciÄ…gane w przekroju jest w peÅ‚ni
wykorzystane à = f
s yd
Nośność przekroju rzeczywiście teowego:
MRd = MRd,1 + MRd,2 + MRd,3 = Fc1 Å" zc1 + Fc2 Å" zc2 + Fs2 Å" zs3
Fc1 = (beff - bw )Å" hf Å" fcd = (0,45 - 0,15)Å" 0,08 Å"14,286 Å"103 = 342,857 kN
hf
zc1 = d - = 0,385 - 0,04 = 0,345 m
2
Fc2 = xeff Å" bw Å" fcd = 0,175 Å" 0,15 Å"14,286 Å"103 = 374,246 kN
xeff
zc2 = d - = 0,385 - 0,5 Å" 0,175 = 0,298 m
2
Fs2 = As2 Å" fyd = 3,142 Å"10-4 Å" 434,783 Å"103 = 136,591kN
zs = d - a2 = 0,385 - 0,03 = 0,355 m
MSd d" MRd = (342,875 Å" 0,345 + 374,246 Å" 0,298 +136,591Å" 0,355) = 278,179 kNm
Opracowanie: M. Sikorska Zadanie 5 6