1

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie
ulegająca

zmianie

podczas

różnorodnych

przemian, które zachodzą w przyrodzie.

Energia może występować w różnych postaciach. Mamy
energie grawitacyjną, kinetyczną, sprężystą, cieplną,
elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową i energię
masy.

POLE SIŁ

Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym
każdemu

punktowi

P

jest

jednoznacznie

przyporządkowana pewna wielkość A(P).

Pole sił - obszar przestrzeni, w którym każdemu
punktowi przyporządkowany jest pewien wektor
określający, jaka siła działałaby na dane ciało gdyby
umieszczono je w tym punkcie.

Stacjonarne pole sił nie zmienia się w czasie

2

PRACA

Praca elementarna dW wykonana przez siłę

F

przy przesunięciu ciała o element przyrostu drogi

s

d

na tyle mały, że F = const.

r

d

r

F

dW

)

(

=

[1J =1Nm]

3

PRACA

i

n

i

i

i

n

r

AB

r

r

F

W

i

∆

⋅

=

∑

=

∞

→

→

∆

1

0

)

(

lim

∫

=

B

A

AB

r

d

r

F

W

)

(

1D

4

PRZYKŁAD PRACY

dW = F(x) dx

∫

=

B

A

AB

dx

x

F

W

)

(

5

POLE ZACHOWAWCZE

W ogólnym przypadku

W

s1

≠

W

s2

≠

W

s3

.

Siły, albo pola sił mające tę własność, że praca
zależy tylko od położenia punktu początkowego i
końcowego, a nie zależy od drogi po jakiej została
wykonana nazywamy zachowawczymi.

W zachowawczym polu sił praca po drodze
zamkniętej jest równa zeru.

Siły grawitacyjne lub elektrostatyczne.

∫

=

→

→

→

0

)

(

s

d

r

F

6

POLA NIEZACHOWAWCZE

7

ENERGIA POTENCJALNA

Ponieważ praca jest wielkością skalarną, zależną tylko od
wartości całki

∫

=

B

A

AB

r

d

r

F

W

)

(

w punktach A i B to możemy określić funkcję skalarną V
taką, że

Dla punktów bardzo blisko położonych

W

AB

= dW

dW =

−

dV

czyli

dV

Fds

= −

z

y

x

F

z

F

y

F

x

F

ˆ

ˆ

ˆ

+

+

=

dz

z

dy

y

dx

x

s

d

ˆ

ˆ

ˆ

+

+

=

dV = - ( F

x

dx + F

y

dy + F

z

dz )

Pochodna cząstkowa

.

.

const

z

const

y

dx

dV

x

V

=

=

≡

∂

∂

)

(

)

(

→

→

−

=

B

A

AB

r

V

r

V

W

8

GRADIENT

dV = - ( F

x

dx + F

y

dy + F

z

dz )

x

z

y

x

F

dx

dz

F

dx

dy

F

dx

dx

F

dx

dV

−

=













+

+

−

=

x

F

x

V

−

=

∂

∂

y

F

y

V

−

=

∂

∂

z

F

z

V

−

=

∂

∂













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

→

z

V

z

y

V

y

x

V

x

F

ˆ

ˆ

ˆ

V

z

z

y

y

x

x

F













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

→

ˆ

ˆ

ˆ

Operator gradient













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

≡

∇

≡

→

z

z

y

y

x

x

grad

ˆ

ˆ

ˆ

)

(

)

(

r

V

grad

r

F

→

−

=

V

F

→

→

∇

−

=

9

ENERGIA POTENCJALNA













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

z

z

y

y

x

x

ˆ

ˆ

ˆ

)

(r

V

energia potencjalna

)

(r

F

→

siła potencjalna

gdzie

)

(

,

)

(

B

B

A

A

r

V

V

r

V

V

≡

≡

)

(r

V

jest określone z dokładnością do stałej:

V’ = V + A spełnia równanie

AB

B

A

W

r

V

r

V

=

−

→

→

)

(

'

)

(

'

Ż

eby V było określone jednoznacznie trzeba ustalić

jego wartość w którymś punkcie, np. V(

∞

) = 0

V

F

→

→

∇

−

=

∫

=

−

B

A

B

A

s

d

r

F

V

V

)

(

∫

∞

=

A

A

s

d

r

F

V

)

(

10

ENERGIA KINETYCZNA

1. Praca wykonana nad układem przy przejściu od A do B

∑ ∫

=

i

B

A

i

i

AB

i

i

s

d

F

W

gdzie

∑

→

→

→

+

=

j

ji

z

i

i

F

F

F

)

(

∑ ∫

∑ ∫

+

=

i

B

A

j

i

B

A

i

i

j

i

z

i

AB

s

d

F

s

d

F

W

,

,

)

(

W

AB

= V

A

- V

B

∑

∑

<

+

=

i

j

i

j

i

j

i

z

i

V

V

V

,

,

)

(

2.

Praca wykonana nad układem przy przejściu od A do B

∑ ∫

→

→

=

i

B

A

i

i

AB

s

d

F

W

dt

v

d

m

F

i

i

i

→

→

=

oraz

dt

v

s

d

i

i

=

dt

v

dt

v

d

m

W

i

i

B

A

i

i

AB



∑ ∫

→

=

11

ENERGIA KINETYCZNA

dt

v

dt

v

d

m

W

i

i

B

A

i

i

AB



∑ ∫

→

=

dt

x

d

x

dt

x

d

x

x

dt

x

d

x

x

dt

d

x

dt

d

2

)

(

)

(

2

=

+

=

⋅

=

(

)

∑

∑ ∫

∑

∫

−

=

=

=

i

i

i

i

i

B

A

i

B

A

i

i

i

i

AB

A

v

B

v

m

v

d

m

dt

v

dt

d

m

W

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

∑

∑

−

=

i

i

i

i

i

i

AB

A

v

m

B

v

m

W

2

2

1

2

2

1

)

(

)

(

W

AB

= T

B

- T

A

∑

=

i

i

i

A

A

v

m

T

)

(

2

1

2

energia kinetyczna układu w stanie A

2

2

1

i

i

i

v

m

T

=

energia kinetyczna i-tego punktu

12

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

MECHANICZNEJ

1. W

AB

= V

A

- V

B

2.

W

AB

= T

B

- T

A

T

B

- T

A

= V

A

- V

B

T

A

+ V

A

= T

B

+ V

B

=

E

gdzie

∑

=

i

i

i

A

A

v

m

T

)

(

2

1

2

- energia kinetyczna układu w stanie A

( )

A

A

V

F r ds

∞

=

∫

- energia potencjalna układu w stanie

A

Jeżeli siły działające na każdy z punktów materialnych
układu odizolowanego są siłami zachowawczymi to
całkowita energia mechaniczna układu T+V nie ulega
zmianie.

13

SIŁY NIEPOTENCJALNE

Istnieje wiele sił dla których nie można określić potencjału:

•

siła Lorenza

→

→

→

=

B

x

V

q

F

jest zawsze prostopadła do

kierunku ruchu czastki - nie wykonuje więc pracy

•

siły niepotencjalne (siły tarcia i oporu ośrodka), które
powodują straty energii mechanicznej.

STUDNIA POTENCJAŁU

Ruch liniowy o jednym stopniu swobody - 1D

E = const.

F

dV

dx

tg

= −

= −

α

14

ZASADA ZACHOWANIA

LICZBY LEPTONOWEJ I LICZBY BARIONOWEJ

W układzie zamkniętym suma liczb leptonowych i liczb

barionowych pozostaje stała niezależnie od przebiegających
procesów

Λ

0

→

p

+

+

π

−

µ

−

→

e

−

+

ν

µ

+ ν

e

15

ZASADY ZACHOWANIA A SYMETRIA W

PRZYRODZIE

•

Zasada zachowania pędu wynika z niezmienniczości
względem przesunięcia przestrzennego będącej
konsekwencją jednorodności przestrzeni

•

Zasada zachowania momentu pędu z niezmienniczości
względem obrotu przestrzennego – izotropowości
przestrzeni

•

Zasada zachowania energii z niezmienniczości względem
przesunięcia w czasie – jednorodności czasu.

Twierdzenie Noether

Każdemu rodzajowi symetrii w przyrodzie

odpowiada określona zasada zachowania.

Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń fizyki współczesnej.
(Emma Noether 1918 r. )

Najgłębszym poziomem poznania fizycznego są ogólne
zasady wyjawiające związki między prawami fizyki.