1

Praca i energia

Praca wykonana przez sił

ę

stał

ą

Definicja

Praca W wykonana przez stał

ą

sił

ę

F jest iloczynem skalarnym tej siły

F i wektora przesuni

ę

cia s

α

cos

Fs

W

=

⋅

=

s

F

Przykład

Prac

ę

wykonuje tylko składowa Fs = Fcos

α

styczna do przesuni

ę

cia s

W > 0 gdy

α

< 90˚,

W < 0 gdy a > 90˚

siła tarcia T przeciwstawiaj

ą

ca si

ę

ruchowi

(

α

= 180°)

W = T·s = T s cos 180° = -T s

PRACA

2

Praca wykonana przez sił

ę

zmienn

ą

Przykład:

Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)

i

i

i

x

F

W

∆

=

∆

∑

∫

∞

=

→

∆

=

∆

=

1

0

2

1

d

)

(

lim

i

x

x

i

i

x

x

x

F

x

F

W

)

(

1

2

__

x

x

F

W

−

=

Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach
odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzyw

ą

F(x) w zadanym przedziale

Ogólnie:

z

F

y

F

x

F

W

z

y

x

∆

+

∆

+

∆

=

∆

praca elementarna

∫

=

B

A

W

r

r

F

d

)

(

praca

Przykłady:

Praca siły do

ś

rodkowej (prostopadłej do toru):

0

=

W

r

F

∆

⋅

=

∆

W

Praca w polu siły ci

ęż

ko

ś

ci:

mgh

dy

mg

W

h

=

=

∫

0

Praca przeciw sile spr

ęż

ysto

ś

ci:

∫

∫

=

=

=

=

x

x

x

kx

kx

x

kx

x

x

F

W

0

0

2

0

2

2

2

'

'

d

)

'

(

d

)

'

(

kx

F

S

−

=

kx

F

=

3

t

W

P

=

__

Definicja

Moc definiujemy jako ilo

ść

wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w

jakim została ona wykonana.

Moc

ś

rednia

v

F

t

Fs

P

=

=

__

Moc chwilowa

t

W

P

d

d

=

Jednostki

Jednostk

ą

mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych

powszechnie stosowan

ą

jednostk

ą

mocy jest kilowat (kW), a jednostk

ą

energii

(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).

Moc

dla stałej siły:

Fv

dt

ds

F

P

=

=

__

Praca przy rozp

ę

dzaniu ciała

(przeciw sile bezwładno

ś

ci)

Prawa

1) Praca wykonana przez sił

ę

F działaj

ą

c

ą

na ciało o masie m jest równa

zmianie energii kinetycznej tego ciała.
2) Wykonana praca została „zmagazynowana” w postaci ruchu ciała – ciało
mo

ż

e odda

ć

t

ą

prac

ę

ale wtedy zmniejszy pr

ę

dko

ść

.

Jednostki

Jednostk

ą

pracy i energii jest w układzie SI d

ż

ul (J); 1J = 1N·m.

W fizyce atomowej powszechnie u

ż

ywa si

ę

jednostki elektronowolt (eV);

1eV = 1.6·10

-19

J.

ENERGIA

Energia kinetyczna

2

2

2

2

0

2

0

0

mv

mv

t

v

v

t

v

v

m

s

ma

s

F

W

−

=













+













−

=

⋅

=

⋅

=

k

k

k

k

E

E

E

W

mv

E

∆

=

−

=

⇒

=

0

2

2

Definicja

Połow

ę

iloczynu masy ciała i kwadratu pr

ę

dko

ś

ci nazywamy energi

ą

kinetyczn

ą

E

k

ciała o masie m:

2

)

(

2

)

(

2

0

2

0

0

2

0

t

v

v

t

t

v

v

t

v

at

t

v

s

+

=













−

+

=













+

=

4

Przykład:

rzut pionowy (bez oporu powietrza !!!)

Ciało rzucone do góry, wraca z

t

ą

sam

ą

pr

ę

dko

ś

ci

ą

i energi

ą

kinetyczn

ą

Po przebyciu zamkni

ę

tej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmienia si

ę

Praca wykonana przez sił

ę

grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa

zeru

Definicja

Siła jest zachowawcza, je

ż

eli praca wykonana przez t

ę

sił

ę

nad punktem

materialnym, który porusza si

ę

po dowolnej drodze zamkni

ę

tej jest równa zeru.

Siła grawitacji jest sił

ą

zachowawcz

ą

. Podobnie siła spr

ęż

ysta wywierana przez spr

ęż

yn

ę

.

Gdy wyst

ę

puje

opór powietrza

praca wykonywana przez sił

ę

oporu jest ujemna dla ka

ż

dej cz

ęś

ci

cyklu (przeciwstawia si

ę

ruchowi ciało) wi

ę

c zostaje wykonana praca

ró

ż

na od zera

Siła oporu powietrza jest sił

ą

niezachowawcz

ą

. Podobnie siła tarcia.

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Praca wykonana przez sił

ę

zachowawcz

ą

nie zale

ż

y od wyboru drogi ł

ą

cz

ą

cej

dwa punkty ale od ich wzajemnego poło

ż

enia

0

2

1

=

+

A

B

B

A

W

W

A

B

B

A

W

W

2

1

−

=

A

B

B

A

W

W

2

2

−

=

B

A

B

A

W

W

2

1

=

5

Gdy działaj

ą

siły zachowawcze

, mo

ż

na wprowadzi

ć

poj

ę

cie

energii potencjalnej E

p

.

Energi

ę

potencjaln

ą

mo

ż

na traktowa

ć

jako zgromadzon

ą

w polu sił zachowawczych

prac

ę

, która mo

ż

e by

ć

w przyszło

ś

ci całkowicie odzyskana lub zamieniona na inn

ą

u

ż

yteczn

ą

form

ę

energii.

Energi

ę

potencjaln

ą

nazywa

si

ę

energi

ą

(funkcj

ą

) stanu.

Dla siły zachowawczej F:

F

W

W

E

zew

p

−

=

=

∆

F

'

d

)

'

(

'

d

)

'

(

0

0

∫

∫

−

=

=

∆

r

r

r

r

zew

p

r

r

F

r

r

F

E

'

d

)

'

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

∫

−

=

∆

+

=

r

r

p

p

p

p

r

r

F

r

E

E

r

E

r

E

Punkt r

0

nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,

ż

eby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia E

p

(r

0

) była równa zeru.

Energia potencjalna

Przykłady

Energia potencjalna w pobliżu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y

0

= 0)

mgy

y

mg

y

E

y

E

y

y

p

p

=

−

−

=

∫

'

d

)

(

)

(

)

(

0

0

Energia potencjalna idealnej nieważkiej sprężyny (punkt odniesienia x

0

= 0)

2

0

2

1

'

d

)

'

(

)

(

)

(

0

kx

x

kx

x

E

x

E

x

x

p

p

=

−

−

=

∫

6

Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).

r

Mm

G

r

Mm

G

r

r

Mm

G

r

F

E

r

E

r

r

r

p

p

−

=

−

=













−

−

=

−

∞

=

∞

∞

∞

∫

∫

'

'

d

'

'

d

)

(

)

(

2

r

Mm

G

r

E

p

−

=

)

(

Gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza to dla dowolnej drogi z A do B

kA

kB

k

E

E

E

W

−

=

∆

=

)

(

pA

pB

p

E

E

E

W

−

−

=

∆

−

=

pB

kB

pA

kA

E

E

E

E

+

=

+

const.

=

+

p

k

E

E

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII

Zasada zachowania energii mechanicznej obowi

ą

zuje dla wszystkich

odosobnionych układów ciał tzn. takich, na które nie działaj

ą

siły zewn

ę

trzne.

W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał
pozostaje stała bez wzgl

ę

du na oddziaływania w nich zachodz

ą

ce.

Zasada zachowania energii mechanicznej mówi,

ż

e dla ciała

podlegaj

ą

cego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i

potencjalnej jest stała.

7

Je

ż

eli oprócz siły zachowawczej F

z

działa jeszcze siła niezachowawcza F

nz

(np.

tarcie) to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy

k

nz

z

E

W

W

∆

=

+

p

z

E

W

∆

−

=

p

k

nz

E

E

W

∆

+

∆

=

Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii

wewn

ę

trznej w układzie odosobnionym nie zmienia si

ę

. To jest zasada zachowania

energii całkowitej. Energia mo

ż

e by

ć

przekształcana z jednej formy w inn

ą

, ale nie

mo

ż

e by

ć

wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielko

ś

ci

ą

stał

ą

.

Siła tarcia zmienia energi

ę

mechaniczn

ą

układu a „stracona" energia

mechaniczna zostaje przekształcona na energi

ę

wewn

ę

trzn

ą

U

0

=

∆

+

∆

+

∆

U

E

E

p

k

Zmiana energii wewn

ę

trznej

∆

U jest równa rozproszonej energii mechanicznej.

U

W

nz

∆

−

=

Je

ż

eli uwzgl

ę

dnimy jeszcze sił

ę

F

zew

wywieran

ą

na układ przez czynnik zewn

ę

trzny to:

k

nz

z

zew

E

W

W

W

∆

=

+

+

U

E

E

W

p

k

zew

∆

+

∆

+

∆

=

Praca wykonana przez czynnik zewn

ę

trzny równa jest sumie zmian energii

kinetycznej, potencjalnej i energii wewn

ę

trznej układu.

Zasada zachowania energii nale

ż

y do najbardziej podstawowych praw fizyki

.

Wszystkie nasze do

ś

wiadczenia pokazuj

ą

,

ż

e jest to prawo bezwzgl

ę

dnie

obowi

ą

zuj

ą

ce;

nie znamy wyj

ą

tków od tego prawa.

8

ZASADY ZACHOWANIA DLA UKŁADU
ODOSOBNIONEGO (nie działaj

ą

siły zewn

ę

trzne)

const.

t

=

⇒

=

cał

cał

p

p

0

d

d

Zasada zachowania pędu :

const.

t

=

⇒

=

cał

cał

L

L

0

d

d

Zasada zachowania momentu pędu :

Zasada zachowania energii :

const.

U

E

0

p

=

+

+

=

⇒

=

k

E

E

t

d

E

d

cał

cał

Przykład 1

s

f

>

θ

tg

θ

mg

f

θ

mg

θ

mg

f

N

f

T

T

F

s

s

s

cos

sin

cos

max

max

>

=

=

>

2

2

mv

E

k

=

∆

mgh

mg

h

smg

W

E

F

p

−

=

−

=

−

=

−

=

∆

θ

θ

θ

sin

sin

sin

θ

θ

θ

θ

ctg

cos

sin

)

cos

(

k

k

k

T

f

mgh

mg

f

h

mg

f

s

W

U

=

=

−

−

=

−

=

∆

0

=

∆

+

∆

+

∆

U

E

E

p

k

0

cot

2

2

=

−

+

mgh

f

mgh

mv

k

θ

)

ctg

1

(

2

θ

k

f

gh

v

−

=

9

Skoczek na linie "bungee" skacze z punktu A i osi

ą

ga najni

ż

szy punkt B. Obliczy

ć

współczynnik spr

ęż

ysto

ś

ci liny k (F = -kx) je

ś

li wiadomo,

ż

e miała ona długo

ść

poczatkow

ą

l i podczas skoku rozciagn

ę

ła si

ę

o x = 50% w stosunku do długo

ś

ci

pocz

ą

tkowej. Masa skoczka wynosi m.

mgh

E

A

=

2

)

(

2

kx

x

l

h

mg

E

B

+

−

−

=

Przykład 2

2

)

(

2

kx

x

l

h

mg

mgh

+

−

−

=

dla x = 0.5l :

0

2

2

=

−

−

mgx

mgl

kx

l

mg

k

12

=

(

)

(

)

0

2

/

1

2

2

/

1

2

=

−

−

l

mg

mgl

l

k

mgl

l

k

2

3

8

1

2

=

Zderzenia:

-doskonale niesprężyste
-doskonale sprężyste
-inne

p

1

+p

2

=p’

doskonale niesprężyste:

- zas. zach. energii mechanicznej -

niespełniona

- zas. zach. pędu -

spełniona







+

=

+

+

=

+

y

y

y

x

x

x

v

m

m

v

m

v

m

v

m

m

v

m

v

m

'

)

(

'

)

(

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1













+

+

=

+

+

=

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

'

'

m

m

v

m

v

m

v

m

m

v

m

v

m

v

y

y

y

x

x

x

sm

v

v'

=

10

d

≠≠≠≠

0 - niecentralne

d=0 - centralne

p

1

+p

2

=p

1

’+ p

2

’

doskonale sprężyste:

- zas. zach. energii mechanicznej -

spełniona

- zas. zach. pędu -

spełniona

E

k1

+E

k2

=E

k1

’+ E

k2

’

przykład zderzenia niecentralnego







−

=

+

=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

sin

'

sin

'

0

cos

'

cos

'

θ

θ

θ

θ

v

m

v

m

v

m

v

m

v

m

2

2

2

1

)

'

(

)

'

(

v

m

2

1

+

v

m

2

1

=

v

m

2

1

2

1

2

1

1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu

przypadek szczególny: zderzenie centralne (

θ

1

= θ

2

=0

)

oraz m

1

=m

2

=m









+

=

2

2

2

1

2

1

1

)

'

(

)

'

(

'

'

v

m

2

1

+

v

m

2

1

=

v

m

2

1

mv

mv

mv

2
1







+

=

2

2

2

1

2

1

1

)

'

(

)

'

(

'

'

v

+

v

=

v

v

v

v

2

1







=

=

1

2

1

'

0

'

v

v

v

11

przykład zderzenia centralnego (

θ

1

= θ

2

=0

)









+

=

2

2

2

1

2

2

1

1

1

1

)

'

(

)

'

(

'

'

v

m

2

1

+

v

m

2

1

=

v

m

2

1

v

m

v

m

v

m

2

1

2

1

1

zas. zach. energii

zas. zach. pędu







+

−

=

−

2

2

1

1

2

2

1

1

1

)

'

(

)

'

)(

'

(

'

)

'

(

v

m

=

v

v

v

v

m

v

m

v

v

m

2

1

1

1







+

=

−

'

)

'

(

'

)

'

(

2

1

2

2

1

1

1

v

=

v

v

v

m

v

v

m

1







+

+

=

−

'

)

'

(

)

'

(

)

'

(

2

1

1

2

1

1

1

v

=

v

v

v

v

m

v

v

m

1

1













+

=

+

−

=

v

m

m

m

v

v

m

m

m

m

v

1

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

'

'

przypadek szczególny gdy m

1

=m

2

=m:







=

=

1

2

1

'

0

'

v

v

v

1

1

' v

v

≠

przypadek szczególny: odbicie od bardzo dużej masy tzn. M>>m













+

=

+

−

=

v

m

M

m

v

v

M

m

M

m

v

1

1

1

1

2

1

1

1

2

'

'













+

=

+

−

=

v

m

M

m

v

v

M

m

M

m

v

1

1

1

1

2

1

1

1

2

'

1

/

1

/

'







→

−

≈

0

'

'

2

1

v

v

v

1

0

1

→

M

m

'

2

1

1

1

1

Mv

v

m

v

m

+

−

≈

'

2

2

1

1

Mv

v

m

≈

M

v

m

v

1

1

2

2

'

≈

zas. zach. pędu

zas. zach. energii

2

2

2

1

)

'

(

)

'

(

v

M

2

1

+

v

m

2

1

=

v

m

2

1

1

2

1

1

2

1

2

1

2

)

'

(













M

v

m

M

2

1

+

v

m

2

1

=

v

m

2

1

1

1

2

1

1

v

m

2

1

v

m

2

1

1

2

1

1

2

1

)

'

(

≈

0