1
Praca i energia
Praca wykonana przez sił
ę
stał
ą
Definicja
Praca W wykonana przez stał
ą
sił
ę
F jest iloczynem skalarnym tej siły
F i wektora przesuni
ę
cia s
α
cos
Fs
W
=
⋅
=
s
F
Przykład
Prac
ę
wykonuje tylko składowa Fs = Fcos
α
styczna do przesuni
ę
cia s
W > 0 gdy
α
< 90˚,
W < 0 gdy a > 90˚
siła tarcia T przeciwstawiaj
ą
ca si
ę
ruchowi
(
α
= 180°)
W = T·s = T s cos 180° = -T s
PRACA
2
Praca wykonana przez sił
ę
zmienn
ą
Przykład:
Zmienna siła F(x) (równoległa do przemieszczenia)
i
i
i
x
F
W
∆
=
∆
∑
∫
∞
=
→
∆
=
∆
=
1
0
2
1
d
)
(
lim
i
x
x
i
i
x
x
x
F
x
F
W
)
(
1
2
__
x
x
F
W
−
=
Całkowanie funkcji F(x) w zadanych granicach
odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzyw
ą
F(x) w zadanym przedziale
Ogólnie:
z
F
y
F
x
F
W
z
y
x
∆
+
∆
+
∆
=
∆
praca elementarna
∫
=
B
A
W
r
r
F
d
)
(
praca
Przykłady:
Praca siły do
ś
rodkowej (prostopadłej do toru):
0
=
W
r
F
∆
⋅
=
∆
W
Praca w polu siły ci
ęŜ
ko
ś
ci:
mgh
dy
mg
W
h
=
=
∫
0
Praca przeciw sile spr
ęŜ
ysto
ś
ci:
∫
∫
=
=
=
=
x
x
x
kx
kx
x
kx
x
x
F
W
0
0
2
0
2
2
2
'
'
d
)
'
(
d
)
'
(
kx
F
S
−
=
kx
F
=
3
t
W
P
=
__
Definicja
Moc definiujemy jako ilo
ść
wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w
jakim została ona wykonana.
Moc
ś
rednia
v
F
t
Fs
P
=
=
__
Moc chwilowa
t
W
P
d
d
=
Jednostki
Jednostk
ą
mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych
powszechnie stosowan
ą
jednostk
ą
mocy jest kilowat (kW), a jednostk
ą
energii
(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).
Moc
dla stałej siły:
Fv
dt
ds
F
P
=
=
__
Praca przy rozp
ę
dzaniu ciała
(przeciw sile bezwładno
ś
ci)
Prawa
1) Praca wykonana przez sił
ę
F działaj
ą
c
ą
na ciało o masie m jest równa
zmianie energii kinetycznej tego ciała.
2) Wykonana praca została „zmagazynowana” w postaci ruchu ciała – ciało
mo
Ŝ
e odda
ć
t
ą
prac
ę
ale wtedy zmniejszy pr
ę
dko
ść
.
Jednostki
Jednostk
ą
pracy i energii jest w układzie SI d
Ŝ
ul (J); 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej powszechnie u
Ŝ
ywa si
ę
jednostki elektronowolt (eV);
1eV = 1.6·10
-19
J.
ENERGIA
Energia kinetyczna
2
2
2
2
0
2
0
0
mv
mv
t
v
v
t
v
v
m
s
ma
s
F
W
−
=
+
−
=
⋅
=
⋅
=
k
k
k
k
E
E
E
W
mv
E
∆
=
−
=
⇒
=
0
2
2
Definicja
Połow
ę
iloczynu masy ciała i kwadratu pr
ę
dko
ś
ci nazywamy energi
ą
kinetyczn
ą
E
k
ciała o masie m:
2
)
(
2
)
(
2
0
2
0
0
2
0
t
v
v
t
t
v
v
t
v
at
t
v
s
+
=
−
+
=
+
=
4
Przykład:
rzut pionowy (bez oporu powietrza !!!)
Ciało rzucone do góry, wraca z
t
ą
sam
ą
pr
ę
dko
ś
ci
ą
i energi
ą
kinetyczn
ą
Po przebyciu zamkni
ę
tej drogi (cyklu) energia kinetyczna ciała nie zmienia si
ę
Praca wykonana przez sił
ę
grawitacji podczas pełnego cyklu jest równa
zeru
Definicja
Siła jest zachowawcza, je
Ŝ
eli praca wykonana przez t
ę
sił
ę
nad punktem
materialnym, który porusza si
ę
po dowolnej drodze zamkni
ę
tej jest równa zeru.
Siła grawitacji jest sił
ą
zachowawcz
ą
. Podobnie siła spr
ęŜ
ysta wywierana przez spr
ęŜ
yn
ę
.
Gdy wyst
ę
puje
opór powietrza
praca wykonywana przez sił
ę
oporu jest ujemna dla ka
Ŝ
dej cz
ęś
ci
cyklu (przeciwstawia si
ę
ruchowi ciało) wi
ę
c zostaje wykonana praca
ró
Ŝ
na od zera
Siła oporu powietrza jest sił
ą
niezachowawcz
ą
. Podobnie siła tarcia.
Siły zachowawcze i niezachowawcze
Praca wykonana przez sił
ę
zachowawcz
ą
nie zale
Ŝ
y od wyboru drogi ł
ą
cz
ą
cej
dwa punkty ale od ich wzajemnego poło
Ŝ
enia
0
2
1
=
+
A
B
B
A
W
W
A
B
B
A
W
W
2
1
−
=
A
B
B
A
W
W
2
2
−
=
B
A
B
A
W
W
2
1
=
5
Gdy działaj
ą
siły zachowawcze
, mo
Ŝ
na wprowadzi
ć
poj
ę
cie
energii potencjalnej E
p
.
Energi
ę
potencjaln
ą
mo
Ŝ
na traktowa
ć
jako zgromadzon
ą
w polu sił zachowawczych
prac
ę
, która mo
Ŝ
e by
ć
w przyszło
ś
ci całkowicie odzyskana lub zamieniona na inn
ą
u
Ŝ
yteczn
ą
form
ę
energii.
Energi
ę
potencjaln
ą
nazywa
si
ę
energi
ą
(funkcj
ą
) stanu.
Dla siły zachowawczej F:
F
W
W
E
zew
p
−
=
=
∆
F
'
d
)
'
(
'
d
)
'
(
0
0
∫
∫
−
=
=
∆
r
r
r
r
zew
p
r
r
F
r
r
F
E
'
d
)
'
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
∫
−
=
∆
+
=
r
r
p
p
p
p
r
r
F
r
E
E
r
E
r
E
Punkt r
0
nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak,
Ŝ
eby energia potencjalna w tym punkcie odniesienia E
p
(r
0
) była równa zeru.
Energia potencjalna
Przykłady
Energia potencjalna w pobliŜu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y
0
= 0)
mgy
y
mg
y
E
y
E
y
y
p
p
=
−
−
=
∫
'
d
)
(
)
(
)
(
0
0
Energia potencjalna idealnej niewaŜkiej spręŜyny (punkt odniesienia x
0
= 0)
2
0
2
1
'
d
)
'
(
)
(
)
(
0
kx
x
kx
x
E
x
E
x
x
p
p
=
−
−
=
∫
6
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).
r
Mm
G
r
Mm
G
r
r
Mm
G
r
F
E
r
E
r
r
r
p
p
−
=
−
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∞
∫
∫
'
'
d
'
'
d
)
(
)
(
2
r
Mm
G
r
E
p
−
=
)
(
Gdy na ciało działa tylko siła zachowawcza to dla dowolnej drogi z A do B
kA
kB
k
E
E
E
W
−
=
∆
=
)
(
pA
pB
p
E
E
E
W
−
−
=
∆
−
=
pB
kB
pA
kA
E
E
E
E
+
=
+
const.
=
+
p
k
E
E
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Zasada zachowania energii mechanicznej obowi
ą
zuje dla wszystkich
odosobnionych układów ciał tzn. takich, na które nie działaj
ą
siły zewn
ę
trzne.
W takich układach suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał
pozostaje stała bez wzgl
ę
du na oddziaływania w nich zachodz
ą
ce.
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi,
Ŝ
e dla ciała
podlegaj
ą
cego działaniu siły zachowawczej, suma energii kinetycznej i
potencjalnej jest stała.
7
Je
Ŝ
eli oprócz siły zachowawczej F
z
działa jeszcze siła niezachowawcza F
nz
(np.
tarcie) to z twierdzenia o pracy i energii otrzymujemy
k
nz
z
E
W
W
∆
=
+
p
z
E
W
∆
−
=
p
k
nz
E
E
W
∆
+
∆
=
Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii
wewn
ę
trznej w układzie odosobnionym nie zmienia si
ę
. To jest zasada zachowania
energii całkowitej. Energia mo
Ŝ
e by
ć
przekształcana z jednej formy w inn
ą
, ale nie
mo
Ŝ
e by
ć
wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielko
ś
ci
ą
stał
ą
.
Siła tarcia zmienia energi
ę
mechaniczn
ą
układu a „stracona" energia
mechaniczna zostaje przekształcona na energi
ę
wewn
ę
trzn
ą
U
0
=
∆
+
∆
+
∆
U
E
E
p
k
Zmiana energii wewn
ę
trznej
∆
U jest równa rozproszonej energii mechanicznej.
U
W
nz
∆
−
=
Je
Ŝ
eli uwzgl
ę
dnimy jeszcze sił
ę
F
zew
wywieran
ą
na układ przez czynnik zewn
ę
trzny to:
k
nz
z
zew
E
W
W
W
∆
=
+
+
U
E
E
W
p
k
zew
∆
+
∆
+
∆
=
Praca wykonana przez czynnik zewn
ę
trzny równa jest sumie zmian energii
kinetycznej, potencjalnej i energii wewn
ę
trznej układu.
Zasada zachowania energii nale
Ŝ
y do najbardziej podstawowych praw fizyki
.
Wszystkie nasze do
ś
wiadczenia pokazuj
ą
,
Ŝ
e jest to prawo bezwzgl
ę
dnie
obowi
ą
zuj
ą
ce;
nie znamy wyj
ą
tków od tego prawa.
8
ZASADY ZACHOWANIA DLA UKŁADU
ODOSOBNIONEGO (nie działaj
ą
siły zewn
ę
trzne)
const.
t
=
⇒
=
cał
cał
p
p
0
d
d
Zasada zachowania pędu :
const.
t
=
⇒
=
cał
cał
L
L
0
d
d
Zasada zachowania momentu pędu :
Zasada zachowania energii :
const.
U
E
0
p
=
+
+
=
⇒
=
k
E
E
t
d
E
d
cał
cał
Przykład 1
s
f
>
θ
tg
θ
mg
f
θ
mg
θ
mg
f
N
f
T
T
F
s
s
s
cos
sin
cos
max
max
>
=
=
>
2
2
mv
E
k
=
∆
mgh
mg
h
smg
W
E
F
p
−
=
−
=
−
=
−
=
∆
θ
θ
θ
sin
sin
sin
θ
θ
θ
θ
ctg
cos
sin
)
cos
(
k
k
k
T
f
mgh
mg
f
h
mg
f
s
W
U
=
=
−
−
=
−
=
∆
0
=
∆
+
∆
+
∆
U
E
E
p
k
0
cot
2
2
=
−
+
mgh
f
mgh
mv
k
θ
)
ctg
1
(
2
θ
k
f
gh
v
−
=
9
Skoczek na linie "bungee" skacze z punktu A i osi
ą
ga najni
Ŝ
szy punkt B. Obliczy
ć
współczynnik spr
ęŜ
ysto
ś
ci liny k (F = -kx) je
ś
li wiadomo,
Ŝ
e miała ona długo
ść
poczatkow
ą
l i podczas skoku rozciagn
ę
ła si
ę
o x = 50% w stosunku do długo
ś
ci
pocz
ą
tkowej. Masa skoczka wynosi m.
mgh
E
A
=
2
)
(
2
kx
x
l
h
mg
E
B
+
−
−
=
Przykład 2
2
)
(
2
kx
x
l
h
mg
mgh
+
−
−
=
dla x = 0.5l :
0
2
2
=
−
−
mgx
mgl
kx
l
mg
k
12
=
(
)
(
)
0
2
/
1
2
2
/
1
2
=
−
−
l
mg
mgl
l
k
mgl
l
k
2
3
8
1
2
=
Zderzenia:
-doskonale niespręŜyste
-doskonale spręŜyste
-inne
p
1
+p
2
=p’
doskonale niespręŜyste:
- zas. zach. energii mechanicznej -
niespełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
+
=
+
+
=
+
y
y
y
x
x
x
v
m
m
v
m
v
m
v
m
m
v
m
v
m
'
)
(
'
)
(
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
+
+
=
+
+
=
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
'
'
m
m
v
m
v
m
v
m
m
v
m
v
m
v
y
y
y
x
x
x
sm
v
v'
=
10
d
≠≠≠≠
0 - niecentralne
d=0 - centralne
p
1
+p
2
=p
1
’+ p
2
’
doskonale spręŜyste:
- zas. zach. energii mechanicznej -
spełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
E
k1
+E
k2
=E
k1
’+ E
k2
’
przykład zderzenia niecentralnego
−
=
+
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
sin
'
sin
'
0
cos
'
cos
'
θ
θ
θ
θ
v
m
v
m
v
m
v
m
v
m
2
2
2
1
)
'
(
)
'
(
v
m
2
1
+
v
m
2
1
=
v
m
2
1
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
przypadek szczególny: zderzenie centralne (
θ
1
= θ
2
=0
)
oraz m
1
=m
2
=m
+
=
2
2
2
1
2
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
m
2
1
+
v
m
2
1
=
v
m
2
1
mv
mv
mv
2
1
+
=
2
2
2
1
2
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
+
v
=
v
v
v
v
2
1
=
=
1
2
1
'
0
'
v
v
v
11
przykład zderzenia centralnego (
θ
1
= θ
2
=0
)
+
=
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
m
2
1
+
v
m
2
1
=
v
m
2
1
v
m
v
m
v
m
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
+
−
=
−
2
2
1
1
2
2
1
1
1
)
'
(
)
'
)(
'
(
'
)
'
(
v
m
=
v
v
v
v
m
v
m
v
v
m
2
1
1
1
+
=
−
'
)
'
(
'
)
'
(
2
1
2
2
1
1
1
v
=
v
v
v
m
v
v
m
1
+
+
=
−
'
)
'
(
)
'
(
)
'
(
2
1
1
2
1
1
1
v
=
v
v
v
v
m
v
v
m
1
1
+
=
+
−
=
v
m
m
m
v
v
m
m
m
m
v
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
'
'
przypadek szczególny gdy m
1
=m
2
=m:
=
=
1
2
1
'
0
'
v
v
v
1
1
' v
v
≠
przypadek szczególny: odbicie od bardzo duŜej masy tzn. M>>m
+
=
+
−
=
v
m
M
m
v
v
M
m
M
m
v
1
1
1
1
2
1
1
1
2
'
'
+
=
+
−
=
v
m
M
m
v
v
M
m
M
m
v
1
1
1
1
2
1
1
1
2
'
1
/
1
/
'
→
−
≈
0
'
'
2
1
v
v
v
1
0
1
→
M
m
'
2
1
1
1
1
Mv
v
m
v
m
+
−
≈
'
2
2
1
1
Mv
v
m
≈
M
v
m
v
1
1
2
2
'
≈
zas. zach. pędu
zas. zach. energii
2
2
2
1
)
'
(
)
'
(
v
M
2
1
+
v
m
2
1
=
v
m
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
)
'
(
M
v
m
M
2
1
+
v
m
2
1
=
v
m
2
1
1
1
2
1
1
v
m
2
1
v
m
2
1
1
2
1
1
2
1
)
'
(
≈
0