37

Nierówno

ś

ci kwadratowe

Zad. 1:

Dla jakich wartości parametru m

R

∈

nierówność

m

m

m

x

m

x

m

m

2

2

2

2

6

1

1

1

3

0

+ −

−

+

+

−

−

+

>

(

)

jest

spełniona dla każdej wartości x

R

∈

?

Odp.: m

∈ − − ∪ −

(

;

)

(

; ).

7 3

1 1

Zad. 2:
Dla jakich wartości parametru m nierówność (5 - m)x

2

- 2(1 - m)x + 2(1 - m) < 0 jest speł-

niona dla każdego x

R

∈

?

Odp.: m > 9.

Zad. 3:
a) Dla jakich wartości parametru a nierówność (a

2

- 1)x

2

+ 2(a - 1)x + 2 > 0 jest spełniona dla

każdego x

R

∈

?

*b) Czy istnieje takie x, aby dla każdego a

R

∈

powyższa nierówność była prawdziwa?

Odp.: a)

a

∈ −∞ − ∪ +∞

(

;

)

;

)

3

1

. *b) x

∈ − −

− +

(

;

)

1

2

1

2 .

Zad. 4:
Dla jakich wartości parametru

m nierówność (5 - m)x

2

- 2(1 - m)x + 2(1 - m) < 0 jest speł-

niona dla każdego x

R

∈

?

Odp.: m > 9.

Zad. 5:
a) Dla jakich wartości parametru

a nierówność (a

2

- 1)x

2

+ 2(a - 1)x + 2 > 0 jest spełniona dla

każdego x

R

∈

?

*b) Czy istnieje takie

x, aby dla każdego a

R

∈

powyższa nierówność była prawdziwa?

Odp.: a)

a

∈ −∞ − ∪ +∞

(

;

)

;

)

3

1

. *b) x

∈ − −

− +

(

;

)

1

2

1

2 .

Zad. 6*:
Dla jakich wartości parametru

a zbiór rozwiązań nierówności x

2

- 3x + 2 < 0 jest zawarty w

zbiorze rozwiązań nierówności ax

2

-(3a + 1)x + 3 > 0?

Odp.:

(

a

∈ − ∞

;

1
2

.

Zad. 7:
Dane są zbiory:

{

}

0

30

11

:

2

=

+

−

∧

∈

=

x

x

R

x

x

A













≤

−

+

∧

∈

=

1

2

3

1

2

:

x

x

R

x

x

B

{

}

0

6

11

3

:

2

>

+

−

∧

∈

=

x

x

R

x

x

C

Udowodnij, że

(

)

C

C

B

A

=

∩

∪

.

38

Zad. 8:
Rozwiąż nierówności:

a)

0

6

5

2

>

+

−

x

x

; b)

3

4

5

2

−

>

+

−

x

x

x

; c)

1

2

−

<

−

x

x

.