E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

1

WYKŁAD 5

ANALIZA STANÓW W UKŁADACH Z ELEMENTEM

POJEMNOŚCIOWYM

Celem analizy jest ustalenie wpływu elementu pojemnościowego na wydajność

układu urządzeń.

Zmiennymi decyzyjnymi w analizie są:

 pojemność elementu,
 położenie elementu pojemnościowego w strukturze urządzeń.

Q

DO

część dostarczająca DO

element pojemnościowy

Q

OD

część odbierająca OD

Rys. 1. Schemat układu z elementem pojemnościowym

1. Analiza możliwych stanów urządzeń

Dla celów analizy wpływu parametrów bufora na sprawność układu przyjęto, że część

dostarczająca i część odbierająca mogą znaleźć się w następujących stanach:

S – pracuje;

A – uszkodzony;

P – element w postoju wymuszonym.

Z kolei trzecia część – bufor może przyjąć jeden z trzech poniższych stanów:

1 – pusty;

2 – częściowo zapełniony;

3 – pełny.

DO

Z

OD

DO

OD

dZ
= Q

DO

- Q

OD

dt

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

2

Rys.2. Przykładowe stany i przejścia między nimi

Uogólnienie powyższych założeń dla potrzeb całego układu pozwala stwierdzić, że

liczba stanów w jakich może znaleźć się układ wynosi:

27

3

3

3

n

.

Przykładowy opis stanu:

P3A - oznacza, że nie ma przepływu materiału w układzie, gdyż:

a). część odbierająca „OD” znajduje się w stanie awarii „A”;
b). bufor jest pełny;
c). część dostarczająca „DO” znajduje się w postoju wymuszonym „P” .

Przyjęcie założeń upraszczających pozwoliło na redukcję liczby możliwych stanów do ośmiu,
które zebrano w tabeli1 wraz z możliwymi między nimi przejściami, które dodatkowo
ilustruje graf przejść (rys. 3).
Tab.1. Tabela możliwych stanów

Stan poprzedni

Lp.

Stan aktualny

Stan następny

4

1

S1S

4,6

5,6

2

S2S

5,6

8

3

S3S

5,8

1,5

4

A1P

1

2,3,7

5

A2S

2,7,4

1,2,7

6

S2A

7,2,8

5,6

7

A2A

6,5

3,6

8

P3A

3

S2S

A2S

S2A

A1P

A2A

S2S

S3A

P3A

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

3

S – sprawny (pracuje);

A – uszkodzenie (awaria); P – postój wymuszony

1, 2, 3 –stany zasobnika (pusty,
P3A częściowo zap., pełny) A1P

S1S

S2S
S3S

S2A A2S



A2A

Rys. 3. Graf stanów i przejść

2. Algorytm obliczeń przepływu materiału w systemach

z elementem pojemnościowym (buforem)

W obliczeniach część dostarczającą i część odbierającą scharakteryzowana jest czasem

trwania naprawy i czasem pracy do uszkodzenia. Analizie poddane jest osiem podstawowych
stanów układu.
Zarówno czas pracy jak i czas naprawy są zmiennymi losowymi opisanymi rozkładem
eksploatacyjnym – wykładniczym.

Za dane wejściowe przyjęto poniższe parametry:

Wskaźnik uszkodzeń każdego pojedynczego urządzenia:

n

i

I

...

2

,

1

;

;

Pojemność zasobnika:

V = {V

1

, V

2

, …V

i

, …V

k

}

Średni czas pracy każdego urządzenia: B(I), B(II);

Średni czas naprawy każdego urządzenia: E(I), E(II);

E(I) = B(I) κ

I

; E(II) = B(II) κ

II

;

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

4

Rzeczywiste czasy trwania stanu (praca, naprawa) są wyliczane z funkcji

gęstości rozkładu wykładniczego:

t

e

)

t

(

f

stąd:

;

ln C

t

gdzie:

- wartość średnia B(IS), E(IS);

C

(0, 1) - zmienna losowa;

MOMENT KOŃCA STANU „TK”:

TK = min (TU (I), TU (II) )

Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II (czas pracy):

TU(I) = - B(I) * ln C

TU(II) = - B(II) * ln C

Czas trwania stanu S1S:

CRS = TK - TX

Produkcja P:

P = P + W * CRS

Generowanie czasu naprawy urządzenia I lub II (urządzenia IS):

CN (IS) = - E(IS) * ln C

Moment końca naprawy:

TN (IS) = TK + CN (IS)

Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu

MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min ( TU (I), TU (II))

Czas pracy systemu CRS:

CRS = TK - TX

STAN S1S

TK = TU (I)

A1P

STAN S2S

TK = TU (II)

S2A

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

5

Produkcja P:

P = P + CRS * W

Generowanie czasu naprawy urządzenia IS:

CN(IS) = - E(IS) * ln C

Moment zakończenia naprawy IS:

TN (IS) = TK + CN (IS)

Początek następnego stanu :

TX = TK

Przejście do następnego stanu

MOMENT ZAKOŃCZENIA STANU:

TK = min ( TU(I), TU(II) )

Czas pracy systemu CRS:

CRS = TK - TX

Produkcja P:

P = P + W * CRS

Generowanie czasu naprawy urządzenia, dla którego TK = TU (IS):

CN (IS) = - E (IS) * ln C

Moment końca naprawy urządzenia IS:

TN (IS) = TK + CN (IS)

Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu

STAN S3S

TK = TU (I)

A2S

TK = TU (I)

A2S

TK = TU (II)

S2A

TK = TU (II)

P3A

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

6

MOMENT KOŃCA STANU „A1P”:

TK = TN (I)

Generowanie czasu pracy urządzenia I:

CR (I) = - B(I) * ln C

Czas trwania stanu A1P:

CP = TK - TU (I) = CN (I)

Poprawa momentów uszkodzeń:

TU (I) = TK + CR (I)
TU (II) = TU (II) + CP

Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu

Czas do opróżnienia zasobnika CV:

CV = Q / W

Moment zakończenia stanu:

TK = min ( TN(I), TU(II), TX + CV )

Czas trwania stanu:

CP = TK - TX

Produkcja P:

P = P + CP * W

Stan zasobnika Q:

Q = Q - W * CP

Generowanie czasu:

- pracy, jeżeli TK = TN (I)
CR (I) = - B (I) * ln C

- naprawy, jeżeli TK = TU (II):

CN (II) = - E (II) * ln C

STAN A2S

STAN A1P

TK = TN (I)

S1S

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

7

Początek następnego stanu:

TX = TK

Przejście do następnego stanu

Czas do zapełnienia zasobnika CV:

CV = ( V - Q ) / W

MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )

Czas trwania stanu:

CP = TK - TX

Zapełnienie zasobnika Q:

Q = Q + W * CP

Generowanie czasu:

- naprawy, jeżeli TK = TU (I)
CN (I) = - E (I) * ln C
- moment zakończenia naprawy:
TN (I) = TU (I) + CN (I)

- pracy, jeżeli TK = TN (II)
CR (II) = - B (II) * ln C
- moment zakończenia pracy:
TU (II) = TK + CR (II)
Początek nowego stanu :

TX = TK

Przejście do następnego stanu

STAN S2A

TK = TN (I)

TU (I) = TK + CR (I)

S2S

TK = TU (I)

A2A

TK = TU (II)

TN (II) = TK + CN (II)

A2A

TK = TN (II)

S2S

TK = TX + CV

A1P

TK = TX + CV

P3A

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

8

3. PRZYKŁAD

Dane:

W = 1,

= 0,02

B(I) = B(2) = 30; średni czas pracy do uszkodzenia,

i = 5 - położenie zasobnika,

E(I) = E(II) = (0,02*5)*30 = 3; średni czas naprawy,

V = 2 - pojemność zasobnika,

C - wygenerowana liczba losowa z przedziału (0, 1).





1. Warunki początkowe: TX=0 - czas, P=O - produkcja, Q=0 - zasób.

MOMENT KOŃCA STANU „TK”:

TK = min (TU (I) )

Generowanie momentów uszkodzeń urządzeń I i II:

TU(I) = - B(I) * ln C = - 30 * ln 0.8737 = 4.05
TU(II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.7615 = 8.17

Czas trwania stanu S1S:

CRS = TK - TX = 4.05 - 0 = 4.05

Produkcja P:

P = P + W * CRS = 0 + 1 * 4.05 = 4.05

Generowanie czasu naprawy urządzenia I:

CN (I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.6701 = 1.2

Początek następnego stanu:

A1P (bo zasobnik pusty - 1)

TX = TK = 4.05

2.

MOMENT KOŃCA STANU „A1P”:

TK = TX + CN(I) = 4.05 + 1.2 = 5.25

Generowanie czasu pracy urządzenia I:

CR (I) = - B(I) * ln C= - 30 * ln 0,0856 = 73.7

Czas trwania stanu A1P:

CP = CN (I) = 1.2

Poprawa momentów uszkodzeń:

TU (I) = TK + CR (I) = 5.25 + 73.7 = 78.95
TU (II) = TU (II) + CP = 8.17 + 1.2 = 9.37

Początek następnego stanu:

S1S

TX = TK = 5.25

OBLICZENIA

S1S

A1P

E.Michlowicz: LP - Analiza stanów układu z elementem pojemnościowym

9

3.

MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min ( TU ) = TU (II) = 9.37 --> S2A

Generowanie czasu naprawy urządzenia II:

CN (II) = - E (II) * ln C = - 3 * ln 0.5329 = 1.89

Czas trwania stanu S1S:

CRS = TK - TX = 9.37 - 5.25 = 4.12

Produkcja P:

P = P + W * CRS = 4.05 + 1*4.12 = 8.17

Początek następnego stanu:

S2A

TX = TK = 9.37

4.

Czas do zapełnienia zasobnika CV:

CV = ( V - Q ) / W = 2/1 = 2

MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min (TU (I), TN (II), TX + CV )

TU (I) = 78.95
TN (II) = TX + CN (II) = 9.37 + 1.89 = 11.26 ==> TK = TN (II) = 11.26
TX + CV = 9.37 + 2 = 11.37

Czas trwania stanu:

CP = TK - TX = 11.26 - 9.37 = 1.89

Zapełnienie zasobnika Q:

Q = Q + W * CP = 0 + 1 * 1.89 = 1.89

Generowanie czasu pracy urządzenia II:

CR (II) = - B(II) * ln C = - 30 * ln 0.09876 = 69.45

Moment zakończenia pracy urządzenia II:

TU (II) = TK + CR (II) = 11.26 + 69.45 = 80.71

Początek nowego stanu

S2S:

TX = TK = 11.26

5.

MOMENT KOŃCA STANU:

TK = min ( TU(I), TU(II) ) = TU (I) = 78.95

Czas pracy systemu CRS:

CRS = TK - TX = 78.95 - 11.26 = 67.69

Produkcja P:

P = P + CRS * W = 8.17 + 67.69 = 75.86

Generowanie czasu naprawy urządzenia I:

CN(I) = - E(I) * ln C = - 3 * ln 0.2368 = 4.32

Moment zakończenia naprawy I:

TN (I) = TK + CN (I) = 78.95 + 4.32 = 83.27

Początek następnego stanu

A2S:

TX = TK = 78.95

S1S

S2S

S2A