Algebra z geometrią 10, A.Sz.

Wektory. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany

Rozważmy przestrzeń R

n

nad R.

Dodawanie wektorów: [x

1

, ..., x

n

] + [y

1

, ..., y

n

] = [x

1

+ y

1

, ..., x

n

+ y

n

] dla [x

1

, ..., x

n

], [y

1

, ..., y

n

] ∈ R

n

Mnożenie wektora przez skalar: α[x

1

, ..., x

n

] = [αx

1

, ..., αx

n

] dla [x

1

, ..., x

n

] ∈ R

n

, α ∈ R

Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne.

Elementem neutralnym dodawania wektorów jest wektor zerowy ~

o = [0, ..., 0] ∈ R

n

,

tzn. dla dowolnego wektora [x

1

, ..., x

n

] ∈ R

n

zachodzi równość [x

1

, ..., x

n

] + [ 0, ..., 0] = [x

1

, ..., x

n

].

Dla dowolnego wektora ~

v = [x

1

, ..., x

n

] ∈ R

n

zachodzi [x

1

, ..., x

n

] + [−x

1

, ..., −x

n

] = [0, ..., 0].

Wektor [−x

1

, ..., −x

n

] nazywamy wektorem przeciwnym do wektora ~

v = [x

1

, ..., x

n

]

i oznaczamy symbolem −~

v.

Niech ~

v, ~

w ∈ R

n

. Różnicą wektorów ~

v i ~

w nazywamy wektor ~

v − ~

w = ~

v + (− ~

w).

Def. Iloczynem skalarnym wektorów ~

v = [x

1

, ..., x

n

] ∈ R

n

i ~

w = [y

1

, ..., y

n

] ∈ R

n

nazywamy skalar ~

v ◦ ~

w = x

1

y

1

+ ... + x

n

y

n

.

Dla dowolnych ~

v, ~

w, ~

u ∈ R

n

oraz α ∈ R zachodzą równości:

1. ~

v ◦ ~

w = ~

w ◦ ~

v (iloczyn skalarny jest przemienny)

2. ~

v ◦ (α ~

w) = (α~

v) ◦ ~

w = α(~

v ◦ ~

w)

3. ~

v ◦ ( ~

w + ~

u) = ~

v ◦ ~

w + ~

v ◦ ~

u

4. ~

v ◦ ~

v ­ 0

Def. Normą (długością) wektora ~

v = [x

1

, ..., x

n

] ∈ R

n

nazywamy liczbę k~

vk =

√

~

v ◦ ~

v =

q

x

2

1

+ .. + x

2

n

.

Dla dowolnych ~

v, ~

w ∈ R

n

oraz α ∈ R

1. kα~

vk = |α| · k~

vk

2. k~

vk = 0 ⇔ ~

v = ~

o

3. |~

v ◦ ~

w| ¬ k~

vk · k ~

wk

(nierówność Schwarza)

4. k~

v + ~

wk ¬ k~

vk + k ~

wk

(nierówność trójkąta)

Def. Wektory ~

v, ~

w ∈ R

n

nazywamy ortogonalnymi jeśli ~

v ◦ ~

w = 0.

Stw. Wektor zerowy przestrzeni R

n

jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni R

n

.

Def. Kątem między niezerowymi wektorami ~

v, ~

w ∈ R

n

nazywamy liczbę ϕ ∈ [0, π],

taką że cos ϕ =

~

v ◦ ~

w

k~vk · k ~

wk

.

Niezerowe wektory są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy są prostopadłe.

1

Algebra z geometrią 10, A.Sz.

~i = [1, 0, 0], ~j = [0, 1, 0], ~k = [0, 0, 1] - wersory osi kartezjańskiego układu współrzędnych OXY Z

Def.Iloczynem wektorowym wektorów ~

v = [x

1

, y

1

, z

1

] ∈ R

3

i ~

w = [x

2

, y

2

, z

2

] ∈ R

3

nazywamy wektor

~

v × ~

w =

~i

~j

~k

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

= [ y

1

z

2

− y

2

z

1

, −(x

1

z

2

− x

2

z

1

), x

1

y

2

− x

2

y

1

]

Dla dowolnych ~

v, ~

w, ~

u ∈ R

3

i α ∈ R

1. ~

v × ~

w = − ~

w × ~

v

2. ~

v × (α ~

w) = (α~

v) × ~

w = α(~

v × ~

w)

3. ~

v × ( ~

w + ~

u) = ~

v × ~

w + ~

v × ~

u

4. ~

v ◦ (~

v × ~

w) = 0 oraz ~

w ◦ (~

v × ~

w) = 0 (wektor ~

v × ~

w jest ortogonalny do ~

v i ~

w)

5. k~

v × ~

wk = k~

vk · k ~

wk · sin ϕ, gdzie ϕ jest kątem między wektorami ~

v i ~

w.

6. k~

v × ~

wk równa się polu równoległoboku rozpiętego na wektorach ~

v i ~

w.

7. ~

v × ~

w = ~

o wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów (~

v, ~

w) jest liniowo zależny.

Def. Iloczynem mieszanym wektorów ~

u, ~

v, ~

w ∈ R

3

nazywamy skalar (~

u × ~

v) ◦ ~

w.

Niech ~

u = [x

1

, y

1

, z

1

], ~

v = [x

2

, y

2

, z

2

], ~

w = [x

3

, y

3

, z

3

]. Wówczas (~

u × ~

v) ◦ ~

w =

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3

Wartość bezwzględna z iloczynu mieszanego wektorów ~

u, ~

v, ~

w ∈ R

3

jest równa

objętości równoległościanu rozpiętego przez te wektory.

(~

u × ~

v) ◦ ~

w = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (~

u, ~

v, ~

w) jest liniowo zależny.

Wektory ~

u, ~

v, ~

w nazywamy wtedy komplanarnymi (współpłaszczyznowymi).

Dla dowolnych wektorów ~

u, ~

v, ~

w ∈ R

3

zachodzi równość (~

u × ~

v) ◦ ~

w = ~

u ◦ (~

v × ~

w).

Dla danych punktów P (x

1

, y

1

, z

1

) i Q(x

2

, y

2

, z

2

) wektor o początku w punkcie P

i końcu w punkcie Q wyznaczamy zgodnie ze wzorem ~

P Q = [ x

2

− x

1

, y

2

− y

1

, z

2

− z

1

].

Dla dowolnych punktów P, Q, R

1. d(P, Q) = k ~

P Qk, gdzie d(P, Q) - odległość między punktami P i Q.

2. ~

P Q + ~

QR = ~

P R

3. ~

P Q = − ~

QP

4. ~

P Q − ~

P R = ~

RQ

2