WEKTORY
Współrzędne punktu w przestrzeni
W przestrzeni dany jest układ współrzędnych. Każdemu punktowi odpowiada trójka liczb zwanych
współrzędnymi tego punktu. Współrzędne punktu zapisujemy w nawiasach okrągłych np.
)
4
,
3
,
5
(
P
.
Współrzędne wektora w przestrzeni
W przestrzeni dane są dwa punkty:
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
P
oraz
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
P
Wektor
]
,
,
[
1
2
1
2
1
2
2
1
z
z
y
y
x
x
P
P
Przykład. Dane są punkty:
)
3
,
2
,
4
(
1
P
,
)
2
,
5
,
1
(
2
P
. Napisz współrzędne wektora
2
1
P
P
.
Rozwiązanie.
]
1
,
3
,
3
[
]
3
2
,
2
5
,
4
1
[
2
1
P
P
Przykład. Dany jest punkt
)
5
,
0
,
4
(
2
P
i wektor
]
3
,
1
,
2
[
2
1
P
P
. Wyznacz punkt
1
P .
Rozwiązanie. Oznaczmy:
)
,
,
(
1
z
y
x
P
. Wówczas:
]
5
,
0
,
4
[
2
1
z
y
x
P
P
.
Zatem:
3
5
,
1
,
2
4
z
y
x
. Stąd:
8
,
1
,
6
z
y
x
Odpowiedź.
)
8
,
1
,
6
(
1
P
Długość wektora
Dany jest wektor
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
. Długość tego wektora oznaczamy:
|
|
u . Wyraża się ona wzorem:
2
2
2
|
|
z
y
x
u
u
u
u
Przykład
Przykład. Dane są punkty:
)
1
,
0
,
2
(
1
P
,
)
2
,
3
,
4
(
2
P
. Wyznacz długość wektora
2
1
P
P
.
Rozwiązanie. Najpierw napiszemy współrzędne wektora
2
1
P
P
:
]
1
,
3
,
2
[
]
1
2
,
0
3
,
2
4
[
2
1
P
P
Teraz obliczymy jego długość:
74
,
3
14
1
3
2
|
|
2
2
2
2
1
P
P
Dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę
Działania te wykonujemy tak jak na macierzach (zapis wektora traktujemy jak macierz jednowierszową).
Przykład. Dane są wektory:
]
2
,
1
,
3
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
. Wyznacz wektor
v
u
3
2
.
Rozwiązanie.
]
4
,
4
,
3
[
]
0
,
6
,
3
[
]
4
,
2
,
6
[
]
0
,
2
,
1
[
3
]
2
,
1
,
3
[
2
3
2
v
u
Iloczyn skalarny wektorów
Dane są wektory:
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
,
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
v
Iloczyn skalarny tych wektorów jest to liczba
v
u
z
z
y
y
x
x
v
u
v
u
v
u
Kąt między wektorami
Dane są wektory niezerowe
u oraz
v . Cosinus kąta między nimi wyraża się wzorem:
|
|
|
|
)
,
(
cos
v
u
v
u
v
u
Przykład. Oblicz cosinus kąta między wektorami
]
4
,
1
,
2
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
.
Rozwiązanie. Kolejno obliczamy:
8
1
4
2
)
1
(
3
2
v
u
21
4
)
1
(
2
|
|
2
2
2
u
14
1
2
3
|
|
2
2
2
v
467
,
0
14
21
8
|
|
|
|
)
,
(
cos
v
u
v
u
v
u
Za pomocą tablic lub kalkulatora możemy odczytać, że ten kąt ma około 62 stopnie.
Twierdzenie. Wektory niezerowe
u oraz
v są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy
0
v
u
Uzasadnienie. Wektory prostopadłe tworzą kąt 90
0
. Cosinus 90
0
jest równy 0. Ułamek
|
|
|
|
v
u
v
u
jest równy
zero gdy jego licznik jest równy zero, tzn. gdy
0
v
u
.
Przykład. Dla jakich wartości k wektory
]
4
,
2
,
3
[
u
oraz
]
1
,
5
,
[k
v
są prostopadłe?
Rozwiązanie. Obliczamy iloczyn skalarny tych wektorów:
6
3
1
)
4
(
5
2
3
k
k
v
u
i
przyrównujemy go do zera:
0
6
3
k
. Stąd:
2
k
.
Iloczyn wektorowy wektorów
Dane są wektory:
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
v
Iloczyn wektorowy tych wektorów jest to wektor
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
v
v
u
u
v
v
u
u
v
v
u
u
v
u
,
,
Przykład. Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów
]
4
,
1
,
2
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
.
Rozwiązanie. Dla wygody rachunkowej dobrze jest zapisać te wektory jeden pod drugim:
]
4
,
1
,
2
[
u
]
0
,
2
,
1
[
v
2
1
1
2
,
0
1
4
2
,
0
2
4
1
v
u
=
]
3
,
4
,
8
[
Przykład. Oblicz iloczyn skalarny:
a) wektora
u i wektora
v
u
z poprzedniego przykładu
b) wektora
v i wektora
v
u
z poprzedniego przykładu
Rozwiązanie.
a)
]
4
,
1
,
2
[
u
,
v
u
]
3
,
4
,
8
[
u
0
3
4
)
4
(
)
1
(
)
8
(
2
)
(
v
u
Oznacza to, że wektory
u oraz
v
u
są prostopadłe.
b)
]
0
,
2
,
1
[
v
,
v
u
3
v
0
3
0
)
4
(
2
)
8
(
)
1
(
)
(
v
u
Oznacza to, że wektory
v oraz
v
u
są prostopadłe.
Wynik poprzedniego przykładu nie jest przypadkowy. Prawdziwe jest bowiem
Twierdzenie. Wektor
v
u
jest prostopadły zarówno do wektora
u jak i do wektora
v .
Obliczanie pola trójkąta za pomocą iloczynu wektorowego
Twierdzenie. Niech P oznacza pole trójkąta o wierzchołkach A, B, C. Pole P jest równe połowie długości
iloczynu wektorowego wektorów
AC
AB i
:
AC
AB
P
2
1
Przykład. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A=(1,0,1), B=(3,1,2), C=(2,2,4).
Rozwiązanie.
Wyznaczamy wektory:
]
3
,
2
,
1
[
i
]
1
,
1
,
2
[
AC
AB
Wyznaczamy ich iloczyn wektorowy:
]
3
,
5
,
1
[
2
1
1
2
,
3
1
1
2
,
3
2
1
1
AC
AB
Obliczamy jego długość:
35
3
)
5
(
1
2
2
2
AC
AB
Szukane pole jest równe połowie tej liczby, zatem
2
35
P
Przykład. Oblicz długość wysokości BD w trójkącie z poprzedniego przykładu.
Rozwiązanie.
Oznaczmy szukaną długość literą h. Jest ona poprowadzona z wierzchołka B do boku AC. Obliczmy
długość boku AC:
14
3
2
1
|
|
2
2
2
AC
AC
.
Pole P trójkąta ABC jest zatem równe
14
2
1
h
.
W poprzednim przykładzie obliczyliśmy, że
2
35
P
. Zatem:
14
2
1
h
=
2
35
.
Stąd wyliczamy:
2
10
2
5
14
35
14
35
h
.
Iloczyn mieszany trójki wektorów
Dane są wektory:
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
,
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
v
,
]
,
,
[
z
y
x
w
w
w
w
Iloczyn mieszany tych wektorów jest to liczba
w
v
u
,
,
z
y
x
z
y
x
z
y
x
w
w
w
v
v
v
u
u
u
(wyznacznik stopnia 3)
Przykład. Wyznacz iloczyn mieszany wektorów
]
4
,
1
,
2
[
u
,
]
0
,
2
,
1
[
v
,
]
4
,
0
,
0
[
w
Rozwiązanie.
w
v
u
,
,
=
4
0
0
0
2
1
4
1
2
=
2
1
1
2
4
=
12
3
4
Twierdzenie. Niech V oznacza objętość czworościanu o wierzchołkach A, B, C, D. Objętość V jest równa
jednej szóstej wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego
AD
AC
AB
i
,
:
AD
AC
AB
V
,
,
6
1
Przykład. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach A=(1,0,0), B=(3,0,1), C=(2,1,2),
D=(1,2,0).
Rozwiązanie.
Wyznaczamy wektory:
]
0
,
2
,
0
[
],
2
,
1
,
1
[
,
]
1
,
0
,
2
[
AD
AC
AB
Wyznaczamy ich iloczyn mieszany:
6
3
2
2
1
1
2
2
0
2
0
2
1
1
1
0
2
. Zatem
1
|
6
|
6
1
V
Przykład. Oblicz długość wysokości BE w czworościanie z poprzedniego przykładu.
Rozwiązanie.
Oznaczmy szukaną długość literą h. Jest ona poprowadzona z wierzchołka B do płaszczyzny ACD.
Obliczmy pole P trójkąta ACD:
]
2
,
0
,
4
[
2
0
1
1
,
0
0
2
1
,
0
2
2
1
AD
AC
,
5
2
20
2
0
)
4
(
2
2
2
AD
AC
Zatem
5
P
.
Objętość V czworościanu ABCD jest zatem równa
5
3
1
h
.
W poprzednim przykładzie obliczyliśmy, że
1
V
. Zatem:
5
3
1
h
=
1. Stąd wyliczamy:
5
5
3
5
3
h
.