WEKTORY

Współrzędne punktu w przestrzeni

W przestrzeni dany jest układ współrzędnych. Każdemu punktowi odpowiada trójka liczb zwanych
współrzędnymi tego punktu. Współrzędne punktu zapisujemy w nawiasach okrągłych np.

)

4

,

3

,

5

(





P

.

Współrzędne wektora w przestrzeni

W przestrzeni dane są dwa punkty:

)

,

,

(

1

1

1

1

z

y

x

P



oraz

)

,

,

(

2

2

2

2

z

y

x

P



Wektor

]

,

,

[

1

2

1

2

1

2

2

1

z

z

y

y

x

x

P

P











Przykład. Dane są punkty:

)

3

,

2

,

4

(

1



P

,

)

2

,

5

,

1

(

2



P

. Napisz współrzędne wektora



2

1

P

P

.

Rozwiązanie.

]

1

,

3

,

3

[

]

3

2

,

2

5

,

4

1

[

2

1

















P

P

Przykład. Dany jest punkt

)

5

,

0

,

4

(

2





P

i wektor

]

3

,

1

,

2

[

2

1







P

P

. Wyznacz punkt

1

P .

Rozwiązanie. Oznaczmy:

)

,

,

(

1

z

y

x

P



. Wówczas:

]

5

,

0

,

4

[

2

1

z

y

x

P

P













.

Zatem:

3

5

,

1

,

2

4

















z

y

x

. Stąd:

8

,

1

,

6











z

y

x

Odpowiedź.

)

8

,

1

,

6

(

1







P

Długość wektora

Dany jest wektor

]

,

,

[

z

y

x

u

u

u

u





. Długość tego wektora oznaczamy:

|

|



u . Wyraża się ona wzorem:

2

2

2

|

|

z

y

x

u

u

u

u









Przykład

Przykład. Dane są punkty:

)

1

,

0

,

2

(

1



P

,

)

2

,

3

,

4

(

2



P

. Wyznacz długość wektora



2

1

P

P

.

Rozwiązanie. Najpierw napiszemy współrzędne wektora



2

1

P

P

:

]

1

,

3

,

2

[

]

1

2

,

0

3

,

2

4

[

2

1













P

P

Teraz obliczymy jego długość:

74

,

3

14

1

3

2

|

|

2

2

2

2

1













P

P

Dodawanie i odejmowanie wektorów, mnożenie wektora przez liczbę

Działania te wykonujemy tak jak na macierzach (zapis wektora traktujemy jak macierz jednowierszową).

Przykład. Dane są wektory:

]

2

,

1

,

3

[







u

,

]

0

,

2

,

1

[







v

. Wyznacz wektor







v

u

3

2

.

Rozwiązanie.

]

4

,

4

,

3

[

]

0

,

6

,

3

[

]

4

,

2

,

6

[

]

0

,

2

,

1

[

3

]

2

,

1

,

3

[

2

3

2





























v

u

Iloczyn skalarny wektorów

Dane są wektory:

]

,

,

[

z

y

x

u

u

u

u





,

]

,

,

[

z

y

x

v

v

v

v





Iloczyn skalarny tych wektorów jest to liczba





v

u 

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u







Kąt między wektorami

Dane są wektory niezerowe



u oraz



v . Cosinus kąta między nimi wyraża się wzorem:

|

|

|

|

)

,

(

cos



















v

u

v

u

v

u



Przykład. Oblicz cosinus kąta między wektorami

]

4

,

1

,

2

[







u

,

]

0

,

2

,

1

[







v

.

Rozwiązanie. Kolejno obliczamy:

8

1

4

2

)

1

(

3

2





















v

u 

21

4

)

1

(

2

|

|

2

2

2













u

14

1

2

3

|

|

2

2

2











v

467

,

0

14

21

8

|

|

|

|

)

,

(

cos

























v

u

v

u

v

u



Za pomocą tablic lub kalkulatora możemy odczytać, że ten kąt ma około 62 stopnie.

Twierdzenie. Wektory niezerowe



u oraz



v są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy

0







v

u 

Uzasadnienie. Wektory prostopadłe tworzą kąt 90

0

. Cosinus 90

0

jest równy 0. Ułamek

|

|

|

|











v

u

v

u 

jest równy

zero gdy jego licznik jest równy zero, tzn. gdy

0







v

u 

.

Przykład. Dla jakich wartości k wektory

]

4

,

2

,

3

[







u

oraz

]

1

,

5

,

[k

v





są prostopadłe?

Rozwiązanie. Obliczamy iloczyn skalarny tych wektorów:

6

3

1

)

4

(

5

2

3























k

k

v

u 

i

przyrównujemy go do zera:

0

6

3





k

. Stąd:

2





k

.

Iloczyn wektorowy wektorów

Dane są wektory:

]

,

,

[

z

y

x

u

u

u

u





]

,

,

[

z

y

x

v

v

v

v





Iloczyn wektorowy tych wektorów jest to wektor

























y

x

y

x

z

x

z

x

z

y

z

y

v

v

u

u

v

v

u

u

v

v

u

u

v

u

,

,

Przykład. Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów

]

4

,

1

,

2

[







u

,

]

0

,

2

,

1

[







v

.

Rozwiązanie. Dla wygody rachunkowej dobrze jest zapisać te wektory jeden pod drugim:

]

4

,

1

,

2

[







u

]

0

,

2

,

1

[







v































2

1

1

2

,

0

1

4

2

,

0

2

4

1

v

u

=

]

3

,

4

,

8

[





Przykład. Oblicz iloczyn skalarny:

a) wektora



u i wektora







v

u

z poprzedniego przykładu

b) wektora



v i wektora







v

u

z poprzedniego przykładu

Rozwiązanie.

a)

]

4

,

1

,

2

[







u

,









v

u

]

3

,

4

,

8

[









u

0

3

4

)

4

(

)

1

(

)

8

(

2

)

(



























v

u

Oznacza to, że wektory



u oraz







v

u

są prostopadłe.

b)

]

0

,

2

,

1

[







v

,









v

u

3





v

0

3

0

)

4

(

2

)

8

(

)

1

(

)

(



























v

u

Oznacza to, że wektory



v oraz







v

u

są prostopadłe.

Wynik poprzedniego przykładu nie jest przypadkowy. Prawdziwe jest bowiem

Twierdzenie. Wektor







v

u

jest prostopadły zarówno do wektora



u jak i do wektora



v .

Obliczanie pola trójkąta za pomocą iloczynu wektorowego

Twierdzenie. Niech P oznacza pole trójkąta o wierzchołkach A, B, C. Pole P jest równe połowie długości

iloczynu wektorowego wektorów





AC

AB i

:









AC

AB

P

2

1

Przykład. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A=(1,0,1), B=(3,1,2), C=(2,2,4).

Rozwiązanie.

Wyznaczamy wektory:

]

3

,

2

,

1

[

i

]

1

,

1

,

2

[









AC

AB

Wyznaczamy ich iloczyn wektorowy:

]

3

,

5

,

1

[

2

1

1

2

,

3

1

1

2

,

3

2

1

1



























AC

AB

Obliczamy jego długość:

35

3

)

5

(

1

2

2

2

















AC

AB

Szukane pole jest równe połowie tej liczby, zatem

2

35



P

Przykład. Oblicz długość wysokości BD w trójkącie z poprzedniego przykładu.

Rozwiązanie.

Oznaczmy szukaną długość literą h. Jest ona poprowadzona z wierzchołka B do boku AC. Obliczmy

długość boku AC:

14

3

2

1

|

|

2

2

2













AC

AC

.

Pole P trójkąta ABC jest zatem równe

14

2

1



h

.

W poprzednim przykładzie obliczyliśmy, że

2

35



P

. Zatem:

14

2

1



h

=

2

35

.

Stąd wyliczamy:

2

10

2

5

14

35

14

35









h

.

Iloczyn mieszany trójki wektorów

Dane są wektory:

]

,

,

[

z

y

x

u

u

u

u





,

]

,

,

[

z

y

x

v

v

v

v





,

]

,

,

[

z

y

x

w

w

w

w





Iloczyn mieszany tych wektorów jest to liczba



















w

v

u

,

,

z

y

x

z

y

x

z

y

x

w

w

w

v

v

v

u

u

u



(wyznacznik stopnia 3)

Przykład. Wyznacz iloczyn mieszany wektorów

]

4

,

1

,

2

[







u

,

]

0

,

2

,

1

[







v

,

]

4

,

0

,

0

[





w

Rozwiązanie.



















w

v

u

,

,

=

4

0

0

0

2

1

4

1

2





=

2

1

1

2

4







=

12

3

4





Twierdzenie. Niech V oznacza objętość czworościanu o wierzchołkach A, B, C, D. Objętość V jest równa

jednej szóstej wartości bezwzględnej iloczynu mieszanego







AD

AC

AB

i

,

:























AD

AC

AB

V

,

,

6

1

Przykład. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach A=(1,0,0), B=(3,0,1), C=(2,1,2),

D=(1,2,0).

Rozwiązanie.

Wyznaczamy wektory:

]

0

,

2

,

0

[

],

2

,

1

,

1

[

,

]

1

,

0

,

2

[













AD

AC

AB

Wyznaczamy ich iloczyn mieszany:

6

3

2

2

1

1

2

2

0

2

0

2

1

1

1

0

2

















. Zatem

1

|

6

|

6

1









V

Przykład. Oblicz długość wysokości BE w czworościanie z poprzedniego przykładu.

Rozwiązanie.

Oznaczmy szukaną długość literą h. Jest ona poprowadzona z wierzchołka B do płaszczyzny ACD.
Obliczmy pole P trójkąta ACD:

]

2

,

0

,

4

[

2

0

1

1

,

0

0

2

1

,

0

2

2

1



























AD

AC

,

5

2

20

2

0

)

4

(

2

2

2



















AD

AC

Zatem

5



P

.

Objętość V czworościanu ABCD jest zatem równa

5

3

1



h

.

W poprzednim przykładzie obliczyliśmy, że

1



V

. Zatem:

5

3

1



h

=

1. Stąd wyliczamy:

5

5

3

5

3





h

.