Funkcje wielu zmiennych — cia

,

gÃlo´s´

c, r´

o˙zniczkowalno´s´

c

Podajemy tu kilka definicji i twierdze´

n (z dowodami, kt´ore w wie

,

kszo´sci zostana

,

pominie

,

te na wykÃladzie), kt´ore pozwola

,

m´owi´c o cia

,

gÃlo´sci i r´o˙zniczkowalno´sci funkcji

wielu zmiennych. Z konieczno´sci jest to tylko przegla

,

d najwa˙zniejszych spo´sr´od naj-

bardziej podstawowych zagadnie´

n. Definicji kuli wielowymiarowej nie podam na

wykÃladzie, ale jest ono wygodne i powszechnie stosowane, wie

,

c je tu umieszczam.

Definicja 16.1 (kuli k –wymiarowej) *

Kula

,

otwarta

,

o ´srodku p i promieniu r > 0 nazywamy zbi´or

B(p, r) = {x ∈ IR

k

:

kx − pk < r} ,

kula

,

domknie

,

ta

,

o ´srodku p i promieniu r > 0 — zbi´or

B(p, r) = {x ∈ IR

k

:

kx − pk ≤ r} .

Jasne jest, ˙ze jednowymiarowa

,

kula

,

otwarta

,

o ´srodku w punkcie p ∈ IR i promie-

niu r > 0 jest przedziaÃl o ´srodku w punkcie p i dÃlugo´sci 2r . Jednowymiarowa kula

domknie

,

ta o´srodku w punkcie p i promieniu r > 0 to po prostu przedziaÃl domknie

,

ty

o ´srodku w punkcie p i dÃlugo´sci 2r . W tym wymiarze kula domknie

,

ta r´o˙zni sie

,

od

otwartej (o tym samym ´srodku i promieniu) jedynie dwoma punktami. Jasne jest, ˙ze

dwuwymiarowa

,

kula

,

otwarta

,

o ´srodku p ∈ IR

2

i promieniu r > 0 jest koÃlo o ´srodku

p i promieniu r jednak bez punkt´ow ,,brzegowych”, tj. bez punkt´ow, kt´orych od-

legÃlo´s´c od p r´owna jest dokÃladnie r . Kula domknie

,

ta o ´srodku p i promieniu

r > 0 to koÃlo z ,,brzegiem” o ´srodku p i promieniu r . Tr´ojwymiarowa kula otwarta

to po prostu kula bez punkt´ow brzegowych, a kula domknie

,

ta to kula z punktami

brzegowymi. Wida´c wie

,

c, ˙ze te nazwy motywowane sa

,

terminologia

,

stosowana

,

do

przestrzeni tr´ojwymiarowej. Mimo, ˙ze mo˙ze sie

,

komu´s wydawa´c ´smiesznym nazy-

wanie przedziaÃlu kula

,

, to jednak warto zapÃlaci´c taka

,

cene

,

za jednolita

,

terminologie

,

stosowana

,

w odniesieniu do przestrzeni r´o˙znych wymiar´ow, to uÃlatwia formuÃlowanie

zar´owno twierdze´

n jak i ich dowod´ow.

Definicja 16.2 (zbioru otwartego w IR

k

)

Zbi´or G nazywamy otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu p ∈ G

istnieje liczba dodatnia r taka, ˙ze B(p, r) ⊂ G , czyli gdy z tego, ˙ze kx − pk < r

wynika, ˙ze x ∈ G .

Jasne jest, ˙ze caÃla przestrze´

n k –wymiarowa jest zbiorem otwartym, w tym

konkretnym przypadku mo˙zna przyja

,

´c np. r = 13 . R´ownie˙z zbi´or pusty jest otwar-

*

angielskie sÃlowo: ball

1

Funkcje wielu zmiennych

ty. Wynika to sta

,

d, ˙ze je´sli poprzednik implikacji jest faÃlszywy (czyli p ∈ ∅ ), to z tej

nieprawdy ju˙z wszystko wynika w szczeg´olno´sci istnienie liczby r > 0 . Oczywi´scie

zn´ow to rozumienie sÃlowa wynika nie zawsze jest zgodne z potocznym, ale przyje

,

to

wynikanie w ten wÃla´snie spos´ob interpretowa´c. R´ownie˙z otwarta kula k –wymiarowa

w przestrzeni k –wymiarowej jest zbiorem otwartym: je´sli q ∈ B(p, r) , to przyj-

muja

,

c % = r − kq − pk , otrzymujemy B(q, %) ⊂ B(p, r) , bo je´sli kx − qk < % ,

to kx − pk ≤ kx − qk + kq − pk < % + kq − pk = r . Z tego ostatniego zdania

wynika, ˙ze przedziaÃl otwarty jest otwartym podzbiorem prostej. Natomiast odcinek

bez ko´

nc´ow otwartym podzbiorem pÃlaszczyzny nie jest, bo przecie˙z ˙zaden jego punkt

nie jest ´srodkiem dwuwymiarowej kuli, czyli koÃla zawartego w tym odcinku, bo od-

cinek w og´ole ˙zadnego koÃla nie zawiera. Widzimy wie

,

c, ˙ze to czy zbi´or jest otwarty,

czy te˙z nie, zale˙zy nie tylko od samego zbioru, lecz r´ownie˙z od tego z jakiego punktu

widzenia jest on rozpatrywany! Czytelnik sprawdzi bez trudu, ˙ze pÃlaszczyzna bez jed-

nego punktu, pÃlaszczyzna bez sko´

nczenie wielu punkt´ow, pÃlaszczyzna bez sko´

nczenie

wielu prostych sa

,

otwartymi podzbiorami pÃlaszczyzny. Tr´ojka

,

t otwartym podzbiorem

pÃlaszczyzny nie jest, bo ˙zadne koÃlo o ´srodku w punkcie le˙za

,

cym na boku tr´ojka

,

ta za-

warte w tr´ojka

,

cie nie jest. Natomiast tr´ojka

,

t bez bok´ow i wierzchoÃlk´ow jest zbiorem

otwartym, bo ka˙zdy punkt nie le˙za

,

cy na boku tr´ojka

,

ta jest ´srodkiem koÃla zawartego

w tr´ojka

,

cie bez bok´ow. Podobnie kwadrat nie jest otwartym podzbiorem pÃlaszczyzny,

ale staje sie

,

otwarty po usunie

,

ciu bok´ow wraz z wierzchoÃlkami. Obszar nad parabola

,

y = x

2

, czyli zbi´or takich punkt´ow (x, y) , ˙ze y > x

2

jest otwartym podzbiorem

pÃlaszczyzny. R´ownie˙z obszar zÃlo˙zony z takich punkt´ow (x, y) , ˙ze y < x

2

jest ot-

warty. Analogiczne przykÃlady mo˙zna rozwa˙zy´c w przestrzeni tr´ojwymiarowej, co

pozostawiamy czytelnikom w charakterze prostego ´cwiczenia.

Definicja 16.3 (zbioru domknie

,

tego w przestrzeni IR

k

)

Zbi´or F ⊂ IR

k

jest domknie

,

ty wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´or R

k

\ F jest otwarty.

Podane poprzednio przykÃlady zbior´ow otwartych daja

,

od razu przykÃlady zbior´ow

domknie

,

tych: z tego, ˙ze caÃla przestrze´

n IR

k

jest zbiorem otwartym wnioskujemy

natychmiast, ˙ze zbi´or pusty jest domknie

,

ty. Z tego, ˙ze zbi´or pusty jest otwarty

wynika, ˙ze caÃla przestrze´

n jest zbiorem domknie

,

tym. Poniewa˙z kula otwarta jest

zbiorem otwartym, wie

,

c dopeÃlnienie kuli otwartej jest zbiorem domknie

,

tym. Zbiory

sko´

nczone sa

,

domknie

,

te, prosta jest podzbiorem domknie

,

tym pÃlaszczyzny, przestrzeni

tr´ojwymiarowej. Jasne jest te˙z, ˙ze k –wymiarowa kula domknie

,

ta jest podzbiorem

domknie

,

tym przestrzeni IR

k

. To stwierdzenie uzasadnimy. Niech q /

∈ B(p, r) , tzn.

2

Funkcje wielu zmiennych

kq − pk > r . Niech % = kq − pk − r . Oczywi´scie % > 0 . Niech x ∈ B(q, %) , tzn.

kx − qk < % = kq − pk − r . Sta

,

d wynika, ˙ze r < kq − pk − kx − qk ≤ kx − pk , co

oznacza, ˙ze x /

∈ B(p, r) , a wie

,

c B(q, %) ∩ B(p, r) = ∅ . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze kula

B(q, %) jest zawarta w dopeÃlnieniu kuli B(p, r) , a poniewa˙z q oznacza tu dowolny

punkt dopeÃlnienia kuli B(p, r) , wie

,

c dopeÃlnienie to jest otwarte, zatem sama kula

B(p, r) jest zbiorem domknie

,

tym w IR

k

.

Zbiory otwarte maja

,

swoja

,

charakteryzacje

,

,,wewne

,

trzna

,

” – nie ma konieczno´sci

badania dopeÃlnienia zbioru. W podobny spos´ob mo˙zna scharakteryzowa´c zbioru

domknie

,

te. Przyda sie

,

nam do tego poje

,

cie granicy cia

,

gu punkt´ow.

Definicja 16.4 (granicy cia

,

gu punkt´

ow przestrzeni euklidesowej)

Cia

,

g (p

n

) jest zbie˙zny do granicy p wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

kp

n

− pk = 0 .

Wida´c, ˙ze definicja ta r´o˙zni sie

,

od definicji cia

,

gu liczbowego bardzo nieznacznie:

w przypadku cia

,

gu wysta

,

piÃla warto´s´c bezwzgle

,

dna r´o˙znicy wyrazu cia

,

gu i granicy,

w przypadku cia

,

gu punkt´ow przestrzeni m´owimy o odlegÃlo´sci wyrazu cia

,

gu od grani-

cy. Wida´c wyra´znie, ˙ze r´o˙znica obu definicji jest raczej kosmetyczna ni˙z merytoryczna

— warto´s´c bezwzgle

,

dna r´o˙znicy dwu liczb to przecie˙z odlegÃlo´s´c mie

,

dzy nimi, je´sli

o liczbach my´slimy jak o punktach prostej.

Twierdzenie 16.5 (charakteryzuja

,

ce zbiory domknie

,

te)

Zbi´or F jest domknie

,

ty wtedy i tylko wtedy, gdy z tego ˙ze punkty p

1

, p

2

, . . .

nale˙za

,

do zbioru F oraz p = lim

n→∞

p

n

wynika, ˙ze r´ownie˙z p ∈ F .

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze zbi´or F jest domknie

,

ty, czyli ˙ze zbi´or IR

k

\ F jest

otwarty. Niech p = lim

n→∞

p

n

i niech punkty cia

,

gu (p

n

) nale˙za

,

do zbioru F . Je´sli

p /

∈ F , to poniewa˙z zbi´or IR

k

\ F jest otwarty, wie

,

c istnieje taka liczba r > 0 ,

˙ze B(p, r) ⊂ IR

k

\ F . Wobec tego w kuli B(p, r) nie ma punkt´ow cia

,

gu (p

n

) ,

bo one le˙za

,

w zbiorze F , a to oznacza, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi

nier´owno´s´c kp

n

− pk ≥ r , wbrew temu, ˙ze lim

n→∞

kp

n

− pk = 0 . ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze

zbi´or F speÃlnia warunek opisany w tre´sci zadania i nie jest domknie

,

ty, tzn. jego

dopeÃlnienie nie jest otwarte. Istnieje wie

,

c punkt p ∈ IR

k

\ F taki, ˙ze ˙zadna kula o

´srodku p nie jest zawarta w zbiorze IR

k

\ F . Niech p

n

∈ B(p,

1

n

) ∩ F . Mamy wie

,

c

kp

n

− pk <

1

n

, zatem lim

n→∞

kp

n

− pk = 0 , czyli lim

n→∞

p

n

= p i wobec tego musi te˙z

by´c p ∈ F , wbrew uczynionemu zaÃlo˙zeniu. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Z twierdzenia tego wynika natychmiast, ˙ze np. zbi´or IR

2

\ {(0, 0)} nie jest

3

Funkcje wielu zmiennych

zbiorem domknie

,

tym. Mamy bowiem lim

n→∞

(

1

n

, 0) = (0, 0) /

∈ IR

2

\ {(0, 0)} , chocia˙z

oczywi´scie (

1

n

, 0) ∈ IR

2

\ {(0, 0)} . W taki sam spos´ob mo˙zna wykaza´c, ˙ze zbi´or Q

zÃlo˙zony ze wszystkich liczb wymiernych nie jest domknie

,

tym podzbiorem prostej:

ka˙zda liczba niewymierna jest granica

,

cia

,

gu liczb wymiernych. Zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or

ten nie jest r´ownie˙z otwarty, bo r´ownie˙z ka˙zda liczba wymierna mo˙ze przedstawiona

jako granica cia

,

gu liczb niewymiernych. Widzieli´smy wie

,

c, ˙ze istnieja

,

zbiory, kt´ore

sa

,

jednocze´snie otwarte i domknie

,

te ( IR

k

i ∅ ), istnieja

,

te˙z zbiory, kt´ore nie sa

,

ani

otwarte ani domknie

,

te!

Twierdzenie 16.6 (charakteryzuja

,

ce zbie˙zno´s´

c cia

,

g´

ow w IR

k

)

Cia

,

g (p

n

) punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej jest zbie˙zny do punktu p ∈ IR

k

wtedy

i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

p

i,n

= p

i

dla i = 1, 2, . . . , k , tu p

n

= (p

1,n

, p

2,n

, . . . , p

k,n

)

dla n = 1, 2, . . . i p = (p

1

, p

2

, . . . , p

k

) .

Dow´

od. Dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, . . . , k} zachodzi nier´owno´s´c:

|p

i,n

− p

i

| ≤

p

|p

1,n

− p

1

|

2

+ |p

2,n

− p

2

|

2

+ · · · + |p

k,n

− p

k

|

2

= kp

n

− pk ,

z kt´orej wynika od razu, ˙ze je´sli lim

n→∞

p

n

= p , to lim

n→∞

p

i,n

= p

i

dla ka˙zdego

i ∈ {1, 2, . . . , k} . W druga

,

strone

,

twierdzenie wynika natychmiast z definicji od-

legÃlo´sci: pod pierwiastkiem jest k skÃladnik´ow i ka˙zdy z nich da

,

˙zy do 0, co jest

tre´scia

,

zaÃlo˙zenia. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Twierdzenie to pozwala w istocie rzeczy sprowadza´c badanie zbie˙zno´sci cia

,

gu

punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej do badania zbie˙zno´sci k cia

,

g´ow liczbowych.

Wa˙znym twierdzeniem byÃlo w przypadku cia

,

g´ow liczbowych twierdzenie Bolzano–

Weierstrassa. GwarantowaÃlo ono mo˙zliwo´s´c wybierania podcia

,

g´ow zbie˙znych z cia

,

-

g´ow ograniczonych. Twierdzenie to pozostaje w mocy w przypadku wielowymi-

arowym. Przed sformuÃlowaniem tego twierdzenia wypada powiedzie´c, ˙ze cia

,

g (zbi´or)

nazywamy ograniczonym, je´sli wszystkie jego wyrazy (elementy) znajduja

,

sie

,

w pew-

nej kuli. Przypomnijmy, ˙ze w jednowymiarowym przypadku kulami sa

,

przedziaÃly,

wie

,

c ta definicja to po prostu uog´olnienie definicji stosowanej w przypadku jed-

nowymiarowym. Warto od razu zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli cia

,

g punkt´ow przestrzeni IR

k

jest

ograniczony, to r´ownie˙z cia

,

gi liczbowe: utworzony z jego pierwszych wsp´oÃlrze

,

dnych,

utworzony z drugich wsp´oÃlrze

,

dnych itd. sa

,

zbie˙zne. Czytelnik bez trudu stwierdzi, ˙ze

je´sli wszystkie cia

,

gi utworzone ze wsp´oÃlrze

,

dnych o ustalonym numerze sa

,

ograniczone,

to r´ownie˙z cia

,

g punkt´ow przestrzeni k –wymiarowej jest ograniczony. Twierdzenie

to nie byÃlo om´owione w czasie wykÃladu, tu jednak je zamieszczam w przekonaniu, ˙ze

niekt´orym studentom zapoznanie sie

,

z nim uÃlatwi nauke

,

matematyki.

4

Funkcje wielu zmiennych

Twierdzenie 16.7 (Bolzano–Weiertrassa, przypadek wielowymiarowy)

Z ka˙zdego ograniczonego cia

,

gu (p

n

) punkt´ow przestrzeni IR

k

mo˙zna wybra´c podcia

,

g

zbie˙zny do pewnego punktu p ∈ IR

k

, tzn. istnieje ´sci´sle rosna

,

cy cia

,

g (n

j

) liczb

naturalnych taki, ˙ze zachodzi r´owno´s´c lim

j→∞

p

n

j

= p .

Dow´

od. Z poprzedniego twierdzenia wynika, ˙ze trzeba wybra´c cia

,

g (n

j

) w taki

spos´ob, by wszystkie cia

,

gi

¡

p

1,n

j

¢

,

¡

p

2,n

j

¢

,. . . ,

¡

p

k,n

j

¢

byÃly zbie˙zne. Twierdzenie

Bolzano–Weierstrassa jest prawdziwe dla cia

,

g´ow liczbowych, zatem istnieje cia

,

g (n

j

)

taki, ˙ze cia

,

g (p

1,n

j

) jest zbie˙zny, ale nie wiemy nic o naste

,

pnych k − 1 cia

,

gach:

(p

2,n

j

) , (p

3,n

j

) , itd. Mo˙zemy jednak skorzysta´c z tego, ˙ze wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu

zbie˙znego te˙z sa

,

zbie˙zne i to do tej samej granicy. Zasta

,

pimy wie

,

c cia

,

g wyj´sciowy

(p

n

) cia

,

giem (p

n

j

) (wie

,

c pierwsze wsp´oÃlrze

,

dne tworza

,

cia

,

g zbie˙zny) i z tego cia

,

gu

wybierzemy podcia

,

g (p

n

0

j

) w taki spos´ob, by cia

,

g (p

2,n

0

j

) byÃl zbie˙zny. Jest to

mo˙zliwe, bo cia

,

g (p

2,n

j

) jest ograniczony, wie

,

c mo˙zemy zastosowa´c jednowymi-

arowe twierdzenie Bolzano–Weiertrassa. Uzyskamy wie

,

c w ten spos´ob cia

,

g (p

n

0

j

) ,

kt´orego pierwsze i drugie wsp´oÃlrze

,

dne tworza

,

cia

,

gi zbie˙zne.* Wystarczy te

,

proce-

dure

,

zastosowa´c jeszcze kolejno k − 2 razy, by uzyska´c podcia

,

g, kt´orego wszystkie

wsp´oÃlrze

,

dne: pierwsze, drugie, itd. tworza

,

cia

,

gi zbie˙zne, dzie

,

ki czemu r´ownie˙z sam

podcia

,

g jest zbie˙zny. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Podamy teraz jedna

,

z najwa˙zniejszych definicji tej cze

,

´sci wykÃladu.

Definicja 16.8 (zbioru zwartego)

Zbi´or C nazywamy zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy z ka˙zdego cia

,

gu punkt´ow

zbioru C mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do punktu le˙za

,

cego w zbiorze C .

Zbiory zwarte moga

,

by´c definiowane w taki spos´ob w nieco og´olniejszej sytuacji

ni˙z rozpatrywana przez nas, moga

,

to by´c mianowicie podzbiory tzw. przestrzeni

metrycznych. Podamy teraz twierdzenie, kt´ore w og´olnej sytuacji nie jest prawdziwe,

ale jest prawdziwe i bardzo u˙zyteczne w przypadku tych zbior´ow, kt´orymi zajmowa´c

sie

,

be

,

dziemy w tej przyszÃlo´sci.

Twierdzenie 16.9 (charakteryzuja

,

ce zbiory zwarte w przestrzeni IR

k

)

Zbi´or C ⊂ IR

k

jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknie

,

ty i ograniczony.

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze zbi´or C ⊂ IR

k

jest zwarty. Je´sli C nie jest ograniczony,

to dla ka˙zdej liczby naturalnej n istnieje taki punkt p

n

∈ C , ˙ze p

n

/

∈ B(0, n) .

Oznacza to, ˙ze kp

n

k ≥ n . Poniewa˙z C jest zbiorem zwartym, wie

,

c z cia

,

gu (p

n

)

*

Pierwsze – bo podcia,g cia,gu zbie˙znego jest zbie˙zny, drugie – bo tak wybieramy.

5

Funkcje wielu zmiennych

wybra´c mo˙zna podcia

,

g zbie˙zny (p

n

j

) do pewnego punktu p ∈ C . Sta

,

d wynika,

˙ze cia

,

g

¡

kp

n

j

− pk

¢

jest zbie˙zny do 0, wie

,

c jest ograniczony. Zachodzi nier´owno´s´c

kp

n

j

k ≤ kpk + kp

n

j

− pk , a z niej i ze zdania poprzedniego wynika, ˙ze cia

,

g

¡

p

n

j

¢

jest ograniczony, co oczywi´scie przeczy temu, ˙ze kp

n

j

k ≥ n

j

. Wykazali´smy wie

,

c,

˙ze podzbi´or zwarty przestrzeni IR

k

musi by´c ograniczony. Teraz wyka˙zemy, ˙ze musi

by´c r´ownie˙z domknie

,

ty. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze nie jest domknie

,

ty. Wtedy istnieje cia

,

g (p

n

)

punkt´ow zbioru C zbie˙zny do punktu p /

∈ C . Wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu (p

n

) sa

,

oczywi´scie zbie˙zne do punktu p , wie

,

c nie mo˙zna wybra´c z tego cia

,

gu podcia

,

gu,

kt´orego granica nale˙zaÃlaby do C . Wobec tego podzbi´or zwarty przestrzeni IR

k

musi

by´c te˙z domknie

,

ty. Czas na dow´od implikacji przeciwnej. ZakÃladamy teraz, ˙ze zbi´or

C ⊂ IR

k

jest domknie

,

ty i ograniczony. Niech (p

n

) be

,

dzie cia

,

giem punkt´ow zbioru

C . Na mocy twierdzenia Bolzano–Weierstrassa mo˙zna ze´

n wybra´c podcia

,

g (p

n

j

)

zbie˙zny do pewnego punktu p . Poniewa˙z zbi´or C jest domknie

,

ty a wyrazy cia

,

gu

(p

n

j

) sa

,

elementami zbioru domknie

,

tego C , wie

,

c r´ownie˙z jego granica, czyli punkt

p jest elementem zbioru C . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze z cia

,

gu punkt´ow zbioru C mo˙zna

wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do punktu le˙za

,

cego w zbiorze C , a to oznacza, ˙ze C jest

zbiorem zwartym. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Interesuja

,

nas nie tylko zbiory, ale r´ownie˙z funkcje, w tym funkcje cia

,

gÃle. Defi-

nicja cia

,

gowa (Heinego) cia

,

gÃlo´sci funkcji przenosi sie

,

na przypadek wielowymiarowy

bez ˙zadnych zmian. Je´sli A ⊂ IR

k

i f : A −→ IR

l

jest funkcja

,

okre´slona

,

na zbiorze A ,

to f jest cia

,

gÃla w punkcie p ∈ IR

k

wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, ˙ze lim

n→∞

p

n

= p ,

p

n

∈ A wynika, ˙ze lim

n→∞

f (p

n

) = f (p) . Mo˙zna r´ownie˙z przeformuÃlowa´c definicje

,

otoczeniowa

,

(Cauchy’ego): funkcja f : A −→ IR

l

jest cia

,

gÃla w punkcie p ∈ A wte-

dy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli

q ∈ A i kq − pk < δ , to kf (q) − f (p)k < ε . Poniewa˙z definicje te nie r´o˙znia

,

sie

,

od podawanych w przypadku jednowymiarowym, wie

,

c dow´od ich r´ownowa˙zno´sci

pomijamy, zreszta

,

nie r´o˙zni sie

,

on od dowodu w przypadku jednowymiarowym niczym

istotnym. Warto te˙z doda´c, ˙ze je´sli funkcje f, g sa

,

cia

,

gÃle i odpowiednia operacja na

nich jest zdefiniowana, to cia

,

gÃle sa

,

r´ownie˙z funkcje f ± g , f · g (iloczyn skalarny),

f ×g (iloczyn wektorowy), f

−1

(np. je´sli warto´sciami funkcji sa

,

macierze odwracalne

i f (x)

−1

oznacza macierz odwrotna

,

do macierzy f (x) ), f ◦ g (zÃlo˙zenie funkcji f z

funkcja

,

g ). Natomiast funkcja odwrotna do funkcji cia

,

gÃlej mo˙ze nie by´c cia

,

gÃla: je´sli

f (t) =

¡

(2 + cos t) cos(t

√

2), (2 + cos t) sin(t

√

2), sin t

¢

,

to funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa, wie

,

c ma funkcje

,

odwrotna

,

, ale ta funkcja odwrot-

6

Funkcje wielu zmiennych

na nie ma ani jednego punktu cia

,

gÃlo´sci.

Dzie

,

ki twierdzeniu Bolzano–Weierstrassa pozostaje te˙z w mocy

Twierdzenie 16.10 (Weierstrassa o osia

,

ganiu kres´

ow przez funkcje

,

cia

,

gÃla

,

)

Je´sli f : C −→ IR jest funkcja

,

cia

,

gÃla

,

w ka˙zdym punkcie zbioru zwartego C ⊂ IR

k

, to

istnieja

,

punkty p, q ∈ C takie, ˙ze dla ka˙zdego punktu x ∈ C zachodzi nier´owno´s´c

podw´ojna f (p) ≤ f (x) ≤ f (q) , czyli f (p) jest najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f za´s

f (q) – najwie

,

ksza

,

.

Twierdzenie to ma kapitalne znaczenie. Pozwala ono stwierdza´c, ˙ze np. poszuki-

wana przez nas najwie

,

ksza warto´s´c funkcji istnieje, co zwalnia nas z obowia

,

zku

przeprowadzania cze

,

sto kÃlopotliwych rozumowa´

n w konkretnych sytuacjach. Ju˙z

w przypadku funkcji jednej zmiennej byÃly podane przykÃlady jego stosowania. Teraz

mie´c to be

,

dzie jeszcze wie

,

ksze znaczenie, bo trudniej w przypadku funkcji wielu zmi-

ennych m´owi´c o jej monotoniczno´sci ni˙z w jednowymiarowym przypadku, zreszta

,

gdy

zbi´or jest skomplikowany, mo˙ze to by´c w og´ole niewykonalne ( w prostych sytuacjach

mo˙zna rozpatrywa´c dana

,

funkcje

,

wielu zmiennych kolejno jako funkcje

,

zmiennej x

1

,

potem jako funkcje

,

zmiennej x

2

, . . . ). PrzykÃlady pojawia

,

sie

,

nieco p´o´zniej.

Zajmiemy sie

,

teraz r´o˙zniczkowaniem funkcji wielu zmiennych. Zaczniemy od

poje

,

cia pochodnej cza

,

stkowej, bo jest ono najprostszym z tych, kt´orymi przyjdzie

nam sie

,

zaja

,

´c. W tym rozdziale, je´sli nie napiszemy wyra´znie, ˙ze jest inaczej, funkcja

f : G −→ IR

l

be

,

dzie okre´slona na zbiorze otwartym G ⊂ IR

k

. Be

,

dziemy stara´c

sie

,

przenie´s´c twierdzenia u˙zyteczne dla optymalizacji funkcji o warto´sciach rzeczy-

wistych, czyli dla znajdowania ich warto´sci najmniejszych oraz najwie

,

kszych. W nie-

kt´orych przypadkach poje

,

cie pochodnej cza

,

stkowej nam wystarczy, a w niekt´orych

zmuszeni zostaniemy do u˙zycia poje

,

cia r´o˙zniczki funkcji, kt´ore zdefiniujemy p´o´zniej.

Definicja 16.11 (pochodnej cza

,

stkowej)

Pochodna

,

cza

,

stkowa

,

pierwszego rze

,

du odwzorowania f : G −→ IR

l

ze wzgle

,

du na

zmienna

,

x

i

, 1 ≤ i ≤ k , w punkcie p ∈ G , nazywamy granice

,

lim

h→0

f (p+he

i

)−f (p)

h

,

o ile istnieje; e

i

∈ IR

k

to wektor, kt´orego wszystkie wsp´oÃlrze

,

dne z wyja

,

tkiem i –tej

sa

,

r´owne 0 a i –ta r´owna jest 1: e

i

= (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) . Te

,

pochodna

,

cza

,

stkowa

,

oznaczamy symbolem

∂f

∂x

i

(p) .

PrzykÃlad 16.1

Niech f (x) = x

1

+ 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

. Z definicji pochodnej cza

,

stkowej

wynika, ˙ze zachodzi naste

,

puja

,

cy wz´or:

7

Funkcje wielu zmiennych

∂f

∂x

1

(x) = lim

h→0

f (x + he

1

) − f (x)

h

= lim

h→0

f (x

1

+ h, x

2

, x

3

, x

4

) − f (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

h

=

= lim

h→0

x

1

+ h + 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

− (x

1

+ 2x

3

2

+ x

3

e

x

4

)

h

= 1 .

Pochodna

,

∂f

∂x

1

funkcji f obliczamy traktuja

,

c x

1

jako argument funkcji f przy jed-

noczesnym traktowaniu zmiennych x

2

, x

3

, x

4

jako staÃlych (parametr´ow). Oblicza-

ja

,

c analogicznie otrzymujemy jeszcze trzy r´owno´sci:

∂f

∂x

2

(x) = 6x

2

2

,

∂f

∂x

3

(x) = e

x

4

,

∂f

∂x

4

(x) = x

3

e

x

4

.

PrzykÃlad 16.2

Niech f

µ

r

ϕ

¶

=

µ

r cos ϕ

r sin ϕ

¶

– tym razem wsp´oÃlrze

,

dne punkt´ow

piszemy pionowo, co — jak sie

,

oka˙ze p´o´zniej — ma sens. Obliczymy pochodna

,

tej

funkcji wzgle

,

dem zmiennej r :

∂f

∂r

µ

r

ϕ

¶

= lim

h→0

f

µ

r + h

ϕ

¶

− f

µ

r

ϕ

¶

h

= lim

h→0

µ

(r + h) cos ϕ

(r + h) sin ϕ

¶

−

µ

r cos ϕ

r sin ϕ

¶

h

=

= lim

h→0

µ

cos ϕ

sin ϕ

¶

=

µ

cos ϕ

sin ϕ

¶

.

Teraz kolej na pochodna

,

wzgle

,

dem zmiennej ϕ :

∂f

∂ϕ

µ

r

ϕ

¶

= lim

h→0

f

µ

r

ϕ + h

¶

− f

µ

r

ϕ

¶

h

= lim

h→0

µ

r cos(ϕ + h)

r sin(ϕ + h)

¶

−

µ

r cos ϕ

r sin ϕ

¶

h

=

=





lim

h→0

r cos(ϕ+h)−r cos ϕ

h

lim

h→0

r sin(ϕ+h)−r sin ϕ

h



 =

µ

−r sin ϕ

r cos ϕ

¶

.

Widzimy wie

,

c, ˙ze w przypadku odwzorowania o warto´sciach w IR

2

otrzymali´smy

wektor, a nie liczbe

,

! Rezultat ten jest dokÃladnie taki, jakiego nale˙zaÃlo sie

,

spodziewa´c.

Je´sli funkcja o warto´sciach w przestrzeni IR

l

ma w punkcie pochodna

,

wzgle

,

dem jed-

nej ze swych k zmiennych, to ta pochodna cza

,

stkowa jest wektorem l –wymiarowym.

WÃla´sciwie na tym mo˙zna by sko´

nczy´c, ale warto jeszcze otrzymany rezultat zinterpre-

towa´c fizycznie.* Mo˙zna my´sle´c, ˙ze warto´scia

,

funkcji f jest punkt pÃlaszczyzny odd-

alony o r od punktu

µ

0
0

¶

lub wektor zaczynaja

,

cy sie

,

w punkcie

µ

0
0

¶

i ko´

ncza

,

cy

sie

,

w punkcie f

µ

r

ϕ

¶

=

µ

r cos ϕ

r sin ϕ

¶

— traktujemy wie

,

c liczby r i ϕ jako tzw.

*

Do przeczytania dalszej cze

,

´sci tego przyk ladu wystarczy rozumie´c poje

,

cie pre

,

dko´sci znane z

lekcji fizyki w szkole.

8

Funkcje wielu zmiennych

wsp´oÃlrze

,

dne biegunowe punktu pÃlaszczyzny. Przy obliczaniu pochodnej wzgle

,

dem

r traktujemy zmienna

,

ϕ jako staÃla

,

. Mo˙zemy interpretowa´c zmienna

,

r jako czas.

Po zmianie czasu o h znajdujemy sie

,

w punkcie f

µ

r + h

ϕ

¶

=

µ

(r + h) cos ϕ

(r + h) sin ϕ

¶

.

Znale´zli´smy sie

,

wie

,

c w punkcie le˙za

,

cym na tej samej p´oÃlprostej wychodza

,

cej z punktu

(0, 0) , ale w innej odlegÃlo´sci od pocza

,

tku ukÃladu wsp´oÃlrze

,

dnych. Zmiana odlegÃlo´sci

r´owna jest zmianie czasu. Wobec pre

,

dko´s´c skalarna powinna by´c r´owna 1 a wek-

tor pre

,

dko´sci powinien by´c r´ownolegÃly do p´oÃlprostej, po kt´orej porusza sie

,

punkt.

Wektor

µ

cos ϕ

sin ϕ

¶

jest r´ownolegÃly do p´oÃlprostej wychodza

,

cej z punktu

µ

0
0

¶

i prze-

chodza

,

cej przez punkt

µ

r cos ϕ

r sin ϕ

¶

. Jego dÃlugo´s´c to 1. Jest to wektor r´owny pre

,

dko´sci

wektorowej poruszaja

,

cego sie

,

punktu. Podobnie mo˙zna zinterpretowa´c pochodna

,

wz-

gle

,

dem ϕ . Tym razem r sie

,

nie zmienia, natomiast zmienia sie

,

ka

,

t jaki tworzy

wektor o pocza

,

tku

µ

0
0

¶

i ko´

ncu

µ

r cos ϕ

r sin ϕ

¶

z osia

,

odcie

,

tych (pozioma

,

osia

,

ukÃladu

wsp´oÃlrze

,

dnych). W tej sytuacji ϕ oznacza zar´owno czas jak i ten ka

,

t. Wobec

tego ruch odbywa sie

,

po okre

,

gu o ´srodku

µ

0
0

¶

i promieniu r . Chwilowa pre

,

dko´s´c

wektorowa jest wie

,

c wektorem stycznym do tego okre

,

gu. DÃlugo´s´c tego wektora to

oczywi´scie r , bo pre

,

dko´s´c ka

,

towa r´owna jest 1. Wektorowi

∂f

∂ϕ

µ

r

ϕ

¶

=

µ

−r sin ϕ

r cos ϕ

¶

przysÃluguja

,

obie te wÃlasno´sci. To wÃla´snie jest wektor pre

,

dko´sci chwilowej w tym

ruchu w momencie ϕ .

PrzykÃlad 16.3

Niech f





r

ϕ
ψ



 =





r cos ϕ cos ψ

r cos ϕ sin ψ

r sin ϕ



 . Tym razem nale˙zy my´sle´c

o tzw. wsp´oÃlrze

,

dnych sferycznych: liczba r jest odlegÃlo´scia

,

od pocza

,

tku ukÃladu

wsp´oÃlrze

,

dnych, ϕ — szeroko´scia

,

geograficzna

,

na sferze o ´srodku





0
0
0



 i promie-

niu r , za´s ψ – dÃlugo´scia

,

geograficzna

,

na tej sferze. Obliczamy pochodne cza

,

stkowe

wzgle

,

dem kolejnych zmiennych:

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



 =





cos ϕ cos ψ

cos ϕ sin ψ

sin ϕ



 ,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ



 =





−r sin ϕ cos ψ

−r sin ϕ sin ψ

r cos ϕ



 ,

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



 =





−r cos ϕ sin ψ

r cos ϕ cos ψ

0



 .

9

Funkcje wielu zmiennych

Pierwsza z nich,

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



, to wektorowa pre

,

dko´s´c w ruchu jednostajnym po promie-

niu wychodza

,

cym z punktu





0
0
0



 i przechodza

,

cym przez punkt





r cos ϕ cos ψ

r cos ϕ sin ψ

r sin ϕ



 ;

druga z nich,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ



, to pre

,

dko´s´c wektorowa w ruchu po poÃludniku z pre

,

dko´scia

,

ka

,

towa

,

1 (zachowujemy promie´

n sfery i dÃlugo´s´c geograficzna

,

, jedynie szeroko´s´c ge-

ograficzna zmienia sie

,

); trzecia to

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



, to pre

,

dko´s´c w ruchu po r´ownole˙zniku

z pre

,

dko´scia

,

ka

,

towa

,

1 (zachowujemy promie´

n sfery i szeroko´s´c geograficzna

,

, je-

dynie dÃlugo´s´c geograficzna zmienia sie

,

). W pierwszym przypadku pre

,

dko´s´c skalarna

r´owna jest 1, bo czas r´owny jest odlegÃlo´sci od punktu





0
0
0



 , w drugim pre

,

dko´s´c

skalarna r´owna jest promieniowi poÃludnika (bo pre

,

dko´s´c ka

,

towa jest r´owna 1) czyli

r , w trzecim natomiast pre

,

dko´s´c skalarna r´owna jest promieniowi r´ownole˙znika (bo

pre

,

dko´s´c ka

,

towa r´ownie˙z w tym przypadku r´owna jest 1) czyli r cos ϕ . Oczywi´scie te

pre

,

dko´sci skalarne r´owne sa

,

odpowiednio dÃlugo´sciom wektor´ow

∂f

∂r





r

ϕ
ψ



,

∂f

∂ϕ





r

ϕ
ψ





i

∂f

∂ψ





r

ϕ
ψ



.

PrzykÃlad 16.4

Niech f

µ

x

y

¶

=

½

0,

je´sli x = 0 = y;

xy

x

2

+y

2

, je´sli x 6= 0 lub y 6= 0. Funkcja ta nie

jest cia

,

gÃla w punkcie

µ

0
0

¶

, bowiem dla x 6= 0 mamy f

µ

x
x

¶

=

1
2

i jednocze´snie

f

µ

0
0

¶

= 0 6=

1
2

. Oznacza to, ˙ze je´sli zbli˙zamy sie

,

do punktu

µ

0
0

¶

we

,

druja

,

c wzdÃlu˙z

prostej o r´ownaniu y = x , to warto´sci badanej funkcji nie da

,

˙za

,

do 0 = f

µ

0
0

¶

.

Oczywi´scie jest to jedyny punkt niecia

,

gÃlo´sci tej funkcji. Zbadamy teraz kwestie

,

ist-

nienia pochodnych cza

,

stkowych funkcji f . We wszystkich punktach z wyja

,

tkiem

punktu

µ

0
0

¶

pochodne cza

,

stkowe istnieja

,

, co wynika od razu z twierdze´

n pozwa-

laja

,

cych na obliczanie pochodnej funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. R´ownie˙z w

10

Funkcje wielu zmiennych

punkcie

µ

0
0

¶

funkcja f ma pochodne cza

,

stkowe. Wyka˙zemy to. Mamy

lim

h→0

f

µ

h

0

¶

− f

µ

0
0

¶

h

= lim

h→0

0 − 0

h

= 0 .

Wykazali´smy, ˙ze

∂f
∂x

µ

0
0

¶

= 0 . W taki sam spos´ob wykazujemy, ˙ze

∂f

∂y

µ

0
0

¶

= 0 .

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli x 6= 0 lub y 6= 0 , to

∂f
∂x

µ

x
y

¶

=

y

3

− x

2

y

(x

2

+ y

2

)

2

—

wynika to natychmiast z twierdzenia o pochodnej ilorazu dwu funkcji jednej zmien-

nej. Analogicznie

∂f

∂y

µ

x
y

¶

=

x

3

− xy

2

(x

2

+ y

2

)

2

. Zache

,

camy czytelnika do samodzielnego

sprawdzenia tych wzor´ow oraz do sprawdzenia, ˙ze pochodne cza

,

stkowe, kt´ore wÃla´snie

znale´zli´smy, sa

,

niecia

,

gÃle w punkcie

µ

0
0

¶

.

PrzykÃlad czwarty pokazuje, ˙ze stwierdzenie istnienia pochodnych cza

,

stkowych

w jakim´s punkcie, a nawet w caÃlej dziedzinie funkcji nie pozwala jeszcze zbyt wiele

na temat tej funkcji wywnioskowa´c – z istnienia pochodnych cza

,

stkowych nie wynika

nawet cia

,

gÃlo´s´c funkcji! Jasne jest, ˙ze potrzebne nam sa

,

wÃlasno´sci pozwalaja

,

ce na

stwierdzanie cia

,

gÃlo´sci funkcji i co wie

,

cej na stwierdzanie, ˙ze jej zachowanie w maÃlym

otoczeniu punktu r´o˙zniczkowalno´sci jest w przybli˙zeniu takie jak funkcji liniowej.

To jest podstawowa idea w rachunku r´o˙zniczkowym. Stosowali´smy rozumowania

oparte na tej wÃla´snie idei wielokrotnie w przypadku funkcji jednej zmiennej. To one

doprowadziÃly nas do sformuÃlowania twierdze´

n pozwalaja

,

cych na ustalanie w jakich

przedziaÃlach funkcja r´o˙zniczkowalna jest monotoniczna, w jakich punktach mo˙ze mie´c

lokalne ekstrema itd. Podamy teraz definicje

,

r´o˙zniczkowalno´sci funkcji wielu zmien-

nych i warunek wystarczaja

,

cy dla r´o˙zniczkowalno´sci.

Definicja 16.12 (funkcji r´

o˙zniczkowalnej w punkcie)

Funkcja f : G −→ IR

l

okre´slona na zbiorze G otwartym w IR

k

jest r´o˙zniczkowalna

w punkcie p ∈ G wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka macierz L , ˙ze

lim

h→0

f (p+h)−f (p)−Lh

khk

= 0 .

Wtedy macierz L nazywamy r´o˙zniczka

,

funkcji f w punkcie p i oznaczamy sym-

bolem Df (p) lub df (p) lub f

0

(p) .

Pochodna cza

,

stkowa obliczana jest po to, by uzyska´c informacje o tym jak

zmienia sie

,

funkcja w kierunku jednej z osi ukÃladu wsp´oÃlrze

,

dnych. R´o˙zniczke

,

, o

ile istnieje, obliczamy po to, by dowiedzie´c sie

,

jak zachowuje sie

,

funkcja w caÃlym

11

Funkcje wielu zmiennych

otoczeniu punktu. Poje

,

ciem po´srednim jest pochodna kierunkowa.

Definicja 16.13 (pochodnej kierunkowej)

Pochodna

,

funkcji f : G −→ IR

l

w punkcie p , w kierunku wektora v nazywamy

granice

,

lim

t→0

f (p + tv) − f (p)

t

,

je´sli ta granica istnieje. Te

,

pochodna

,

oznaczamy symbolem f

0

v

(p) .

Jasne jest, ˙ze wÃla´snie uog´olnili´smy poje

,

cie pochodnej cza

,

stkowej:

∂f

∂x

i

(p) = f

0

e

i

(p) .

Pochodna kierunkowa w kierunku wektora v obliczana jest po to, by oceni´c tempo

zmian funkcji w otoczeniu punktu p na prostej przechodza

,

cej przez punkt p r´ow-

nolegÃlej do wektora v . W punktach r´o˙zniczkowalno´sci funkcji pochodna

,

kierunkowa

,

mo˙zna Ãlatwo znale´z´c po obliczeniu r´o˙zniczki funkcji.

Twierdzenie 16.14 (o istnieniu pochodnej kierunkowej w punktach

r´

o˙zniczkowalno´sci funkcji)

Je´sli funkcja f : G −→ IR

l

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p ∈ G , v ∈ IR

k

, to funkcja

f ma w punkcie p pochodna kierunkowa

,

w kierunku wektora v i zachodzi r´owno´s´c:

f

0

v

(p) = Df (p)v .

Dow´

od. Mamy

lim

t→0

f (p+tv)−f (p)

t

= lim

t→0

³

f (p+tv)−f (p)−Df (p)(tv)

ktvk

·

ktvk

t

+ Df (p)v

´

= Df (p)v

— skorzystali´smy tu z tego, ˙ze iloczyn wyra˙zenia

ktvk

t

, ograniczonego, i wyra˙zenia

da

,

˙za

,

cego do 0 ma granice

,

0 oraz z tego, ˙ze Df (p)(tv) = tDf (p)v i oczywi´scie z

tego, ˙ze f jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p , z czego wynika od razu, ˙ze

lim

t→0

µ

f (p + tv) − f (p) − Df (p)(tv)

ktvk

¶

= 0 .

W ten spos´ob zako´

nczyli´smy dow´od tego twierdzenia.

Z tego twierdzenia wynika w szczeg´olno´sci, ˙ze przy ustalonym punkcie p po-

chodna f

0

v

(p) jest liniowa

,

funkcja

,

wektora v oczywi´scie pod warunkiem r´o˙zniczko-

walno´sci funkcji f w tym punkcie. Oznacza to, ˙ze f

0

αv+βw

(p) = αf

0

v

(p) + βf

0

w

(p)

dla dowolnych liczb rzeczywistych α, β i dowolnych wektor´ow v, w ∈ R

k

.

Czytelnik zechce sprawdzi´c, ˙ze je´sli f

¡

0
0

¢

= 0 i f

¡

x
y

¢

=

x

2

y

x

2

+y

2

, gdy przynajmniej

jedna z liczb x , y jest r´o˙zna od 0, to f

0

v

(0) = f (v) dla ka˙zdego wektora v ∈ IR

k

.

12

Funkcje wielu zmiennych

W tym przypadku pochodna w kierunku wektora v w punkcie 0 nie jest wie

,

c liniowa

,

funkcja

,

wektora v , a co za tym idzie funkcja f nie jest r´o˙zniczkowalna w punkcie 0 .

Zache

,

camy do sprawdzenia, ˙ze f jest w tym punkcie cia

,

gÃla.

Powt´orzmy: z r´o˙zniczkowalno´sci funkcji w punkcie wynika istnienie pochod-

nych kierunkowych w tym punkcie we wszystkich kierunkach, w szczeg´olno´sci ist-

nienie pochodnych cza

,

stkowych. Z istnienia pochodnych cza

,

stkowych nie wynika

nawet cia

,

gÃlo´s´c funkcji — widzieli´smy to na przykÃladzie funkcji

xy

x

2

+y

2

. Mo˙zna poda´c

przykÃlad funkcji kt´ora w pewnym punkcie ma pochodne kierunkowe we wszystkich

kierunkach i to r´owne 0 i jednocze´snie nie jest cia

,

gÃla w tym punkcie. Oznacza to,

˙ze zbadanie zachowania sie

,

funkcji na prostych przechodza

,

cych przez dany punkt

to jedynie wste

,

p do zbadania zachowania sie

,

tej funkcji w otoczeniu tego punktu.

Tych kwestii nie be

,

dziemy jednak dokÃladnie analizowa´c, bo to wykracza znacznie

poza potrzeby wie

,

kszo´sci chemik´ow.

Definicja 16.15 (gradientu funkcji)

Wektor grad f (p) nazywamy gradientem funkcji f r´o˙zniczkowalnej w punkcie p ,

je´sli Df (p)v = grad f (p) · v dla ka˙zdego wektora v ∈ R

k

.

Z definicji wynika od razu, ˙ze grad f (p) =

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

¡

∂f

∂x

1

(p),

∂f

∂x

1

(p), . . . ,

∂f

∂x

k

(p)

¢

— r´o˙z-

nica mie

,

dzy gradientem i r´o˙zniczka

,

jest na tym etapie czysto formalna. R´o˙zniczka

to macierz (ewentualnie przeksztaÃlcenie liniowe), a gradient to wektor.

Rozwa˙zmy teraz funkcje

,

f : G −→ IR r´o˙zniczkowalna

,

w punkcie p ∈ G . Niech

v i w oznaczaja

,

takie wektory, ˙ze kvk = k grad f (p)k i w = grad f (p) . Mamy

wtedy

f

0

v

(p) = Df (p)v = v · grad f (p) = v · w ≤ kvk · kwk = kwk

2

= f

0

w

(p) .

Wykazali´smy wie

,

c

Twierdzenie 16.16 (o kierunku najszybszego wzrostu funkcji)

Pochodna funkcji f w kierunku gradientu funkcji w danym punkcie p jest na-

jwie

,

ksza

,

spo´sr´od wszystkich pochodnych w tym punkcie w kierunku wektor´ow o

dÃlugo´sci k grad f (p)k .

Zwykle m´owimy, ˙ze gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji, bo

pochodna mierzy tempo zmian funkcji, je´sli pochodna jest dodatnia to funkcja ro´snie.

Rozwa˙zanie jedynie wektor´ow o danej dÃlugo´sci jest konieczne, bo f

0

αv

(p) = αf

0

v

(p)

dla dowolnego punktu p , dowolnego wektora v i dowolnej liczby rzeczywistej α ,

a my chcemy por´ownywa´c tempo wzrostu funkcji wzdÃlu˙z prostych przechodza

,

cych

przez punkt p oczywi´scie przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze po ka˙zdej prostej poruszamy sie

,

z ta

,

sama

,

13

Funkcje wielu zmiennych

pre

,

dko´scia

,

— podany w tym zdaniu wz´or stwierdza po prostu, ˙ze zmiana pre

,

dko´sci

poruszania sie

,

po prostej przechodza

,

cej przez p powoduje wzrost pre

,

dko´sci zmian

funkcji w takim samym stosunku. W istocie rzeczy sÃlowo gradient nie jest niezbe

,

dne

w tym wykÃladzie, ale poniewa˙z jest ono u˙zywane powszechnie we wszystkich je

,

zykach,

wie

,

c my te˙z go unika´c nie be

,

dziemy.

Twierdzenie 16.17 (o r´

o˙zniczce zÃlo˙zenia dwu funkcji)

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja g jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p a funkcja f w punkcie g(p)

oraz ˙ze zÃlo˙zenie f ◦g jest zdefiniowane, tj. dziedzina funkcji f zawiera zbi´or warto´sci

funkcji g . Wtedy zÃlo˙zenie f ◦ g jest r´o˙zniczkowalne w punkcie p i zachodzi r´owno´s´c:

D(f ◦ g)(p) = Df (g(p)) · Dg(p) , tu kropka oznacza mno˙zenie macierzy.

Dow´

od. Niech r(h) =

g(p+h)−g(p)−Dg(p)h

khk

dla h 6= 0 i r(0) = 0 . Wobec tego

g(p + h) = g(p) + Dg(p)h + r(h) · khk . R´o˙zniczkowalno´s´c funkcji g w punkcie p

to po prostu cia

,

gÃlo´s´c funkcji r w punkcie 0 .

Analogicznie r´o˙zniczkowalno´s´c funkcji f w punkcie g(p) to cia

,

gÃlo´s´c funkcji % ,

zdefiniowanej za pomoca

,

r´owno´sci %(H) =

f (g(p)+H)−g(p)−Df ((p))H

kHk

i %(0) = 0 , w

punkcie 0 .

Mamy teraz

f (g(p + h)) = f (g(p)) + Df (g(p))

¡

g(p + h) − g(p)

¢

+

+ %

¡

g(p + h) − g(p)

¢

·

°

°g(p + h) − g(p)

°

° =

= f (g(p)) + Df (g(p))

¡

Dg(p)h + r(h)khk

¢

+

+ %

¡

Dg(p)h + r(h)khk

¢

·

°

°Dg(p)h + r(h)khk

°

° =

= f (g(p)) + Df (g(p))Dg(p)h +

+ khk ·

¡

Df (g(p))r(h) + %

¡

Dg(p)h + r(h)khk

¢

·

°

°Dg(p)

h

khk

+ r(h)

°

°

¢

.

Jasne jest, ˙ze wyra˙zenie

°

°Dg(p)

h

khk

+ r(h)

°

° jest ograniczone oraz ˙ze zachodzi

r´owno´s´c lim

h→0

¡

Df (g(p))r(h) + %

¡

Dg(p)h + r(h)khk

¢

= 0 , a sta

,

d ju˙z Ãlatwo wynika,

˙ze lim

h→0

¡

Df (g(p))r(h) + %

¡

Dg(p)h + r(h)khk

¢

·

°

°Dg(p)

h

khk

+ r(h)

°

°

¢

= 0 , czyli ˙ze

lim

h→0

f (g(p+h))−f (g(p))−Df (g(p))Dg(p)h

khk

= 0 , a to oznacza, ˙ze

D(f ◦ g)(p) = Df (p) · Dg(p) .

Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Je´sli studenci zechca

,

, to moga

,

zauwa˙zy´c, ˙ze ten dow´od w istocie rzeczy sugeruje,

˙ze mo˙zna (i w rzeczywisto´sci nale˙zy) my´sle´c o wydzielaniu cze

,

´sci staÃlej ( f (g(p)) ),

a naste

,

pnie liniowej ( Df (g(p))Dg(p)h ) przeksztaÃlcenia, gdy usiÃlujemy znale´z´c jego

14

Funkcje wielu zmiennych

r´o˙zniczke

,

w danym punkcie. Mo˙zna to prze´sledzi´c na jakim´s przykÃladzie, czego w

tym miejscu nie zrobimy, ale zache

,

camy czytelnik´ow do samodzielnego znalezienia co

najmniej jednej pochodnej w ten spos´ob.

Naste

,

pne twierdzenie podamy bez dowodu.

Twierdzenie 16.18 (o r´

o˙zniczce funkcji odwrotnej)

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ IR

l

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie p zbioru otwartego

G ⊂ IR

k

, ˙ze jej zbi´or warto´sci jest otwarty w IR

l

, ˙ze r´o˙zniczka Df (p) jest macierza

,

odwracalna

,

oraz ˙ze funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa i funkcja odwrotna f

−1

jest

cia

,

gÃla w punkcie f (p) . Wtedy funkcja f

−1

jest r´o˙zniczkowalna w punkcie f (p)

i zachodzi r´owno´s´c D(f

−1

)(p) = (Df (p))

−1

.

Warto jedynie zaznaczy´c, ˙ze gÃl´ownym problemem w tym twierdzeniu jest istnie-

nie r´o˙zniczki przeksztaÃlcenia odwrotnego. Sam wz´or jest konsekwencja

,

twierdzenia

o pochodnej zÃlo˙zenia dwu funkcji ( f i f

−1

).

Dwa ostatnie twierdzenia pokazuja

,

, ˙ze nale˙zy my´sle´c o pochodnej (r´o˙zniczce)

funkcji wielu zmiennych jako o macierzy. Doda´c nale˙zy, ˙ze twierdzenie o r´o˙zniczce

zÃlo˙zenia dwu funkcji to jedna z gÃl´ownych przyczyn, dla kt´orych mno˙zenie macierzy

jest zdefiniowane wÃla´snie w taki spos´ob.

Poka˙zemy jedno z licznych zastosowa´

n tego twierdzenia. Niech γ: (−1, 1) −→ R

k

be

,

dzie funkcja

,

r´o˙zniczkowalna

,

. Wtedy wektor γ

0

(t

0

) jest styczny w punkcie γ(t

0

)

do obrazu funkcji γ , czyli do krzywej zÃlo˙zonej ze wszystkich punkt´ow postaci γ(t) ,

gdzie t ∈ (−1, 1) . Nale˙zy my´sle´c, ˙ze w chwili t poruszaja

,

cy sie

,

punkt materialny

znajduje sie

,

w miejscu γ(t) . W takiej sytuacji naturalnym pomysÃlem jest przyje

,

cie,

˙ze wektor γ

0

(t) to wektor pre

,

dko´sci chwilowej w momencie t . Oczywi´scie pre

,

dko´s´c

jest styczna do drogi. Te kilka zda´

n to oczywi´scie agitacja, ale jedna z definicji

wektora stycznego do krzywej to wÃla´snie one (po opuszczeniu tre´sci fizycznej, kt´ora

jest przyczyna

,

przyje

,

cia wÃla´snie takiej definicji wektora stycznego) . W szczeg´oÃly

wchodzi´c nie be

,

dziemy z braku czasu.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze f : R

k

−→ R i γ: (−1, 1) −→ R

k

sa

,

funkcjami r´o˙zniczkowalnymi

oraz ˙ze istnieje taka liczba c , ˙ze f

¡

γ(t)

¢

= c dla t ∈ (−1, 1) . Wtedy

0 = (f ◦ γ)

0

(0) = Df

¡

γ(0)

¢

· γ

0

(0) = grad f

¡

γ(0)

¢

· γ

0

(0) .

Wykazali´smy, ˙ze wektory grad f

¡

γ(0)

¢

i γ

0

(0) sa

,

prostopadÃle. Je´sli poprowadzi-

my przez punkt p := γ(0) wszystkie mo˙zliwe krzywe r´o˙zniczkowalne, to otrzymamy

wszystkie wektory styczne do ,,powierzchni” f (x) = c w punkcie p . Ka˙zdy z nich

15

Funkcje wielu zmiennych

jest prostopadÃly do gradientu funkcji f w punkcie p . Oznacza to, ˙ze gradient jest

prostopadÃly do ,,pÃlaszczyzny”* Je´sli ten gradient jest niezerowy, to mo˙zemy znale´z´c

r´ownanie ,,pÃlaszczyzny stycznej”.

PrzykÃlad 16.5

Niech f (x, y) = y − sin x i niech c = 0 . Zbi´or M zdefiniowany

r´ownaniem 0 = f (x, y) to wykres funkcji sinus. Niech p = (

π

6

,

1
2

) . Mamy wie

,

c

f (

π

6

,

1
2

) =

1
2

− sin

π

6

= 0 , czyli p ∈ M . Wektory styczne do zbioru M (czyli do

sinusoidy) w punkcie p sa

,

prostopadÃle do wektora

grad f (

π

6

,

1
2

) = (− cos

π

6

, 1) = (−

√

3

2

, 1) .

Je´sli punkt (x, y) le˙zy na stycznej do M w punkcie p , to

0 = (−

√

3

2

, 1) · (x −

π

6

, y −

1
2

) = −

√

3

2

(x −

π

6

) + (y −

1
2

) .

Czytelnik bez trudu rozpozna r´ownanie prostej stycznej do sinusoidy w punkcie

p = (

π

6

,

1
2

) , kt´ore poprzednio otrzymywali´smy nieco inaczej. Zauwa˙zy te˙z, ˙ze w przy-

padku wykresu dowolnej funkcji r´o˙zniczkowalnej otrzymany na opisanej teraz drodze

rezultat be

,

dzie identyczny z uzyskiwanym przez skorzystanie z definicji prostej sty-

cznej do wykresu funkcji podanej w pierwszym semestrze.

PrzykÃlad 16.6

Niech f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

i niech c = 14 . Niech M be

,

dzie

zbiorem zÃlo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) , dla kt´orych zachodzi r´owno´s´c

14 = c = f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

Oczywi´scie p := (1, −2, 3) ∈ M . Zbi´or M jest sfera

,

, kt´orej ´srodkiem jest punkt

(0, 0, 0) i kt´orej promie´

n jest r´owny

√

14 . Znajdziemy pÃlaszczyzne

,

Π styczna

,

do tej

sfery w punkcie p = (1, −2, 3) . Mamy grad f (1, −2, 3) = (2, −4, 6) .

Je´sli (x, y, z) ∈ Π , to

0 = (x − 1, y + 2, z − 3) · (2, −4, 6) = 2(x − 1) − 4(y + 2) + 6(z − 3) .

Otrzymali´smy r´ownanie pÃlaszczyzny stycznej do sfery M w punkcie (1, −2, 3) .

PrzykÃlad 16.7

UkÃlad r´owna´

n y = 0 i (x − 7)

2

+ z

2

= 25 opisuje okra

,

g o ´srodku

w punkcie (7, 0, 0) i promieniu 5 le˙za

,

cy w pÃlaszczy´znie wyznaczonej przez osie OX

i OZ . R´ownanie (x − 7)

2

+ z

2

= 25 mo˙zemy przepisa´c w postaci 14x = x

2

+ z

2

+ 24 .

Z tego r´ownania wynika, ˙ze 196x

2

= (x

2

+ z

2

+ 24)

2

przy czym to ostatnie r´ownanie

r´ownowa˙zne jest poprzedniemu przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze x ≥ 0 . Zaste

,

puja

,

c x

2

w r´ownaniu

196x

2

= (x

2

+ z

2

+ 24)

2

przez x

2

+ y

2

otrzymujemy r´ownanie powierzchni powstaÃlej

w wyniku obrotu okre

,

gu (x − 7)

2

+ z

2

= 25 le˙za

,

cego w pÃlaszczy´znie y = 0 wok´oÃl osi

OZ — ta powierzchnia wygla

,

da jak napompowana de

,

tka, np. rowerowa; matematycy

*

To nie zawsze jest pÃlaszczyzna, np. zwykle wymiar r´

owny jest k−1 , wie,c dla k>3 m´owimy na og´oÃl

o przestrzeni stycznej do powierzchni f (x)=c .

16

Funkcje wielu zmiennych

zwa

,

ja

,

torusem. Tak otrzymane r´ownanie tej powierzchni ma posta´c

196(x

2

+ y

2

) =

¡

x

2

+ y

2

+ z

2

+ 24

¢

2

.

ÃLatwo mo˙zna przekona´c sie

,

, ˙ze jednym z punkt´ow tej powierzchni jest p := (6, 8, 4) .

Niech f (x, y, z) =

¡

x

2

+ y

2

+ z

2

+ 24

¢

2

− 196(x

2

+ y

2

) . Jasne jest, ˙ze r´ownanie torusa

mo˙zna zapisa´c jako f (x, y, z) = 0 . Zachodzi r´owno´s´c

grad f (x, y, z) =

¡

2x(x

2

+y

2

+z

2

)−392x, 2y(x

2

+y

2

+z

2

)−392y, 2z(x

2

+y

2

+z

2

)

¢

. Z

niej wynika, ˙ze grad f (6, 8, 4) = (−960, −1080, 928) . R´ownanie pÃlaszczyzny stycznej

ma wie

,

c posta´c:

0 = (x − 6, y − 8, z − 4) · (−960, −1280, 928) = −960(x − 6) − 1280(y − 8) + 928(z − 4) .

Po podzieleniu przez 32 otrzymujemy −30(x − 6) − 40(y − 8) + 29(z − 4) , czyli

30x + 40y − 29z − 384 = 0 .

Uwaga 16.19 (na deser) Najprostsze funkcje to liniowe.

Je´sli f (x, y) = Ax + By + C , to grad f (x, y) = (A, B) . Wynika sta

,

d, ˙ze

wektor (A, B) jest prostopadÃly do prostej stycznej zbioru opisanego r´ownaniem 0 =

f (x, y) = Ax + By + C , czyli do prostej Ax + By + C = 0 .

Je´sli f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D , to grad f (x, y, z) = (A, B, C) , wie

,

c wektor

(A, B, C) jest prostopadÃly do pÃlaszczyzny stycznej do zbioru opisanego r´ownaniem

0 = f (x, y, z) = Ax + By + Cz + D , wie

,

c do pÃlaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 .

To akurat wiemy od dawna. OkazaÃlo sie

,

jednak, ˙ze jest to szczeg´olny przypadek

og´olniejszego twierdzenia.

W teorii r´o˙zniczkowania funkcji jednej zmiennej rzeczywistej kluczowa

,

role

,

od-

grywaÃlo twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej. Nie jest ono niestety prawdziwe

nawet dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej, kt´orej warto´sciami sa

,

punkty pÃlasz-

czyzny.

PrzykÃlad 16.8

Niech f (t) =

¡

cos t

sin t

¢

. Wtedy Df (t) =

¡

− sin t

cos t

¢

. Mamy r´ownie˙z

f (2π) =

¡

1
0

¢

= f (0) . Gdyby twierdzenie Lagrange’a byÃlo prawdziwe w takiej wersji,

jak dla funkcji o warto´sciach rzeczywistych, to istniaÃlaby taka liczba c ∈ (0, 2π) ,

˙ze

¡

0
0

¢

= f (2π) − f (0) = f

0

(c) · (2π − 0) = 2π

¡

− sin c

cos c

¢

, a to jest niemo˙zliwe, bo

sin

2

c + cos

2

c = 1 , wie

,

c liczby cos c i sin c nie zeruja

,

sie

,

dla jednego c .

Twierdzenie 16.20 (Lagrange’a o warto´sci ´sredniej)

Niech f : G −→ R

l

be

,

dzie funkcja

,

okre´slona

,

na zbiorze otwartym G ⊆ R

k

i niech

p, q ∈ G . ZaÃl´o˙zmy, ˙ze caÃly odcinek o ko´

ncach p, q jest zawarty w zbiorze G . Dla

pewnej liczby t ∈ (0, 1) zachodzi wtedy nier´owno´s´c

17

Funkcje wielu zmiennych

kf (p) − f (q)k ≤ kp − qk · kDf

¡

p + t(q − p)

¢

k ;

je´sli M jest macierza

,

, kt´ora ma l wierszy i k kolumn, to kM k oznacza najmniejsza

,

taka

,

liczbe

,

nieujemna

,

, ˙ze nier´owno´s´c kM · vk ≤ kM k · kvk zachodzi dla ka˙zdego

wektora v ∈ R

k

. Zachodzi nier´owno´s´c kM k ≤

qP

l
i=1

¡ P

k
j=1

m

2

i,j

¢

, gdzie przez

m

i,j

oznaczyli´smy ten wyraz macierzy M , kt´ory stoi na przecie

,

ciu i –tego wiersza

z j –ta

,

kolumna

,

.

Dow´

od. Niech v

1

, v

2

, . . . , v

k

be

,

da

,

kolejnymi wsp´oÃlrze

,

dnymi wektora ~v ∈ R

k

. Wte-

dy z nier´owno´sci Schwarza wynika, ˙ze

kM~vk

2

=

P

l
i=1

¡ P

k
j=1

m

i,j

v

j

¢

2

≤

P

l
i=1

¡ P

k
j=1

m

2

i,j

·

P

k
j=1

v

2

j

¢

=

=

¡ P

k
j=1

v

2

j

¢

·

¡ P

l
i=1

¡ P

k
j=1

m

2

i,j

¢¢

= k~vk

2

·

¡ P

l
i=1

¡ P

k
j=1

m

2

i,j

¢¢

,

zatem kM~vk ≤

qP

l
i=1

¡ P

k
j=1

m

2

i,j

¢

· k~vk .

Niech ϕ(t) =

¡

f (q) − f (p)

¢

·

¡

f (p + t(q − p)) − f (p)

¢

. ϕ jest funkcja

,

r´o˙znicz-

kowalna

,

okre´slona

,

na [0, 1] , bo f jest funkcja

,

r´o˙zniczkowalna

,

okre´slona

,

na zbiorze

zawieraja

,

cym odcinek o ko´

ncach p, q . Mamy te˙z

ϕ

0

(t) =

¡

f (q) − f (p)

¢

·

¡

Df (p + t(q − p)) · (q − p)

¢

.

Z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej wynika, ˙ze istnieje liczba t ∈ (0, 1) , dla

kt´orej zachodzi r´owno´s´c

ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ

0

(t) · (1 − 0) =

¡

f (q) − f (p)

¢

·

¡

Df (p + t(q − p)) · (q − p)

¢

.

Poniewa˙z ϕ(0) = 0 i ϕ(1) =

¡

f (q)−f (p)

¢

·

¡

f (p+(q−p))−f (p)

¢

= kf (q)−f (p)k

2

,

wie

,

c

kf (q) − f (p)k

2

=

¡

f (q) − f (p)

¢

·

¡

Df (p + t(q − p)) · (q − p)

¢

≤

≤ kf (q) − f (p)k · kDf (p + t(q − p))k · kq − pk ,

zatem

kf (q) − f (p)k ≤ kDf (p + t(q − p))k · kq − pk .

Z otrzymanej nier´owno´sci teza wynika natychmiast.

Udowodnione twierdzenie nie daje dokÃladnego wzoru na f (q)−f (p) , ale pozwala

oszacowa´c te

,

r´o˙znice

,

za pomoca

,

pochodnych cza

,

stkowych, wie

,

c speÃlnia

,

te

,

role

,

, kt´ora

,

speÃlnia twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej w przypadku funkcji jednej zmien-

nej rzeczywistej.

Zajmiemy sie

,

teraz pochodnymi wy˙zszego rze

,

du, konkretnie drugiego. Niech

f : G −→ R be

,

dzie funkcja

,

, kt´ora ma pochodne cza

,

stkowe pierwszego rze

,

du w caÃlym

zbiorze otwartym G .

Ograniczymy sie

,

w istocie rzeczy do pochodnych funkcji o warto´sciach rzeczy-

wistych. Nie ma najmniejszego kÃlopotu ze zdefiniowaniem pochodnych cza

,

stkowych

18

Funkcje wielu zmiennych

drugiego rze

,

du. Je´sli funkcja f : G −→ R ma w zbiorze otwartym G pochodne

cza

,

stkowe pierwszego rze

,

du, to mo˙zemy pyta´c o to, czy maja

,

one pochodne cza

,

stkowe.

Definicja 16.21 (pochodnych cza

,

stkowych wy˙zszego rze

,

du)

Je´sli pochodna cza

,

stkowa

∂f

∂x

i

ma w punkcie p ∈ G pochodna

,

cza

,

stkowa

,

wzgle

,

dem

zmiennej x

j

, to te

,

pochodna

,

nazywamy pochodna

,

cza

,

stkowa

,

drugiego rze

,

du funkcji

f w punkcie p wzgle

,

dem zmiennych x

i

, x

j

i oznaczamy symbolem

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

(p) .

Je´sli i 6= j , to m´owimy o pochodnej mieszanej. Je´sli i = j , to piszemy

∂

2

f

∂x

2

i

(p) .

Analogicznie definiowane sa

,

pochodne cza

,

stkowe wy˙zszych rze

,

d´ow.

Je´sli f

¡

x
y

¢

= x

2

+ 11xy + 37y

2

, to

∂

2

f

∂x

2

(p) = 2 ,

∂

2

f

∂y

2

(p) = 74 ,

∂

2

f

∂y∂x

(p) = 11 ,

∂

2

f

∂x∂y

(p) = 11 , bo

∂f
∂x

¡

x
y

¢

= 2x + 11y i

∂f
∂y

¡

x
y

¢

= 11x + 74y . PrzykÃlad´ow na razie nie

be

,

dziemy mno˙zy´c, bo w istocie rzeczy nie ma w nich nic istotnie nowego, po prostu

obliczamy naste

,

pne pochodne.

Definicja 16.22 (macierzy drugiej r´

o˙zniczki)

Macierza

,

drugiej r´o˙zniczki funkcji f : G −→ R w punkcie p nazywamy macierz

³

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)

´

, je´sli pochodne

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) istnieja

,

dla i, j ∈ {1, 2, . . . , k} .

Z definicji wynika, ˙ze macierz drugiej r´o˙zniczki jest macierza

,

kwadratowa

,

. ,,Na

og´oÃl” jest ona symetryczna, tzn. w r´o˙znych sytuacjach symetrii mo˙ze nie by´c, ale

jest tak w przypadku funkcji ,,zdefiniowanych wzorami” o czym m´owi naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 16.23 (Schwarza o symetrii drugiej r´

o˙zniczki)

Je´sli funkcja f : G −→ R ma pochodne mieszane

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) i

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

(p) w ka˙zdym

punkcie p zbioru G i obie te pochodne sa

,

cia

,

gÃle w punkcie q ∈ G , to sa

,

w tym

punkcie r´owne:

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(q) =

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

(q) .

Dow´

od. Poniewa˙z mowa jest o pochodnych wzgle

,

dem x

i

oraz wzgle

,

dem x

j

, wie

,

c

mo˙zna my´sle´c o funkcji dwu zmiennych, pozostaÃle zmienne i tak traktowane sa

,

jako

parametry. Dalej zakÃladamy wie

,

c, ˙ze G ⊂ R

2

, piszemy x zamiast x

i

oraz y zamiast

x

j

. Niech q =

¡

a

b

¢

i h =

¡

u

v

¢

. Poniewa˙z zakÃladamy, ˙ze zbi´or G jest otwarty, wie

,

c

dla dostatecznie maÃlych khk okre´sli´c mo˙zemy liczbe

,

g

¡

u

v

¢

= f

¡

a+u

b+v

¢

− f

¡

a+u

v

¢

− f

¡

a

b+v

¢

+ f

¡

a

b

¢

.

Traktuja

,

c f

¡

a+u

b+v

¢

− f

¡

a+u

v

¢

jako funkcje

,

zmiennej u przy ustalonym v mo˙zemy

zastosowa´c jednowymiarowe twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej: istnieje wie

,

c

liczba t ∈ (0, 1) , taka ˙ze g

¡

u

v

¢

= u

³

∂g
∂x

¡

a+tu

b+v

¢

−

∂g
∂x

¡

a+tu

b

¢´

. Traktuja

,

c teraz u i

19

Funkcje wielu zmiennych

t jako staÃle a v jako zmienna

,

mo˙zemy zn´ow skorzysta´c z twierdzenia o warto´sci

´sredniej: istnieje wie

,

c liczba s ∈ (0, 1) , taka ˙ze g

¡

u

v

¢

= vu

∂

2

f

∂y∂x

¡

a+tu

b+sv

¢

. Ustalaja

,

c

najpierw v a potem u stwierdzimy w taki sam spos´ob, ˙ze istnieja

,

liczby τ, σ ∈

(0, 1) , takie ˙ze g

¡

u

v

¢

= uv

∂

2

f

∂x∂y

¡

a+τ u

b+σv

¢

. Przyjmuja

,

c teraz u = v w obu r´owno´sciach

otrzymujemy:

lim

u→0

1

u

2

g

¡

u
u

¢

= lim

u→0

∂

2

f

∂y∂x

¡

a+tu

b+sv

¢

=

∂

2

f

∂y∂x

¡

a

b

¢

,

lim

u→0

1

u

2

g

¡

u
u

¢

= lim

u→0

∂

2

f

∂x∂y

¡

a+τ u

b+σv

¢

=

∂

2

f

∂x∂y

¡

a

b

¢

.

Poniewa˙z lewe strony sa

,

r´owne, wie

,

c prawe te˙z. Dow´od zostaÃl zako´

nczony.

Od tej pory nie musimy wie

,

c pamie

,

ta´c na czym dokÃladnie polega r´o˙znica mie

,

dzy

symbolami

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

i

∂

2

f

∂x

j

∂x

i

. Ostrzegamy jednak, ˙ze to twierdzenie, jak ka˙zde inne,

ma zaÃlo˙zenia. Na wszelki wypadek podamy standardowy przykÃlad wskazuja

,

cy na

konieczno´s´c pamie

,

tania o tych zaÃlo˙zeniach.

PrzykÃlad 16.9

Niech

f

¡

x
y

¢

=

½

0,

je´sli x = 0 = y;

xy

x

2

−y

2

x

2

+y

2

, je´sli x

2

+ y

2

> 0.

Korzystaja

,

c z definicji pochodnej stwierdzamy, ˙ze

∂f
∂y

¡

x

0

¢

= x oraz

∂f
∂x

¡

0
y

¢

= −y .

Sta

,

d ju˙z Ãlatwo wynika, ˙ze

∂

2

f

∂x∂y

(0) = 1 6= −1 =

∂

2

f

∂y∂x

(0) . Widzimy wie

,

c, ˙ze mo˙ze sie

,

zdarzy´c, ˙ze pochodne mieszane sa

,

r´o˙zne, ale w przypadkach, kt´orymi be

,

dziemy sie

,

zajmowa´c, be

,

da

,

speÃlnione zaÃlo˙zenia twierdzenia o symetrii drugiej r´o˙zniczki!

Uwaga 16.24 W dowodzie twierdzenia o symetrii drugiej r´o˙zniczki pochodna mie-

szana zostaÃla wyra˙zona jako granica ,,podw´ojnego ilorazu r´o˙znicowego”, w kt´orym

nie wyste

,

puje ˙zadna pochodna pierwszego rze

,

du. W liczniku wyste

,

puje ,,r´o˙znica

drugiego rze

,

du”:

f

¡

a+u

b+v

¢

− f

¡

a+u

v

¢

− f

¡

a

b+v

¢

+ f

¡

a

b

¢

=

n

f

¡

a+u

b+v

¢

− f

¡

a+u

v

¢o

−

n

f

¡

a

b+v

¢

− f

¡

a

b

¢o

=

=

n

f

¡

a+u

b+v

¢

− f

¡

a

b+v

¢o

−

©

f

¡

a+u

v

¢

− f

¡

a

b

¢ª

Przypomina to o tym, ˙ze druga pochodna mierzy tempo zmian tempa zmian funkcji.

W jednym wymiarze zwia

,

zane to byÃlo wypukÃlo´scia

,

funkcji, tu sytuacja jest nieco

bardziej skomplikowana, bo m´owimy jedynie o pochodnych cza

,

stkowych. Wida´c jed-

nak, ˙ze rozwa˙zamy najpierw zmiany warto´sci funkcji odpowiadaja

,

ce zmianie jednego

argumentu (np. y ) odpowiadaja

,

ce r´o˙znych warto´sciom innego argumentu (w tym

przypadku x ), a potem ich r´o˙znice

,

. To wa˙zna interpretacja.

W rachunku r´o˙zniczkowym najwa˙zniejsza idea to przybli˙zanie funkcji funkcja

,

liniowa

,

, wyste

,

puje ona ju˙z w definicji pochodnej. Naste

,

pny krok to przybli˙zanie

wielomianami odpowiedniego stopnia, gdy przybli˙zenia liniowe sa

,

niewystarczaja

,

ce.

20

Funkcje wielu zmiennych

Odpowiednie twierdzenia zawieraja

,

wz´or Taylora z r´o˙znymi postaciami reszty. Za-

jmiemy sie

,

teraz tym wzorem w przypadku funkcji wielu zmiennych i wielomian´ow

drugiego stopnia. Warto od razu stwierdzi´c, ˙ze mo˙zna u˙zywa´c wielomian´ow wy˙zszego

stopnia, ale nie chcemy komplikowa´c wzor´ow, zreszta

,

, wg. wiedzy autora, wielomiany

Taylora stopnia wy˙zszego ni˙z 2 nie sa

,

zbyt cze

,

sto u˙zywane. Druga

,

przyczyna

,

tego

ograniczenia jest wiara autora w to, ˙ze kto´s kto zrozumiaÃl jak mo˙zna stosowa´c wielo-

miany Taylora wy˙zszych stopni w jednym wymiarze i wielomiany stopnia drugiego

w wielu wymiarach, nie be

,

dzie mie´c trudno´sci z u˙zyciem wielomian´ow Taylora stopnia

wy˙zszego ni˙z 2 w przypadku funkcji wielu zmiennych.

Definicja 16.25 (drugiego wielomianu Taylora i drugiej reszty)

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ R ma pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du w punkcie

p ∈ G . Drugim wielomianem Taylora funkcji f w punkcie p nazywamy wielomian

zmiennych h

1

, h

2

,. . . , h

k

:

f (p) +

k

X

i=1

∂f

∂x

i

(p)h

i

+

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j

.

Druga

,

reszta

,

nazywamy r´o˙znice

,

r

2

(h) = f (p + h) −



f(p) +

k

X

i=1

∂f

∂x

i

(p)h

i

+

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j



 .

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli cho´c jedna z pochodnych

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) jest r´o˙zna od 0, to stopie´

n

wielomianu jest r´owny 2.

PrzykÃlad 16.10

Niech f

¡

x
y

¢

= e

x+3y

. Wtedy

∂f
∂x

¡

x
y

¢

= e

x+3y

,

∂f
∂y

¡

x
y

¢

= 3e

x+3y

,

zatem

∂f

2

∂x

2

¡

x
y

¢

= e

x+3y

,

∂

2

f

∂x∂y

¡

x
y

¢

= 3e

x+3y

i

∂

2

f

∂y

2

¡

x
y

¢

= 9e

x+3y

. Wobec tego drugi

wielomian Taylora funkcji f w punkcie 0 wygla

,

da tak:

1 + 1 · h

1

+ 3 · h

2

+

1
2

¡

1 · h

2

1

+ 3 · h

1

h

2

+ 3 · h

2

h

1

+ 9 · h

2

2

¢

=

= 1 + h

1

+ 3h

2

+

1
2

h

2

1

+ 3h

1

h

2

+

9
2

h

2

2

.

Najwa˙zniejsze, cho´c bardzo proste, twierdzenie brzmi prawie tak samo jak w jed-

nowymiarowym przypadku, ale my wzmocnimy nieco zaÃlo˙zenia, bo konsekwentnie

unikamy poje

,

cia r´o˙zniczki drugiego rze

,

du.

21

Funkcje wielu zmiennych

Twierdzenie 16.26 (G.Peano)

Je´sli funkcja f : G −→ R ma pochodne drugiego rze

,

du w zbiorze G i sa

,

one cia

,

gÃle

w ka˙zdym punkcie zbioru G , to dla ka˙zdego p ∈ G zachodzi r´owno´s´c:

lim

h→0

r

2

(h)

khk

2

= 0 .

Dow´

od. Potraktujemy r

2

jako funkcje

,

zmiennej h . Zachodza

,

wtedy naste

,

puja

,

ce

r´owno´sci r

2

(0) = 0 ,

∂r

2

∂h

i

(h) =

∂f

∂x

i

(p + h) −

∂f

∂x

i

(p) −

P

k
j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

j

, a sta

,

d

wynika ju˙z Ãlatwo, ˙ze

∂

2

r

2

∂h

i

∂h

j

(h) =

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p + h) −

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p) . Z cia

,

gÃlo´sci pochodnych

cza

,

stkowych drugiego rze

,

du wynika, ˙ze lim

h→0

∂

2

r

2

∂h

i

∂h

j

(h) = 0 , oczywi´scie r

2

zale˙zy od

p , ale ten punkt jest w caÃlym rozumowaniu ustalony. Teraz twierdzenie o warto´sci

´sredniej: kr

2

(h)k = kr

2

(h) − r

2

(0)k ≤ khk sup

0≤τ ≤1

kDr

2

(τ h)k . Zastosujemy to samo

twierdzenie raz jeszcze tym razem do funkcji

∂r

2

∂h

i

. Mamy

∂r

2

∂h

i

(0) = 0 – wynika to

natychmiast z wzoru na pochodne cza

,

stkowe funkcji r

2

, zatem

¯

¯

¯

∂r

2

∂h

i

(τ h)

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

∂r

2

∂h

i

(τ h) −

∂r

2

∂h

i

(0)

¯

¯

¯ ≤ kτ hk sup

0≤σ≤1

°

°

°D

³

∂r

2

∂h

i

´

(στ h)

°

°

° ≤

≤ khk sup

0≤σ≤1

°

°

°D

³

∂r

2

∂h

i

´

(στ h)

°

°

°

Poniewa˙z norma macierzy mo˙zna oszacowa´c przez pierwiastek kwadratowy z sumy

kwadrat´ow wsp´oÃlczynnik´ow macierzy i lim

h→0

∂

2

r

2

∂h

i

∂h

j

(h) = 0 , wie

,

c zachodzi r´owno´s´c

lim

h→0

°

°

°D

³

∂r

2

∂h

i

´

(στ h)

°

°

° = 0 oraz

kr

2

(h)k

khk

2

≤

1

khk

sup

0≤τ ≤1

kDr

2

(τ h)k ≤

1

khk

sup

0≤τ ≤1

v

u

u

t

k

X

i=1

³

∂r

2

∂h

i

(τ h)

´

2

≤

≤ sup

0≤τ ≤1

v

u

u

t

k

X

i=1

µ

sup

0≤σ≤1

°

°

°D

³

∂r

2

∂h

i

´

(στ h)

°

°

°

¶

2

−−−−→

h→0

0

Te szacowania ko´

ncza

,

dow´od.

Dow´od twierdzenia Peano podali´smy gÃl´ownie po to, by raz jeszcze u´swiadomi´c

czytelnikom, ˙ze pochodna sÃlu˙zy do oszacowania tempa zmian funkcji.

Przejdziemy teraz do twierdzenia, kt´ore pozwala w wielu przypadkach ustali´c

czy w punkcie zerowania sie

,

gradientu funkcja ma lokalne ekstremum czy te˙z nie.

Twierdzenie 16.27 (

o lokalnych ekstremach funkcji dwukrotnie r´

o˙zniczkowalnej)

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f : G −→ R ma w zbiorze G pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du

oraz ˙ze sa

,

one cia

,

gÃle. Niech grad f (p) = 0 . Niech D

2

f (p) =

³

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)

´

be

,

dzie

macierza

,

drugiej r´o˙zniczki funkcji f w punkcie p . W tej sytuacji

22

Funkcje wielu zmiennych

a. je´sli forma kwadratowa zdefiniowana macierza

,

D

2

f (p) jest dodatnio okre´slona,

czyli gdy dla ka˙zdego wektora ~v 6= ~0 zachodzi nier´owno´s´c

~v ·

¡

D

2

f (p) · ~v

¢

=

P

k
i=1

¡

v

i

·

P

k
j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)v

j

¢

=

P

k
i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)v

i

v

j

> 0

to funkcja f ma w punkcie p lokalne minimum wÃla´sciwe;

b. je´sli forma kwadratowa zdefiniowana macierza

,

D

2

f (p) jest ujemnie okre´slona*,

to funkcja f ma w punkcie p lokalne maksimum wÃla´sciwe;

c. je´sli istnieja

,

takie wektory v ∈ R

k

oraz w ∈ R

k

, ˙ze

v · D

2

f (p)v < 0 < w · D

2

f (p)w ,

to w punkcie p funkcja f nie ma lokalnego ekstremum: w dowolnym otoczeniu

tego punktu znajduja

,

sie

,

punkty x , takie ˙ze f (p) > f (x) oraz punkty y , takie

˙ze f (y) > f (p) .

Dow´

od. a. Zbi´or zÃlo˙zony z wektor´ow o dÃlugo´sci 1 jest ograniczony (to sfera!)

i domknie

,

ty, wie

,

c funkcja (cia

,

gÃla) przypisuja

,

ca wektorowi ~v liczbe

,

~v ·

¡

D

2

f (p)v

¢

przyjmuje w jakim´s jego punkcie swa

,

najmniejsza

,

warto´s´c. Niech ε be

,

dzie ta

,

najm-

niejsza

,

warto´scia

,

. Je´sli ~x 6= ~0 i ~v =

~

x

k~

xk

, to k~vk = 1 , zatem

ε ≤ ~v ·

¡

D

2

f (p)v

¢

=

~

x

k~

xk

·

¡

D

2

f (p)

~

x

k~

xk

¢

=

1

k~

xk

2

~x ·

¡

D

2

f (p)~x

¢

,

a sta

,

d wynika, ˙ze ε · k~xk

2

≤ ~x ·

¡

D

2

f (p)~x

¢

dla ka˙zdego wektora ~x ∈ R

k

. Oczywi´scie

ε > 0 . Z twierdzenia Peano wynika, ˙ze istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze je´sli k~hk < δ ,

to |r

2

(~h)| <

ε
2

k~hk

2

. Wobec tego

f (p + ~h) = f (p) +

k

X

i=1

∂f

∂x

i

(p)h

i

+

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j

+ r

2

(~h) =

= f (p) +

1
2

k

X

i,j=1

∂

2

f

∂x

i

∂x

j

(p)h

i

h

j

+ r

2

(~h) = f (p) + D

2

f (p)~h · ~h + r

2

(~h) .

Je´sli 0 < k~hk < δ , to warto´s´c bezwzgle

,

dna trzeciego skÃladnika jest mniejsza ni˙z

skÃladnik drugi, wie

,

c ich suma jest dodatnia niezale˙znie od znaku r

2

(~h) . To ko´

nczy

dow´od tego, ˙ze w kuli B(p, δ) najmniejsza

,

warto´s´c funkcja f przyjmuje w punkcie

p i w ˙zadnym innym, wie

,

c ma ona w punkcie p lokalne minimum wÃla´sciwe.

b. Stosujemy udowodniona

,

ju˙z cze

,

´s´c twierdzenia do funkcji −f .

c. Niech g(t) = f (p + tv) . Poniewa˙z G jest zbiorem otwartym, wie

,

c tym wzorem

funkcje

,

g mo˙zemy zdefiniowa´c na pewnym przedziale otwartym zawieraja

,

cym liczbe

,

0. Funkcja g jest dwukrotnie r´o˙zniczkowalna, bo f ma pochodne drugiego rze

,

du.

Z twierdzenia o pochodnej zÃlo˙zenia wynika Ãlatwo, ˙ze g

0

(t) =

P

k
i=1

∂f

∂x

i

(p + t~v)v

i

,

*

tzn. forma kwadratowa zdefiniowana macierza, przeciwna,, −D

2

f (p) , jest dodatnio okre´slona

23

Funkcje wielu zmiennych

wobec tego ˙ze grad f (p) = 0 , zachodzi r´owno´s´c g

0

(0) = 0 . Mamy te˙z

g

00

(t) =

k

X

i=1





k

X

j=1

∂f

2

∂x

j

∂x

i

(p + t~v)v

j



 v

i

=

k

X

i,j=1

∂f

2

∂x

j

∂x

i

(p + t~v)v

i

v

j

,

zatem g

00

(0) = D

2

f (p)~v · ~v < 0 . Poniewa˙z g

0

(0) = 0 > g

00

(0) , wie

,

c funkcja g ma

w punkcie 0 lokalne maksimum wÃla´sciwe, zatem w dowolnym otoczeniu punktu p

znajduja

,

sie

,

punkty, w kt´orych warto´sci funkcji f sa

,

mniejsze ni˙z f (p) . Wynika

sta

,

d, ˙ze funkcja f nie ma w punkcie (p) lokalnego minimum. Mo˙zemy rozwa˙zy´c

teraz funkcje

,

˜

g zdefiniowana

,

wzorem ˜

g(t) = f (p + t~

w) . Rozumuja

,

c dokÃladnie tak,

jak przed chwila

,

przekonujemy sie

,

, ˙ze ma ona w punkcie 0 lokalne minimum wÃla´sciwe,

wie

,

c w dowolnym otoczeniu punktu p znajduja

,

sie

,

punkty, w kt´orych warto´sci sa

,

wie

,

ksze ni˙z f (p) , zatem funkcja f nie ma w punkcie p maksimum lokalnego. Mamy

wie

,

c do czynienia z siodÃlem a nie z lokalnym ekstremum.

Wniosek 16.28 (z dowodu twierdzenia o lokalnych ekstremach.)

Je´sli g(t) = f (p+t~v) i funkcja f ma pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du w otoczeniu

punktu p i sa

,

one cia

,

gÃle w punkcie p , to

g

00

(0) =

k

X

i,j=1

∂f

2

∂x

j

∂x

i

(p)v

i

v

j

.

Wniosek ten m´owi, ˙ze warto´s´c drugiej r´o˙zniczki w punkcie p na wektorze v jest

druga

,

pochodna

,

badanej funkcji ograniczonej do prostej przechodza

,

cej przez punkt

p , r´ownolegÃlej do wektora v .

Czytelnik zwr´oci uwage

,

na to, ˙ze dow´od cze

,

´sci a. twierdzenia w istocie rzeczy

polega na tym, ˙ze sprawdzamy i˙z zachodzi ono dla wielomian´ow stopnia 2 lub mniej-

szego, a naste

,

pnie stwierdzeniu, ˙ze przy dostatecznie dobrych zaÃlo˙zeniach o wielo-

mianie kwadratowym reszta nie ma wpÃlywu na teze

,

, bo po prostu jest za maÃla.

Oczywi´scie twierdzenie ma charakter lokalny, o czym doskonale ´swiadczy przykÃlad,

kt´ory zreszta

,

za chwile

,

przypomnimy — funkcja tam wyste

,

puja

,

ca ma dwa lokalne

minima, ale ˙zadne z nich nie jest minimum globalnym, kt´orego zreszta

,

nie ma, bo

funkcja nie jest ograniczona z doÃlu. W cze

,

´sci c. okazaÃlo sie

,

, ˙ze z zaÃlo˙ze´

n wynika ist-

nienie prostej przechodza

,

cej przez p , po ograniczeniu do kt´orej funkcja ma lokalne

minimum wÃla´sciwe i drugiej prostej przechodza

,

cej przez p , po ograniczeniu do kt´orej

funkcja ma maksimum wÃla´sciwe. Takie zjawisko nie mogÃlo oczywi´scie wysta

,

pi´c w

przypadku funkcji jednej zmiennej. Mo˙ze sie

,

te˙z zdarzy´c, ˙ze forma drugiej r´o˙zniczki

jest p´oÃlokre´slona, np. dodatnio. Oznacza to, ˙ze D

2

f (p)~v · ~v ≥ 0 — zamiast ostrej

nier´owno´sci mamy tylko nieostra

,

Wtedy nic sie

,

nie da wywnioskowa´c bez dalszego

badania funkcji: funkcja x

4

+ y

4

ma w punkcie 0 minimum wÃla´sciwe, zreszta

,

glob-

24

Funkcje wielu zmiennych

alne, funkcja −x

4

− y

4

ma w punkcie 0 maksimum wÃla´sciwe, globalne, funkcja

x

4

− y

4

ma w punkcie 0 ,,siodÃlo” - w dowolnym otoczeniu punktu 0 przyjmuje

zar´owno warto´sci mniejsze ni˙z f (0) jak i warto´sci wie

,

ksze ni˙z f (0) . W ka˙zdym

z tych trzech przypadk´ow zachodza

,

r´owno´sci

0 = f (0) =

∂f
∂x

(0) =

∂f
∂y

(0) =

∂f

2

∂x

2

(0) =

∂f

2

∂x∂y

(0) =

∂f

2

∂y

2

(0) ,

wie

,

c z punktu widzenia twierdzenia o lokalnych ekstremach te funkcje sa

,

nierozr´o˙z-

nialne. Autor spotykaÃl sie

,

wielokrotnie ze studentami, kt´orzy chcieli bez gÃle

,

bszego

zastanowienia sie

,

rozszerza´c zakres twierdzenia o lokalnych ekstremach, ale wypisy-

wane tezy byÃly nieprawdziwe. Oczywi´scie twierdzenie to mo˙zna uog´olni´c, ale nie jest

to zbyt proste i co gorsza efekty uog´olnienia nie sa

,

warte zachodu, bo otrzymywane

warunki sa

,

zbyt skomplikowane, by je pamie

,

ta´c. Wa˙zniejsze jest zrozumienie po-

danej wersji i jej dowodu, bo wtedy w konkretnych sytuacjach, nawet nie obje

,

tych

twierdzeniem, mo˙zna zastosowa´c jego dow´od!

PrzykÃlad 16.11

Niech f

³

x

y
z

´

= x

2

+2y

2

+3z

2

−4x+8y−12z . Jasne jest, ˙ze funkcja

nie jest ograniczona z g´ory:

lim

x→+∞

f

³

x

0
0

´

= +∞ . Nie jest jasne czemu r´owny jest kres

dolny funkcji i czy jest on jej warto´scia

,

. Je´sli kres jest warto´scia

,

funkcji okre´slonej na

caÃlej przestrzeni, to gradient tej funkcji w punkcie, w kt´orym jest on przyjmowany jest

wektorem zerowym. Mamy grad f

³

x

y
z

´

=

µ

2x−4

4y+8

6z−12

¶

. Jasne jest, ˙ze ten wektor r´owny

jest 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 2 , y = −2 i z = 2 . Mamy f

µ

2

−2

2

¶

= −24 .

Je´sli wie

,

c kres dolny jest warto´scia

,

funkcji, to musi by´c r´owny −24 . Wyka˙zemy,

˙ze tak jest w rzeczywisto´sci. f

³

x

y
z

´

+ 24 = (x − 2)

2

+ 2(y + 2)

2

+ 3(z − 2)

2

≥ 0 ,

co ko´

nczy dow´od. W istocie rzeczy do znalezienia kres´ow rachunek r´o˙zniczkowy w

tym zadaniu nie byÃl potrzebny, w rzeczywisto´sci funkcja f w ostatnim kroku zostaÃla

potraktowana jako suma 3 wielomian´ow kwadratowych, ka˙zdy innej zmiennej, kt´ore

zostaÃly sprowadzone do postaci kanonicznych! Rachunek r´o˙zniczkowy pomaga tu

jedynie ustali´c, jaki punkt jest podejrzany o to, ˙ze w nim kres jest osia

,

gany, ale

oczywi´scie te hipoteze

,

mo˙zna sformuÃlowa´c nie licza

,

c ˙zadnych pochodnych.

PrzykÃlad 16.12

Niech f

¡

x
y

¢

= 2x

2

− 4xy + 10y

2

− 20x + 68y . Podobnie jak

w przykÃladzie poprzednim wida´c, ˙ze

lim

x→+∞

¡

x

0

¢

= +∞ , zatem funkcja nie jest ograni-

czona z g´ory, czyli jej kresem g´ornym jest +∞ . Je´sli kres dolny tej funkcji jest jej

warto´scia

,

, to w punkcie, w kt´orym jest przyjmowany, gradient funkcji f jest wek-

25

Funkcje wielu zmiennych

torem zerowym. Mamy grad f

¡

x
y

¢

=

¡

4x− 4y−20

−4x+20y+68

¢

. Ma wie

,

c by´c

4x − 4y − 20 = 0 = −4x + 20y + 68 .

Rozwia

,

zuja

,

c ten ukÃlad dw´och r´owna´

n liniowych z dwiema niewiadomymi otrzymu-

jemy x = 2 , y = −3 . Jedynym kandydatem na punkt, w kt´orym m´ogÃlby by´c

osia

,

gnie

,

ty kres dolny tej funkcji, jest wie

,

c punkt

¡

2

−3

¢

. Niech u = x − 2 , v = y + 3 .

Mamy wie

,

c

f

¡

x
y

¢

= f

¡

u+2
v−3

¢

= 2(u + 2)

2

− 4(u + 2)(v − 3) + 10(v − 3)

2

− 20(u + 2) + 68(v − 3) =

= 2u

2

− 4uv + 10v

2

− 122 = 2(u − v)

2

+ 8v

2

− 122

— ostatnie przeksztaÃlcenie to po prostu sprowadzenie wielomianu kwadratowego

zmiennej u , kt´orego wsp´oÃlczynniki zale˙za

,

od parametru v , do postaci kanonicznej.

Jasne jest, ˙ze najmniejsza

,

warto´scia

,

otrzymanego wyra˙zenia jest liczba −122 i ˙ze

warto´s´c ta jest przyjmowana jedynie wtedy, gdy u = v i v = 0 , tzn. u = 0 = v .

Podobnie jak w poprzednim przykÃladzie mo˙zna byÃlo nie liczy´c pochodnych, lecz po-

traktowa´c od razu funkcje

,

jako wielomian zmiennej u z parametrem v , sprowadzi´c

go do postaci kanonicznej i rzecz caÃla

,

zako´

nczy´c.

PrzykÃlad 16.13

Niech f

¡

x
y

¢

= 2x

2

− 4xy + y

2

− 20x + 14y .

Poniewa˙z

lim

x→+∞

¡

x

0

¢

= +∞ , wie

,

c sup f = +∞ . Poste

,

puja

,

c tak jak w poprzednim

przykÃladzie znajdujemy grad f

¡

x
y

¢

=

¡

4x−4y−20

−4x+2y+14

¢

. Ten wektor r´owny jest

¡

0
0

¢

wtedy

i tylko wtedy, gdy x = 2 i y = −3 . Podstawmy x = u + 2 , y = v − 3 . Wtedy

f

¡

x
y

¢

= 2(u+2)

2

−4(u+2)(v−3)+(v−3)

2

−20(u+2)+14(v−3) = 2u

2

−4uv+v

2

−41 =

= 2(u − v)

2

− v

2

− 41 .

W odr´o˙znieniu od przykÃlad´ow poprzednich wyra˙zenie 2(u − v)

2

− v

2

bywa ujemne,

wie

,

c liczba −41 nie jest kresem dolnym funkcji f . Mamy

f

¡

v
v

¢

= −v

2

− 41 −−−−→

v→∞

−∞ ,

zatem kresem dolnym funkcji f jest −∞ , co oznacza, ˙ze funkcja f nie jest ogranic-

zona r´ownie˙z z doÃlu. Oczywi´scie r´ownie˙z w tym przykÃladzie u˙zycie pochodnych

nie jest konieczne, mo˙zna od razu potraktowa´c funkcje

,

jako wielomian zmiennej x

zale˙zny od parametru y .

PrzykÃlad 16.14

Teraz uog´olnimy rezultaty trzech ostatnich przykÃlad´ow. Mieli´s-

my w ka˙zdym z nich do czynienia z konkretnym wielomianem drugiego stopnia dwu

zmiennych, czyli z funkcja

,

f , kt´ora

,

mo˙zna zdefiniowa´c wzorem

f

¡

x
y

¢

= Ax

2

+ 2Bxy + Cy

2

+ 2Dx + 2Ey + F ,

przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze co najmniej jedna z liczb A , B , C jest r´o˙zna od 0; dw´ojki we

26

Funkcje wielu zmiennych

wsp´oÃlczynnikach pojawiaja

,

sie

,

ze wzgle

,

du na wygode

,

oraz tradycje

,

. Wyra˙zenia x

2

,

xy , y

2

nazywamy jednomianami drugiego stopnia zmiennych x i y (dla ustalenia

stopnia iloczynu dodajemy stopnie czynnik´ow, nawet je´sli jeden wielomian zale˙zy od

x a drugi — od y ).

Rozwa˙zymy kolejno trzy przypadki: AC−B

2

> 0 , AC−B

2

= 0 , AC − B

2

< 0 .

Pierwszy z nich nazywany jest eliptycznym, drugi – parabolicznym, a trzeci – hiper-

bolicznym. Mamy grad f

¡

x
y

¢

= 2

¡

Ax+By+D
Bx+Cy+E

¢

. W przypadku eliptycznym i w przy-

padku hiperbolicznym istnieje dokÃladnie jeden punkt, w kt´orym grad f jest wek-

torem zerowym, w przypadku parabolicznym takiego punktu mo˙ze nie by´c albo jest

ich niesko´

nczenie wiele. Je´sli grad f

¡

α
β

¢

=

¡

0
0

¢

, to po zastosowaniu podstawienia

x = u + α , y = v + β otrzymujemy wielomian kwadratowy zmiennych u , v , w kt´o-

rym cze

,

´s´c kwadratowa ma te same wsp´oÃlczynniki A , B , C , natomiast cze

,

´s´c liniowa

znika, o wyrazie wolnym nic powiedzie´c nie mo˙zna. Po podstawieniu otrzymujemy

funkcje

,

zmiennych u i v , kt´orej gradient jest wektorem zerowym w punkcie 0 =

¡

0
0

¢

,

a wie

,

c funkcje

,

postaci Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ e

F .

Przypadek eliptyczny.

Poniewa˙z AC − B

2

> 0 , wie

,

c AC > 0 , zatem A 6= 0 6= C . Mo˙zemy wobec tego

napisa´c:

Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ e

F = A

¡

u +

B
A

v

¢

2

−

B

2

A

v

2

+ Cv

2

+ e

F =

= A

³¡

u +

B
A

v

¢

2

+

AC−B

2

A

2

v

2

´

+ e

F .*

Je´sli A > 0 , to funkcja f przyjmuje w punkcie 0 warto´s´c e

F , a w pozostaÃlych punk-

tach warto´sci wie

,

ksze ni˙z e

F – wynika to sta

,

d, ˙ze kwadrat liczby rzeczywistej 6= 0

jest dodatni, za´s 0

2

= 0 . Najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f w tym przypadku jest

liczba e

F , jest ona przyjmowana w jednym tylko punkcie (zerowania sie

,

gradientu),

funkcja jest oczywi´scie nieograniczona z g´ory. Przypadek A < 0 jest w peÃlni ana-

logiczny, nier´owno´sci zmieniaja

,

kierunki, wie

,

c w tym przypadku funkcja ma warto´s´c

najwie

,

ksza

,

, a z doÃlu nie jest ograniczona.

Przypadek hiperboliczny.

Teraz mo˙ze zdarzy´c sie

,

, ˙ze A = 0 = C . Je´sli tak jest, to wprowadzamy nowe zmienne

e

x = x + y oraz e

y = x − y , czyli x = e

x+

e

y

2

oraz y = e

x−

e

y

2

. Po podstawieniu cze

,

´s´c

kwadratowa wygla

,

da tak:

B

2

e

x

2

−

B

2

e

y

2

. Przyjmuja

,

c e

A =

B

2

, e

B = 0 oraz e

C =

B

2

otrzymujemy zn´ow wielomian kwadratowy, dla kt´orego e

A e

C − e

B

2

< 0 , przy czym

*

Wyr´

o˙znik wielomianu Au

2

+2Buv+Cv

2

zmiennej u r´

owny jest 4v

2

(

B

2

−AC

)

, wie,c gdy v6=0 , to

wielomian ten nie ma pierwiastk´

ow!

27

Funkcje wielu zmiennych

e

A 6= 0 . Mo˙zemy wie

,

c od razu zaÃlo˙zy´c, ˙ze A 6= 0 , co uchroni nas przed zmiana

,

oznacze´

n nie zmniejszaja

,

c przy tym og´olno´sci rozwa˙za´

n. Przyjmujemy wie

,

c dalej, ˙ze

A > 0 . PrzeksztaÃlcaja

,

c tak jak w przypadku eliptycznym otrzymujemy

e

f

¡

u

v

¢

= Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ e

F = A

¡

u +

B
A

v

¢

2

−

B

2

A

v

2

+ Cv

2

+ e

F =

= A

³¡

u +

B
A

v

¢

2

+

AC−B

2

A

2

v

2

´

+ e

F .

Oczywi´scie lim

u→∞

f

¡

u

0

¢

= +∞ , zatem funkcja e

f nie jest ograniczona z g´ory. Mamy te˙z

lim

v→∞

f

¡

−vB/A

v

¢

= −∞ , wie

,

c r´ownie˙z z doÃlu ta funkcja nie jest ograniczona. Kresem

dolnym tej funkcji jest wie

,

c −∞ , a g´ornym +∞ . Wykres tej funkcji jest dwuwymi-

arowa

,

powierzchnia

,

w przestrzeni tr´ojwymiarowej przypominaja

,

ca

,

wygla

,

dem prze-

Ãle

,

cz w g´orach, co miÃlo´snikom jazdy konnej kojarzy´c mo˙ze sie

,

z siodÃlem. Om´owmy to

nieco dokÃladniej. Je´sli v = 0 , to rozwa˙zamy funkcje

,

Au

2

+ e

F , kt´orej wykresem jest

parabola skierowana ramionami ku g´orze. Je´sli ograniczymy nasza

,

uwage

,

do prostej

o r´ownaniu u +

B
A

v = 0 , to otrzymamy funkcje

,

AC−B

2

A

v

2

+ e

F , kt´orej wykresem

jest parabola skierowana ramionami ku doÃlowi. Ta druga ma punkt wsp´olny z pier-

wsza

,

, po prostu jest podwieszona na pierwszej, ale znajduje sie

,

w innej pÃlaszczy´znie

pionowej*, mianowicie zawieraja

,

cej prosta

,

u +

B
A

v = 0 . Zmiana wielko´sci u +

B
A

v

powoduje przesunie

,

cie zwisaja

,

cej paraboli do g´ory wzdÃlu˙z paraboli Au

2

. Wykres

naszej funkcji skÃlada sie

,

wie

,

c z parabol zwisaja

,

cych z paraboli Au

2

+ e

F w d´oÃl,

r´ownolegÃlych do prostej u +

B
A

v = 0 , umieszczonych w pÃlaszczyznach pionowych.

Jasne jest, ˙ze w tym przypadku funkcja w punkcie zerowania sie

,

gradientu nie

ma ani lokalnego maksimum ani lokalnego minimum: we

,

druja

,

c z punktu 0 w kie-

runku prostej v = 0 zwie

,

kszamy warto´s´c funkcji, za´s we

,

druja

,

c w kierunku prostej

u +

B
A

v = 0 zmniejszamy warto´s´c funkcji.

Przypadek paraboliczny

Podobnie jak w przypadku eliptycznym co najmniej jedna z liczba A , C musi by´c

r´o˙zna od 0, bo gdyby obie byÃly zerami, to z r´owno´sci AC − B

2

= 0 wynikaÃloby, ˙ze

r´ownie˙z B = 0 , co nie jest mo˙zliwe w ´swietle naszego zaÃlo˙zenia. Bez straty og´olno´sci

mo˙zemy przyja

,

´c, ˙ze A 6= 0 , a nawet A > 0 . Przypadek A < 0 pozostawiamy

czytelnikowi. Mamy wie

,

c

Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ 2Du + 2Ev + F =

= A

¡

u +

B
A

v +

D

A

¢

2

+

³

C −

B

2

A

´

v

2

+ 2

¡

E −

BD

A

¢

v + F −

D

2

A

=

= A

¡

u +

B
A

v +

D

A

¢

2

+ 2

¡

E −

BD

A

¢

v + F −

D

2

A

.

*

Je´sli B=0 , to te pionowe pÃlaszczyzny sa, prostopadÃle, pierwsza ma r´ownanie v=0 , a druga – u=0

28

Funkcje wielu zmiennych

Mamy wie

,

c dwa przypadki E −

BD

A

= 0 i E −

BD

A

6= 0 .

W pierwszym przypadku funkcja przyjmuje najmniejsza

,

warto´s´c F −

D

2

A

w ka˙z-

dym punkcie prostej Au + By + D = 0 i oczywi´scie jest nieograniczona z g´ory.

W drugim przypadku funkcja jest nieograniczona z g´ory: lim

u→∞

f

¡

u

0

¢

= +∞ . Jest

te˙z nieograniczona z doÃlu, bowiem jedna z granic

lim

v→∞

f

¡

−(Bv+D)/A

v

¢

,

lim

v→−∞

f

¡

−(Bv+D)/A

v

¢

r´owna jest −∞ , a druga

,

jest +∞ . W tych przypadkach wykres funkcji mo˙zna

wyobrazi´c sobie jako doline

,

: w przypadku E −

BD

A

= 0 dno doliny jest poziome, a

w przypadku E −

BD

A

6= 0 – nie.

Uwaga 16.29

W przypadku funkcji jednej zmiennej podali´smy kryterium pozwalaja

,

ce na stwierdze-

nie, czy funkcja ma w punkcie zerowania sie

,

pochodnej lokalne ekstremu czy te˙z nie.

Podobne twierdzenia mo˙zna formuÃlowa´c dla funkcji dwu i wie

,

kszej liczby zmien-

nych. Szczeg´olnie wa˙zny jest przypadek najprostszy, gdy problem mo˙zna wyja´sni´c

badaja

,

c pochodne drugiego rze

,

du. Zajmiemy sie

,

tym nieco p´o´zniej. Wypada jednak

stwierdzi´c, ˙ze twierdzenia om´owione w ostatnim przykÃladzie stanowia

,

podstawe

,

do

sformuÃlowania odpowiednich tez w przypadku funkcji dwu zmiennych.

Ostatni przykÃlad zawiera dow´od twierdzenia Sylvestera (zob. naste

,

pne twierdze-

nie) w przypadku funkcji dwu zmiennych. Udowodnimy zreszta

,

to twierdzenie za

chwile

,

, by przekona´c czytelnika, ˙ze nic tajemniczego w nim nie ma, cho´c oczywi´scie

jego dow´od nie jest konieczny do zdania egzaminu z matematyki przez studenta

chemii.

Twierdzenie 16.30 (

Sylvestera o formach kwadratowych dodatnio okre´

slonych)

Niech f be

,

dzie forma

,

kwadratowa

,

okre´slona

,

przez macierz symetryczna

,

A = (a

i,j

)

wymiaru k , tzn. dla dowolnych i, j ∈ {1, 2, . . . , k} zachodzi r´owno´s´c a

i,j

= a

j,i

,

zatem

f (x) = (Ax) · x =

k

X

i,j=1

a

i,j

x

i

x

j

,

kropka oznacza tu iloczyn skalarny. Niech M

l

= det(a

i,j

)

i,j≤l

. Wtedy f (x) > 0 dla

x 6= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy M

l

> 0 dla l = 1, 2, . . . , k . M´owimy wtedy, ˙ze

forma f jest dodatnio okre´slona.

29

Funkcje wielu zmiennych

Dow´

od. (J.Musielak)*

Zastosujemy indukcje

,

wzgle

,

dem k . Dla k = 1 mamy f (x) = a

1,1

x

2

, zatem

forma jest dodatnio okre´slona wtedy i tylko wtedy, gdy a

1,1

> 0 .

Dla k = 2 mamy

f (x) = a

1,1

x

2

1

+ a

1,2

x

1

x

2

+ a

2,1

x

2

x

1

+ a

2,2

x

2

2

= a

1,1

x

2

1

+ 2a

1,2

x

1

x

2

+ a

2,2

x

2

2

.

Oczywi´scie musi by´c a

1,1

= f (e

1

) > 0 , czyli musi by´c M

1

> 0 . Funkcje

,

f mo˙zemy

potraktowa´c jako wielomian kwadratowy zmiennej x

1

zale˙zny od parametru x

2

.

Ma on przyjmowa´c jedynie warto´sci dodatnie dla x

2

6= 0 . Warunkiem koniecznym i

dostatecznym na to jest, jak wiadomo z nauki w liceum,

0 < −

∆

4

= a

1,1

a

2,2

x

2

2

− a

2

1,2

x

2

2

= (a

1,1

a

2,2

− a

2

1,2

)x

2

2

,

czyli M

2

> 0 .

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze teza zachodzi dla wszystkich form kwadratowych okre´slonych

na przestrzeni wymiaru mniejszego ni˙z k + 1 . Wyka˙zemy, ˙ze zachodzi r´ownie˙z dla

form okre´slonych na przestrzeni wymiaru k . Mamy

f (x) = a

1,1

x

2

1

+ 2x

1





k+1

X

j=2

a

1,j

x

j



 +

k+1

X

i,j=2

a

i,j

x

i

x

j

.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by f (x) > 0 dla x 6= 0 jest a

1,1

> 0

oraz

0 < −

∆

4

= a

1,1





k+1

X

i,j=2

a

i,j

x

i

x

j



 −





k+1

X

j=2

a

1,j

x

j





2

=

=

k+1

X

i,j=2

a

1,1

a

i,j

x

i

x

j

−

k+1

X

j=2

a

1,i

a

1,j

x

i

x

j

=

k+1

X

i,j=2

b

i,j

x

i

x

j

,

gdzie b

i,j

= a

1,1

a

i,j

− a

1,i

a

1,j

. Ostatnie wyra˙zenie jest forma

,

kwadratowa

,

k zmien-

nych, wie

,

c na mocy zaÃlo˙zenia indukcyjnego warunkiem koniecznym i dostatecznym

jego dodatniej okre´slono´sci jest

| b

2,2

| > 0 ,

¯

¯

¯

¯

b

2,2

b

2,3

b

3,2

b

3,3

¯

¯

¯

¯ > 0 , . . . ,

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

b

2,2

b

2,3

. . .

b

2,k+1

b

3,2

b

3,3

. . .

b

3,k+1

..

.

..

.

. ..

..

.

b

k+1,2

b

k+1,3

. . . b

k+1,k+1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

> 0 .

Dla l ∈ {2, . . . , k + 1} mamy

*

Wg. ksia,˙zki Mostowskiego i Starka, Elementy Algebry Wy˙zszej, Warszawa, PWN 1963, wyd 5. Poda-

jemy ten wÃla´snie dow´

od, bo jest on chyba najbardziej elementarny z tych, kt´

ore autor widziaÃl, wymaga

jedynie podstawowych wiadomo´sci o wielomianach kwadratowych jednej zmiennej i wyznacznikach.

30

Funkcje wielu zmiennych

0 <

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

b

2,2

b

2,3

. . . b

2,l

b

3,2

b

3,3

. . . b

3,l

..

.

..

.

. .. ...

b

l,2

b

l,3

. . .

b

l,l

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

2,2

− a

2

1,2

a

1,1

a

2,3

− a

1,2

a

1,3

. . . a

1,1

a

2,l

− a

1,2

a

1,l

a

1,1

a

3,2

− a

1,2

a

1,3

a

1,1

a

3,3

− a

2

1,3

. . . a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1,1

a

l,2

− a

1,2

a

1,l

a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

. . .

a

1,1

a

l,l

− a

2

1,l

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

a

1,2

a

1,3

. . .

a

1,l

0

a

1,1

a

2,2

− a

2

1,2

a

1,1

a

2,3

− a

1,2

a

1,3

. . . a

1,1

a

2,l

− a

1,2

a

1,l

0 a

1,1

a

3,2

− a

1,2

a

1,3

a

1,1

a

3,3

− a

2

1,3

. . . a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

0

a

1,1

a

l,2

− a

1,2

a

1,l

a

1,1

a

3,l

− a

1,3

a

1,l

. . .

a

1,1

a

l,l

− a

2

1,l

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

Ostatnia r´owno´s´c wynika z tego, ˙ze wyznacznik mo˙zna oblicza´c rozwijaja

,

c go wzgle

,

-

dem pierwszej kolumny. Teraz pomno˙zymy pierwszy wiersz przez a

1,2

i dodamy do

drugiego, potem pierwszy wiersz przez a

1,3

i dodamy do trzeciego, itd. Poniewa˙z te

operacje nie zmieniaja

,

warto´sci wyznacznika, wie

,

c otrzymamy

0 <

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1

a

1,2

a

1,3

. . .

a

1,l

a

1,2

a

1,1

a

2,2

a

1,1

a

2,3

. . . a

1,1

a

2,l

a

1,3

a

1,1

a

3,2

a

1,1

a

3,3

. . . a

1,1

a

3,l

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1,l

a

1,1

a

l,2

a

1,1

a

l,3

. . .

a

1,1

a

l,l

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

.

Pomno˙zymy teraz pierwszy wiersz przez liczbe

,

a

1,1

> 0 , nie zmienia to znaku wyz-

nacznika, bo mno˙zenie wiersza przez liczbe

,

to to samo, co mno˙zenie wyznacznika

przez te

,

liczbe

,

. W otrzymanym wyznaczniku wszystkie wyrazy w kolumnach drugiej,

trzeciej itd. zawieraja

,

czynnik a

1,1

, wie

,

c z tych kolumn mo˙zna go wyÃla

,

czy´c, co oz-

nacza podzielenie wyznacznika przez liczbe

,

a

l−1

1,1

> 0 . Znak pozostaje niezmieniony, a

otrzymany wyznacznik to

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a

1,1

a

1,2

a

1,3

. . . a

1,l

a

1,2

a

2,2

a

2,3

. . . a

2,l

a

1,3

a

3,2

a

3,3

. . . a

3,l

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

a

1,l

a

l,2

a

l,3

. . .

a

l,l

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

. Tym samym zako´

nczyli´smy

dow´od.

PrzykÃlad 16.15

Rozwa˙zymy trzy funkcje

f (x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

¢

2

,

g(x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

¢

2

,

h(x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

2

.

31

Funkcje wielu zmiennych

Znajdziemy ich lokalne ekstrema oraz kresy.

Zachodza

,

r´owno´sci

∂f
∂x

(x, y) = −e

2x

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

¢

,

∂f
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + (y + 1)(y + 2)(2y − 1)

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

¢

∂g
∂x

(x, y) = −e

2x

¡

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

¢

,

∂g
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + (y + 1)(y + 2)(2y + 3)

¡

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

¢

,

∂h
∂x

(x, y) = −e

2x

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

,

∂h
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) + 2(y + 1)(y + 2)(y + 3)

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

.

Znajdziemy punkty krytyczne funkcji f, g, h , czyli punkty, w kt´orych ich gra-

dienty sa

,

wektorami zerowymi.

Z r´owno´sci

∂f
∂x

= 0 wynika, ˙ze −e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

= 0 , a z niej i z r´owno´sci

∂f
∂y

= 0 wynika, ˙ze y(y+3)(y+1)(y−2) = 0 . Musi wie

,

c by´c speÃlniona jedna z czterech

r´owno´sci y = 2 , y = 0 , y = −1 , y = −3 . Trzeba znale´z´c odpowiadaja

,

ce tym

warto´sciom zmiennej y warto´sci zmiennej x . Prowadzi to do r´owno´sci e

2x

= 3

2

· 0

2

,

e

2x

= 1

2

· (−2)

2

, e

2x

= 0

2

· (−3)

2

i e

2x

= (−2)

2

· (−5)

2

. Ani pierwsze ani trzecie

r´ownanie nie ma rozwia

,

za´

n. Z drugiego wynika, ˙ze x = ln 2 . Z czwartego z kolei

wnioskujemy, ˙ze x = ln 10 . Znale´zli´smy wie

,

c wszystkie punkty krytyczne funkcji f .

Sa

,

dwa takie punkty: (ln 2, 0) i (ln 10, −3) . W ˙zadnym innym punkcie funkcja f

lokalnego ekstremum nie ma.

Znajdziemy pochodne cza

,

stkowe drugiego rze

,

du, a raczej drugie wielomiany Tay-

lora tych funkcji. Niech x = ln 2 + u . Mamy

f (x, y) = f (ln 2 + u, y) =

= 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2(ln 2+u)

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

¢

2

=

= 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−4e

2u

+ (y

2

− y − 2)

2

¢

2

=

= 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

+

1
4

³

−4(1 + 2u +

4u

2

2!

+

8u

3

3!

+ · · ·) + 4 + 4y − 3y

3

− 2y

3

+ y

4

´

2

=

= −90y

2

− 50y

3

+ 15y

4

+ 6y

5

+

1
4

(−8u + 4y + · · ·)

2

=

= −90y

2

+ 16u

2

− 16uy + 4y

2

+ · · · = 16u

2

− 16uy − 86y

2

+ · · · .

Opu´scili´smy wszystkie czÃlony, kt´ore nie maja

,

wpÃlywu na wsp´oÃlczynniki przy jedno-

mianach stopnia 2 , tzn przy u

2

, uy, y

2

.

Twierdzenie o lokalnych ekstremach pozwala na stwierdzenie, ˙ze poniewa˙z wyra-

˙zenie (forma kwadratowa) 16u

2

− 16uy − 86y

2

przyjmuje czasem warto´sci dodatnie,

np. dla u = 1 i y = 0 , a czasem ujemne, np. dla u = 0 i y = 1 , wie

,

c funkcja w punk-

cie (ln 2, 0) nie ma ani lokalnego maksimum, ani lokalnego minimum. M´owimy w tym

32

Funkcje wielu zmiennych

przypadku o siodle.

Teraz zajmiemy sie

,

okolica

,

punktu (ln 10, −3) . Przyjmiemy, ˙ze x = ln 10 + u i

y = −3 + v . Wtedy

f (x, y) = f (ln 10+u, −3+v) = 6(−3+v)

5

+15(−3+v)

4

−50(−3+v)

3

−90(−3+v)

2

+

+

1
4

¡

−e

2(ln 10+u)

+ (−3 + v + 1)

2

(−3 + v − 2)

2

¢

2

=

= 6(−3)

5

+ 15(−3)

4

− 50(−3)

3

− 90(−3)

2

+

+ 6 · 5 · (−3)

4

v + 15 · 4 · (−3)

3

v − 50 · 3 · (−3)

2

v − 90 · 2 · (−3)v +

+ 6 ·

¡

5
2

¢

· (−3)

3

v

2

+ 15 ·

¡

4
2

¢

· (−3)

2

v

2

− 50 ·

¡

3
2

¢

· (−3)v

2

− 90v

2

+ · · · +

+

1
4

³

−100(1 + 2u +

4u

2

2!

+ · · ·) + (4 − 4v + v

2

)(25 − 10v + v

2

)

´

2

=

= 297 − 450v

2

+ · · ·

1
4

(−200u + · · · − 140v + · · ·)

2

=

= 297 − 450v

2

+

1
4

(−200u − 140v)

2

+ · · · =

= 297 + 10000u

2

+ 14000uv + 4450v

2

+ · · · .

Jasne jest, ˙ze wyra˙zenie 10000u

2

+ 14000uv + 4450v

2

bywa dodatnie, np. gdy

przyjmiemy u = 1, v = 0 . Bywa r´ownie˙z ujemne np. dla u = 14, v = −20 . Wobec

w punkcie (ln 10, −3) funkcja f ma siodÃlo.

Kres g´orny funkcji f r´owny jest +∞ , bo

lim

y→∞

f

¡

1
2

ln

£

(y + 1)(y − 2)

¤

, y

¢

= lim

y→∞

(6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

) = +∞ .

Kres g´orny funkcji f r´owny jest −∞ , bo

lim

y→−∞

f

¡

1
2

ln

£

(y + 1)(y − 2)

¤

, y

¢

= lim

y→−∞

(6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

) = −∞ .

Teraz zajmiemy sie

,

funkcja

,

g . Oczywi´scie obliczenia sa

,

bardzo podobne, wie

,

c

podamy tylko wyniki i wycia

,

gniemy wnioski.

Gradient funkcji g zeruje sie

,

w dw´och punktach: (ln 2, −1) i (ln 10, 2) .

Podstawiaja

,

c x = u + ln 2 i y = v − 1 otrzymujemy

g(x, y) = g(u + ln 2, v − 1) = −31 + 16u

2

+ uv + 94v

2

+ · · · .

Wyra˙zenie 16u

2

+ uv + 94v

2

jest dodatnie dla dowolnie wybranych liczb u, v z wy-

ja

,

tkiem u = 0 = v . Je´sli bowiem potraktujemy je jako wielomian kwadratowy

zmiennej u z parametrem v , to jego wyr´o˙znik r´owny be

,

dzie ∆ = v

2

− 4 · 16 · 94v

2

,

wie

,

c wyr´o˙znik ten jest ujemny dla v 6= 0 ; jasne jest, ˙ze gdy v = 0 , to jedynym u ,

dla kt´orego 16u

2

+ uv + 94v

2

= 0 jest liczba 0 . Wobec tego funkcja g ma lokalne

minimum w punkcie (ln 2, −1) .

Podstawiaja

,

c x = u + ln 10 i y = v + 2 otrzymujemy

g(x, y) = g(u + ln 10, v + 2) = 328 + 10000u

2

− 14000uv + 5350v

2

+ · · · .

Wyra˙zenie 10000u

2

− 14000uv + 5350v

2

jest dodatnie dla dowolnie wybranych liczb

u, v z wyja

,

tkiem u = 0 = v , bo

33

Funkcje wielu zmiennych

(−14000v)

2

−4·10000·5350v

2

= (196 000 000−214 000 000)v

2

= −18 000 000v

2

< 0 .

Wobec tego funkcja g ma lokalne minimum w punkcie (ln 10, 2) . Podobnie jak dla

funkcji f wykazujemy, ˙ze kresem g´ornym funkcji g jest +∞ , a kresem dolnym —

−∞ . Innych punkt´ow krytycznych ta funkcja nie ma. Prosze

,

spr´obowa´c wyobrazi´c

sobie wykres funkcji g . Jest to niezÃle ´cwiczenie na zrozumienie sytuacji.

Gradient funkcji h zeruje sie

,

w dw´och punktach: (ln 3, 0) i (ln 15, 2) .

Podstawimy najpierw x = u + ln 3 . Mamy wtedy

h(x, y) = h(u + ln 3, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

+

1
4

¡

−e

2(u+ln 3)

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

2

=

= 81u

2

− 216uy + 54y

2

+ · · · .

Wyra˙zanie 81u

2

− 216uy + 54y

2

bywa dodatnie, np. gdy y = 0 6= u ; bywa te˙z

ujemne, np. gdy u = y 6= 0 . Wobec tego w punkcie (ln 3, 0) funkcja h ma siodÃlo.

Teraz kolej na punkt (ln 15, 2) . Podstawimy x = u + ln 15 , y = 2 + v . Po pewnych

rachunkach otrzymujemy

h(x, y) = h(u + ln 3, 2 + v) = 6(2 + v)

5

+ 15(2 + v)

4

− 50(2 + v)

3

− 90(2 + v)

2

+

+

1
4

¡

−e

2(u+ln 3)

+ (2 + v + 1)

2

(2 + v + 3)

2

¢

2

=

= −328 + 50625u

2

− 54000uv + 14850v

2

+ · · · .

Poniewa˙z 54000

2

− 4 · 50625 · 14850 = −91125000 < 0 , wie

,

c wyra˙zenie 50625u

2

−

54000uv+14850v

2

traktowane jako wielomian kwadratowy zmiennej u z parametrem

v nie ma pierwiastk´ow rzeczywistych, wie

,

c przyjmuje jedynie warto´sci dodatnie z

wyja

,

tkiem przypadku v = 0 , w kt´orym ma jeden pierwiastek podw´ojny u = 0 . W

tej sytuacji funkcja ma lokalne minimum w punkcie (ln 15, 2) .

Tak jak w przypadku funkcji f z Ãlatwo´scia

,

stwierdzamy, ˙ze kres g´orny funkcji

h r´owny jest +∞ , a dolny −∞ .

Podsumowanie: w przypadku funkcji jednej zmiennej ekstrem wyste

,

powaÃly na

zmiane

,

; w przypadku funkcji dwu zmiennych, tym bardziej w przypadku funkcji

wie

,

kszej ich liczby mo˙ze by´c zupeÃlnie inaczej. Wynika to z tego, ˙ze struktura ge-

ometryczna pÃlaszczyzny jest bardziej zÃlo˙zona ni˙z struktura prostej, a w wy˙zszych

wymiarach te efekty sa

,

jeszcze silniejsze. Nie be

,

dziemy w te kwestie wchodzi´c gÃle

,

biej.

Jednak wypada podkre´sli´c, ˙ze nie wolno zbyt szybko wycia

,

ga´c wniosk´ow i zbytnio

wierzy´c swej intuicji, bo ona mo˙ze zawie´s´c. Trzeba korzysta´c z twierdze´

n, kt´ore sa

,

prawdziwe zwracaja

,

c uwage

,

na to, czy zaÃlo˙zenia sa

,

speÃlnione.

Uwaga 16.31 Rozumowania z ostatniego przykÃladu (bezpo´srednio przed ta

,

uwaga

,

)

mo˙zna skr´oci´c bardzo istotnie traktuja

,

c ka˙zda

,

z trzech rozwa˙zanych tam funkcji

34

Funkcje wielu zmiennych

jako sume

,

wielomianu 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

zmiennej y i kwadratu pewnej

funkcji dwu zmiennych. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze w punktach −3 i 0 wielomian

6y

5

+15y

4

−50y

3

−90y

2

ma lokalne maksima, a w punktach −1 i 2 — lokalne minima.

Kwadrat funkcji jakiejkolwiek w punkcie, w kt´orym przyjmuje warto´s´c 0 ma swoje

minimum i to nie tylko lokalne. Sta

,

d od razu wynika, ˙ze funkcja g ma w punktach

(ln 2, −1) i (ln 10, 2) lokalne minima — oba skÃladniki maja

,

tam lokalne minima!

Minima te sa

,

wÃla´sciwe, bo w ˙zadnym innym punkcie funkcja g lokalnego minimum

nie ma, gdy˙z jej jedynymi punktami krytycznymi sa

,

te dwa punkty. Zache

,

camy do

zastosowania tej metody w przypadku funkcji f i funkcji h .

Zadania

16. 01

Zbada´c cia

,

gÃlo´s´c odwzorowania f : IR

3

→ IR

2

okre´slonego naste

,

puja

,

co:

f (x, y, z) =

³ xy

1 + z

2

,

x

2

y

2

z

2

x

2

+ y

2

+ z

2

´

, gdy (x, y, z) 6= (0, 0, 0) i f (0, 0, 0) = (0, 0) .

16. 02

∗

Niech f (x, y) = x

y

dla x > 0 i y > 0 . Pokaza´c, ˙ze nie mo˙zna okre´sli´c funkcji

w (0, 0) tak, aby byÃla ona cia

,

gÃla w tym punkcie.

16. 03

Definiujemy funkcje

,

f : IR

2

→ IR za pomoca

,

wzor´ow: f (x, y) =

x

2

y

x

4

+ y

2

, gdy

(x, y) 6= (0, 0) oraz f (0, 0) = 0 . Pokaza´c, ˙ze obcie

,

cie f do dowolnej prostej

przechodza

,

cej przez (0, 0) jest funkcja

,

cia

,

gÃla

,

na tej prostej, mimo ˙ze funkcja f

nie jest cia

,

gÃla w (0, 0) .

16. 04

∗

Zbi´or S = {x ∈ IR

k

:

f (x) = f (x

0

)} nazywamy poziomica

,

(warstwica

,

) prze-

chodza

,

ca

,

przez punkt x

0

funkcji f : IR

k

→ IR . Pokaza´c, ˙ze poziomice funkcji

cia

,

gÃlej sa

,

domknie

,

te w IR

k

.

16. 05

Obliczy´c pochodne cza

,

stkowe funkcji

(a) f (x, y) = e

−x

2

−2xy+4

,

(b) f (x, y) = arctan(

x
y

) ,

(c) f (x, y, z) = e

x

sin y + e

y

sin(2z) + e

z

sin(3x) ,

(d) f (x) = kxk =

v

u

u

t

k

X

i=1

x

2

i

, dla x 6= 0 ,

(e) f (x) = e

−x·x

, dla x ∈ IR

k

, gdzie x · x =

k

X

i=1

x

2

i

.

16. 06

,,Narysowa´c” naste

,

puja

,

ce zbiory (w odpowiedniej przestrzeni, R

2

lub R

3

):

a. A = {(x, y):

|x| − |y| ≤ 1} ,

b. B = {(x, y):

0 < x + y ≤ 1, y ≥ x

2

} ,

c. C = {(x, y):

0 < x + y ≤ 1, y ≥ x

2

+ 1} ,

d. D = {(x, y):

x

2

+ 2x + y

2

− 4y ≥ −1, 9x

2

+ 16y

2

≤ 144} ,

e. E = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + 2y + 3z = 6} ,

35

Funkcje wielu zmiennych

f. F = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + 2y + 3z < 6} ,

g. G = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

= 4z

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

= 9} ,

h. H = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4z

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9} ,

i. I = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

= 4, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9} ,

j. J = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 9} ,

k. K = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, x

2

+ y

2

+ z

2

> 9} ,

l. L = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

< z, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1} ,

m. M = {(x, y, z):

x

2

− y

2

= z, x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 1} ,

n. N = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, x

2

+ y

2

− z

2

≤ 1} ,

o. O = {(x, y, z):

x

2

+ y

2

≤ 4, z

2

− x

2

− y

2

≤ 1} ,

p. P = {(x, y, z):

xy ≤ 0, x

2

+ z

2

≤ 1}

r. R = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z < 3} ,

s. S = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + 2z ≥ 6, x + y + z ≤ 6} ,

t. T = {(x, y, z):

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ −6, x + y + 2z ≥ 6, x + y + z ≤ 6} ,

u. U = {(x, y, z):

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1, x

2

+ y

2

+ z

2

≥ 1} ,

v. V = {(x, y, z):

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1, x

2

+ y

2

+ z

2

> 1} ,

w. W = {(x, y, z):

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1, x

2

+ y

2

+ z

2

= 1} .

16. 07

∗

Wyja´sni´c, kt´ore ze zbior´ow zdefiniowanych w zadaniu 6 sa

,

otwarte, kt´ore domk-

nie

,

te, kt´ore ograniczone, kt´ore zwarte, a kt´ore wypukÃle.

16. 08

∗

Cia

,

gÃlo´s´c normy. Pokaza´c, ˙ze

¯

¯

¯kxk − kyk

¯

¯

¯ ≤ kx − yk .

16. 09

∗

WypukÃlo´s´c normy. Pokaza´c, ˙ze kαx + (1 − α)yk ≤ αkxk + (1 − α)kyk dla

0 ≤ α ≤ 1 . Pokaza´c, ˙ze kule B(x

0

, r) , B(x

0

, r) sa

,

zbiorami wypukÃlymi. Zbi´or

A jest wypukÃly, je´sli ka˙zdy odcinek, kt´orego ko´

nce le˙za

,

w zbiorze A jest zawarty

w A .

16. 10

Znale´z´c kierunek najszybszego wzrostu funkcji f , czyli jej gradient, w punkcie

P dla:

(a) f (x, y) = arctan(

y
x

) , p = (1, −2) ;(b) f (x, y, z) =

p

xy

2

z

3

, p = (2, 2, 2) ;

(c) f (x, y, z) = e

x−y−z

, p = (5, 2, 3) ;(d) f (x, y, z) = x + 2y + 3z , p = (1, 1, 1) .

Uwaga: dla funkcji f zale˙znej od 3 zmiennych:

grad f (p) = ∇f (p) =

¡

∂f
∂x

(p),

∂f
∂y

(p),

∂f

∂z

(p)

¢

, analogicznie w przypadku dwu zmiennych.

16. 11

∗

Pokaza´c, ˙ze ni˙zej zdefiniowana funkcja jest r´o˙zniczkowalna w (0, 0) :

f (x, y) =

(

x

3

+y

3

√

x

2

+y

2

, je˙zeli (x, y) 6= (0, 0);

0,

je˙zeli (x, y) = (0, 0).

36

Funkcje wielu zmiennych

a funkcja

f (x, y) =

(

x

3

+y

3

x

2

+y

2

, je˙zeli (x, y) 6= (0, 0);

0,

je˙zeli (x, y) = (0, 0).

jest cia

,

gÃla w punkcie (0, 0) , ale r´o˙zniczkowalna w tym punkcie nie jest.

16. 12

∗

Pokaza´c, ˙ze funkcja f (x, y) =

3

√

xy nie jest r´o˙zniczkowalna w (0, 0) , chocia˙z

istnieja

,

obie pochodne cza

,

stkowe w tym punkcie.

16. 13

Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich ma

ona lokalne minima, w kt´orych – lokalne maksima, a w kt´orych nie ma lokalnego

ekstremum, je´sli

(a) f (x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

+ 2x + 4y − 6z ;

(b) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y ;

(c) f (x, y, z) = x

3

+ y

2

+ z

2

+ 12xy + 2z ;(d) f (x, y, z) = x +

4y

2

x

+

z

2

y

+

2
z

;

(e) f (x, y, z) = xy

2

z

3

(6 − x − 2y − 3z) ; (f) f (x, y) = 3x

8

+ 3y

8

+ 8x

3

y

3

;

(g) f (x, y) = y

2

+ 3x

2

y − x

3

y ;

(h) f (x, y) = y

2

+ y

4

+ 3x

4

− 4x

3

− 12x

2

;

(i) f (x, y) = x

5

y

7

(13 − x − y) ;

(j) f (x, y) = −x

4

+ y

4

+ 4x

2

y − 2y

2

;

(k) f (x, y) = x

4

− y

4

− 2x

3

− 2xy

2

+ x

2

+ y

2

.

ad (j):

w otoczeniu punktu (0, 0) rozwa˙zy´c zachowanie sie

,

funkcji f na

paraboli y = x

2

.

16. 14

Niech f (x, y, z) =

1
9

·

¡

3(x + y)

3

− 18x

2

− 36xy − 54y

2

− 9z

2

+ 2

¢

.

Znale´z´c punkty krytyczne f , tj. te, w kt´orych

grad f (x, y, z) =

¡

(x + y)

2

− 4x − 4y, (x + y)

2

− 4x − 12y, −2z

¢

jest wektorem zerowym. Wyja´sni´c, w kt´orych z tych punkt´ow funkcja f ma

lokalne minima, w kt´orych lokalne maksima, a w kt´orych nie ma lokalnego ek-

stremum.

16. 15

∗

Niech f (x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y − 2)

2

¢

2

,

g(x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2x

+ y

2

(y + 3)

2

¢

2

.

Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu obu funkcji i wyja´sni´c, w kt´orych punk-

tach funkcje maja

,

lokalne minima, w kt´orych lokalne maksima, a w kt´orych nie

ma lokalnego ekstremum. Wykaza´c, ˙ze funkcje f i g nie sa

,

ograniczone ani z

g´ory ani z doÃlu.

16. 16

Zobaczmy, co sie

,

mo˙ze wydarzy´c w wymiarze wie

,

kszym ni˙z 1 :

(a) Wykaza´c, ˙ze funkcja (1 + e

y

) cos x − ye

y

ma niesko´

nczenie wiele maksim´ow

lokalnych, chocia˙z nie ma ˙zadnego minimum lokalnego.

(b) Niech f (x, y) = 6y

5

+ 15y

4

− 50y

3

− 90y

2

+

1
4

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

2

.

Znale´z´c kresy funkcji f i punkty, w kt´orych funkcja ta ma lokalne ekstrema.

37

Funkcje wielu zmiennych

Mo˙zna skorzysta´c z r´owno´sci:

∂f
∂x

(x, y) = −e

2x

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

i

∂f
∂y

(x, y) = 30y(y + 3)(y + 1)(y − 2) +

+ 2(y + 1)(y + 2)(y + 3)

¡

−e

2x

+ (y + 1)

2

(y + 3)

2

¢

.

16. 17

Znale´z´c kresy funkcji f w pierwszej ´cwiartce, je´sli f (x, y) =

xy

2

4x

2

+y

4

+4

.

16. 18

∗

Niech f (x, y) =

xy

2

−1

4x

2

+y

4

+4

. Znale´z´c kres g´orny i kres dolny warto´sci funkcji

f w pierwszej ´

cwiartce ukÃladu wsp´oÃlrze

,

dnych. Wyja´sni´c, czy funkcja f ma

wewna

,

trz pierwszej ´cwiartki ukÃladu wsp´oÃlrze

,

dnych lokalne ekstrema.

Informacja:

∂f
∂x

=

(y

2

+2x)(y

4

−2xy

2

+4)

(4x

2

+y

4

+4)

2

,

∂f
∂x

=

2y(y

2

+2x)(2x

2

+2−xy

2

)

(4x

2

+y

4

+4)

2

.

16. 19

∗

Niech p, q, r ∈ R

2

oznaczaja

,

trzy niewsp´

oÃlliniowe punkty. Niech f (x) =

kx − pk + kx − qk + +kx − rk dla x ∈ R

2

, tzn. f (x) jest suma

,

odlegÃlo´sci

punktu x od danych punkt´ow p, q, r . Wykaza´c, ˙ze je´sli f (x

0

) jest najmniejsza

,

warto´scia

,

funkcji f : R

2

−→ [0, ∞) , to albo x

0

jest jednym z punkt´ow p, q, r ,

albo ka

,

ty mie

,

dzy wektorami −−−→

x − p, −−−→

x − q, −−−→

x − r sa

,

r´owne

2π

3

.

16. 20

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji f , f (x, y, z) = (3x+2y +z)e

−(6x+5y+3z)

,

na zbiorze E = {(x, y, z):

x > 0, y > 0, z > 0} .

16. 21

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji f , f (x, y, z) = (3x+2y +z)e

−(6x+5y+3z)

,

na zbiorze E = {(x, y, z):

x > 0, y > 0, z > 0} .

16. 22

Niech f (x, y) = x

2

y

5

(8 − x − y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gra-

dientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma. Znale´z´c

sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 10} .

16. 23

Niech f (x, y) = x

6

y

5

(12 − x − y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma. Znale´z´c

sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 10}

i

sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 12} .

16. 24

Niech f (x, y) = x

4

y

2

(7 − 4x − 2y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma.

Znale´z´c sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1} ,

inf{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1}

i sup{f (x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 2} .

16. 25

Niech f (x, y) = x

3

y

2

(6 − x − 6y) . Znale´z´c wszystkie punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i wyja´sni´c, w kt´orych z nich funkcja f ma lokalne ekstrema

38

Funkcje wielu zmiennych

i jakiego typu, a w kt´orych lokalnych ekstrem´ow ta funkcja nie ma. Znale´z´c

sup{f (x, y):

0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 2} .

16. 26

Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji x

5

y

7

(13 − x − y) i wyja´sni´c,

w kt´orych z nich ma ona lokalne minima, w kt´orych – lokalne maksima, a

w kt´orych nie ma lokalnego ekstremum. Znale´z´c kresy funkcji f na zbiorze

{(x, y):

|x|, |y| ≤ 10} .

16. 27

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji xy − x − y + 3 , na zbiorze E , je´sli E

jest tr´ojka

,

tem domknie

,

tym o wierzchoÃlkach (0, 0) , (2, 0) , (0, 4) .

16. 28

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji x

2

+ y

2

− xy , na zbiorze

E = {(x, y):

|x| + |y| ≤ 1} .

16. 29

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji xy

2

, na zbiorze

E = {(x, y):

x

2

+ y

2

≤ 3} .

16. 30

Znale´z´c kres dolny i kres g´orny funkcji (1 + x

2

)e

−x

2

−y

2

, na pÃlaszczy´znie R

2

.

16. 31

Niech f (x, y, x) = 3x + 2y − z , g(x, y, x) = 3x + 2y + z , T niech oznacza

czworo´scian o wierzchoÃlkach A = (1, 1, 0) , B = (1, 2, 2) , C = (2, 1, 3) , D =

(3, 2, 4) . Znale´z´c najwie

,

ksza

,

i najmniejsza

,

warto´s´c ka˙zdej z funkcji f, g na

czworo´scianie T . W ilu punktach funkcje f, g przyjmuja

,

warto´sci ekstremalne

na czworo´scianie T .

16. 32

Niech f (x, y, z) = x

4

+ y

5

+ z

6

, g(x, y, z) = 6x

6

+ 4y

4

+ 2z

2

. Mamy

grad f (0, 0, 0) = (0, 0, 0) = grad g(0, 0, 0) .

Kt´ora z funkcji f, g ma w punkcie (0, 0, 0) lokalne ekstremum i dlaczego?

16. 33

Niech h(x, y) = ay(e

x

− 1) + x sin x − cos y . Dla jakich a ∈ R funkcja h ma

lokalne ekstremum w punkcie (0, 0) , a dla jakich lokalnego ekstremum w tym

punkcie nie ma?

Wskaz´owka: Dla pewnego a badanie drugiej r´o˙zniczki mo˙ze nie pozwoli´c na

stwierdzenie, czy w punkcie (0, 0) funkcja ma lokalne ekstremum, czy te˙z nie;

w tym przypadku warto zainteresowa´c sie

,

prosta

,

przechodza

,

ca

,

przez (0, 0) ,

zÃlo˙zona

,

z takich punkt´ow (u, v) , ˙ze

∂

2

h

∂x

2

(0, 0)u

2

+ 2

∂

2

h

∂x∂y

(0, 0)uv +

∂

2

h

∂y

2

(0, 0)v

2

= 0 .

39