Zadania zjazd IV-MM®
1. Określić dziedzinę funkcji oraz podać przedziały monotoniczności tej funkcji:
1
a) f (x) = x3 + 2x2 + x - 2 b) g(x) = -2x3 + x2 + x + 8
2
2
1
c) y(x) = x2 + d) y = (x + 4)e-2x+1 e) y = 4xln8x f) y = (x - 4)ex
x
2. Wyznaczyć ekstrema funkcji
1 3 2x
a). y = x3 - x2 - 4x + 2 b). y = (2 + x)Å"e-2x c). y =
3 2 x2 + 2
1 1
d) y = x3 + x2 - 2x + 6 e) y = (1- x)Å"e5x
3 2
3. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji:
1 1 3
a) y = x3 - x2 - 3x - 3 b) y = - x3 + x2 + 2x + 5 c) y = (x + 6)e-2 x
3 3 2
1 1 1
d) y = x4 - x3 - x + 20 e) y = x Å" ln x2
3 6 2
1
5. Obliczyć wartość wyra\
enia 9,07 , b) 50 , c)
3
65
6. Sprawdzić, czy funkcja posiada asymptotę pozioma lub pionową:
3x - 4x2 + x + 4 3x5 - 4x3 + x + 4
a) y = b) y = c) y =
x + 3 (x -1) Å" (x + 2) (x - 2)5
2
1 1
d) y = Å" e) y = e-2x +1 f) y = -xe-2 x2
Ä„ x2 +1
Odpowiedzi:
zad.1.
1 58
a) x " R, y(-1) = max = -2, y(- ) = min = -
3 27
1 43 1 3
b) x " R, y(- ) = min = 7 , y( ) = max = 8
3 54 2 8
1 1
3
c) x `" 0, y( ) = min = + 2
3 3
2 4
7 1 -1
d) x " R, y(- ) = max = 0,5Å" e8 , e) x " R+ , y( ) = min =
2 8e 2e
56 56
f) x " R, y(2 - ) = max, y(2 + ) = min
4 4
Podane ekstrema jednoznacznie wskazują przedziały monotoniczności - proszę je zapisać.
zad.2.
5 2
a) x " R, y(-1) = max = 7 , y(4) = min = -16
6 3
3 1
b) x " R, y(- ) = max =
2 2e3
c) x " R , y(- 2) = min = - 2, y( 2)) = max = 2
1 5
d) x " R, y(-2) = max = 9 , y(1) = min = 4
3 6
e) x " R , y(0,8) = max = 0, 2e4
zad.3.
a) W punkcie x=1 funkcja ma p. przegięcia , przechodzi z wypukłej na wklęsłą
b) W punkcie x=3/2 funkcja ma p. przegięcia (przechodzi z wklęsłej na wypukłą)
c) W punkcie x=-5 funkcja ma p. przegięcia , przechodzi z wklęsłej na wypukłą
d) Funkcja ma dwa p.p.:x=0 (przechodzi z wklęsłej na wypukłą); x=1/4 , przechodzi z wypukłej
na wklęsłą
e) x " R -{0} , nie ma p.p. .Punkt x=0 nie nale\
y do dziedziny, Dla x<0 f. jest wypukła, dla x>0
jest wklęsła.
zad.5.
7 1 1 1 11
a) 3 b) 7 c) - Å"1 =
600 14 4 3Å"16 48
zad.6.
a)poz. obustr. y=3 ; pion. obustr. x=-3 b) poz. obustr. y=-4; pion. obustr. x=1 oraz x=-2
c)poz. y=3, pion. obustr. x=2 d,e,f) poz. obustr. y=0