Równanie koła (zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej
płaszczyz
nie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła)):
śą x-aźą2�ąśą y-bźą2d"r2
1. Niech U będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, A zbiorem punktów koła
, zaś B zbiorem punktów prostokąta określonego nierównościami 0"ąx"ą3 ,
x2�ą y2d" 4
0"ą y"ą3 . Zaznaczyć na rysunku zbiory: A*" B A)" B U " A .
, ,
śą x , yźą
2. Niech A będzie zbiorem punktów , dla których , B zbiorem punktów
x2�ą y2"ą1
śą x , yźą śąx , yźą
, dla których , C zbiorem punktów , dla których
x2�ą y2"ą4
. Znalez
ć zbiory: A*" B A*"C A*" B*"C A " B .
, , ,
śą x-1źą2�ą y2"ą4
Podstawowe własności potęgowania:
1.
ar�"as=ar �ąs
ar =ar-s , a`"0
2.
as
1
a-r= , a`"0
3.
ar
4.
śąarźąs=ar�"s
5.
śąa�"bźąr=ar�"br
r
a ar ,b`"0
6. =
śą źą
b
br
r
śą źą=ćąa , s`"0
s
r
7. s
a
Własności pierwiastka arytmetycznego:
Jeżeli x , ye"0 n , m"! , to:
,
n n n
1.
xy= x y
ćą ćą ćą
n
n x ćą x
= dla y`"0
2.
n
y
ćą
ćą y
m
1 m
n
n
3.
n n
śą źą
xm=śą x źąm= x = x
ćą ćą
Ćwiczenia:
1. Uzasadnij następujące wzory skróconego mnożenia:
a)
a2-b2=śąa�ąbźąśąa-bźą
b)
a3�ąb3=śąa�ąbźąśąa2-ab�ąb2źą
c)
a3-b3=śąa-bźąśąa2�ąab�ąb2źą
d)
śąa�ąbźą2=a2�ą2 a b�ąb2
e)
śąa-bźą2=a2-2 a b�ąb2
f)
śąa�ąb�ącźą2=a2�ąb2�ąc2�ą2a b�ą2 a c�ą2 b c
g)
a4-b4=śą a-bźąśąa�ąbźąśą a2�ąb2źą
2. Dowiedz
prawdziwości następujących równości:
3 3
3 3
a)
śą a2-ćą ćą ćą ćą
ab�ą b2źąśą a�ą3 bźą=a�ąb
ćą
b) śą śąa�ąbźą-ćą ćą ćą
śą a-bźąźąśą śąa�ąbźą�ą śą a-bźąźą=2 b
ćą
c)
xśą a-bźą2-ćą
x śą a-cźą2�ą xśąb�ącźą2=2 c x
ćą ćą ćą
3. Sprowadzić do możliwie prostej postaci wyrażenia:
-1 -1
1 1
a)
[ ] [ ]
x �ąśą x2-1źą2 �ą x-śą x2-1źą2
1 1
1
3śą x yźąn- yn
yn
�"
b)
2 -2
2
1
9śą x yźąn- yn 3 xn�ą1
śą źą
1-a2
�ą1 śą1-a źą2
ćą
c) 1-a a 1�ąa a
ćą ćą
�ą a -ćą
a
ćą
[ ]
śą źąśą źą
1-ćą ćą
a 1�ą a
d) , aą0 bą0 a`"b
, ,
śąa-1/ 2�ąb-1/ 2źą-2�ąśąa-1/ 2-b-1/ 2źą-2
4. Oblicz wartość wyrażeń używając Excela a następnie potwierdz
odpowiedz
rozwiązując
zadanie samodzielnie:
3
x2-2 x 3-ćą
4�ą3
ćą
3
a) dla
x= 3-ćą
2
ćą
x-ćą
3
3
3 1 2 1
2
ćą
- - -
b=
b) 2 2 3 dla a= ,
3
[ ]
a b śąa b-2źą śą a-1źą
2 2
ćą
5. Usunąć niewymierność z mianownika:
3
1 4
1 1
2
ćą
a) b) c) d) e)
3 3 3
3
1�ą 2�ą 3 2�ą 5�ą2 2�ą 10 2�ą 2�ą 4 5�ą2
ćą ćą ćą ćą ćą ćą ćą 4�ą3 2 ćą
ćą ćą
1
f) , ae"bą0
a�ą a2-b2
ćą ćą
6. Obliczyć wartość liczbową wyrażenia dla x=3 . Zadanie to
2 x�ą 1-2 x�ąx2
ćą
rozwiązano dwoma sposobami:
a)
2 x�ą 1-2 x�ąx2=2 x�ą śą1-xźą2=2 x �ą1-x=1�ąx
ćą ćą
Stąd dla x=3 wartość tego wyrażenia wynosi 4.
b) Dla x=3 mamy
2�"3�ą 1-2�"3�ą9=6�ą 4=8
ćą ćą
Które z rozwiązań jest niepoprawne i dlaczego?
a2�ąśąa-c źą2= a-c
7. Udowodnić, że jeżeli , , , to
a2�ąb2=śąa�ąb-cźą2 b`"c a�ąb`"c
b2�ąśąb-cźą2 b-c