Równanie koła (zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej
płaszczyz
nie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła)):
śą x-aźą2ƒÄ…śą y-bźą2d"r2
1. Niech U będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, A zbiorem punktów koła
, zaś B zbiorem punktów prostokąta określonego nierównościami 0"ąx"ą3 ,
x2ƒÄ… y2d" 4
0"ą y"ą3 . Zaznaczyć na rysunku zbiory: A*" B A)" B U " A .
, ,
śą x , yźą
2. Niech A będzie zbiorem punktów , dla których , B zbiorem punktów
x2ƒÄ… y2"Ä…1
śą x , yźą śąx , yźą
, dla których , C zbiorem punktów , dla których
x2ƒÄ… y2"Ä…4
. Znalez
ć zbiory: A*" B A*"C A*" B*"C A " B .
, , ,
śą x-1źą2ƒÄ… y2"Ä…4
Podstawowe własności potęgowania:
1.
arÅ"as=ar ƒÄ…s
ar =ar-s , a`"0
2.
as
1
a-r= , a`"0
3.
ar
4.
śąarźąs=arÅ"s
5.
śąaÅ"bźąr=arÅ"br
r
a ar ,b`"0
6. =
śą źą
b
br
r
śą źą=ćąa , s`"0
s
r
7. s
a
Własności pierwiastka arytmetycznego:
Jeżeli x , ye"0 n , m"! , to:
,
n n n
1.
xy= x y
ćą ćą ćą
n
n x ćą x
= dla y`"0
2.
n
y
ćą
ćą y
m
1 m
n
n
3.
n n
śą źą
xm=śą x źąm= x = x
ćą ćą
Ćwiczenia:
1. Uzasadnij następujące wzory skróconego mnożenia:
a)
a2-b2=śąaƒÄ…bźąśąa-bźą
b)
a3ƒÄ…b3=śąaƒÄ…bźąśąa2-abƒÄ…b2źą
c)
a3-b3=śąa-bźąśąa2ƒÄ…abƒÄ…b2źą
d)
śąaƒÄ…bźą2=a2ƒÄ…2 a bƒÄ…b2
e)
śąa-bźą2=a2-2 a bƒÄ…b2
f)
śąaƒÄ…bƒÄ…cźą2=a2ƒÄ…b2ƒÄ…c2ƒÄ…2a bƒÄ…2 a cƒÄ…2 b c
g)
a4-b4=śą a-bźąśąaƒÄ…bźąśą a2ƒÄ…b2źą
2. Dowiedz
prawdziwości następujących równości:
3 3
3 3
a)
śą a2-ćą ćą ćą ćą
abƒÄ… b2źąśą aƒÄ…3 bźą=aƒÄ…b
ćą
b) śą śąaƒÄ…bźą-ćą ćą ćą
śą a-bźąźąśą śąaƒÄ…bźąƒÄ… śą a-bźąźą=2 b
ćą
c)
xśą a-bźą2-ćą
x śą a-cźą2ƒÄ… xśąbƒÄ…cźą2=2 c x
ćą ćą ćą
3. Sprowadzić do możliwie prostej postaci wyrażenia:
-1 -1
1 1
a)
[ ] [ ]
x ƒÄ…śą x2-1źą2 ƒÄ… x-śą x2-1źą2
1 1
1
3śą x yźąn- yn
yn
Å"
b)
2 -2
2
1
9śą x yźąn- yn 3 xnƒÄ…1
śą źą
1-a2
ƒÄ…1 śą1-a źą2
ćą
c) 1-a a 1ƒÄ…a a
ćą ćą
ƒÄ… a -ćą
a
ćą
[ ]
śą źąśą źą
1-ćą ćą
a 1ƒÄ… a
d) , aÄ…0 bÄ…0 a`"b
, ,
śąa-1/ 2ƒÄ…b-1/ 2źą-2ƒÄ…śąa-1/ 2-b-1/ 2źą-2
4. Oblicz wartość wyrażeń używając Excela a następnie potwierdz
odpowiedz
rozwiÄ…zujÄ…c
zadanie samodzielnie:
3
x2-2 x 3-ćą
4ƒÄ…3
ćą
3
a) dla
x= 3-ćą
2
ćą
x-ćą
3
3
3 1 2 1
2
ćą
- - -
b=
b) 2 2 3 dla a= ,
3
[ ]
a b śąa b-2źą śą a-1źą
2 2
ćą
5. Usunąć niewymierność z mianownika:
3
1 4
1 1
2
ćą
a) b) c) d) e)
3 3 3
3
1ƒÄ… 2ƒÄ… 3 2ƒÄ… 5ƒÄ…2 2ƒÄ… 10 2ƒÄ… 2ƒÄ… 4 5ƒÄ…2
ćą ćą ćą ćą ćą ćą ćą 4ƒÄ…3 2 ćą
ćą ćą
1
f) , ae"bÄ…0
aƒÄ… a2-b2
ćą ćą
6. Obliczyć wartość liczbową wyrażenia dla x=3 . Zadanie to
2 xƒÄ… 1-2 xƒÄ…x2
ćą
rozwiÄ…zano dwoma sposobami:
a)
2 xƒÄ… 1-2 xƒÄ…x2=2 xƒÄ… śą1-xźą2=2 x ƒÄ…1-x=1ƒÄ…x
ćą ćą
Stąd dla x=3 wartość tego wyrażenia wynosi 4.
b) Dla x=3 mamy
2Å"3ƒÄ… 1-2Å"3ƒÄ…9=6ƒÄ… 4=8
ćą ćą
Które z rozwiązań jest niepoprawne i dlaczego?
a2ƒÄ…śąa-c źą2= a-c
7. Udowodnić, że jeżeli , , , to
a2ƒÄ…b2=śąaƒÄ…b-cźą2 b`"c aƒÄ…b`"c
b2ƒÄ…śąb-cźą2 b-c