Analiza matematyczna 2 Analiza matematyczna 2
II kolokwium, semestr letni 2005/2006 II kolokwium, semestr letni 2005/2006
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
E5 F5
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Na powierzchni
1. Parkanem o długości 20 m ogrodzić możliwie największą trójkątną
5
działkę. Wykorzystać wzór Herona na pole P" trójkąta o obwodzie
z =
x y - y
2p i bokach a, b, c:
znalez
ć punkt leżący najbliżej punktu A = ( 1, 0, 0 ).
P" = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) .
2. Uzasadnić, że równanie
2. Podać liczbę punktów płaszczyzny, w których znajdują się ekstrema
x2 + y2 = ( x2 + y2 - x )2 lokalne funkcji uwikłanych y = y ( x ) określonych warunkiem
3
1
( x2 - 4 )2 + ( y2 - 1 )2 = 1 .
określa w otoczeniu punktu ( x0, y0 ) = ( - , ) funkcję uwikła-
4 4
ną x = x ( y ), która ma w tym punkcie ekstremum lokalne. Określić
3. Zamienić dwoma sposobami całkę podwójną f ( x, y ) dx dy na cał-
+"+"
rodzaj tego ekstremum.
D
ki iterowane, jeśli obszar D jest ograniczony krzywymi o równaniach
Ä„ Ä„
3. Obliczyć cos x sin ( x - 2y ) dx dy, gdzie R = [0, ] × [0, ].
+"+"
2 4
y - x - 2 = 0, y - x2 + 2x - 2 = 0 .
R
4. Obliczyć pole powierzchni danej warunkami
4. Obliczyć masę wydrążonej półkuli o środku leżącym w początku ukła-
du współrzędnych, promieniach wewnętrznym r = 1 i zewnętrznym
z = 2 - x2 - y2 , z d" 1, x e" 0.
R = 2 oraz gęstości objętościowej
Wykonać rysunek.
Å‚ ( x, y, z ) = x2 + y2 + z2 .
Analiza matematyczna 2 Analiza matematyczna 2
II kolokwium, semestr letni 2005/2006 II kolokwium, semestr letni 2005/2006
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
G5 H5
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji
1. Wyznaczyć taki punkt płaszczyzny Ą : x - 3y + 3z = 0, dla którego
suma kwadratów jego odległości od płaszczyzn
f ( x, y ) = x2 - xy + y2
Ä„1 : x + 2y = 4, Ä„2 : x - 2z = 4
przyjmuje wartość minimalną. w punkcie A = ( 1, 1 ) w kierunku wersora nachylonego pod kątem
ą do dodatniej półosi Ox. Dla jakiej wartości ą ta pochodna
2. Uzasadnić, że równanie
przyjmuje wartość najmniejszą?
Ä„
cos x - sin y = x - y +
2
2. Liczbę 27 przedstawić w postaci iloczynu trzech dodatnich czynni-
Ä„
przedstawia w otoczeniu punktu ( x0, y0 ) = ( 0, ) funkcję ków tak, aby ich suma była najmniejsza.
2
uwikłaną y = y ( x ). Obliczyć y ( 0 ) .
3. Obliczyć moment bezwładności względem początku układu współrzę-
dnych jednorodnego obszaru o masie M = 3 określonego warunkami
3. Zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej
1- 4x-x2
2
2y d" x2 + y2 d" 2x, y e" 0 .
dx f ( x, y ) dy.
+" +"
0
x2-5
4. Uzupełnić zapis
Naszkicować obszar całkowania.
z z - x2
3
4. Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami z = xy, dz dx f ( x, y, z ) dy = dy dx f ( x, y, z ) dz.
+" +" +"
+" +" +"
0 - z
- z - x2
x2 + y2 = 1, z = -3. Naszkicować tę bryłę.