Dlaczego nie da się nastroić
pianina?

Jakub Pochrybniak

Co to jest dźwięk?

Dźwięk to drgania mechaniczne przekazywane naszym
uszom za pośrednictwem powietrza. Powietrze w danym
punkcie co chwila rozrzedza się i spręża i te właśnie
zmiany ciśnienia rejestrowane są przez nasze ucho. Jednak
jesteśmy w stanie usłyszeć tylko szybkie zmiany ciśnienia,
nawet drobne, ale szybkie. Statystyczny człowiek słyszy
fale o częstotliwości 16 Hz - 20 kHz.

Falę dźwiękową (w danym punkcie) możemy przedstawić
w postaci wykresu ciśnienia w zależności od czasu, gdzie poziom 'zero' odzwierciedla średnie
ciśnienie. Na tym właśnie polega zapis dźwięku na nośnikach. Np. na płycie kompaktowej
zapisuje się poziom ciśnienia w 44 000 punktach na sekundę.

Brzmienie dźwięku

Tym, co odróżnia dźwięk muzyczny od innych rodzajów dźwięku (szumów, trzasków,
ludzkiej mowy itp.), jest przede wszystkim fakt posiadania charakterystycznej cechy:
wysokości. Dźwięk muzyczny powstaje na skutek drgań źródła dźwięku. Nawet jeśli zmienia
się amplituda tych drgań, ich częstotliwość dla danego dźwięku jest stała. Ona właśnie określa
wysokość dźwięku - im wyższa częstotliwość, tym wyższy dźwięk. Wiemy jednak, że tę samą
prostą melodię jesteśmy w stanie zagrać np. zarówno na trąbce, jak i na fortepianie. Co
sprawia, że dwa instrumenty wydające dźwięk o tej samej wysokości brzmią zupełnie
inaczej? Dlaczego bez problemu jesteśmy w stanie
odróżnić fortepian od trąbki?

Kolejną cechą dźwięku muzycznego jest obwiednia.
Opisuje ona, jak zmienia się natężenie dźwięku w czasie.
Przebieg natężenia dzieli się zazwyczaj na trzy fazy:
narastanie, trwanie i wybrzmiewanie. Obok widać wykres
natężenia w zależności od czasu (czyli obwiednię) dla
fortepianu (linia kolorowa) i skrzypiec (linia czarna).

Dźwięk fortepianu narasta bardzo szybko, maksymalne natężenie trwa dosłownie chwilę
(tyle, co uderzenie młoteczka w strunę), najwięcej czasu zajmuje 'opadanie' dźwięku. Z kolei
w skrzypcach (przy standardowym wydawanym dźwięku) fazy narastania i wybrzmiewania
są zaniedbywalnie krótkie, natomiast między nimi jest - tak długa, jak długo smyczek porusza
strunę - faza trwania o mniej więcej jednostajnym natężeniu. Zauważmy jednak, że
obwiednia, o ile wystarcza do odróżnienia fortepianu od skrzypiec, dla skrzypiec i trąbki
będzie już taka sama, a przecież jakieś różnice między wydobywanymi z tych instrumentów
dźwiękami muszą istnieć, skoro je słyszymy. Tu właśnie pojawia się trzecia cecha dźwięku
muzycznego: barwa. Nią właśnie teraz się zajmiemy.

więcej informacji o tekście:

Jak drga struna fortepianu?

Wiemy, że struny mogą wydawać dźwięki różnej wysokości. Jeśli zwiększymy naprężenie
struny lub zmniejszymy jej długość bądź masę, uzyskamy wyższy dźwięk. Konkretnie:
częstotliwość wydobywanego dźwięku jest odwrotnie proporcjonalna do długości i masy
struny, zaś wprost proporcjonalna do pierwiastka z jej naprężenia. Kiedy młoteczek uderza
strunę, pobudza dwie fale poprzeczne, rozchodzące się w dwie strony. Czoło każdej z nich
najpierw przesuwa się w kierunku mocowania struny, potem odbija od niego, następnie sunie
w drugim kierunku, odbija się od drugiego mocowania i dopiero wtedy wraca do 'punktu
wyjścia'. W efekcie powstaje fala stojąca długości dwukrotnie większej niż długość struny.

Kiedy spojrzymy na drgającą szybko strunę fortepianu czy gitary, zobaczymy rozmyty zarys
przypominający kształtem brzegu 'połówkę' okresu wykresu sinusa.

Okazuje się jednak, że nie jest to prosty sinus. Kiedy pobudzimy strunę, na takie drgania
nałożą się jeszcze takie, jak na kolejnych rysunkach.

a)

b)

c)

d)

Drgania te możemy zasymulować np. na gitarze, przykładając delikatnie w odpowiednich
miejscach struny palec, tworząc w ten sposób węzeł. Dźwięk, który w ten sposób powstaje,
nosi nazwę flażoletu i, z dokładnością do obwiedni, jest bardzo zbliżony do fali sinusoidalnej.
Kiedy węzeł stworzymy w środku struny, jak na rys. a, zabrzmi ona dwa razy wyżej niż
normalnie. Jeśli palec przyłożymy w 1/3 długości struny, jak na rys. b, węzeł powstanie
automatycznie również w 2/3 długości i struna zabrzmi trzy razy wyżej niż normalnie itd. W
ten sposób powstawać będą coraz wyższe dźwięki. Na gitarze efektywnie jesteśmy w stanie
zagrać jeszcze dwa, trzy flażolety, co w żaden sposób nie znaczy, że tylko tyle składowych
wydobywa się podczas normalnego szarpania struny.

Kiedy szarpniemy strunę gitary, do naszego ucha dotrze jednocześnie wiele fal o różnych
częstotliwościach. Najniższa z nich zwana jest tonem podstawowym, wyższe - o
częstotliwościach będących jej wielokrotnościami - alikwotami (wszystkie zaś określane są
mianem składowych harmonicznych). Dla danego dźwięku słyszymy od kilku do dwudziestu
kilku alikwotów, w zależności od wysokości i mocy dźwięku (dla niższych i głośniejszych
więcej). Nie wszystkie składowe harmoniczne brzmią ładnie. Już siódma wyraźnie nie stroi.

Mimo że w ten sposób dochodzi do nas wiele fal, usłyszymy to jako jeden dźwięk. Słyszana
przez nas wysokość będzie równa wysokości tonu podstawowego, który zdecydowanie
dominuje. To, że wiele różnych dźwięków zlewa nam się w jeden nie powinno dziwić. W
organach jeden dźwięk zazwyczaj jest uzyskiwany przez połączenie wielu głosów, czyli
grany jest przez kilka/kilkanaście piszczałek równocześnie (często o wysokościach
różniących się o kwintę lub wielokrotności oktawy).

Wzmocnienie

Struna pobudza do drgania powietrze, w którym jest zawieszona. Ponieważ ma małą
powierzchnię, nie jest w stanie poruszyć zbyt wielkich mas powietrza. Dźwięk instrumentu
złożonego tylko ze struny zamocowanej na końcach byłby bardzo cichy, ledwo słyszalny.
Dlatego w instrumentach strunowych stosuje się tzw. płyty lub pudła rezonansowe, aby
zwiększyć natężenie dźwięku. Przejmują one drgania od struny i przekazują je powietrzu.
Zbudowane są tak, aby niektóre częstotliwości były wzmacniane bardziej, inne mniej.
Dlatego barwa instrumentu w bardzo dużym stopniu zależy od płyty rezonansowej.

W gitarze czy skrzypcach drga cała obudowa, w fortepianie płyta rezonansowa jest oddzielną,
niezależną od obudowy częścią (montowana jest pod ramą, na której są rozciągnięte struny).
Struny przekazują płycie swoje drgania przez specjalny mostek, na którym są rozpięte.

Inne instrumenty

Przykład fortepianu czy gitary dobrze ilustruje ogólną prawdę: dźwięk instrumentu
muzycznego składa się z wielu dźwięków o określonych częstotliwościach, występujących w
różnych proporcjach. To owe proporcje decydują o barwie instrumentu. One sprawiają, że bez
trudu odróżniamy flet od fagotu.

Zazwyczaj jest tak, że ton podstawowy jest najsilniejszy, a kolejne alikwoty coraz słabsze.
Różnice występują np. w dzwonach, w których bardzo silnie potrafi się wybijać trzecia czy
piąta składowa. W niektórych typach piszczałek organowych (zakrytych) niezerowe są
wyłącznie nieparzyste składowe.

Twierdzenie Fouriera

Okazuje się, że każdy dźwięk muzyczny można rozłożyć na proste składowe. Dowodzi tego
twierdzenie matematyczne:
Jeżeli funkcja f jest ciągła i okresowa, to dla dowolnego ε > 0 istnieje wielomian
trygonometryczny P taki, że dla dowolnego x

R zachodzi |P(x) - f(x)| < ε,

to znaczy, że wielomian ten bardzo dobrze przybliża funkcję f.

Dźwięk muzyczny jest falą mniej więcej okresową i też poddaje się temu prawu. Oczywiście
trudno mówić o okresie w momencie, w którym dźwięk opada (jak w przypadku
fortepianu)niemniej jednak zawsze możemy przemnożyć naszą falę przez odwrotność
natężenia i wtedy otrzymamy dźwięk o stałej obwiedni, który będzie już falą okresową. Za
okres przyjmijmy długość fali odpowiadającą słyszanemu przez nas tonowi podstawowemu.
Z twierdzenia Fouriera wiemy, że jesteśmy w stanie rozłożyć to, co słyszymy, na sumy
sinusów i cosinusów o długościach będących wielokrotnościami przyjętej przez nas długości
podstawowej. Chcemy jednak dostać po jednej fali na częstotliwość, nie po dwie. Zauważmy
jednak, że fala wyrażona wzorem a·sinx + b·cosx jest nadal falą sinusoidalną. Mianowicie, ze

wzorów trygonometrycznych mamy: c·sin(x+d) = c·cosd·sinx + c·sind·cosx.
Wystarczy zatem dobrać takie c i d, aby c·cosd = a oraz c·sind = b. Czyli rzeczywiście
możemy rozłożyć falę dźwiękową na szereg fal sinusoidalnych o częstotliwościach będących
wielokrotnością podstawowej, niekiedy przesuniętych w fazie, czego jednak nasze ucho nie
słyszy.

A dlaczego właściwie upieramy się przy tym, by rozbijać dźwięk akurat na fale sinusoidalne,
a nie np. trójkątne czy o kształcie krzywej Gaussa? Okazuje się, że tylko fala sinusoidalna jest
przez nas odbierana jako dźwięk nierozbijalny, atomowy.

Strojenie

Wypada wspomnieć, co to właściwie jest ten cały "fortepian". W dużym skrócie jest to
położone poziomo pudło z kształtu przypominające harfę, w którym są:

•

żeliwna rama,

•

struny rozpięte na ramie, z jednej strony zaczepione, z drugiej nawinięte na kołeczki,
którymi kręcąc zmienia się naciąg struny, a co za tym idzie - wysokość
wydobywanego dźwięku,

•

płyta rezonansowa, która wzmacnia dźwięk,

•

młoteczki, które uderzając w struny, generują dźwięk,

•

klawisze, które wprawiają w ruch młoteczki,

•

pedały, tłumiki i inne rzeczy, którymi nie będziemy się zajmować.

Klawiatura fortepianu wygląda tak:

Klawisze podzielone są na grupy po 12, w tym 7 białych i 5 czarnych. Te grupy zwane są
oktawami. Oktawy mają swoje nazwy. Najniższa (jest to właściwie tylko część oktawy ? trzy
najniższe dźwięki fortepianu) nosi nazwę subkontra i jej dźwięki są oznaczane przez
podwójne podkreślenie. Wyższa oktawa nosi nazwę kontra (dźwięki są podkreślane raz),
następnie są: oktawa wielka (dźwięki pisane wielkimi literami), mała (dźwięki pisane
małymi literami), razkreślna (dźwięki pisane z indeksem 1, np. a

1

) i tak aż do

pięciokreślnej, którą na tradycyjnej klawiaturze reprezentuje tylko jeden dźwięk (c

5

).

A skąd się bierze 'harfowaty' kształt pudła fortepianu? Pamiętamy, że im dłuższa jest struna,
tym niższy dźwięk generuje. Dźwiękowi c

5

odpowiada struna długości 5 cm. Gdyby średnica

i naciąg były identyczne dla wszystkich strun, dźwiękom c

4

, c

3

, c

2

itd. odpowiadałyby struny

długości 10, 20, 40 aż do 640 cm dla C, a dla niższych dźwięków jeszcze więcej. Instrument
prawie siedmiometrowej długości byłby jednak zupełnie niepraktyczny. Na szczęście w
fortepianie wraz ze zmniejszaniem tonu rośnie średnica strun. Ich naciąg też co prawda
delikatnie rośnie, ale jest z nawiązką rekompensowany przez wzrost masy. Struny
odpowiadające niższym dźwiękom owija się drutem miedzianym.

Dodajmy, że struny fortepianu są napięte bardzo mocno. Na każdą przypada od 70 do 150 kg
naciągu (cała rama fortepianu musi wytrzymać nawet ponad 17-25 ton). Jednak do pewnego

stopnia prawdą jest, że tym lepsze basy, im dłuższe struny. Przewaga brzmienia fortepianu
koncertowego nad pianinem bierze się w dużej mierze stąd, że w fortepianie struny basowe są
długie i stosunkowo cienkie.

Klawiszy w fortepianie jest zazwyczaj 88: od najniższego A (z podwójnym podkreśleniem)
do c

5

. Spodziewać by się można, że strun będzie tyle samo, ale tak nie jest. Strun jest prawie

trzy razy więcej, bowiem większości klawiszy odpowiadają po trzy struny, części po dwie,
zaś tylko niewielkiej liczbie po jednej. Zwielokrotnione są struny wiolinowe (te od wysokich
dźwięków), gdyż basowe brzmią od nich mocniej i grający miałby instrument o
niezrównoważonym natężeniu dźwięku.

Stroiciel ma przed sobą dwa zadania: po pierwsze: dostroić różne dźwięki między sobą, aby
ich wzajemne relacje były w jakiś sposób 'dobre'; po drugie: dostroić struny w obrębie
jednego klawisza.

Dudnienie

Przyjrzyjmy się na razie tej drugiej czynności: załóżmy, że mamy zestroić ze sobą dwie
struny w obrębie jednego dźwięku. Konkretnie mamy jedną 'wzorcową' strunę, drugą zaś
mamy dostroić do niej. Wydajemy z obu dźwięk o mniej więcej tym samym natężeniu. Co się
dzieje?

Dla uproszczenia zajmijmy się tylko tonem podstawowym, czyli falą sinusoidalną. Załóżmy,
że jedna struna drga z częstotliwością a, druga - z b (różną od a) oraz że te częstotliwości są
bliskie. Jaki jest efekt?

Ze szkolnych wzorów mamy: sinax + sinbx = 2sin

x

·cos

x.

Gdybyśmy mieli tylko człon sin

x

, byłaby to zwykła fala sinusoidalna (na rysunku

zaznaczona linią ciagłą). Musimy to jednak przemnożyć jeszcze przez 2cos

x

(na rysunku

linia przerywana).

W efekcie dostajemy coś takiego:

Odbieramy to tak, jakbyśmy słyszeli dźwięk o częstotliwości

, ale 'pulsujący' z

częstotliwością a-b (dwa razy większą niż częstotliwość cosinusa we wzorze). Zauważmy, że
im bliższe są częstotliwości a i b, tym wolniejsze jest to 'pulsowanie', a kiedy częstotliwości

się zrównają, ustaje ono zupełnie. Patrząc na to bardziej fizycznie, a mniej 'wzorkowo-
trygonometrycznie': dwie fale o różnych częstotliwościach w pewnych momentach się
wzmacniają, a w innych (gdy są w przeciwnych fazach) - wygaszają. W praktyce rzadko się
udaje wydobyć dwa dźwięki o prawie idealnie równej głośności. Nietrudno sobie jednak
wyobrazić, co się będzie działo, gdy jeden z dźwięków będzie istotnie mocniejszy. Jeśli
mamy fale o różnych amplitudach, np. a

1

i a

2

, to amplituda ich sumy będzie się wahała

między wartościami |a

1

-a

2

| i a

1

+a

2

, zaś częstotliwość sumy też będzie częstotliwością

pośrednią (choć już odrobinę zmienną w czasie).

Wiemy zatem, jak dostrajać struny w obrębie jednego klawisza. Niestety, nawet doskonałe
nastrojenie każdego klawisza z osobna nie wystarczy do tego, by fortepian był nastrojony.
Trzeba jeszcze różne klawisze nastroić względem siebie nawzajem. Fortepian stroi się
wychodząc od jednego, wzorcowego dźwięku (zazwyczaj a

1

, czyli zgodnie z normami

obowiązującymi od kilkuset lat, 440 Hz, chociaż czasem stosuje się inne stroje, zwłaszcza
gdy fortepian dostraja się do orkiestry, która ma zwyczaj grać przy stroju 443 Hz). Do niego
dostraja się następny, do niego kolejny itd. Ponieważ za prawie każdy dźwięk odpowiadają
trzy struny, dwie z nich w czasie strojenia się tłumi.

Uderzamy zatem w dwa klawisze. Jak stwierdzić, czy są one dobrze nastrojone względem
siebie nawzajem? Tutaj przyda nam się wiedza na temat barwy: grając na fortepianie
pojedynczy dźwięk, wywołujemy nie tylko ton podstawowy, ale również alikwoty. Strojenie
polega na wychwyceniu dudnienia odpowiedniej składowej harmonicznej niższego dźwięku z
odpowiednią składową dźwięku wyższego, następnie na takim operowaniu kluczem do
strojenia, aby zmniejszyć częstotliwość tego dudnienia, choć jak się potem okaże,
niekoniecznie do zera.

Interwały

Interwał to odległość między dwoma dźwiękami, czyli różnica ich wysokości (czy innymi
słowy: iloraz częstotliwości). Poszczególne interwały maja swoje nazwy. Oto 12
najmniejszych (dla uproszczenia zakładamy, że wszystkie jako niższy dźwięk mają c, choć
oczywiście wszystkie te interwały mogą się "zaczynać" od dowolnych dźwięków).

dźwięki

nazwa interwału

c - cis

sekunda mała

c - d

sekunda wielka

c - dis

tercja mała

c - e

tercja wielka

c - f

kwarta

c - fis

tryton

c - g

kwinta

c - gis

seksta mała

c - a

seksta wielka

c - b

septyma mała

c - h

septyma wielka

c - c

1

oktawa

W artykule

Harmonia liczb

pisaliśmy, że pitagorejczycy zauważyli, że miłe dla ucha są

interwały pomiędzy dźwiękami, których ilorazy częstotliwości wyrażają się jako stosunki
małych liczb naturalnych, np.:

2 : 1 = oktawa
3 : 2 = kwinta
4 : 3 = kwarta
5 : 3 = seksta wielka
5 : 4 = tercja wielka
6 : 5 = tercja mała.

Interwały o liczniku równym 7 brzmią już fałszywie.

Najłatwiej stroiłoby się pianino za pomocą oktawy. Wystarczyłoby porównywać drugą
składową harmoniczną niższego dźwięku z tonem podstawowym wyższego. Niestety,
wychodząc od jednego dźwięku, bylibyśmy w stanie nastroić w ten sposób sześć, góra siedem
innych. Przyjrzyjmy się zatem kwincie. Uderzając dwa klawisze, porównujemy trzecią
składową niższego dźwięku (oktawa i kwinta) z drugą składową wyższego (oktawa). Są to
alikwoty o 'niskich numerach', więc są dosyć dobrze słyszalne. Gdybyśmy, zaczynając od
jednego dźwięku, szli cały czas w górę, klawiatura szybko by się skończyła. Ale od czego jest
oktawa? Jeśli wyjdziemy za bardzo w górę, możemy 'skoczyć' o oktawę w dół. Praktyka jest
taka, że stroi się dźwięki w obrębie środkowej (razkreślnej) oktawy i jej okolic, a następnie do
nich już oktawami dostraja się resztę klawiatury.

Strojenie ze 'schodzeniem' raz na jakiś czas o oktawę w dół przypomina trochę działanie w
grupie Z

12

. Kwinta to 7 półtonów, oktawa to 12 i są to liczby względnie pierwsze, więc

możemy używając samych kwint nastroić wszystkie dźwięki z oktawy. Wychodząc od
jakiegoś dźwięku, powiedzmy a

1

i przechodząc po wszystkich 12 dźwiękach z zakresu

wybranej oktawy, trafimy z powrotem na a

1

. I tutaj czeka nas przykra niespodzianka - dźwięk,

który otrzymaliśmy, wyraźnie różni się od naszego wyjściowego a

1

. Dlaczego?

Skala temperowana

Na tym muzycy 'zawiesili' się na wiele stuleci. Już w czasach Pitagorasa wyliczono tę
niedokładność (nazywając ją komatem pitagorejskim), ale nie było wtedy praktycznej
potrzeby rozwiązania tej kwestii, bo nie było przecież fortepianów. Problem wypłynął wraz z
pojawieniem się instrumentów o stałym stroju: organów, klawikordów, a później
klawesynów. Radzono sobie z nim strojąc te instrumenty tak, że dało się na nich grać tylko w
niektórych tonacjach. W średniowieczu czy renesansie nie przeszkadzało to zbytnio, ale już w
baroku zaczęło wyraźnie dawać się we znaki.

Pojawiały się różne pomysły rozwiązania, np. skale dźwiękowe, w których na cztery oktawy
przypadało 77 klawiszy (19 na oktawę). Już pitagorejczycy wymyślili skalę, która w oktawie
miała aż 35 dźwięków (patrz

wykres w artykule Harmonia liczb

). Budowano też instrumenty,

które miały pięć klawiatur jedna nad drugą. Oczywiście były one zupełnie niepraktyczne.
Dopiero w pierwszej połowie XVIII wieku pojawił się pomysł temperowania skali.

Ucho ludzkie ma pewną tolerancję na niedoskonałości (to zjawisko jest nazywane
strefowością słuchu) i jeśli dany interwał odrobinę zmniejszymy, nadal będziemy słyszeć ten
interwał, a nie jakiś niedostrojony dwudźwięk.

Zaczęto więc stroić instrumenty, temperując każdą kwintę o dwunastą część komatu
pitagorejskiego. Wtedy, po obejściu dwunastu dźwięków, rzeczywiście trafia się w wyjściowy
dźwięk. Strój równomiernie temperowany polega na tym, że różnica wysokości między
wyższym a niższym dźwiękiem półtonu jest taka sama dla wszystkich półtonów. Skoro
dwanaście półtonów ma się złożyć do oktawy (czyli częstotliwość wynikowa ma być dwa
razy większa od wyjściowej), to iloraz częstotliwości wyższego i niższego dźwięku z

dowolnego półtonu musi być równy

.

I tutaj widzimy powód, dla którego fortepianu nie da się czysto nastroić:

≠ ,

gdzie

to interwał złożony z siedmiu półtonów temperowanych, czyli kwinta

temperowana, a 3/2 to kwinta czysta.

Małe różnice wysokości dźwięków określa się w centach [ct]. Sto centów daje jeden półton,

czyli jeden cent to

. Jeśli zatem mamy dźwięki o częstotliwościach a i b,

to ich różnica wyrażona w centach

jest równa 1200 log

2

.

Tymczasem komat pitagorejski w centach jest równy: 1200 log

2

,

zatem różnica między kwintą czystą i temperowaną to tylko około 2 ct.

Może warto spróbować z innymi interwałami? Spójrzmy na poniższe zestawienie.

liczba półtonów

nazwa interwału

czysty temperowany różnica [ct]

1

sekunda mała

17 : 16

1,059

5

2

sekunda wielka 9 : 8

1,122

4

3

tercja mała

6 : 5

1,189

16

4

tercja wielka

5 : 4

1,260

-14

5

kwarta

4 : 3

1,335

-2

6

tryton

7 : 5

1,414

-17

7

kwinta

3 : 2

1,498

2

8

seksta mała

8 : 5

1,587

14

9

seksta wielka

5 : 3

1,682

-16

10

septyma mała

9 : 5

1,782

18

11

septyma wielka 15 : 8

1,888

-12

12

oktawa

2 : 1

2,000

0

W przypadku kwinty i kwarty (nie licząc oktawy) różnica między interwałem czystym i
temperowanym jest najmniejsza. Oprócz tego przy strojeniu innymi interwałami trudnością

byłoby wychwycenie wysokich alikwotów (np. przy septymie wielkiej trzeba byłoby
porównywać odpowiednio 15. i 8. składową odpowiednich dźwięków, co jest praktycznie
niewykonalne). W praktyce stosuje się albo strojenie kwintami (ze schodzeniem raz na jakiś
czas oktawami w dół), albo schemat 'kwinta w górę - kwarta w dół - kwinta w górę - kwarta w
dół' itd., raz na jakiś czas schodząc w dół o dwie kwarty.

Stroiciel wie, jakiej częstotliwości dudnienia powinien wysłyszeć. Dla oktawy razkreślnej, od
której zaczyna się strojenie, jest to mniej więcej 0,9-1,4 Hz. Dla pewności jednak w trakcie
strojenia co pewien czas sprawdza się, czy brzmią inne interwały, np. tercje. Jeśli nie,
poprawia się strojony właśnie dźwięk i delikatną korektę nanosi również na dźwięki
poprzednie.

Część ludzi nie akceptuje stroju równomiernie temperowanego. Ich zdaniem zubaża to
dźwięk, potęgę i piękno brzmienia interwałów. Tak naprawdę niewiele osób jest w stanie
wysłyszeć różnicę między interwałem czystym a temperowanym. Są to przede wszystkim
muzycy mający do czynienia z instrumentami bezprogowymi, np. skrzypcami lub innymi, na
których można osiągać wszystkie pośrednie częstotliwości. Mają oni bardzo dobrze
wyćwiczony słuch i słyszą niuanse niedostępne dla zwykłego człowieka.

Ucho ludzkie nie słucha do końca matematycznych reguł. Badania wskazują, że większość
ludzi dźwięki wysokie odbiera jako trochę niższe niż by wskazywała ich częstotliwość. Z
drugiej strony, struny też nie do końca poddają się prostemu matematycznemu opisowi. Są
zrobione ze sztywnych kawałków stali. Ta sztywność powoduje, że w najwyższych
dźwiękach wysokie składowe brzmią wyżej niż powinny. Pierwszy z podanych powodów jest
argumentem za rozszerzeniem stroju w wysokiej części klawiatury, drugi - wręcz przeciwnie.
W praktyce niektórzy stroiciele w skrajnych częściach klawiatury odrobinę zwężają strój, inni
rozszerzają, a jeszcze inni stroją zgodnie z równomierną temperacją. Często uzależniają to od
brzmienia konkretnego instrumentu: jeśli jest zbyt matowe, wystarczy nastroić fortepian
trochę szerzej i brzmienie się odrobinę wyostrzy i na odwrót.

Również w obrębie jednego klawisza niektórzy nie stosują idealnie równych wysokości.
Trzeba pamiętać, że w praktyce mamy do czynienia nie z matematycznym, doskonałym
modelem, a z fizycznym instrumentem, ze wszelkimi jego niedokładnościami, z
nieregularnym filcem na młoteczkach itd. Nigdy nie zdarza się, żeby młoteczek pobudził
wszystkie trzy struny idealnie w tym samym momencie. A jeśli zdarzy się wzbudzić dwie fale
o tych samych częstotliwościach, ale w przeciwnych fazach, będą one nawzajem się
wygaszały zamiast wzmacniać, w efekcie czego do płyty rezonansowej zostaną przekazane
drgania bardzo słabe. Właśnie po to, by uniknąć tego problemu, struny w obrębie jednego
klawisza delikatnie się rozstraja, tak by różnice nie przekroczyły jednego centa.

Zatem fortepianu nie da się nastroić czysto, tak by jednocześnie nie było żadnych przykrych
dla ucha dudnień oraz by dało się na nim grać wszystko we wszystkich tonacjach. Jednak
niedoskonałość naszego ucha, jego tolerancja sprawiają, że strój równomiernie temperowany
jest nie tylko wygodny, ale zupełnie zadowalający.

Bibliografia

http://www.daktik.rubikon.pl/Slowniczek/akustyka.htm

http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzwiek_muzyczny

•

Dodaj komentarz

Złota proporcja = złoty środek?

Czingiale (niezweryfikowany), niedziela, 04/10/2009 - 00:21

Zauważmy, że pojawiają się tu stosunki 2/3; 3/5 ; 5/8, które są ilorazami kolejnych wyrazów

ciągu Fibonacciego. Z kolei te ilorazy coraz lepiej przybliżają liczbę złotą

.

Zastanawiam się, jak wyglądałaby skala oparta na proporcjach z tego ciągu lub na liczbie
złotej ;)

•

Odpowiedz

Pitagorejczycy

Czingiale (niezweryfikowany), niedziela, 04/10/2009 - 16:17

Swoją drogą Pitagorejczycy kopnęli w kalendarz, kiedy odkryli, że √2 jest niewymierny, tak

jak

. Chyba skala temperowana by im się nie spodobała. A co dopiero jakby słyszeli o π,

która jest nie tylko niewymierna, ale i przestępna...

Fakt, że liczby wymierne są wyjątkowe. Jest ich "dużo mniej" niż niewymiernych. Chociaż...
jest taki żart:
- Wiesz ile jest liczb niewymiernych?
- Trzy.
Spytaj znajomych o przykład liczby niewymiernej. Zawsze odpowiadają π, e lub √2.

Gdyby kogoś zaciekawiły te problemy, gorąco polecam "Diamenty matemtatyki" Krzysztofa
Ciesielskiego i Zdzisława Pogoda. A z historii matematyki warto przeczytać

Wykłady

Marka

Kordosa. Tych trzech matematyków ma doskonałe zdolności dydaktyczne i kapitalne
poczucie humoru.

•

Odpowiedz

Strojenie tercjami

cichy (niezweryfikowany), niedziela, 03/01/2010 - 20:59

Od wielu lat stroję pianina i bardzo dziękuję autorowi za ten artykuł. W swojej pracy
nauczyłem się wykorzystywać interwał tercji, gdyż tercja wielka, w stroju równomiernie
temperowanym dudni w środkowej oktawie kilkanaście Hz. Szybkość tych dudnień wyraźnie
rośnie od ok. 9 w interwale, a cis1 do 18 Hz oktawę wyżej. Kwinta w tym zakresie dudni
bardzo powoli od 0,75 Hz (a - e1). Dudnienia interwałów przyśpieszają wraz ze wzrostem
częstotliwości i podwajają się co oktawę. Dudnienia tercji są wynikiem kompromisu stroju

równomiernie temperowanego i wyraźnie zakłócają brzmienie akordów. Akordy czyste lepiej
wyrażają emocje w muzyce i, mam nadzieję, nigdy nie odejdą w niepamięć instrumenty
bezprogowe.

•

Odpowiedz

Jak się o czymś pisze

Mikołaj Kuńczyk (niezweryfikowany), piątek, 02/07/2010 - 22:46

Jak się o czymś pisze, to trzeba wiedzieć, o czym się pisze... Zwłaszcza gdy z naszych,
publicznych pieniędzy pobiera się uniwersytecką pensję... A pisze Pan, że "dopiero w
pierwszej połowie XVIII wieku pojawił się pomysł temperowania skali". Informuję Pana, że
pierwsza wzmianka o praktyce temperacji pochodzi z traktatu Gafuriusa ("Practica musica",
1496), w którym autor wspomina, iż w organach kwinty strojone są w taki sposób, że są lekko
pomniejszone, i operację tę nazywa "participatą". Nie mówiąc już o "ojcu" praktyki
temperacji, Guido z Arezzo, Aronie, Vincentinie, Santa Marii, żeby tylko wymienić autorów z
XVI wieku. Lektura do czytania: J.M. Barbour: "Tuning and Temperament - a Historical
Survey", Mineola 2004.

Mikołaj Kuńczyk - absolwent FTiMS PW, akademii muzycznej i konserwatorium paryskiego
Na uniwersytecie nie pracuję, ale za to wiem to, czego Pan nie wie.

•

Odpowiedz

Szanowny Panie

cichy (niezweryfikowany), sobota, 02/10/2010 - 21:01

Szanowny Panie Mikołaju! Miło, że Pan uściślił i podsunął lekturę Autorowi. Może Pan też
napisze artykuł o temperacji. Zawsze miło się czegoś dowiedzieć.

•

Odpowiedz

Szanowny panie

lacrimosa (niezweryfikowany), poniedziałek, 08/11/2010 - 18:47

Szanowny panie Mikołaju Kuńczyk. Wszystkich rozumów-eś Pan czasem nie pozjadał?
Polecam lekturę książeczki pana Kamyczka pt. "Savoir-vivre". Wiedza, nawet najgłębsza, nie
usprawiedliwia obcesowości. Aaaaa i wiem, że Kamyczek był kobietą...

•

Odpowiedz

Znana odpowiedź

Magda (niezweryfikowany), niedziela, 19/06/2011 - 06:34

Odpowiedź, dlaczego nie pracuje Pan na uniwersytecie, nasuwa się sama...
Aż przykro, że i na tym portalu trzeba czytać takie komentarze. Proponuję przenieść się na

www.pudelek.pl

•

Odpowiedz

Ale czemu klawiatura fortepianu wygląda tak jak wygląda??

Anonimowy (niezweryfikowany), poniedziałek, 19/09/2011 - 01:37

Ale czemu klawiatura fortepianu wygląda tak jak wygląda? Jeśli ktoś tu jeszcze zagląda
(może sam autor tego ciekawego artykułu) wytłumaczy, dlaczego klawiatura podzielona jest
na klawisze białe i czarne? Pojęcia półtonu sztucznego i naturalnego tego nie wyjaśniają. Jeśli
dobrze zrozumiałem, to (przy przyjęciu tolerancji stroju temperowanego) nie ma relatywnej
różnicy pomiędzy interwałem np. 'e-f' a np. 'f-fis'. Skąd więc takie rozróżnienie na
klawiaturze? Czy dobrze rozumiem, że gdyby nie wygoda grającego, to można by te
wszystkie klawisze ułożyć w jednym szeregu jako same białe i byłoby to zupełnie właściwe?
Albo np. pogrupować je jako 6+6 (co mogłoby być nawet wygodniejsze)? Zaciekawiło mnie
to, a nie mogę znaleźć uzasadnienia.

•

Odpowiedz

Czarne i białe

Fenrir (niezweryfikowany), wtorek, 01/11/2011 - 03:06

Na mój gust podział na klawisze białe i czarne jest historyczny. Białe klawisze odpowiadają
skali C-dur, czarne uzupełniają tą skalę o brakujące półtony. Na gryfie gitarowym w oktawie
jest 12 półtonów i nie ma żadnego rozróżnienia na białe i czarne - półton to półton.
Moim zdaniem nazewnictwo dźwieków takie, jak się obecnie stosuje - 7 liter alfabetu plus
krzyżyki - trochę miesza i utrudnia początkującemu adeptowi zrozumienie idei. Ale ja się nie
znam. Czasem tylko sobie na gitarce pobrzdąkam.

•

Odpowiedz

Oczywiście

Anonimowy (niezweryfikowany), poniedziałek, 12/12/2011 - 20:54

Oczywiście, że układ klawiszy czarnych i białych jest uwarunkowany historycznie. Okazał się
tak wygodny i łatwy do stosowania, że inne rozłożenie nie miało szans się upowszechnić.
Przypomina mi to historię klawiatury komputera - próbowano układu klawiszy ABCD, ale
maszynistki i sekretarki przyzwyczajone do klawiatury QWERTY wymusiły taki właśnie
układ. A co do nazw nut - to po prostu pierwsze litery alfabetu, albo pierwsze sylaby łacińsiej
piosenki do, re, mi, fa.

•

Odpowiedz

Nazwy dźwięków

Anonimowy (niezweryfikowany), czwartek, 19/01/2012 - 07:28

CDEFGAH to istotnie początek alfabetu. W notacji anglosaskiej H nazywa się B.
Najwyraźniej utwory komponowano na początku w tonacji A-Dur. Nazwy solmizacyjne
wydaje mi się, że pochodzą od Arabów, nie z łaciny.

•

Odpowiedz

Alfabet jest OK

Klezmer (niezweryfikowany), piątek, 16/03/2012 - 22:49

Alfabet się zgadza, jeśli zacząć od A, co odpowiada gamie a-moll naturalnej. I - jeśli się nie
mylę - to tylko w Polsce dźwięk "b" ma nazwę "h".

•

Odpowiedz

Nazwy dzwięków

Marek (niezweryfikowany), wtorek, 14/08/2012 - 17:32

W Polsce i kilku innych krajach północnej Europy (w tym Holandii i sporadycznie w krajach
skandynawskich) dźwięk B ma nazwę H. W pozostałych krajach kultury zachodniej jest
stosowane oznaczenie B, co moim zdaniem wynika z prostej, logicznej i naturalnej kolejności
literowej: A B C D E F G. Gdzieś czytałem (zgubiłem źródło), że oznaczenie H powstało w
dawnych czasach z powodu błędu jakieś niemieckiego kopisty nut. Dokładna tabela oznaczeń
dźwięków w różnych krajach jest tutaj:

http://en.wikipedia.org/wiki/Note

•

Odpowiedz

Co by było gdyby...

Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 10/10/2012 - 17:29

A co byłoby, gdyby klawiaturę fortepianu stworzyć tak, by wyeliminować półtony naturalne?
Dlaczego klawiatura wygląda tak, jak wygląda, a nie jest ułożona kolejno półtonami biały-
czarny-biały-czarny itd.? Spowodowałoby to przesunięcie dźwięków f, g, a, h na klawisze
czarne. Czy takie rozwiązanie nie wydaje się prostsze od systemu równomiernie
temperowanego? Dlaczego półtony naturalne są akurat między 3-4 i 7-8 stopniem? Ta teoria
łamie oczywiście większość zasad muzyki, ale nie jest chyba nieosiągalna.

•

Odpowiedz

Czy skala organów Hammonda

Anonimowy (niezweryfikowany), środa, 06/03/2013 - 12:15

Czy skala organów Hammonda nie jest lepsza od skali temperowanej? Tzn. zawsze mi się
wydawało, że organy Hammonda brzmią przyjemniej.

•

Odpowiedz