1

Witek

Zadanie 1.
Ciąg

, gdzie

, jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wyznacz największą

wartość funkcji

.

Zadanie 2.
W ciągu arytmetycznym o nieparzystej liczbie wyrazów suma wyrazów stojących na
miejscach nieparzystych równa się 44, a suma pozostałych wynosi 33. Znajdź wyraz
środkowy i liczbę wyrazów tego ciągu.
Zadanie 3.
Ciąg

jest geometryczny, a ciągi

i

są arytmetyczne. Oblicz

.

Zadanie 4.
Ciąg

dany jest wzorem

, dla

.



Oblicz sumę

.



Ustalmy

. Dla jakich liczby

są kolejnymi wyrazami ciągu

geometrycznego?

Zadanie 5.
Suma początkowych wyrazów ciągu

dla każdego

określona jest

wzorem

.



Wykaż, że ciąg

jest ciągiem arytmetycznym.



Wykaż, że jeżeli suma początkowych wyrazów ciągu dla każdego
określona jest wzorem

, to ciąg ten nie jest arytmetyczny.



Znajdź takie trzy kolejne wyrazy ciągu

, aby kwadrat środkowego wyrazu

był o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.

Zadanie 6.
W trójkącie dwa boki mają długość 3 cm i 4 cm. Długość trzeciego boku jest większa
od długości dwóch pozostałych boków. Długości wysokości w tym trójkącie są
trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz pole tego trójkąta oraz
długości promieni okręgów: wpisanego w ten trójkąt i opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 7.
Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego o wyrazach
całkowitych jest równy 100. Przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz szósty
otrzymujemy 3 i resztę 2. Oblicz, o ile jest mniejsza suma dwustu początkowych
wyrazów o numerach parzystych od sumy dwustu początkowych wyrazów tego
ciągu o numerach nieparzystych.
Zadanie 8.
Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116. Oblicz pole tego trapezu, jeśli
długości ramienia i podstaw trapezu są (w podanej kolejności) trzema kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego oraz długość odcinka łączącego środki ramion
trapezu wynosi 41.
Zadanie 9.

Udowodnij, że liczba

jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 10.
Udowodnij, że jeżeli cztery liczby dodatnie

i są kolejnymi wyrazami ciągu

geometrycznego, to

.

2

Witek

Zadanie 11.
Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica jest równa .
Największy kąt ma miarę

.



Ile boków ma ten wielokąt?



Ile ma przekątnych?

Zadanie 12.
Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.
Zadanie 13.

Niech

. Oblicz sumę 12 początkowych wyrazów ciągu

.

Zadanie 14.
Kolejne cyfry dodatniej liczby trzycyfrowej tworzą ciąg geometryczny. Suma cyfr
jedności i dziesiątek jest o jeden większa od cyfry setek. Jeżeli od szukanej liczby
odejmiemy liczbę złożoną z tych samych cyfr, lecz napisanych w odwrotnej
kolejności to otrzymamy 495. Znajdź tę liczbę.
Zadanie 15.
Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi
równość

, gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów ciągu.

Zadanie 16.
Ciągi

i

są ciągami geometrycznymi o wyrazach

dodatnich, a ciąg

jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz

.

Zadanie 17.
Ciąg arytmetyczny

jest określony wzorem

dla

.



Sprawdź, którym wyrazem ciągu

jest liczba

.



Wśród pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu są wyrazy będące
liczbami całkowitymi. Oblicz sumę wszystkich tych wyrazów.

Zadanie 18.
Udowodnij, że jeżeli liczby

, gdzie

, tworzą ciąg arytmetyczny i

żadna z nich nie jest zerem, to

Zadanie 19.
Udowodnić, że w dowolnym trójkącie prostokątnym, w którym długości boków
tworzą ciąg arytmetyczny, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy
różnicy ciągu długości jego boków.
Zadanie 20.
Liczby

,

i

tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te

wartości , dla których ciąg ten jest rosnący.
Zadanie 21.
Ciąg arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach
parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa
240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.

3

Witek

Bonus 1.

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa
3, a suma sześcianów wszystkich jego wyrazów jest równa . Oblicz
pierwszy wyraz tego ciągu i jego iloraz.

Bonus 2.
W trójkąt równoboczny o boku długości wpisano koło, w które następnie
wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz
sumę pól wszystkich wpisanych kół.

Bonus 3.
Wyrazy

pewnego nieskończonego ciągu spełniają

warunki

,

. Wiedząc, że

nieskończony ciąg określony wzorem

jest ciągiem

geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu .

Bonus 4.

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

.

Udowodnij, że ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Wyznacz te wartości parametru , dla których istnieje suma wszystkich
wyrazów ciągu . Oblicz tę sumę.
Wyznacz te wartości parametru , dla których ciąg jest malejący.

Bonus 5.
Wyznacz te wartości , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu
geometrycznego