1. Podaj przykład funkcji, której ekstremum nie można wyznaczyć za pomocą twierdzenia Fermata.
f(x) = |x| (jest nie różniczkowalna w pkt x=0, zatem twierdzenie Fermata nie wskaże tego punktu jako
kandydata.
Tw. Fermata: Jeśli funkcja f posiada w punkcie x

0

ϵDf ekstremum lokalne i istnieje f’’(x

0

) to f’(x)=0.

2. Podać przykład funkcji ograniczonej z dołu i rosnącej.
f(x)=2

x

3. Czy funkcja y=|x| jest różnowartościowa? Pokazać graficznie.
Nie jest, bo f(x)=f(-x) .

4. Pokazać zależność między funkcjami: ciągłą, całkowalną i różniczkowalną.
Każda funkcja ciągła jest całkowalna, każda funkcja różniczkowalna jest ciągła (nie zachodzi w drugą
stronę)

5. Przykład granicy gdzie x

0

=0

6. Czy ciąg rosnący i ograniczony może być zbieżny do więcej niż jednego punktu?
Nie, ciąg monotoniczny i ograniczony jest zawsze zbieżny do 1 pkt.
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Każdy ciąg zbieżny posiada dokładnie jeden punkt
skupienia.

7. Podać przykład funkcji która ma nieskończenie wiele ekstremów lokalnych:

8. Czy podciąg ciągu rozbieżnego może być zbieżny? Uzasadnić.
Tak, np. a

n

=(-1)

n

– nie jest zbieżny, ale jeśli wybierzemy tylko elementy jednego znaku, to będzie ciąg stały

(zawsze zbieżny).

9. Czy każda funkcja ciągła jest różniczkowalna? Uzasadnić.
Nie, np. f (x) = |x|.
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x

0

, to jest w nim ciągła. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

10. Charakterystyka parametrów zmiennych losowych.
Wartość oczekiwana (średnia) (EX) – określa poziom zmiennej, wokół której skupia się najwięcej wyników;
dla zmiennej skokowej:

, dla zmiennej ciągłej: EX=

.

Wariancja (Var) – określa rozrzut wartości wokół EX; dla zmiennej skokowej: Var(x)=∑(x

i

-EX)

2

p

i

, dla

zmiennej ciągłej: Var(x)=

.

11. Czy istnieją ciągi mające więcej niż jeden punkt skupienia? Uzasadnić.
Tak, np. a

n

=(-1)

n

, ma dwa pkt skupienia 1 i -1.

12. Rodzaje pochodnych funkcji wielu zmiennych.
Czyste i mieszane.

f. całkowalna

f. ciągła

f.

różniczkowalna

13. Do czego można wykorzystać pochodną jednej zmiennej?
* badanie przebiegu zmienności funkcji (jeśli pierwsza pochodna jest >0 to funkcja jest rosnąca, jest <0 –
funkcja malejąca, gdy =0, w danym punkcie może być ekstremum),
* obliczanie granic funkcji z reguły de L’Hospitala.

14. Rodzaje macierzy.
* kwadratowa (l.wierszy =l.kolumn),
* trójkątna (pod lub nad główną przekątną same zera),
* diagonalna (pod i nad główną przekątną same zera),
* jednostkowa (diagonalna i nagłownej przekątnej same jedynki),
* zerowa (kwadratowa i wypełniona samymi zerami),
* idempotentna (A

2

=A),

* inwolutywna (A

2

=I),

* ortogonalna (A

-1

=A

T

, A

T

*A=I),

* transponowana (zamienione wiersze z kolumnami),
* symetryczna (a

ij

=a

ji

),

* skośno-symetryczna (dla i≠j, a

ij

=-a

ji

)

15. Definicja i własności rzędu macierzy.
Rząd macierzy – maksymalna ilość wierszy/kolumn niezależnych liniowo w macierzy A.
Własności:
* r(A

nxm

)≤min{n,m},

* r(A*B)≤min{r(A),
* r(B)}, r(A

T

)=r(A),

* rząd macierzy zerowej = 0,
* rząd macierzy A jest równy stopniowi największego minora, różnego od zera, istniejącego w macierzy A.

16. Podać metody rozwiązywania układu Cramera. (Cramer: |A|≠0)
* x

i

=

, gdzie A

i

to macierz powstała po zastąpieniu i-tej kolumny w macierzy A, kolumną wyrazów

wolnych
* eliminacji Jordana-Gaussa (za pomocą wyrażeń elementarnych doprowadzić macierz do postaci trójkątnej,
zbadać r(A) i r(Ǎ) [Ǎ-macierz A po dopisaniu kolumny wyrazów wolnych], jeśli r(A)< r(Ǎ) to brak
rozwiązań, jeśli są równe to wprowadzamy n-r parametrów i rozwiązujemy układ począwszy od ostatniego
niezerowego wiersza macierzy trójkątnej.)

17. Twierdzenia o ciągach zbieżnych.
Ciąg stały jest zawsze zbieżny.
Ciąg zbieżny ma dokładnie 1 granicę.
Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
Niech lim an = a i lim bn = b, wówczas lim(an*bn)=a*b, lim(αan+-βbn)= αa+-βb.
Twierdzenie o trzech ciągach: Niech istnieje takie n

0

, że dla każdego n>n

0

an≤bn≤cn i lim an=lim cn=g,

wówczas lim bn=g.

18. Narysuj wykres funkcji która jest JEDNOCZEŚNIE: niemalejąca, nie jest rosnąca, ma asymptotę ukośną
LEWOSTRONNĄ y=x, ma asymptotę poziomą PRAWOSTRONNĄ y=0
(rosnąca do pewnego

momentu, potem

fragment stała

i znowu rosnąca do y=0)

19. Opisać sposoby obliczania rzędu macierzy.
*z definicji – analizując niezależność liniową wektorów (wierszy lub kolumn) w macierzy

*doprowadzając macierz do postaci

r(A)=st(I) (wykorzystując operacje elementarne)

*rząd macierzy równa się stopniowi największego niezerowego minora w macierzy (wykorzystując
własności macierzy)

*Jeżeli |A|≠0 to r(A

nxn

)=n

20. Własności wyznacznika
- jeżeli dwa wiersze w macierzy są równe lub proporcjonalne to |A|=0
- jeżeli w macierzy jest wiersz/kolumna złożona z samych zer to |A|=0
- wyznacznik macierzy trójkątnej = iloczyn elementów na głównej przekątnej
- przestawienie sąsiednich wierszy/kolumn zmienia znak wyznacznika na przeciwny
- jeżeli do wiersza/kolumny dodamy inny wiersz\kolumnę pomnożoną przez dowolną stałą, to wyznacznik
się nie zmienia
- jeżeli wiersz/kolumna w macierzy jest sumą dwóch elementów, to wyznacznik macierzy jest sumą dwóch
wyznaczników
- jeśli przemnożymy wiersz/kolumnę x razy to wyznacznik zwiększa się x razy
- |A|=|A

T

|

21. Scharakteryzować funkcje cyklometryczne.
Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych z dziedzinami ograniczonymi do pewnych
przedziałów:
- f(x)=sin x; f:<-

,

> → <-1,1>; arcsin x f:<-1,1>

<-π/2, π/2>; arcsin x=y↔sin y=x

- f(x)=cos x; f:<0,

> → <-1,1>; arccos x f:<-1,1> <0,π>; arccos x=y ↔ cos y=x

- f(x)=tg x; f:<-

,

> → R; arctg x f:(-∞,∞)

<-π/2, π/2>; arctg x=y ↔ tg y=x

- f(x)=ctg x; f:<0,

> → R; arcctg x f:(-∞,∞) (0,π); arcctg x=y ↔ ctg y=x

22. Dystrybuanta i jej własności.
Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja F określona wzorem F(x)=P(X<x) dla każdego xϵR.
Własności:
- to funkcja niemalejąca i lewostronnie ciągła
- dla każdego a,bϵR P(a<X<b)

-dla każdego aϵR P(X=a) =

- F(-∞)=0, F(∞)=1 (

i

)

23. Twierdzenia o funkcjach całkowalnych wg Riemanna (oznaczonych)
* Jeżeli f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>, a F(x) jest dowolną funkcją pierwotną f to:

(twierdzenie Newtona – Leibnitza)

Funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <a,b>, jeżeli: jest ciągła w tym przedziale lub jest
w nim ograniczona i posiada skończoną liczbę pkt nieciągłości, lub jest w nim monotoniczna i ograniczona.
* Funkcja nieograniczona w przedziale <a,b> jest w nim niecałkowalna w sensie Riemanna.
* Jeżeli f(x) i g(x) są całkowalne wg Riemanna w przedziale <a,b> to:
- αf(x)

βg(x) – jest całkowalna wg Riemanna w przedziale <a,b> ( ) oraz zachodzi wzór:

- ich iloczyn jest całkowalny w tym przedziale
*Jeżeli f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> oraz c∊<(a,b) to:
-

24. Przykład funkcji która nie ma funkcji odwrotnej.
f(x)=|x| (Aby funkcję można było odwrócić musi być wzajemnie jednoznaczna, czyli różnowartościowa i
„na”)

Niech dana będzie funkcja wzajemnie jednoznaczna f:X→Y.
Funkcję f

-1

:Y→X nazywamy funkcją odwrotną do f jeśli:

.

25. Funkcja mająca asymptotę ukośną y=x.

26. Przykład funkcji mająca asymptotę pionową x=0.
f(x)=

27. Czy ciąg rozbieżny może być ograniczony (uzasadnij)?
Tak, bo np. ciągiem rozbieżnym jest a

n

=(-1)

n

bo granica nie istnieje, ale jest on ograniczony, bo jest

jednocześnie ograniczony z góry jedynką i z dołu minus jedynką.

28. Wykorzystanie rzędu macierzy
*sprawdzenie liniowej niezależności układu wektorów (jeżeli rząd równy ilości wektorów to są niezależne)
*określenie liczby rozwiązań układu równań (jeżeli r(A)<r(Ǎ) to brak rozwiązań, jeżeli równe to
rozwiązanie istnieje)

29. Scharakteryzować rozkład normalny.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m i σ

2

>0, jeśli jej gęstość ma postać:

f(x)=

.

Parametry: EX=m, Var(x)= σ

2.

30. Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa.
* zmienna skokowa (dyskretna) – zerojedynkowy, dwumianowy (Bernoullego), Poissona
* zmienna ciągła – jednostajny, normalny (Gaussa)

31. Zmienna losowa i jej rozkład.
Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X:Ω→R, taką, że dla dowolnej liczby rzeczywistej c, zbiór:
A

c

={ω∊Ω;X(ω)<c} należy do zbioru zdarzeń losowych S. Rozkład zmiennej losowej to jej matematyczny

opis; polega na określeniu zbioru wszystkich jej wartości i prawdopodobieństwie pojawienia się tych
wartości.

32. Podać definicję wyznacznika macierzy.
Wyznacznikiem stopnia n nazywamy taką funkcję, która przyporządkowuje każdej macierzy kwadratowej A
pewną liczbę rzeczywistą oznaczoną przez |A| lub detA, spełniającą warunki:
* |A|=∑(-1)

i+j

* a

ij

* M

ij

, dla 0<j<=n, gdzie Mij jest minorem macierzy A;

* A=[a]

[x]

to |A|=a.

33. Scharakteryzować działania na macierzach.
- sumą macierzy A=[a

ij

]

nxm

i B=[b

ij

]

nxm

nazywamy macierz C=[c

ij

]

nxm

, gdzie c

ij

=a

ij

+b

ij

dla każdego i, j.

- iloczynem macierzy A=[a

ij

]

nxm

i B=[b

ij

]

nxm

nazywamy macierz C=[c

ij

]

nxm

, gdzie c

ij

=∑a

kj

*b

ik

dla każdego i, j

(gdy macierze A i B są zgodne)
- mnożenie macierzy przez liczbę

: A=[a

ij

]

nxm

, C=[c

ij

]

nxm

gdzie c

ij

=

a

ij

dla każdego i,j.

34. Podać własności iloczynu macierzy.
- A*B≠B*A (nie jest przemienne)
- łączne (A∙B)∙C=A∙(B∙C)
- rozdzielność mnożenia względem dodawania (A+B)∙C=A∙C+B∙C
- (AB)

T

=B

T

*A

T

- |AB|=|A|*|B|
- IA=AI=A
- α(AB)= (αA)B= A(αB)

35. Podać definicję i własności macierzy odwrotnej.
Macierz B jest odwrotna do macierzy A, jeśli A*B=B*A=I (macierze A-kwadratowe i nieosobliwe)
- |A

-1

|=

- (A

-1

)

-1

=A

- (αA)

-1

=

A

-1

- (AB)

-1

=B

-1

A

-1

- (A

T

)

-1

=(A

-1

)

T

- istnieje co najwyżej jedna macierz odwrotna

36.Opisać procedurę obliczania macierzy odwrotnej.
1- liczymy wyznacznik |A| → macierz musi być nieosobliwa!

2 – tworzymy macierz dopełnień algebraicznych C =

gdzie A

ij

= (-1)

i+j

M

ij

3 – transponujemy macierz C

4 – obliczamy macierz odwrotną: A

-1

=

37. Podać definicję i własności wektorów liniowo niezależnych/zależnych.
Wektory

{

,

są

liniowo

niezależne,

gdy

jedynym

rozwiązaniem

równania

α

1*

+ α

2*

+…+ α

k*

= jest α

1

= α

2

=…= α

k

=0.

Wektory są zależne gdy nie są niezależne (istnieje inne rozwiązanie tego równania).
Własności:
- W zbiorze wektorów liniowo niezależnych nie ma wektora zerowego.
- Dowolny podzbiór zboru liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.
- Zbiór wektorów jest zależny gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

38. Podać treść twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Niech A

mxn

to macierz układu równań.

Układ

równań

ma

co

najmniej

jedno

rozwiązanie



r(A)=r(Ǎ)

[układ

zgodny]

39. Sformułować definicję ciągu liczbowego oraz wymienić sposoby określania ciągów.
Ciąg liczbowy to każda funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. f: N→R

Ciąg można określić:
- podając wartości wszystkich jego elementów
- wzorem jawnym a

n

=… (pozwala określić wartość a

n

w zależności od liczby n)

- wzorem rekurencyjnym a

n+1

=… (pozwala określić a

n

w zależności od wcześniejszych wyrazów ciągu)

40. Sformułować definicję Cauchy’ego granicy ciągu.
Liczba gϵR jest granicą ciągu (a

n

), jeśli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego

ciągu.

41. Podać definicję i przykłady ciągu zbieżnego oraz rozbieżnego.
Ciąg (a

n

) jest zbieżny jeśli posiada granicę skończoną, np. a

n

=1/n

Ciąg (a

n

) jest rozbieżny jeśli nie jest zbieżny, tzn. ma granicę nieskończoną lub jej nie ma, np. a

n

=(-1)

n

42. Wymienić rodzaje wyrażeń nieoznaczonych.
1

∞

, ∞-∞, ∞

0

, 0/0, ∞/∞, 0

0

, 0∙∞

43. Podać definicję i własności liczby Eulera.
Granicę ciągu a

n

=(1+1/n)

n

nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy symbolem e.

własności:
- lim

n->∞

(1+k/n)

n

=e

k

,

- lim

n->∞

(1+k/a

n

)

an

=e

k

(gdy a

n

-> +-∞),

- lim

n->∞

(1+ a

n

)

1/an

=e(gdy a

n

->0)

44. Scharakteryzować podstawowe pojęcia dotyczące funkcji.
Funkcją f:X→Y nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiorze Y, które każdemu elementowi x∊X
przyporządkowuje dokładnie jeden element y∊Y.
Zbiór X - dziedzina, zbiór Y - przeciwdziedzina, f(X) - zbiór wartości.

45. Zdefiniować złożenie funkcji.
Niech dane będą funkcje f:X→Y i g:Y→Z.
Złożeniem funkcji f i g nazywamy odwzorowanie h:X->Z, określane wzorem: h(x)=g(f(x)).

46. Podać definicję otoczenia i sąsiedztwa punktu.
Otoczeniem punktu x

0

o promieniu δ>0, nazywamy przedział otwarty (x

0

-δ, x

0

+δ) i oznaczamy symbolem

U.
Sąsiedztwem punktu x

0

o promieniu δ>0, nazywamy zbiór (x

0

-δ, x

0

)

∪( x

0,

x

0

+δ) i oznaczamy symbolem S.

47. Sformułować definicję granicy funkcji w punkcie.
Heinego:
Niech dana będzie funkcja f:X→Y oraz punkt x

0

będący punktem skupienia zbioru X.

Liczba g jest granicą funkcji f:X→Y w punkcie x

0

gdy dla każdego ciągu (x

n

) takiego, że x

n

->x

0

(x

n

∊X,

x

n

≠x

0

), ciąg wartości f(x

n)

dąży do g, przy n->∞.

Cauchy’ego:
Liczba g jest granicą funkcji f:X→Y w punkcie x

0

, gdy dla każdej liczby istnieje liczba

taka

że dla każdego xϵX z nierówności

wynika nierówność

.

48. Sformułować definicję jednostronnej granicy funkcji w punkcie. (Heinego)
Liczba g jest granicą jednostronną funkcji w punkcie x

0

gdy dla każdego ciągu x

n

->x

0

(x

0

<lewostronna[>prawostronna]x

n

), ciąg wartości f(x

n)

dąży do g, przy n->∞.

49. Podać twierdzenia dotyczące granicy funkcji.
* Funkcja f posiada granicę w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy gdy istnieją obie granice jednostronne funkcji

f w punkcie x

0

i są sobie równe.

* o działaniach arytmetycznych na granicach
Jeśli lim f(x)=p, lim g(x)=q, to:
- lim[αf(x)+-βg(x)]= αp+-βq,
- lim(f(x)*g(x))=p*q,
- lim(f(x)/g(x))=p/q (

)

* o trzech funkcjach
Niech funkcje f(x), g(x), h(x) będą określone w pewnym sąsiedztwie S(x

0

,δ). Jeżeli

,

f(x)≤g(x)≤h(x) i lim f=lim h=g, wówczas lim g=g.

50. Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

, jeżeli istnieje granica właściwa funkcji f(x) w punkcie x

0

i jest ona równa

wartości w tym punkcie, tzn.

.

51. Podać definicję pierwszej oraz n-tej pochodnej funkcji. Scharakteryzować działania na pochodnych.
Pochodną funkcji f w punkcie x

0

nazywamy granicę ilorazu różnicowego, określoną wzorem:

f’=

N-tą pochodną funkcji f nazywamy funkcję

, gdzie przez

rozumiemy f(x).

Działania na pochodnych:
- [f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)
- [f(x)∙g(x)]’=f’(x)g(x)+g’(x)f(x)

- [f(x)/(x)g]’=

g(x)≠0

- [c∙f(x)]’=c∙f’(x)
- [f(g(x))]’=f’[g(x)∙g’(x)] jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x.

52. Zdefiniować pojęcia:
- monotoniczność funkcji – funkcja jest monotoniczna jeżeli jest niemalejąca lub nierosnąca,
- ekstremum lokalne – funkcja posiada ekstremum lokalne w x

0

ϵDf jeżeli istnieje pewne sąsiedztwo

S(x

0

,δ)ϵDf pkt x

0

takie, że dla każdego x

∊ tego sąsiedztwa, f(x

0

)

≤minimum

[≥maksimum] f(x),

- ekstremum globalne – w punkcie x

0

ϵDf funkcja ma ekstremum globalne jeśli dla każdego xϵDf,

f(x

0

)≤[≥]f(x).

53. Podać warunki konieczne oraz dostateczne istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej.
konieczne: tw. Fermata: Jeżeli funkcja f posiada w punkcie x

0

ϵDf ekstremum lokalne i istnieje f’(x

0

) to

f’(x

0

)=0.

dostateczne: w znalezionych punktach następuje zmiana znaku pochodnej.

54. Podać definicję oraz własności całki nieoznaczonej.
Całka nieoznaczona funkcji f(X), to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f, oznaczona wzorem

Własności:
1)

=

2)

55. Podać przykład funkcji całkowalnej, której całki nieoznaczonej nie da się wyrazić używając funkcji
elementarnych.
f(x)=sin(x

2

)

56. Zastosowanie całki oznaczonej.
Obliczanie pola pod krzywą

57. Podać treść oraz przykład zastosowania twierdzenia Newtona-Leibniza.
Jeżeli f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>, a F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f to:

. Zastosowanie: obliczanie całek oznaczonych.

58. Własności wartości oczekiwanej i wariancji
1. E(c) = c, Var(c) = 0, gdzie c jest stałą
2. E(c * x) = c*E(x), Var (c * X) = c

2

* Var(X)

3. E(X+Y) = E(X) + E(Y)
4. Var(X + c) = Var(X)
Ponadto jeśli zmienne X Y są niezależne to:
5. E(X*Y) = E(X) * E(Y)
6. Var(X



Y) = Var(X) + Var(Y)

59. Podać przykład z asymptotą poziomą.
f(x) = arctg (x)

60. Narysować wykres funkcji rosnącej w przedziałach (-



, 0] i (0, +



) tak, aby nie była rosnąca w R -

odwołać się do definicji funkcji rosnącej.
f(x)= -1/x, nie jest rosnąca w R bo istnieje takie x1<x2, że f(x1)>f(x2) np. x1=-1, x2=1

61. Czy funkcja y = |x| jest „na”? (funkcja „na”:

)

Tak, bo nie ważne jaki będzie x



R, to i tak zawsze znajdzie się dla niego „odwzorowanie” w Y

62. Definicja macierzy.
Niech N

1

={1, 2, …, n}, N

2

={1, 2, …, m}.

Macierzą o n wierszach i m kolumnach o współczynnikach w zbiorze R nazywamy każdą funkcję A,

która każdej parze (i,j) takiej że i



N

1

, j



N

2

przyporządkowuje pewien element a

ij



R. Tzn. (i,j)  a

ij

dla każdego i



N

1

, j



N

2

. Każda macierz ma swoje wymiary n x m.

63. Rodzaje ciągów:
Ciąg (a

n

) nazywamy:

*rosnącym  dla każdego

n



N a

n

< a

n+1

*malejącym >
*nierosnącym ≥

*niemalejącym ≤
*stałym =
Ciąg (a

n

) nazywamy ograniczonym z dołu jeśli istnieje takie c



R że dla każdego n



N a

n

≥ c.

Ciąg (a

n

) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli: analogicznie a

n

≤ c.

[twierdzenie: ciąg jest ograniczony  jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry]
Każdy ciąg zbieżny posiada dokładnie jeden punkt skupienia; jest nim granica tego ciągu (innymi

słowy: każda granica jest również punktem skupienia).

64. Czy ciąg zbieżny jest stały?
Może być, ale nie musi. Ciąg stały jest zawsze zbieżny, twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

65. Czy każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny?
Nie, tylko jeśli jest monotoniczny i ograniczony jednocześnie. (twierdzenie)

66. Układy równań jednorodnych.
Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru.

67. Podaj przykład granicy gdzie x

0

=0 gdy [0∞]

lim

x->0

(log

1/2

x*x

2

)

68. Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych.
1) Ekstremum lokalne.
Warunek konieczny: Niech funkcja f – różniczkowalna w punkcie

.

Jeżeli f posiada ekstremum lokalne w

punkcie x0, to:

. (

)

2) Warunek dostateczny:

Niech A=

.

Oznaczamy minory główne:
|H

1

|=|a

11

|

|H

2

|=

|H

3

|=

Macierz A nazywamy dodatnio określoną jeśli

Macierz A nazywamy nieujemnie określoną jeśli

Macierz A nazywamy ujemnie określoną jeśli

Macierz A nazywamy niedodatnio określoną jeśli

Jeśli macierz Hessa w punkcie

jest dodatnio określona to w punkcie

ma minimum lokalne.

Jeśli macierz Hessa w punkcie

jest ujemnie określona to w punkcie

ma maksimum lokalne.

Jeśli macierz Hessa w punkcie

jest nieokreślona to nie istnieje ekstremum lokalne.

2) Ekstrema warunkowe
Warunek konieczny:
Funkcja f ma w

ϵD lokalne maksimum (minimum) warunkowe jeśli istnieje pewne sąsiedztwo S(

,δ)

punktu

takie że

Warunek wystarczający:
Warunkiem wystarczającym istnienia maksimum warunkowego jest aby minory główne począwszy od

miały znaki naprzemienne, począwszy od „+”.
Warunkiem wystarczającym istnienia minimum warunkowego jest, aby minory główne począwszy od

były ujemne.

69. Czy istnieją ciągi zbieżne nie będące monotonicznymi? Uzasadnij.
Nie każdy ciąg zbieżny jest monotoniczny, np.

jest zbieżny do zera, ale nie jest monotoniczny.

70. Opisać metody rozwiązywania układów równań Cramera.
Gdy układ Cramera (|A|≠0) to rozwiązaniem jest

, i=1,2,…,n.

Gdy dowolny układ równań (w tym Cramera): metoda eliminacji Jordana-Gaussa.
Doprowadzamy macierz do postaci trójkątnej i obliczamy r(A) i r(Ᾰ). Jeśli r(A)< r(Ᾰ) to brak rozwiązań.
Jeśli r(A)=r(Ᾰ) to liczymy dalej. Wprowadzam parametry jeśli to konieczne i wyznaczam rozwiązanie
począwszy od ostatniego niezerowego wiersza (równania) macierzy trójkątnej.

71. Czy istnieje macierz osobliwa, która po transpozycji staje się nieosobliwa? Uzasadnij.
Nie, ponieważ transpozycja nie zmienia wyznacznika. Jeśli wyznacznik wyjściowej macierzy wynosi zero,
to po transpozycji nadal będzie wynosił zero.