1. Podaj przykład funkcji, której ekstremum nie można wyznaczyć za pomocą twierdzenia Fermata.
f(x) = |x| (jest nie różniczkowalna w pkt x=0, zatem twierdzenie Fermata nie wskaże tego punktu jako kandydata.
Tw. Fermata: Jeśli funkcja f posiada w punkcie x0ϵDf ekstremum lokalne i istnieje f’’(x0) to f’(x)=0.
2. Podać przykład funkcji ograniczonej z dołu i rosnącej.
f(x)=2x
3. Czy funkcja y=|x| jest różnowartościowa? Pokazać graficznie.
Nie jest, bo f(x)=f(-x) .
4. Pokazać zależność między funkcjami: ciągłą, całkowalną i różniczkowalną.
Każda funkcja ciągła jest całkowalna, każda funkcja różniczkowalna jest ciągła (nie zachodzi w drugą stronę)
5. Przykład granicy gdzie x0=0
$$\operatorname{}\frac{\sin x}{x} = 1$$
6. Czy ciąg rosnący i ograniczony może być zbieżny do więcej niż jednego punktu?
Nie, ciąg monotoniczny i ograniczony jest zawsze zbieżny do 1 pkt.
Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Każdy ciąg zbieżny posiada dokładnie jeden punkt skupienia.
7. Podać przykład funkcji która ma nieskończenie wiele ekstremów lokalnych:
f=sinx
8. Czy podciąg ciągu rozbieżnego może być zbieżny? Uzasadnić.
Tak, np. an=(-1)n – nie jest zbieżny, ale jeśli wybierzemy tylko elementy jednego znaku, to będzie ciąg stały (zawsze zbieżny).
9. Czy każda funkcja ciągła jest różniczkowalna? Uzasadnić.
Nie, np. f (x) = |x|.
Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w nim ciągła. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
10. Charakterystyka parametrów zmiennych losowych.
Wartość oczekiwana (średnia) (EX) – określa poziom zmiennej, wokół której skupia się najwięcej wyników; dla zmiennej skokowej: $EX = \sum_{i = 1}^{+ \infty}x_{i}p_{i}$, dla zmiennej ciągłej: EX=∫−∞∞x * f(x)dx.
Wariancja (Var) – określa rozrzut wartości wokół EX; dla zmiennej skokowej: Var(x)=∑(xi-EX)2pi, dla zmiennej ciągłej: Var(x)= ∫−∞∞(x − EX)2 * f(x)dx.
11. Czy istnieją ciągi mające więcej niż jeden punkt skupienia? Uzasadnić.
Tak, np. an=(-1)n, ma dwa pkt skupienia 1 i -1.
12. Rodzaje pochodnych funkcji wielu zmiennych.
Czyste i mieszane.
13. Do czego można wykorzystać pochodną jednej zmiennej?
* badanie przebiegu zmienności funkcji (jeśli pierwsza pochodna jest >0 to funkcja jest rosnąca, jest <0 – funkcja malejąca, gdy =0, w danym punkcie może być ekstremum),
* obliczanie granic funkcji z reguły de L’Hospitala.
14. Rodzaje macierzy.
* kwadratowa (l.wierszy =l.kolumn),
* trójkątna (pod lub nad główną przekątną same zera),
* diagonalna (pod i nad główną przekątną same zera),
* jednostkowa (diagonalna i nagłownej przekątnej same jedynki),
* zerowa (kwadratowa i wypełniona samymi zerami),
* idempotentna (A2=A),
* inwolutywna (A2=I),
* ortogonalna (A-1=AT, AT*A=I),
* transponowana (zamienione wiersze z kolumnami),
* symetryczna (aij=aji),
* skośno-symetryczna (dla i≠j, aij=-aji)
15. Definicja i własności rzędu macierzy.
Rząd macierzy – maksymalna ilość wierszy/kolumn niezależnych liniowo w macierzy A.
Własności:
* r(Anxm)≤min{n,m},
* r(A*B)≤min{r(A),
* r(B)}, r(AT)=r(A),
* rząd macierzy zerowej = 0,
* rząd macierzy A jest równy stopniowi największego minora, różnego od zera, istniejącego w macierzy A.
16. Podać metody rozwiązywania układu Cramera. (Cramer: |A|≠0)
* xi=$\frac{|Ai|}{|A|}$, gdzie Ai to macierz powstała po zastąpieniu i-tej kolumny w macierzy A, kolumną wyrazów wolnych
* eliminacji Jordana-Gaussa (za pomocą wyrażeń elementarnych doprowadzić macierz do postaci trójkątnej, zbadać r(A) i r(Ǎ) [Ǎ-macierz A po dopisaniu kolumny wyrazów wolnych], jeśli r(A)< r(Ǎ) to brak rozwiązań, jeśli są równe to wprowadzamy n-r parametrów i rozwiązujemy układ począwszy od ostatniego niezerowego wiersza macierzy trójkątnej.)
17. Twierdzenia o ciągach zbieżnych.
Ciąg stały jest zawsze zbieżny.
Ciąg zbieżny ma dokładnie 1 granicę.
Ciąg zbieżny jest ograniczony.
Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
Niech lim an = a i lim bn = b, wówczas lim(an*bn)=a*b, lim(αan+-βbn)= αa+-βb.
Twierdzenie o trzech ciągach: Niech istnieje takie n0, że dla każdego n>n0 an≤bn≤cn i lim an=lim cn=g, wówczas lim bn=g.
18. Narysuj wykres funkcji która jest JEDNOCZEŚNIE: niemalejąca, nie jest rosnąca, ma asymptotę ukośną LEWOSTRONNĄ y=x, ma asymptotę poziomą PRAWOSTRONNĄ y=0
(rosnąca do pewnego momentu, potem fragment stała i znowu rosnąca do y=0)
19. Opisać sposoby obliczania rzędu macierzy.
*z definicji – analizując niezależność liniową wektorów (wierszy lub kolumn) w macierzy
*doprowadzając macierz do postaci $\begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ r(A)=st(I) (wykorzystując operacje elementarne)
*rząd macierzy równa się stopniowi największego niezerowego minora w macierzy (wykorzystując własności macierzy)
*Jeżeli |A|≠0 to r(Anxn)=n
20. Własności wyznacznika
- jeżeli dwa wiersze w macierzy są równe lub proporcjonalne to |A|=0
- jeżeli w macierzy jest wiersz/kolumna złożona z samych zer to |A|=0
- wyznacznik macierzy trójkątnej = iloczyn elementów na głównej przekątnej
- przestawienie sąsiednich wierszy/kolumn zmienia znak wyznacznika na przeciwny
- jeżeli do wiersza/kolumny dodamy inny wiersz\kolumnę pomnożoną przez dowolną stałą, to wyznacznik się nie zmienia
- jeżeli wiersz/kolumna w macierzy jest sumą dwóch elementów, to wyznacznik macierzy jest sumą dwóch wyznaczników
- jeśli przemnożymy wiersz/kolumnę x razy to wyznacznik zwiększa się x razy
- |A|=|AT|
21. Scharakteryzować funkcje cyklometryczne.
Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych z dziedzinami ograniczonymi do pewnych przedziałów:
- f(x)=sin x; f:<-$\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$> → <-1,1>; arcsin x f:<-1,1>→<-π/2, π/2>; arcsin x=y↔sin y=x
- f(x)=cos x; f:<0,π> → <-1,1>; arccos x f:<-1,1>→<0,π>; arccos x=y ↔ cos y=x
- f(x)=tg x; f:<-$\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$> → R; arctg x f:(-∞,∞) → <-π/2, π/2>; arctg x=y ↔ tg y=x
- f(x)=ctg x; f:<0,π> → R; arcctg x f:(-∞,∞) →(0,π); arcctg x=y ↔ ctg y=x
22. Dystrybuanta i jej własności.
Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja F określona wzorem F(x)=P(X<x) dla każdego xϵR. Własności:
- to funkcja niemalejąca i lewostronnie ciągła
- dla każdego a,bϵR P(a<X<b)=F(b) − F(a)
-dla każdego aϵR P(X=a) = F(x) − F(a)
- F(-∞)=0, F(∞)=1 (F(x) = 0 i F(x) = 1)
23. Twierdzenia o funkcjach całkowalnych wg Riemanna (oznaczonych)
* Jeżeli f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>, a F(x) jest dowolną funkcją pierwotną f to: ∫abf(x)dx = F(b) − F(a) (twierdzenie Newtona – Leibnitza)
Funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale <a,b>, jeżeli: jest ciągła w tym przedziale lub jest w nim ograniczona i posiada skończoną liczbę pkt nieciągłości, lub jest w nim monotoniczna i ograniczona.
* Funkcja nieograniczona w przedziale <a,b> jest w nim niecałkowalna w sensie Riemanna.
* Jeżeli f(x) i g(x) są całkowalne wg Riemanna w przedziale <a,b> to:
- αf(x) ±βg(x) – jest całkowalna wg Riemanna w przedziale <a,b> (α, β ∈ R) oraz zachodzi wzór: ∫abαf(x) ± βg(x)dx = α∫abf(x)dx ± β∫abg(x)dx
- ich iloczyn jest całkowalny w tym przedziale
*Jeżeli f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> oraz c∊<(a,b) to:
- ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx
24. Przykład funkcji która nie ma funkcji odwrotnej.
f(x)=|x| (Aby funkcję można było odwrócić musi być wzajemnie jednoznaczna, czyli różnowartościowa i „na”)
Niech dana będzie funkcja wzajemnie jednoznaczna f:X→Y.
Funkcję f-1:Y→X nazywamy funkcją odwrotną do f jeśli: ∀x ∈ X∀y ∈ Yy = f(x) ↔ x = f−1(y).
25. Funkcja mająca asymptotę ukośną y=x.
$$f\left( x \right) = \frac{x^{2} + 1}{x}$$
26. Przykład funkcji mająca asymptotę pionową x=0.
f(x)= $\frac{1}{x}$
27. Czy ciąg rozbieżny może być ograniczony (uzasadnij)?
Tak, bo np. ciągiem rozbieżnym jest an=(-1)n bo granica nie istnieje, ale jest on ograniczony, bo jest jednocześnie ograniczony z góry jedynką i z dołu minus jedynką.
28. Wykorzystanie rzędu macierzy
*sprawdzenie liniowej niezależności układu wektorów (jeżeli rząd równy ilości wektorów to są niezależne)
*określenie liczby rozwiązań układu równań (jeżeli r(A)<r(Ǎ) to brak rozwiązań, jeżeli równe to rozwiązanie istnieje)
29. Scharakteryzować rozkład normalny.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami m i σ2>0, jeśli jej gęstość ma postać:
f(x)=$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}*e^{- \frac{{(x - m)}^{2}}{2\sigma^{2}}}$ .
Parametry: EX=m, Var(x)= σ2.
30. Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa.
* zmienna skokowa (dyskretna) – zerojedynkowy, dwumianowy (Bernoullego), Poissona
* zmienna ciągła – jednostajny, normalny (Gaussa)
31. Zmienna losowa i jej rozkład.
Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X:Ω→R, taką, że dla dowolnej liczby rzeczywistej c, zbiór: Ac={ω∊Ω;X(ω)<c} należy do zbioru zdarzeń losowych S. Rozkład zmiennej losowej to jej matematyczny opis; polega na określeniu zbioru wszystkich jej wartości i prawdopodobieństwie pojawienia się tych wartości.
32. Podać definicję wyznacznika macierzy.
Wyznacznikiem stopnia n nazywamy taką funkcję, która przyporządkowuje każdej macierzy kwadratowej A pewną liczbę rzeczywistą oznaczoną przez |A| lub detA, spełniającą warunki:
* |A|=∑(-1)i+j * aij * Mij, dla 0<j<=n, gdzie Mij jest minorem macierzy A;
* A=[a][x] to |A|=a.
33. Scharakteryzować działania na macierzach.
- sumą macierzy A=[aij]nxm i B=[bij]nxm nazywamy macierz C=[cij]nxm, gdzie cij=aij+bij dla każdego i, j.
- iloczynem macierzy A=[aij]nxm i B=[bij]nxm nazywamy macierz C=[cij]nxm, gdzie cij=∑akj*bik dla każdego i, j (gdy macierze A i B są zgodne)
- mnożenie macierzy przez liczbę α: A=[aij]nxm, C=[cij]nxm gdzie cij=αaij dla każdego i,j.
34. Podać własności iloczynu macierzy.
- A*B≠B*A (nie jest przemienne)
- łączne (A∙B)∙C=A∙(B∙C)
- rozdzielność mnożenia względem dodawania (A+B)∙C=A∙C+B∙C
- (AB)T=BT*AT
- |AB|=|A|*|B|
- IA=AI=A
- α(AB)= (αA)B= A(αB)
35. Podać definicję i własności macierzy odwrotnej.
Macierz B jest odwrotna do macierzy A, jeśli A*B=B*A=I (macierze A-kwadratowe i nieosobliwe)
- |A-1|=$\frac{1}{|A|}$
- (A-1)-1=A
- (αA)-1=$\frac{1}{\alpha}*$A-1 α ≠ 0
- (AB)-1=B-1A-1
- (AT)-1=(A-1)T
- istnieje co najwyżej jedna macierz odwrotna
36.Opisać procedurę obliczania macierzy odwrotnej.
1- liczymy wyznacznik |A| → macierz musi być nieosobliwa!
2 – tworzymy macierz dopełnień algebraicznych C = $\begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots & A_{\text{nn}} \\ \end{bmatrix}$gdzie Aij = (-1)i+jMij
3 – transponujemy macierz C
4 – obliczamy macierz odwrotną: A-1=$\frac{1}{|A|}*C^{T}$
37. Podać definicję i własności wektorów liniowo niezależnych/zależnych.
Wektory {$\overset{\overline{}}{x_{1}}$,$\ \overset{\overline{}}{x_{2}},\ \overset{\overline{}}{x_{\ldots}},\ \overset{\overline{}}{x_{k}}\}\ \ $są liniowo niezależne, gdy jedynym rozwiązaniem równania
α1*$\overset{\overline{}}{x_{1}}$+ α2*$\overset{\overline{}}{x_{2}}$+…+ αk*$\overset{\overline{}}{x_{k}}$=$\overset{\overline{}}{0}$ jest α1= α2=…= αk=0. α1, α2, …, αkϵR
Wektory są zależne gdy nie są niezależne (istnieje inne rozwiązanie tego równania).
Własności:
- W zbiorze wektorów liniowo niezależnych nie ma wektora zerowego.
- Dowolny podzbiór zboru liniowo niezależnego jest liniowo niezależny.
- Zbiór wektorów jest zależny gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.
38. Podać treść twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Niech Amxn to macierz układu równań.
Układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie r(A)=r(Ǎ) [układ zgodny]
39. Sformułować definicję ciągu liczbowego oraz wymienić sposoby określania ciągów.
Ciąg liczbowy to każda funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. f: N→R
Ciąg można określić:
- podając wartości wszystkich jego elementów
- wzorem jawnym an=… (pozwala określić wartość an w zależności od liczby n)
- wzorem rekurencyjnym an+1=… (pozwala określić an w zależności od wcześniejszych wyrazów ciągu)
40. Sformułować definicję Cauchy’ego granicy ciągu.
Liczba gϵR jest granicą ciągu (an), jeśli do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.
41. Podać definicję i przykłady ciągu zbieżnego oraz rozbieżnego.
Ciąg (an) jest zbieżny jeśli posiada granicę skończoną, np. an=1/n
Ciąg (an) jest rozbieżny jeśli nie jest zbieżny, tzn. ma granicę nieskończoną lub jej nie ma, np. an=(-1)n
42. Wymienić rodzaje wyrażeń nieoznaczonych.
1∞, ∞-∞, ∞0, 0/0, ∞/∞, 00, 0∙∞
43. Podać definicję i własności liczby Eulera.
Granicę ciągu an=(1+1/n)n nazywamy liczbą Eulera i oznaczamy symbolem e.
własności:
- limn->∞(1+k/n)n=ek,
- limn->∞(1+k/an)an=ek(gdy an -> +-∞),
- limn->∞(1+ an)1/an=e(gdy an->0)
44. Scharakteryzować podstawowe pojęcia dotyczące funkcji.
Funkcją f:X→Y nazywamy odwzorowanie zbioru X w zbiorze Y, które każdemu elementowi x∊X przyporządkowuje dokładnie jeden element y∊Y.
Zbiór X - dziedzina, zbiór Y - przeciwdziedzina, f(X) - zbiór wartości.
45. Zdefiniować złożenie funkcji.
Niech dane będą funkcje f:X→Y i g:Y→Z.
Złożeniem funkcji f i g nazywamy odwzorowanie h:X->Z, określane wzorem: h(x)=g(f(x)).
46. Podać definicję otoczenia i sąsiedztwa punktu.
Otoczeniem punktu x0 o promieniu δ>0, nazywamy przedział otwarty (x0-δ, x0+δ) i oznaczamy symbolem U.
Sąsiedztwem punktu x0 o promieniu δ>0, nazywamy zbiór (x0-δ, x0)∪( x0, x0+δ) i oznaczamy symbolem S.
47. Sformułować definicję granicy funkcji w punkcie.
Heinego:
Niech dana będzie funkcja f:X→Y oraz punkt x0 będący punktem skupienia zbioru X.
Liczba g jest granicą funkcji f:X→Y w punkcie x0 gdy dla każdego ciągu (xn) takiego, że xn->x0 (xn∊X, xn≠x0), ciąg wartości f(xn) dąży do g, przy n->∞.
Cauchy’ego:
Liczba g jest granicą funkcji f:X→Y w punkcie x0, gdy dla każdej liczby ε > 0 istnieje liczba δε > 0 taka że dla każdego xϵX z nierówności 0 < |x−x0| < δε wynika nierówność |f(x)−g| < ε.
48. Sformułować definicję jednostronnej granicy funkcji w punkcie. (Heinego)
Liczba g jest granicą jednostronną funkcji w punkcie x0 gdy dla każdego ciągu xn->x0 (x0<lewostronna[>prawostronna]xn), ciąg wartości f(xn) dąży do g, przy n->∞.
49. Podać twierdzenia dotyczące granicy funkcji.
* Funkcja f posiada granicę w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy istnieją obie granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 i są sobie równe.
* o działaniach arytmetycznych na granicach
Jeśli lim f(x)=p, lim g(x)=q, to:
- lim[αf(x)+-βg(x)]= αp+-βq,
- lim(f(x)*g(x))=p*q,
- lim(f(x)/g(x))=p/q (∀xϵX g(x) ≠ 0 i q ≠ 0)
* o trzech funkcjach
Niech funkcje f(x), g(x), h(x) będą określone w pewnym sąsiedztwie S(x0,δ). Jeżeli ∀xϵS(x0, δ), f(x)≤g(x)≤h(x) i lim f=lim h=g, wówczas lim g=g.
50. Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0, jeżeli istnieje granica właściwa funkcji f(x) w punkcie x0 i jest ona równa wartości w tym punkcie, tzn. f(x) = f(x0).
51. Podać definicję pierwszej oraz n-tej pochodnej funkcji. Scharakteryzować działania na pochodnych.
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę ilorazu różnicowego, określoną wzorem:
f’=$\operatorname{}\frac{f\left( x \right) - f(x0)}{x - x0}$
N-tą pochodną funkcji f nazywamy funkcję f(n)(x)(f(n−1)(x))′, gdzie przez f(0)(x) rozumiemy f(x).
Działania na pochodnych:
- [f(x)±g(x)]’=f’(x)±g’(x)
- [f(x)∙g(x)]’=f’(x)g(x)+g’(x)f(x)
- [f(x)/(x)g]’=$\frac{f^{'}\left( x \right)g(x) - f\left( x \right)g^{'}(x)}{{\lbrack g\left( x \right)\rbrack}^{2}}$ g(x)≠0
- [c∙f(x)]’=c∙f’(x)
- [f(g(x))]’=f’[g(x)∙g’(x)] jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x.
52. Zdefiniować pojęcia:
- monotoniczność funkcji – funkcja jest monotoniczna jeżeli jest niemalejąca lub nierosnąca,
- ekstremum lokalne – funkcja posiada ekstremum lokalne w x0ϵDf jeżeli istnieje pewne sąsiedztwo S(x0,δ)ϵDf pkt x0 takie, że dla każdego x ∊ tego sąsiedztwa, f(x0) ≤minimum [≥maksimum] f(x),
- ekstremum globalne – w punkcie x0ϵDf funkcja ma ekstremum globalne jeśli dla każdego xϵDf, f(x0)≤[≥]f(x).
53. Podać warunki konieczne oraz dostateczne istnienia ekstremum funkcji jednej zmiennej.
konieczne: tw. Fermata: Jeżeli funkcja f posiada w punkcie x0ϵDf ekstremum lokalne i istnieje f’(x0) to f’(x0)=0.
dostateczne: w znalezionych punktach następuje zmiana znaku pochodnej.
54. Podać definicję oraz własności całki nieoznaczonej.
Całka nieoznaczona funkcji f(X), to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f, oznaczona wzorem ∫f(x)dx
Własności:
1) ∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx
2) ∫(a•f(x))dx = a∫f(x)dx
55. Podać przykład funkcji całkowalnej, której całki nieoznaczonej nie da się wyrazić używając funkcji elementarnych.
f(x)=sin(x2)
56. Zastosowanie całki oznaczonej.
Obliczanie pola pod krzywą
57. Podać treść oraz przykład zastosowania twierdzenia Newtona-Leibniza.
Jeżeli f(x) jest ciągła w przedziale <a,b>, a F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f to: ∫abf(x)dx = F(b) − F(a). Zastosowanie: obliczanie całek oznaczonych.
58. Własności wartości oczekiwanej i wariancji
1. E(c) = c, Var(c) = 0, gdzie c jest stałą
2. E(c * x) = c*E(x), Var (c * X) = c2 * Var(X)
3. E(X+Y) = E(X) + E(Y)
4. Var(X + c) = Var(X)
Ponadto jeśli zmienne X Y są niezależne to:
5. E(X*Y) = E(X) * E(Y)
6. Var(X Y) = Var(X) + Var(Y)
59. Podać przykład z asymptotą poziomą.
f(x) = arctg (x)
60. Narysować wykres funkcji rosnącej w przedziałach (- , 0] i (0, + ) tak, aby nie była rosnąca w R - odwołać się do definicji funkcji rosnącej.
f(x)= -1/x, nie jest rosnąca w R bo istnieje takie x1<x2, że f(x1)>f(x2) np. x1=-1, x2=1
61. Czy funkcja y = |x| jest „na”? (funkcja „na”: ∀y ∈ Y∃x ∈ Xf(x) = y)
Tak, bo nie ważne jaki będzie xR, to i tak zawsze znajdzie się dla niego „odwzorowanie” w Y
62. Definicja macierzy.
Niech N1={1, 2, …, n}, N2={1, 2, …, m}.
Macierzą o n wierszach i m kolumnach o współczynnikach w zbiorze R nazywamy każdą funkcję A, która każdej parze (i,j) takiej że i N1, jN2 przyporządkowuje pewien element aij R. Tzn. (i,j) aij dla każdego i N1, j N2. Każda macierz ma swoje wymiary n x m.
63. Rodzaje ciągów:
Ciąg (an) nazywamy:
*rosnącym dla każdego nN an < an+1
*malejącym >
*nierosnącym ≥
*niemalejącym ≤
*stałym =
Ciąg (an) nazywamy ograniczonym z dołu jeśli istnieje takie cR że dla każdego nN an ≥ c.
Ciąg (an) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli: analogicznie an ≤ c.
[twierdzenie: ciąg jest ograniczony jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry]
Każdy ciąg zbieżny posiada dokładnie jeden punkt skupienia; jest nim granica tego ciągu (innymi słowy: każda granica jest również punktem skupienia).
64. Czy ciąg zbieżny jest stały?
Może być, ale nie musi. Ciąg stały jest zawsze zbieżny, twierdzenie odwrotne nie zachodzi.
65. Czy każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny?
Nie, tylko jeśli jest monotoniczny i ograniczony jednocześnie. (twierdzenie)
66. Układy równań jednorodnych.
Układ nazywa się jednorodnym, jeżeli wyrazy wolne są równe zeru.
67. Podaj przykład granicy gdzie x0 =0 gdy [0∞]
limx->0 (log1/2x*x2)
68. Warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych.
1) Ekstremum lokalne.
Warunek konieczny: Niech funkcja f – różniczkowalna w punkcie $\overline{x_{0}}$. Jeżeli f posiada ekstremum lokalne w punkcie x0, to: $\partial f/\partial\overline{x}\ (\overline{x_{0}}) = \overline{0}$. ($\forall_{i = 1,2,\ldots,k}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(\overline{x_{0})} = 0$)
2) Warunek dostateczny:
Niech A=$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{\text{kk}} \\ \end{bmatrix}$.
Oznaczamy minory główne:
|H1|=|a11|
|H2|=$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \right|$
|H3|=$\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{\text{kk}} \\ \end{bmatrix}$
Macierz A nazywamy dodatnio określoną jeśli ∀i = 1, 2, …, k|Hi|>0.
Macierz A nazywamy nieujemnie określoną jeśli ∀i = 1, 2, …, k|Hi|≥0.
Macierz A nazywamy ujemnie określoną jeśli ∀i = 1, 2, …, k( − 1)i|Hi|>0.
Macierz A nazywamy niedodatnio określoną jeśli ∀i = 1, 2, …, k( − 1)i|Hi|≥0.
Jeśli macierz Hessa w punkcie $\overline{x_{0}}$ jest dodatnio określona to w punkcie $\overline{x_{0}}$ ma minimum lokalne.
Jeśli macierz Hessa w punkcie $\overline{x_{0}}$ jest ujemnie określona to w punkcie $\overline{x_{0}}$ ma maksimum lokalne.
Jeśli macierz Hessa w punkcie $\overline{x_{0}}$ jest nieokreślona to nie istnieje ekstremum lokalne.
2) Ekstrema warunkowe
Warunek konieczny:
Funkcja f ma w $\overline{x_{0}}$ϵD lokalne maksimum (minimum) warunkowe jeśli istnieje pewne sąsiedztwo S($\overline{x_{0}}$,δ) punktu $\overline{x_{0}}$ takie że $\forall_{\overline{x} \in S\ \overline{x} \in D}\left( x_{0},\delta \right) \cap A\ f\left( \overline{x_{0}} \right) \geq \left( \leq \right)f\left( \overline{x_{0}} \right).$
Warunek wystarczający:
Warunkiem wystarczającym istnienia maksimum warunkowego jest aby minory główne począwszy od $\overline{H_{3}}$ miały znaki naprzemienne, począwszy od „+”.
Warunkiem wystarczającym istnienia minimum warunkowego jest, aby minory główne począwszy od $\overline{H_{3}}$ były ujemne.
69. Czy istnieją ciągi zbieżne nie będące monotonicznymi? Uzasadnij.
Nie każdy ciąg zbieżny jest monotoniczny, np. ${( - 1)}^{n} \bullet \frac{1}{n}$ jest zbieżny do zera, ale nie jest monotoniczny.
70. Opisać metody rozwiązywania układów równań Cramera.
Gdy układ Cramera (|A|≠0) to rozwiązaniem jest $x_{i} = \frac{{|A}_{i}|}{|A|}$, i=1,2,…,n.
Gdy dowolny układ równań (w tym Cramera): metoda eliminacji Jordana-Gaussa.
Doprowadzamy macierz do postaci trójkątnej i obliczamy r(A) i r(Ᾰ). Jeśli r(A)< r(Ᾰ) to brak rozwiązań. Jeśli r(A)=r(Ᾰ) to liczymy dalej. Wprowadzam parametry jeśli to konieczne i wyznaczam rozwiązanie począwszy od ostatniego niezerowego wiersza (równania) macierzy trójkątnej.
71. Czy istnieje macierz osobliwa, która po transpozycji staje się nieosobliwa? Uzasadnij.
Nie, ponieważ transpozycja nie zmienia wyznacznika. Jeśli wyznacznik wyjściowej macierzy wynosi zero, to po transpozycji nadal będzie wynosił zero.