drowaç po okolicy na chybi∏ trafi∏, to w
koƒcu dotrzecie do oazy; gdy jednak
zgubicie drog´ w przestrzeni kosmicz-
nej, to macie tylko jednà szans´ na trzy,
by powróciç na Ziemi´.)

Oznaczmy szeÊç kierunków trójwy-

miarowego b∏àdzenia losowego zgod-
nie z liczbami na Êcianach kostki: pó∏-
noc = 1, po∏udnie = 2, wschód = 3,
zachód = 4, góra = 5, dó∏ = 6. Nast´pnie
powtarzajmy rzuty kostkà i wykonujmy
odpowiednie ruchy po sieci. W tym
przypadku „powrót do poczàtku” ozna-
cza t´ samà liczb´ jedynek zamiast dwó-
jek, t´ samà liczb´ trójek zamiast czwó-
rek i t´ samà liczb´ piàtek zamiast
szóstek. Prawdopodobieƒstwo, i˝ w koƒ-
cu to si´ zdarzy, jest równe 0.35. Silniej-
szy warunek, ˝e wszystkie szeÊç liczb
wystàpi jednakowo cz´sto, musi wi´c
zachodziç z prawdopodobieƒstwem
mniejszym ni˝ 0.35.

Nawet najprostsze jednowymiarowe

b∏àdzenie losowe ma wiele cech sprzecz-
nych z intuicjà. PrzypuÊçmy, ˝e zdecy-
dowaliÊmy si´ na du˝à liczb´ rzutów
(np. milion) i patrzmy, co przewa˝y –
or∏y czy reszki? W jakich Êrednich prze-
dzia∏ach czasowych mo˝na si´ spodzie-
waç, ˝e or∏y zacznà przewa˝aç liczbo-
wo nad reszkami? Wydawa∏oby si´, ˝e
po up∏ywie po∏owy czasu. W rzeczywi-
stoÊci jest to najmniej prawdopodobne.
Najbardziej prawdopodobne sà nato-
miast proporcje ekstremalne: or∏y przez
ca∏y czas albo w ogóle!

T∏umaczy∏a

Anna Orzechowska

94 Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1998

P

rzed miesiàcem pyta∏em, jak nale-
˝y rozciàç butelk´ Kleina, by uzy-

skaç jednà wst´g´ Möbiusa. A oto od-
powiedê Alana Bennetta, oczywiÊcie
wymodelowana w szkle.

SPRZ¢˚ENIE ZWROTNE

ALAN BENNETT

C

zwarty wymiar to termin, który
dzia∏a na wyobraêni´. Dla jed-
nych jest symbolem abstrakcji

matematycznej lub co najmniej scenerià
z powieÊci fantastycznonaukowej, dla
innych to siedlisko si∏ nadprzyrodzo-
nych. Intelektualistom czwarty wymiar
z pewnoÊcià kojarzy si´ z XX-wieczny-
mi teoriami fizycznymi: szczególnà
i ogólnà teorià wzgl´dnoÊci oraz mode-
lami kosmologicznymi WszechÊwiata.
Ale czy mo˝na sobie w ogóle wyobra-
ziç obiekty czterowymiarowe i badaç
ich cechy? Jak robià to matematycy?
Zdawaç by si´ mog∏o, ˝e do po-
znania czwartego wymiaru po-
trzeba jakiegoÊ szóstego zmys∏u
lub zdolnoÊci paranormalnych.

Gdy tylko pojawi∏a si´ idea

wy˝szych wymiarów, próbowano
ró˝nymi metodami poznaç je i na
ró˝ne sposoby opisaç. Powstawa-
∏y na ich temat artyku∏y naukowe,
publikacje bardziej lub mniej po-
pularne oraz rozmaite powieÊci
i opowiadania. Jednym z najs∏yn-
niejszych takich dzie∏ jest Flatlan-
dia czyli Kraina P∏aszczaków. Po-
wieÊç o wielu wymiarach Edwina A.
Abbotta. Po raz pierwszy ukaza∏a
si´ ona w 1884 roku i data ta przy-
jmowana jest za rok narodzin
P∏aszczaków, hipotetycznych
stworów dwuwymiarowych, któ-
re od razu zacz´to wykorzystywaç
do poglàdowego przedstawienia
k∏opotów ze zrozumieniem natu-
ry wy˝szych wymiarów.

DziÊ ka˝da niemal ksià˝ka czy

artyku∏ próbujàcy przyst´pnie
opisaç obiekty wielowymiarowe
cytuje lub przynajmniej si´ powo-
∏uje na Flatlandi´. Gdy autorzy ró˝-
nych publikacji chcà przedsta-
wiç ide´ czterech wymiarów, zaczynajà
zwykle od ukazania problemów, które
zrozumienie koncepcji trzech wymia-
rów nastr´cza istotom dwuwymiaro-
wym. P∏aszczaki Abbotta bàdê ich „mu-
tacje” rzeczywiÊcie znakomicie si´ do
tego nadajà.

Abbott, jeden z najznamienitszych

teologów swoich czasów i wybitny
znawca literatury, by∏ autorem wielu ce-
nionych rozpraw naukowych, ale nie
one przynios∏y mu s∏aw´, lecz w∏aÊnie ta

zabawnie, z typowo angielskim poczu-
ciem humoru napisana baʃ o Êwiecie
dwuwymiarowym. Jej bohaterem jest
figura geometryczna – Kwadrat za-
mieszkujàcy dwuwymiarowà krain´
wielokàtów rzàdzàcà si´ swoimi prawa-
mi. Jego zabawna opowieÊç i przygody,
które prze˝ywa, przybli˝ajà nam ów
p∏aski Êwiat i pozwalajà go zrozumieç.

O pozycji spo∏ecznej we Flatlandii de-

cyduje liczba boków i regularnoÊç kà-
tów. Na dole drabiny spo∏ecznej znaj-
dujà si´ kobiety, które autor uczyni∏
Odcinkami. Nieco wy˝ej sà Trójkàty

Równoramienne – ˝o∏nierze (lub prze-
st´pcy). Klasa Êrednia sk∏ada si´ z Trój-
kàtów Równobocznych. Kwadraty i Pi´-
ciokàty Foremne to szlachta i specjaliÊci.
Jak si´ mo˝na domyÊliç, im wy˝sza kla-
sa, tym wi´kszà liczb´ boków majà jej
przedstawiciele. Na szczycie tej hierar-
chii stojà kap∏ani – Wielokàty o tak licz-
nych bokach, ˝e praktycznie nie da si´
ich odró˝niç od okr´gów.

Zgodnie z prawami naturalnymi obo-

wiàzujàcymi we Flatlandii dziecko p∏ci

OpowieÊç o wielu wymiarach

FLATLANDIA CZYLI KRAINA P¸ASZCZAKÓW. POWIEÂå O WIELU
WYMIARACH. Edwin A. Abbott. Gdaƒskie Wydawnictwo OÊwiatowe,
Gdaƒsk 1997.

m´skiej mo˝e mieç o jeden bok wi´cej
od swego ojca, ka˝de zatem nast´pne
pokolenie wznosi si´ w hierarchii spo-
∏ecznej o jeden szczebel wy˝ej. Zdarza-
jà si´ jednak wyjàtki od tej regu∏y, gdy˝
prawo naturalne nie zawsze znajduje
zastosowanie w klasie kupców, a zw∏a-
szcza ˝o∏nierzy. Bywa te˝, ˝e prawo to
wspomagajà gorliwie paƒstwowi leka-
rze, którzy tak potrafià przyciàç lub wy-
d∏u˝yç boki niektórym ˝o∏nierzom, ˝e
awansujà oni do grona uprzywilejowa-
nych Trójkàtów Równobocznych...

Kwadrat szczegó∏owo opisuje co-

dzienne ˝ycie P∏aszczaków i problemy,
z jakimi si´ borykajà. UÊwiadamiamy
sobie, ˝e to, co nam wydaje si´ proste
i oczywiste, wcale nie musi takie byç
z perspektywy dwóch wymiarów. Ma-
my okazj´ uczestniczyç w niewielkim
epizodzie w historii Flatlandii – opisane
ponad sto lat temu rewolucyjne niepo-
koje wydajà si´ nam zadziwiajàco zna-
jome i bliskie. Wszystkie te informacje
sà jednak tylko wst´pem do relacji
z pewnego niezwyk∏ego wydarzenia
w ˝yciu Kwadratu: pojawienia si´ Kuli,
goÊcia z przestrzeni trójwymiarowej.
Ów przybysz opowiada P∏aszczakowi
o bogactwie swojego Êwiata i przera˝o-
nego bohatera zabiera tam si∏à.

Flatlandia doczeka∏a si´ wielu inter-

pretacji. W opisach codziennego ˝ycia
P∏aszczaków uwa˝ny czytelnik z ∏atwo-
Êcià odnajduje rzeczywistoÊç wiktoriaƒ-
skiej Anglii, nic dziwnego wi´c, ˝e wie-
lu dopatrzy si´ w dziele Abbotta
g∏ównie satyry na wspó∏czesne autoro-
wi spo∏eczeƒstwo. Ale ta wciàgajàca fan-
tastyczna historyjka to coÊ wi´cej ni˝
tylko zgrabny pamflet. Autor niepo-
strze˝enie i bezboleÊnie zapoznaje nas
z pewnymi faktami z geometrii p∏asz-
czyzny, i to bynajmniej nie w formie ma-
tematycznej. Stwarza nam okazj´ do

spojrzenia na nasz trójwymiarowy Êwiat
z perspektywy wystraszonego P∏aszcza-
ka. To dzi´ki jego przygodom, a tak˝e
snom mo˝emy z powodzeniem wyobra-
ziç sobie, jak mog∏oby wyglàdaç nasze
˝ycie w przestrzeniach wielowymiaro-
wych (Kwadrat drobiazgowo analizuje

swój sen o Êwiecie Liniowców – istot
mieszkajàcych na prostej).

Logiczna konstrukcja powieÊci – Êci-

s∏e przestrzeganie przyj´tych za∏o˝eƒ
i precyzja wyciàganych wniosków –
zdradzajà niezwyk∏à zdolnoÊç autora
do dedukcji, mimo ˝e w zasadzie nic nie
wiemy o jego wykszta∏ceniu matema-
tycznym. Abbott sugeruje, ˝e choç ˝y-
jemy w Êwiecie trójwymiarowym, to za
pomocà analogii mo˝emy badaç w∏a-
snoÊci obiektów czterowymiarowych,
chocia˝ nigdy nie b´dzie nam dane zo-
baczyç ich w pe∏nej okaza∏oÊci. Podob-
nie mo˝na by w´drowaç po Êwiatach
majàcych wi´cej wymiarów...

Flatlandià Abbotta interesujà si´

przede wszystkim matematycy i mi∏o-
Ênicy wielowymiarowoÊci, mimo ˝e tak

naprawd´ nie ma w niej matematyki,
przynajmniej nie takiej, z jakà zwykle
mamy do czynienia: formu∏, twierdzeƒ
i dowodów. Matematyk´ dostrzec jed-
nak mo˝na w precyzyjnym rozumowa-
niu i logicznej konstrukcji, a tak˝e
w przebiegu akcji; przyj´∏a ona we Fla-

tlandii form´ utajonà, wyczuwalna jest
instynktownie. Dlatego te˝ ksià˝ka Ab-
botta powinna zostaç goràco przyj´ta
przez tych wszystkich, który bez bicia
si´ przyznajà, ˝e „zawsze mieli k∏opoty
z matematykà”.

Dobrze si´ sta∏o, ˝e ta klasyczna

wr´cz ju˝ pozycja, wielokrotnie wzna-
wiana i t∏umaczona w ró˝nych krajach,
wreszcie doczeka∏a si´ i polskiego wy-
dania. Ciekawostkà jest przy tym fakt,
˝e udanego przek∏adu dokonali ucznio-
wie przygotowujàcy si´ do matury mi´-
dzynarodowej (IB) z III Liceum Ogól-
nokszta∏càcego w Gdyni; sami te˝ za-
projektowali ok∏adk´. Ich nauczyciel,
Jacek Lech, do∏àczy∏ do przek∏adu Po-
s∏owie zawierajàce dotychczasowe pro-
pozycje opisania Êwiata P∏aszczaków
m.in. przez Martina Gardnera i A. K.
Dewdneya. Jest ono bogato ilustrowa-
ne dowcipnymi rysunkami przedsta-
wiajàcymi P∏aszczaki w ró˝nych zabaw-
nych sytuacjach.

Du˝e brawa nale˝à si´ te˝ Gdaƒskie-

mu Wydawnictwu OÊwiatowemu, któ-
re nie przestraszy∏o si´ ryzyka i twór-
czo patronowa∏o temu przedsi´wzi´ciu.
Zyski z ksià˝ki edytor postanowi∏ prze-
kazaç na wyposa˝enie pracowni mate-
matycznej w tej szkole. Tak oto dzie∏o
Abbotta w jeszcze inny sposób przyczy-
nia si´ do edukacji – nie tylko matema-
tycznej – m∏odych ludzi.

Zdzis∏aw Pogoda

Â

WIAT

N

AUKI

Czerwiec 1998 95

RECENZJE I KOMENTARZE

P∏aszczak w berecie wed∏ug koncepcji Dewdneya spotyka ˝ab´ Gardnera.

JACEK LECH i

AGNIESZKA ˚ELEWSKA; za zgodà GWO

JACEK LECH i

AGNIESZKA ˚ELEWSKA; za zgodà GWO

Gdyby P∏aszczak mia∏ uk∏ad pokarmowy podobny do naszego,

to pies móg∏by wyprowadzaç na spacer swego pana.