1

WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W BELKACH

STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH

Dotychczas analizowano przypadki statycznie wyznaczalne – tzn. liczba

niewiadomych odpowiadała liczbie równań. W takim przypadku oprócz

równań

statyki

należy wykorzystać warunki wynikające z

odkształceń

.

Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek

statycznie niewyznaczalnych określa się metodą

Clebscha

.

Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek

statycznie niewyznaczalnych metodą

superpozycji

z wykorzystaniem tablic

wytrzymałościowych.


Przykład. Belka statycznie niewyznaczalna obciążona jest jak na rysunku. Oblicz

reakcje podpór. Wykonać wykresy siły tnącej i momentu gnącego.

Dane: E=2.1*10

5

MPa, I=1.3*10

-8

m

4

, M=1 kNm, q=1 kN/m, a=1 m

q

A

a

B

C

M

a

2

q

a

B

C

R

B

M

a

R

A

A

R

C

Równania równowagi

1.

0

=

−

+

+

=

∑

qa

R

R

R

P

C

B

A

iy

2.

0

2

2

2

=

−

+

−

−

=

∑

M

a

q

a

R

a

R

M

C

B

iA

Warunki brzegowe
WB1.

gdy

x

y

=

⇒

=

0

0

WB2.

gdy

x

a

y

=

⇒

=

0

WB3.

gdy

x

a

y

=

⇒

=

2

0

3

Metoda sił i momentów określona w poszczególnych przedziałach

równanie osi ugiętej

( )

EJ

x

Mg

dx

y

d

=

2

2

Należy dodać i odjąć obciążenie ciągłe tak aby była zgodność w przedziałach.

q

a

B

C

R

B

M

a

R

A

A

R

C

Równanie momentu gnącego
Dla

a

x

≤

≤

0

( )

2

2

x

q

x

R

x

Mg

A

−

=

Dla

a

x

a

2

≤

≤

( )

2

)

(

)

(

2

2

2

a

x

q

a

x

R

M

x

q

x

R

x

Mg

B

A

−

+

−

+

−

−

=

Metoda Clebscha

q

a

B

C

R

B

M

a

R

A

A

R

C

3.

( )

2

2

0

1

2

2

)

(

)

(

)

(

2

a

x

q

a

x

R

a

x

M

x

q

x

R

x

Mg

B

A

−

+

−

+

−

−

−

=

4.

2

3

2

1

3

2

6

)

(

2

)

(

)

(

6

2

a

x

q

a

x

R

a

x

M

x

q

x

R

C

dx

dy

EJ

B

A

−

+

−

+

−

−

−

+

=

4

5.

2

4

3

2

1

4

3

24

)

(

6

)

(

2

)

(

24

6

a

x

q

a

x

R

a

x

M

x

q

x

R

Cx

D

EJy

B

A

−

+

−

+

−

−

−

+

+

=

Z WB1 i R5 otrzymamy

0

24

0

6

0

0

0

1

4

3

=

⇒

−

+

+

=

D

q

R

C

D

A

Z WB2 i R5 otrzymamy

6

24

24

6

0

2

3

1

4

3

a

R

a

q

C

a

q

a

R

Ca

D

A

A

−

=

⇒

−

+

+

=

Z WB3 i R5 otrzymamy R6

2

4

3

2

1

4

3

2

3

24

6

2

24

16

6

8

2

6

24

0

a

q

a

R

a

M

a

q

a

R

a

a

R

a

q

B

A

A

+

+

−

−

+













−

=

0

2

24

2

6

8

6

16

24

2

6

24

4

3

3

4

2

3

4

=

−

+

−

+

+

+

q

a

R

a

R

a

q

a

M

a

R

a

q

a

A

A

B

6.

0

1

2

1

6

13

24

2

=

+

+

−

M

R a

R a

qa

A

B

Z R1, R2 i R6 otrzymamy

R

A

= −

0 063

.

kN

R

B

=

0 625

.

kN

R

C

=

0437 kN

5

Metoda superpozycji

q

A

a

B

C

R

B

M

a

Ugięcie belki w punkcie B wynosi y

B

=0.

P

rzemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym punkcie od sił q,

M, i R

B

co zapisujemy następująco:

y

y

y

y

B

B

M

B

R

B

q

B

=

+

+

Przyjmujemy siłę (reakcję) hiperstatyczną przyłożoną w miejscu podpory B.

A

a

B

C

R

B

a

Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 4













−

=

=

2

2

3

2

/

4

3

24

l

x

EI

Pl

y

l

x

wykorzystując tę zależność

gdzie:

l

x

a

l

R

P

B

=

=

=

,

2

,

ze znakiem „-„ ze względu na kierunek obciązenia

EI

a

R

a

a

EI

a

R

y

B

B

a

x

6

4

4

3

24

8

3

2

2

3

−

=













−

−

=

=

6

Przyjmujemy obciążenie od momentu M przyłożonego w miejscu podpory B.

A

C

M

B

Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 6 kolumna y

C

- ugięcia













−

−

=

=

3

1

3

2

2

2

2

/

l

a

l

a

EI

Kla

y

l

x

gdzie:

a

l

a

a

M

K

2

,

,

=

=

=

0

3

1

6

1

2

1

2

3

1

4

3

2

2

2

2

2

2

2

2

/

=













−

−

=













−

−

=

=

EI

a

M

a

a

a

a

EI

a

M

y

l

x

Przyjmujemy obciążenie od sił q przyłożonego w miejscu podpory B.

q

A

B

C

Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 5 kolumna y

C

- ugięcia













+

−

=

=

2

2

3

2

/

2

3

2

7

2

12

l

b

l

b

EI

l

qb

y

l

x

gdzie:

a

l

a

b

2

,

=

=

EI

a

EI

a

q

EI

a

q

a

a

a

a

EI

a

q

y

l

x

4

4

4

2

2

4

2

/

48

5

8

5

12

2

8

3

4

7

2

12

2

4

2

3

2

2

7

2

12

2

=

⋅

=













+

−

=













+

−

=

=

Przypomnijmy, że przemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym
punkcie od sił q, M, i R

B

co zapisujemy następująco:

y

y

y

y

B

B

M

B

R

B

q

B

=

+

+

0

=

M

B

y

,

EJ

a

R

y

B

R

B

B

3

6

1

−

=

,

EJ

qa

y

q

B

4

48

5

=

więc

y

R a

EJ

qa

EJ

B

B

= −

+

=

0

1

6

5

48

0

3

4

7

stąd

R

qa

EJ

EJ

a

qa

B

=

=

=

5

48

6

1

5

8

0 625

4

3

.

kN

8

9

10

11