1
WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W BELKACH
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Dotychczas analizowano przypadki statycznie wyznaczalne – tzn. liczba
niewiadomych odpowiadała liczbie równań. W takim przypadku oprócz
równań
statyki
naleŜy wykorzystać warunki wynikające z
odkształceń
.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych określa się metodą
Clebscha
.
Zadania z zakresu wyznaczanie reakcji podpór oraz osi ugięcia belek
statycznie niewyznaczalnych metodą
superpozycji
z wykorzystaniem tablic
wytrzymałościowych.
Przykład. Belka statycznie niewyznaczalna obciąŜona jest jak na rysunku. Oblicz
reakcje podpór. Wykonać wykresy siły tnącej i momentu gnącego.
Dane: E=2.1*10
5
MPa, I=1.3*10
-8
m
4
, M=1 kNm, q=1 kN/m, a=1 m
q
A
a
B
C
M
a
3
Metoda sił i momentów określona w poszczególnych przedziałach
równanie osi ugiętej
( )
EJ
x
Mg
dx
y
d
=
2
2
NaleŜy dodać i odjąć obciąŜenie ciągłe tak aby była zgodność w przedziałach.
q
a
B
C
R
B
M
a
R
A
A
R
C
Równanie momentu gnącego
Dla
a
x
≤
≤
0
( )
2
2
x
q
x
R
x
Mg
A
−
=
Dla
a
x
a
2
≤
≤
( )
2
)
(
)
(
2
2
2
a
x
q
a
x
R
M
x
q
x
R
x
Mg
B
A
−
+
−
+
−
−
=
Metoda Clebscha
q
a
B
C
R
B
M
a
R
A
A
R
C
3.
( )
2
2
0
1
2
2
)
(
)
(
)
(
2
a
x
q
a
x
R
a
x
M
x
q
x
R
x
Mg
B
A
−
+
−
+
−
−
−
=
4.
2
3
2
1
3
2
6
)
(
2
)
(
)
(
6
2
a
x
q
a
x
R
a
x
M
x
q
x
R
C
dx
dy
EJ
B
A
−
+
−
+
−
−
−
+
=
5
Metoda superpozycji
q
A
a
B
C
R
B
M
a
Ugięcie belki w punkcie B wynosi y
B
=0.
P
rzemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym punkcie od sił q,
M, i R
B
co zapisujemy następująco:
y
y
y
y
B
B
M
B
R
B
q
B
=
+
+
Przyjmujemy siłę (reakcję) hiperstatyczną przyłoŜoną w miejscu podpory B.
A
a
B
C
R
B
a
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 4
−
=
=
2
2
3
2
/
4
3
24
l
x
EI
Pl
y
l
x
wykorzystując tę zaleŜność
gdzie:
l
x
a
l
R
P
B
=
=
=
,
2
,
ze znakiem „-„ ze względu na kierunek obciązenia
EI
a
R
a
a
EI
a
R
y
B
B
a
x
6
4
4
3
24
8
3
2
2
3
−
=
−
−
=
=
6
Przyjmujemy obciąŜenie od momentu M przyłoŜonego w miejscu podpory B.
A
C
M
B
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 6 kolumna y
C
- ugięcia
−
−
=
=
3
1
3
2
2
2
2
/
l
a
l
a
EI
Kla
y
l
x
gdzie:
a
l
a
a
M
K
2
,
,
=
=
=
0
3
1
6
1
2
1
2
3
1
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
/
=
−
−
=
−
−
=
=
EI
a
M
a
a
a
a
EI
a
M
y
l
x
Przyjmujemy obciąŜenie od sił q przyłoŜonego w miejscu podpory B.
q
A
B
C
Na podstawie tablic wytrzymałościowych 7.2. Orłoś pozycja 5 kolumna y
C
- ugięcia
+
−
=
=
2
2
3
2
/
2
3
2
7
2
12
l
b
l
b
EI
l
qb
y
l
x
gdzie:
a
l
a
b
2
,
=
=
EI
a
EI
a
q
EI
a
q
a
a
a
a
EI
a
q
y
l
x
4
4
4
2
2
4
2
/
48
5
8
5
12
2
8
3
4
7
2
12
2
4
2
3
2
2
7
2
12
2
=
⋅
=
+
−
=
+
−
=
=
Przypomnijmy, Ŝe przemieszczenie punktu B jest sumą przemieszczeń belki w tym
punkcie od sił q, M, i R
B
co zapisujemy następująco:
y
y
y
y
B
B
M
B
R
B
q
B
=
+
+
0
=
M
B
y
,
EJ
a
R
y
B
R
B
B
3
6
1
−
=
,
EJ
qa
y
q
B
4
48
5
=
więc
y
R a
EJ
qa
EJ
B
B
= −
+
=
0
1
6
5
48
0
3
4
