1.

P

o

dsta

w

o

w

e

p

o

jia

stat

yst

yzne

Populaj¡

(zbior

owo±i¡

statystyzn¡)

nazyw

am

y

zbiór

elemen

tó

w

p

o

dlega

j¡y

h

badaniu

ze

wzgldu

na

jedn¡

lub

wiele

e

h.

Elemen

tami

p

opulaji

mog¡

b

y¢

osob

y

,

przedmiot

y

alb

o

same

w

arto±i

lizb

o

w

e

p

ewnej

e

h

y

.

Ce

hy

statystyzne

to

wªa±iw

o±i

harakteryzuj¡e

dan¡

p

opulaj.

Ce

hy

staªe

s¡

wsp

ólne

dla

wszystki

h

jednostek

zbioro

w

o±i

(nie

ma

sensu

i

h

bada¢),

a

e

hy

zmienne,

to

wªa±iw

o±i

którymi

ró»ni¡

si

p

o

je-

dynze

jednostki.

Mog¡

to

b

y¢

e

h

y

ilo±io

w

e

(mierzalne,

np.

wzrost

w

m,

wiek

w

lata

h)

i

jak

o±io

w

e

(niemierzalne,

np.

pªe¢,

k

olor

wªosó

w).

Ce

h

y

mierzalne

dzielim

y

na

dyskretne

(sk

ok

o

w

e)

i

i¡

gªe.

T

e

pierwsze

przyjm

uj¡

w

arto±i

zmiena

j¡e

sie

sk

ok

ami

(np.

lizba

studen

tó

w

w

grupie),

a

te

drugie

mog¡

przyjmo

w

a¢

wszystkie

w

arto±i

p

o±rednie

(np.

wiek,

wzrost).

2.

Organizaja

badania

stat

yst

yznego

1.

Przygoto

w

anie

ustalenie

elu,

przedmiotu,

zakresu

i

meto

dy

badania.

2.

Obserw

aja

stat

yst

yzna

ustalenie

w

arto±i

e

h

ilo±io

wy

h

lub

o

dmian

e

h

jak

o±io

wy

h

w

pró-

bie.

Uzyskujem

y

w

ten

sp

osób

materiaª

stat

yst

yzn

y

,

który

jest

zazwyza

j

ob

i¡»on

y

p

ewn

ymi

bªdami

(systemat

yzn

ymi,

zyli

tendenyjn

ymi

p

olega

j¡ymi

na

±wiadom

ym

znieksztaªaniu

rze-

zywisto±i

lub

przypadk

o

wymi,

nieum

y±ln

ymi

wynik

a

j¡ymi

z

nieu

w

agi).

3.

Oprao

w

anie

i

prezen

taja

materiaªu

stat

yst

yznego

grup

o

w

anie,

zyli

wy

o

drbnianie

jednoro

dn

y

h

z±i

(na

przykªad

p

o

dziaª

na

k

obiet

y

i

m»zyzn

dezyduje

o

nim

el

badania)

i

zlizanie

dan

y

h.

Do

prezen

taji

dan

y

h

sªu»¡

szeregi

stat

yst

yzne

(rozdzielzy

punkto

wy

gdy

lizba

w

arian

tó

w

e

h

y

jest

niewielk

a,

rozdzielzy

przedziaªo

wy

gdy

lizba

w

arian

tó

w

jest

du»a,

b¡d¹

e

ha

jest

i¡

gªa),

tablie

stat

yst

yzne

i

wykresy

stat

yst

yzne.

4.

Opis

lub

wniosek

stat

yst

yzn

y

.

Opis

dot

yzy

zbioro

w

o±i

generalnej,

natomiast

wniosk

o

w

anie

ma

miejse,

gdy

badanie

jest

reprezen

tayjne

(p

oprzez

prób

).

Budowa

szer

e

gów.

1.

Ustalenie

lizb

y

klas.

Przyjm

uje

si,

»e

lizba

klas

jest

w

przybli»eniu

ró

wna:

k

≈

√

N

lub

k

≈ 1 + 3.322 log N

.

Mo»na

sk

orzysta¢

z

tab

eli:

Lizba

obserw

aji

N

Zaleana

lizba

klas

k

40

60

6

8

60

100

7

10

100

200

9

12

200

500

11

17

2.

Ustalenie

rozpito±i

przedziaªó

w

klaso

wy

h.

Rozpito±¢

(szerok

o±¢)

przedziaªu

klaso

w

ego

to

ró»nia

p

omidzy

górn¡

a

doln¡

grani¡

przedziaªu

klaso

w

ego.

Szerok

o±¢

p

oszzególn

y

h

klas

mo»na

wylizy¢

za

p

omo

¡

rozstpu

h = R/k

.

3.

Ustalenie

dªugo±i

przedziaªu:

l

≈

R

k

.

Uw

aga.

Je±li

R

′

= l

· k > R

oraz

R

′

− R < l

,

to

za

doln¡

grani

pierwszego

przedziaªu

przyj¡¢

x

min

.

Je±li

natomiast

R

′

= l

· k > R

oraz

R

′

− R > l

,

to

wyznazam

y:

x

′

min

= x

min

−

R

′

− R
2

oraz

x

′

max

= x

max

+

R

′

− R

2

.

Pr

ezentaja

gr

azna:

histogram,

diagram,

krzyw

a

lizebno±i.

Histogram

zbiór

prostok

¡tó

w,

który

h

p

o

dsta

wy

wyznazone

na

osi

o

dit

y

h,

stano

wi¡

rozpito±¢

p

oszzególn

y

h

przedziaªó

w

klaso

wy

h,

natomiast

wysok

o±i

s¡

okre±lone

na

osi

rzdn

y

h

przez

lizebno±i

(zsto±i)

o

dp

o

wiada

j¡e

p

oszzególn

ym

przedziaªom

klaso

wym.

Diagram

(wielob

ok

lizebno±i)

ªamana

p

o

wstaªa

przez

p

oª¡zenie

punktó

w,

który

h

wsp

óªrzdne

to:

±ro

dki

przedziaªó

w

klaso

wy

h

i

o

dp

o

wiada

j¡e

im

lizebno±i.

3.

Opiso

w

e

harakteryst

yki

rozkªadó

w

Nie

h

x

1

, x

2

, . . . , x

n

w

arian

t

y

e

h

y

mierzalnej,

n

lizebno±¢

badanej

p

opulaji;

n

i

lizebno±¢

o

dp

o

wiada

j¡a

danem

u

w

arian

to

wi

e

h

y

,

w

i

= n

i

/n

zsto±¢

wzgldna

o

dp

o

wiada

j¡a

danem

u

w

arian

to

wi

e

h

y

.

P

k
i=1

n

i

skum

ulo

w

ana

lizebno±¢,

P

k
i=1

w

i

dystrybuan

ta

empiryzna.

1.

Miary

±rednie

(miary

p

oªo»enia)

•

±rednia

arytmet

yzna

¯

x =

x

1

+ x

2

+

· · · + x

n

n

=

P

n
i=1

x

i

n

lub

¯

x =

x

1

n

1

+ x

2

n

2

+

· · · + x

k

n

k

n

=

P

k
i=1

x

i

n

i

n

,

¯

x =

P

k
i=1

˚

x

i

n

i

n

,

dla

szeregó

w

rozdzielzy

h

punkto

wy

h

i

przedziaªo

wy

h

o

dp

o

wiednio,

gdzie

n

i

oznaza

lizeb-

no±¢

jednostek

o

dp

o

wiada

j¡ym

p

oszzególn

ym

w

arian

tom

zmiennej,

˚

x

i

oznaza

±ro

dek

i

-tej

klasy;

•

±rednia

harmonizna

H =

n

P

n
i=1

1

x

i

;

•

±rednia

geometryzna

¯

x

g

=

n

√

x

1

· x

2

· · · x

n

;

•

dominan

ta

(mo

da)

w

arto±¢

na

jzstsza

D

,

o

ile

nie

jest

to

x

min

ani

x

max

.

Dla

szeregu

roz-

dzielzego

wyznazam

y

ze

wzoru:

D = x

0

D

+

n

0

− n

−

n

0

− n

−

+ n

0

− n

+

h

D

,

gdzie

x

0

D

p

o

z¡tek

przedziaªu

dominan

t

y

,

h

D

rozpito±¢

przedziaªu

dominan

t

y

,

n

0

li-

zebno±¢

w

przedziale

dominan

t

y

,

n

−

/n

+

lizebno±¢

przed/za

przedziaªem

dominan

t

y

(b¡d¹

zero).

Je»eli

w

szeregu

rozdzielzym

na

jlizniejsze

s¡

obie

skra

jne

klasy

,

to

szereg

nazyw

am

y

an

t

ymo-

daln

ym

t

ypu

U,

a

±ro

dek

na

jmniej

liznej

klasy

an

t

ymo

d¡.

Gdy

na

jlizniejsza

jest

t

ylk

o

jedna

skra

jna

klasa,

to

szereg

nazyw

am

y

an

t

ymo

daln

ym

t

ypu

J.

(Mo»e

b

y¢

te»

szereg

dwumo

daln

y).

•

kw

an

t

yle

w

arto±i

e

h

y

,

które

dziel¡

zbioro

w

o±¢

na

okre±lone

z±i

p

o

d

wzgldem

lizb

y

jednostek.

W

yró»niam

y

kw

an

t

yl

pierwszy

(doln

y)

oznazon

y

przez

Q

1

,

kw

an

t

yl

drugi

(median)

Me

oraz

kw

an

t

yl

trzei

(górn

y)

Q

3

.

Mediana

dzieli

zbioro

w

o±¢

up

orz¡dk

o

w

an¡

na

dwie

ró

wne

z±i

w

ten

sp

osób,

»e

50%

jednostek

ma

w

arto±i

e

h

y

ni»sze

i

50%

wy»sze

o

d

median

y

.

K

w

an

t

yl

doln

y

dzieli

na

25%

jednostek

o

e

ha

h

ni»szy

h

i

75%

wy»szy

h

o

d

Q

1

,

kw

an

t

yl

górn

y

dzieli

na

75%

jednostek

o

e

ha

h

ni»szy

h

i

25%

wy»szy

h

o

d

Q

3

.

Me =

(

x(

n

+1

2

),

gdy

n

jest

nieparzyste

1
2

x(

n

2

) + x(

n

2

+1

)

,

gdy

n

jest

parzyste;

Ogólnie,

dla

szeregu

rozdzielzego

median

wyznazam

y

ze

wzoru:

Me = x

0

M

+

n

2

−

m−1

X

i=1

n

i

h

M e

n

M e

,

gdzie

x

0

M

p

o

z¡tek

przedziaªu

median

y

,

h

M e

rozpito±¢

przedziaªu

median

y

,

n

M e

lizebno±¢

w

przedziale

median

y

,

P

m−1
i=1

n

i

suma

lizebno±i

do

klasy

p

oprzedza

j¡ej

median.

2.

Miary

rozproszenia

(zmienno±i,

dysp

ersji)

•

rozstp

ró»nia

midzy

na

jwiksz¡

a

na

jmniejsz¡

w

arto±i¡

R = x

max

− x

min

;

•

o

d

h

ylenie

przeitne

okre±la

o

ile

wszystkie

jednostki

ró»ni¡

si

±rednio

o

d

±redniej

d =

1

n

n

X

i=1

|x

i

− ¯x|;

•

o

d

h

ylenie

¢wiartk

o

w

e

mierzy

p

oziom

zró»nio

w

ania

t

ylk

o

z±i

jednostek

badanej

zbioro

w

o-

±i

(p

o

o

drzueniu

25%

o

w

arto±ia

h

na

jni»szy

h

i

25%

o

w

arto±ia

h

na

jwy»szy

h)

Q =

Q

3

− Q

1

2

;

•

w

arianja

±rednia

arytmet

yzna

z

kw

adrató

w

o

d

h

yle«

p

oszzególn

y

h

w

arto±i

o

d

±redniej

arytmet

yznej

s

2

=

1

n

n

X

i=1

(x

i

− ¯x)

2

= x

2

− ¯x

2

;

lub,

dla

szeregu

rozdzielzego

s

2

=

1

n

k

X

i=1

(x

i

− ¯x)

2

n

i

s

2

=

1

n

k

X

i=1

(˚

x

i

− ¯x)

2

n

i

;

•

o

d

h

ylenie

standardo

w

e

pierwiastek

kw

adrato

wy

z

w

arianji

s =

√

s

2

;

•

wsp

óªzynniki

zmienno±i.

3.

Miary

asymetrii

(sk

o±no±i)

bada

j¡,

zy

przew

a»a

j¡a

lizba

jednostek

zna

jduje

si

p

o

wy»ej

zy

p

oni»ej

przeitnego

p

oziom

u

e

h

y

.

W

yró»niam

y

rozkªady

symetryzne

(w

ó

w

zas

¯

x = Me = D

),

rozkªady

a

asymetrii

pra

w

ostronnej

(

¯

x > Me > D

)

i

lew

ostronnej

(

¯

x < Me < D

).

•

wsk

a¹nik

asymetrii

W

s

= ¯

x

− D;

•

wsp

óªzynnik

asymetrii

As =

M

3

s

3

.

4.

Miary

k

onen

traji

•

wsp

óªzynnik

skupienia

(kurtoza)

K =

M

4

s

4

.

5.

Inne

harakteryst

yki

•

momen

t

zwykªy

rzdu

l

∈ N

:

m

l

=

1

n

n

X

i=1

x

l
i

•

momen

t

en

traln

y

rzdu

l

∈ N

:

M

l

=

1

n

n

X

i=1

x

i

− ¯x

l

4.

Denija

pra

wdop

o

dobie«st

w

a

R

ahunek

pr

awdop

o

dobie«stwa

za

jm

uje

si

analiz¡

pra

w

rz¡dz¡y

h

zdarzeniami

loso

wymi.

P

o

jeiami

pierw

otn

ymi

s¡:

zdarzenie

elemen

tarne

oraz

zbiór

zdarze«

elemen

tarn

y

h.

Do±wiadzenie

losowe

to

realizaja

okre±lonego

zesp

oªu

w

arunk

ó

w

wraz

z

góry

okre±lon

ym

zbiorem

wynik

ó

w.

Pr

awdop

o

dobie«stwo

(denija

aksjomatyzna)

jest

funk

j¡

okre±lon¡

na

zbiorze

zdarze«

loso

wy

h

sp

eª-

nia

j¡¡:

1.

P (Ω) = 1

,

P (

∅) = 0

2.

0

≤ P (A) ≤ 1

3.

je»eli

A

∩ B = ∅

,

to

P (A

∪ B) = P (A) + P (B)

.

W

nioskujem

y

st¡d,

»e

pra

wdop

o

dobie«st

w

o

zdarzenia

przeiwnego

do

A

wynosi

P (A

c

) = 1

− P (A)

.

Pr

awdop

o

dobie«stwo

(denija

klasyzna).

Je»eli

Ω

skªada

sie

z

n

jednak

o

w

o

pra

wdop

o

dobn

y

h

zdarze«

elemen

tarn

y

h,

to

pra

wdop

o

dobie«st

w

o

zdarzenia

A

skªada

j¡ego

si

z

k

zdarze«

elemen

tarn

y

h

wyra»a

si

wzorem

P (A) =

k
n

.

5.

Zmienne

loso

w

e

i

i

h

rozkªady

Zmienn¡

losow¡

nazyw

am

y

funk

j

o

w

arto±ia

h

rzezywist

y

h

okre±lon¡

na

zbiorze

zdarze«

elemen

tar-

n

y

h.

In

tuiyjnie,

rozumiem

y

j¡

jak

o

zmienn¡,

która

w

wyniku

do±wiadzenia

mo»e

przyj¡¢

p

ewne

w

arto±i

rzezywiste,

z

okre±lon

ym

pra

wdop

o

dobie«st

w

em.

Zmienne

loso

w

e

oznazam

y

du»ymi,

k

o«o

wymi

literami

alfab

etu:

X

,

Y

,

Z

.

W

yró»niam

y

dw

a

gªó

wne

t

yp

y

zmienn

y

h

loso

wy

h:

dyskretne

(sk

ok

o

w

e)

i

i¡

gªe.

Je±li

wszystkie

w

ar-

to±i,

jakie

mo»e

przyjmo

w

a¢

zmienna

mo»na

wypisa¢

w

p

ostai

i¡

gu

{x

1

, x

2

, . . .

}

,

to

mó

wim

y

,

»e

jest

to

zmienna

dyskr

etna.

Je±li

w

arto±i

nie

mo»na

wypisa¢

w

p

ostai

i¡

gu,

to

mó

wim

y

,

»e

jest

to

zmienna

i¡gªa.

Dyskretna

zmienna

losowa.

R

ozkªadem

dyskr

etnej

zmiennej

losowej

X

nazyw

am

y

opis

jej

mo»liwy

h

w

arto±i

i

pra

wdop

o

dobie«st

w,

z

jakimi

te

w

arto±i

zmienna

przyjm

uje.

Dystrybuant¡

zmiennej

loso

w

ej

X

nazyw

am

y

funk

j

F : R

→ [0, 1]

dan¡

wzorem

F (x) = P (X < x).

Jest

to

funk

ja

niemalej¡a,

lew

ostronnie

i¡

gªa.

P

onadto,

P (a

≤ X < b) = F (b) − F (a)

.

W

arto±i¡

o

zekiwan¡

zmiennej

loso

w

ej

X

nazyw

am

y

lizb

EX =

n

X

i=1

x

i

· p

i

.

In

tuijyjnie,

je±li

na

prostej

rozmie±im

y

masy

p

i

w

punkta

h

x

i

,

to

w

arto±¢

o

zekiw

ana

b

dzie

±ro

dkiem

i»k

o±i

tego

ukªadu

(mo»e

nie

istnie¢!).

Zau

w

a»m

y

,

»e

przy

rzuie

k

ostk

¡

EX = 3, 5

!

W

arianj¡

zmiennej

loso

w

ej

X

nazyw

am

y

lizb

D

2

X = E(X

− EX)

2

=

n

X

i=1

(x

i

− EX)

2

· p

i

.

W

arianja

mierzy

rozrzut

wynik

ó

w

-

±rednie

o

h

ylenie

o

d

±redniej.

Mo»na

j¡

te»

p

olizy¢

ze

wzoru

D

2

X = E(X

2

)

− (EX)

2

.