Modele matematyczne rynku giełdowego
Modele rynku, kontrakty terminowe, spekulacje
Marcin Abram
WFAIS UJ w Krakowie
9 marca 2009
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Standardowy ruch Browna
Założenia modelu
Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt.
Bezwzględna wartość zmiany ceny obiektu w przedziale czasu δt ma
rozkład normalny.
Oznaczmy cenę obiektu przez B(t). Dla δt → 0 można zapisać:
B(t + δt) = B(t) + dB(t),
(1)
gdzie dB(t) jest zmienną losowa o rozkładzie N(0,δt).
Warunki początkowe to:
B(t
0
= 0) = B
0
.
(2)
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Rysunek:
Przykład ruchów Browna. δt = 1, t
0
= 0, B(t
0
) = 50.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Własności modelu
Przyrosty cen są niezależne, tzn. rozkład przyrostów B(t) jest
rozkładem normalnym N(0,δt).
Przyrosty cen są stacjonarne, tzn. ∀t > t
1
rozkłady warunkowe B(t)
przy danym B(t
1
) są dane przez N(B(t
1
), t − t
1
).
var (B(t))
t→+∞
−−−−→ +∞
Uwaga!
B(t) może być ujemne dla pewnego czasu t.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Arytmetyczny ruch Browna
Założenia modelu
Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt.
Bezwzględna wartość zmiany ceny obiektu w przedziale czasu δt jest
złożeniem pewnego trendu i czysto losowego wahnięcia.
Dla δt → 0 można zapisać:
B(t + δt) = B(t) + µδt + σdB(t),
(3)
gdzie dB(t) jest zmienną losowa o rozkładzie N(0,δt).
σ nazywamy współczynnikiem zmienności, µ przesunięciem lub dryfem.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Rysunek:
Przykład ruchów Browna z dryfem.
δt = 1, t
0
= 0, B(t
0
) = 50, σ = 1, µ = 0,1.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Własności modelu
∀t > t
1
rozkłady warunkowe B(t) przy danym B(t
1
) są dane przez
N(B(t
1
) + µ(t − t
1
), σ
2
(t − t
1
)).
var (B(t))
t→+∞
−−−−→ +∞
Uwaga!
B(t) może być ujemne dla pewnego czasu t (zwłaszcza jeśli µ < 0).
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Założenia modelu
Cena rozpatrywanego obiektu zmienia się skokowo co czas δt.
Średnio cena obiektu rośnie jak e
µt
.
Losowe wahnięcia ceny są proporcjonalne do ceny.
Dla δt → 0 można zapisać:
B(t + δt) = B(t) + µB(t)δt + σB(t)dB(t),
(4)
gdzie dB(t) jest zmienną losowa o rozkładzie N(0,δt).
σ nazywamy współczynnikiem zmienności, µ przesunięciem lub dryfem.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Rysunek:
Przykład ruchów Browna z dryfem.
δt = 1, t
0
= 0, B(t
0
) = 50, σ = 0,01, µ = 3 · 10
−4
.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Własności modelu
Jeśli B
0
> 0, to ∀t > t
0
B(t) > 0.
Jeśli B
0
= 0, to ∀t > t
0
B(t) = 0.
∀t > t
1
rozkłady warunkowe B(t) przy danym B(t
1
) są dane przez
rozkład lognormalny.
∀t > t
1
warunkowa wartość oczekiwana dana jest przez:
E (B(t)|B(t
1
)) = B(t
1
)e
µ(t−t
1
)
.
var (B(t))
t→+∞
−−−−→ +∞.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Multifraktale
Zauważono:
Wykresy cen są podobne do siebie, jeśli zmienimy skalę czasową.
Wykresy cen są poszarpane. Dla δt → 0 tworzą krzywą ciągłą, w
żadnym punkcie nie różniczkowalną.
Standardowe modele portfeli inwestycyjnych zakładają, że zmiany
cen są małe (ponieważ bazują na rozkładze normalnym).
Rzeczywiste przypadki nagłych wzrostów lub spadków wartości akcji
są częstsze niż przewidują to standardowe modele.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Standardowy ruch Browna
Arytmetyczny ruch Browna
Geometryczny ruch Browna
Zastosowanie
Testowanie wytrzymałości portfela.
Szacowanie zmienności poszczególnych kursów poprzez dopasowanie
generatora do danych historycznych.
Do czego się nie nadaje
Nie nadaje się do przewidywania konkretnego zachowania się cen.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Do czego powinny kontrakty terminowe służyć.
Co się dzieje gdy soja drożeje?
Co się dzieje gdy soja tanieje?
Kontrakty terminowe
Definicja (szkic)
Dwie strony, A i B, podpisują zobowiązanie, że w określonym dniu
(w przyszłości) strona A sprzeda/kupi od strony B określoną ilość towaru
po ustalonej cenie.
Historycznie były to umowy między rolnikami, a handlarzami.
Dziś przeważnie towarem są rzeczy niematerialne – papiery
wartościowe, inne kontrakty terminowe, waluta.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Do czego powinny kontrakty terminowe służyć.
Co się dzieje gdy soja drożeje?
Co się dzieje gdy soja tanieje?
Do czego powinny kontrakty terminowe służyć.
Przykład na podstawie działania towarowych kontraktów futures:
Rozpatrzmy farmera, który uprawia soję.
Jest luty. Soja kosztuje 5,60 zł/kg. Kontrakty futures na listopad na
soję kosztują przykładowo 5,87 zł/kg (są to zobowiązania, że
w listopadzie sprzeda się soje za 5,87 zł/kg).
Kontrakty futures aktualizują swoją cenę każdego dnia. Im bliżej
listopada, tym ich cena jest bliższa prawdziwej cenie soji w
listopadzie. W listopadzie ich cena będzie dokładnie równa cenie soji.
Farmer chce się zabezpieczyć przez spadkiem ceny soji jesienią.
Sprzedaje kontrakty futures na 100 ton soji.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Definicja
Do czego powinny kontrakty terminowe służyć.
Co się dzieje gdy soja drożeje?
Co się dzieje gdy soja tanieje?
Co się dzieje gdy soja drożeje?
Niech w listopadzie soja kosztuje 8 zł/kg. Listopadowe kontrakty
futures również kosztują 8 zł/kg.
Farmer musi kupić kontrakty futures na 100 ton soji po 8 zł/kg.
Następuje rozliczenie, na którym traci (8 − 5,87) = 2,13 zł/kg
(213 tys. zł).
Jednocześnie farmer sprzedaje na rynku lokalnym 100 ton soji po 8
zł/kg (zyskuje 800 tys. zł).
Całkowity zysk
Całościowy zysk farmera to 8 − 2,13 = 5,87 zł/kg, czyli 587 tys. zł.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Definicja
Do czego powinny kontrakty terminowe służyć.
Co się dzieje gdy soja drożeje?
Co się dzieje gdy soja tanieje?
Co się dzieje gdy soja tanieje?
Niech w listopadzie soja kosztuje 5 zł/kg. Kontrakty futures na
listopad na soje też kosztują 5 zł/kg.
Farmer musi kupić kontrakty futures na 100 ton soji po 5 zł/kg.
Następuje rozliczenie, na którym zyskuje (5,87 − 5) = 0,87 zł/kg
(87 tys. zł).
Jednocześnie farmer sprzedaje na rynku lokalnym 100 ton soji po 5
zł/kg (zyskuje 500 tys. zł).
Całkowity zysk
Całościowy zysk farmera to 5 + 0,87 = 5,87 zł/kg, czyli 587 tys. zł.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje
Przykład filmowy
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje
Z nieopublikowanego raportu ministerstwa rolnictwa wynika, że
pomimo mroźnej zimy będzie urodzaj na pomarańcze.
Sesja na giełdzie rozpoczyna się. Kontrakty futures na koncentrat
pomarańczowy kosztują 1,02 $/funt.
Wszyscy spodziewają się, że koncentrat będzie drogi. Ceny
kontraktów futures rosną do 1,42 $/funt.
Bohaterowie sprzedają dużą liczbę kontraktów.
Minister rolnictwa ogłasza prognozę w telewizji (na urodzaj
pomarańczy).
Ceny kontraktów spadają do 0,42 $/funt.
Bohaterowie kupują dużą liczbę kontraktów realizując zysk.
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje
Dźwignia finansowa – sposób na spekulacje
Niech kapitał początkowy to 100 tys. $. Można zarobić
10
5
1,42
(1,42 − 0,42) ≈ 70 tys. $.
W praktyce nie trzeba jednak płacić za kontrakty gotówką. Wpłaca
się tylko depozyt (np. 5%). Rozliczenie następuje w momencie gdy
nadejdzie dzień wyznaczony w kontrakcie.
Dzięki temu można zarobić
10
5
0,05·1,42
(1,42 − 0,42) ≈ 1,4 mln. $
(1400% kwoty bazowej).
Gdyby jednak ceny kontraktów wzrosły do 1,49 $/funt (wzrost
jedynie o 7 centów/kg), strata wynosiła by 98 tys. $, czyli prawie
całą kwotę bazową.
Wniosek
Dźwignia finansowa znacząco zwiększa maksymalny zysk, jaki można
osiągnąć (kosztem zwiększenia ryzyka inwestycji).
Marcin Abram
Modele matematyczne rynku giełdowego
Bibliografia
Aleksander Weron, Fafał Weron
Inżynieria finansowa,
wyd. II, Warszawa, WNT, 1999, ISBN:83-204-2471-2, rozdziały 1-5.
Benoit B. Mandelbrot
Multifraktale rządzą na Wall Street,
Świat Nauki, kwiecień 1999, str. 64-67.
Marcin Abram
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6.modele rynku
5. Modele rynku, Mikroekonomia mgr Grażyna Karwacka
MODELE RYNKU FINANSOWEGO, Informatyka, Pomoce naukowe
6 modele rynku
Prezentacja 5 Modele rynku kapitalowego zadania dla studentow
Prezentacja 5 Modele rynku kapitalowego SGH
modele rynku kapitalowego
pod ekon 7, MODELE ZACHOWANIA SIĘ FIRMY NA RYNKU KONSUMPCYJNYM
czynniki przewidywanego i realnego sukcesu na rynku pracy modele radzenia sobie w sytuacji bezroboci
Demograficzne uwarunkowania rynku pracy i gospodarki publicznej
Analiza rynku konsumentów
2b ANALIZA RYNKU
w5b modele oswietlenia
Instrumenty rynku kapitałowego VIII
Diagnoza rynku warzyw i owocow
więcej podobnych podstron