Kaskady funkcji klasy C 1
3.1. (Z) Wykaż, że jeżeli f : I → I jest funkcją klasy C 1, p ∈ Fix( f ) i |f 0( p)) | < 1 (odpowiednio:
|f 0( p)) | > 1), to p jest przyciągającym (odpowiednio: odpychającym) punktem stałym.
3.2. (Z) Niech g( x) = x − x 3 dla x ∈ R. Wykaż, że [ − 1 , 1] ⊂ W s(0) dla kaskady g.
3.3. Niech g( x) = x − x 3 dla x ∈ R. Znajdź W s(0) dla kaskady g.
3.4. (Z)(Z) Niech h( x) = x + x 3, x ∈ R. Wykaż, że W s(0) = { 0 } i W s( ∞) = R \ { 0 }.
3.5. (Z) Niech k( x) = ex − 1, x ∈ R. Wykaż, że W s(0) = ( −∞, 0] i W s( ∞) = (0 , ∞).
3.6. (Z) Znajdź funkcję f : R → R klasy C 1, dla której 0 ∈ Per2( f ) jest okresowym punktem przyciągającym oraz f 0(0) = 2.
3.7. (Z) Niech a > 0 i f ( x) = 1 x + a , x > 0. Znajdź punkty stałe kaskady f i ich zbiory 2
x
stabilne.