Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
Pozycja 4.0 – Słup dwukierunkowo ściskany
Dane materiałowe
Beton
klasa B30
f G
= 30 MPa
c, cube
f
= 2 ,
5 00 MPa
ck
f
= 8
,
1 0 MPa
ctk
f
= 1 ,
6 70 MPa
cd
f * = 1 ,
4 20 MPa
cd
f
= ,
1 20 MPa
ctd
E
= 3 ,
1 0 GPa
cm
E = 34 1
, 0 GPa ( wg Eurocode 2 : E ≅ 1
,
1 0 ⋅ E )
c
c
cm
(norma PN–B–03264: 2002 tablica 2) Stal
klasa AIIIN gatunku RB 500
f
= 500 MPa
yk
f
= 420 MPa
yd
(norma PN–B–03264: 2002 tablica 5) Dane geometryczne
Słup o węzłach przesuwnych
(wyjaśnienie na zajęciach)
wysokość słupa
H = 4,00 m,
wysokość przekroju słupa
hcol = 0,30 m,
szerokość przekroju słupa
bcol = 0,30 m,
śebro na kierunku x
rozpiętość Ŝebra
leff,x = 5,40 m,
wysokość Ŝebra
hŜ,x = 0,50 m,
szerokość Ŝebra
bŜ,x = 0,30 m,
śebro na kierunku y
rozpiętość Ŝebra
leff,y = 6,00 m,
wysokość Ŝebra
hŜ,y = 0,50 m,
szerokość Ŝebra
bŜ,y = 0,30 m,
str. 1/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
Określenie długości obliczeniowej słupa na kierunku x i y l
β
( , ) =
( , ) ⋅ l
o x y
x y
col
β wg Tablicy C.2 PN-B-03264:2002
1
1
1
β
= 1+
+
+
( x, y)
5 k
+1 5 k
+1
(
5 k
+ k
)
A( x, y )
B ( x, y)
A( x, y)
B ( x, y)
gdzie:
E
⋅ I
cm
c, Ŝ,( x, y) Σ
l
eff ( x, y
k
)
=
A( x, y )
E
⋅ I
cm
c, col ,( x, y) Σ
lcol
3
3
b h
3
,
0 ⋅ 5
,
0
−4
4
I
= I
Ŝ
Ŝ
=
=
= 3 ,
1 25 ⋅10
m
c, Ŝ, y
c, Ŝ, x
12
12
3
3
b
⋅ h
3
,
0 ⋅ 3
,
0
col
col
−4
4
I
= I
=
=
= ,
6 75 ⋅10
m
c, Ŝ, x
c, Ŝ, y
12
12
2 I
−
c, Ŝ, x
2 ⋅ 3 ,
1 25 ⋅10 4
leff , x
,
5 4
k
A x =
=
= 8
,
6 6 [−]
,
I c col x
⋅ −
,
,
,
6 75 10 4
l
4
col
str. 2/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
2 I c, Ŝ, y
2 ⋅ 3 ,
1 25 ⋅10−4
leff , y
6
k
A y =
=
= 1,
6 7 [−]
,
Ic col y
⋅ −
,
,
,
6 75 10 4
l
4
col
kBx = kBy = ∞ - sztywność węzła zamocowanego w fundamencie 1
1
1
β = 1+
+
+
x
5 k
+1 5 k +1
(
5 k
+ k )
Ax
Bx
Ax
Bx
1
1
β
x = 1 +
=
= 0
,
1 28 [−]
5 k Ax +1
5 ⋅ 8
,
6 6 + 1
1
1
β
y = 1 +
=
= ,1031 [−]
5 k Ay +1
5 ⋅ 1
,
6 7 + 1
lo,x = 4,11 m
lo,y = 4,13 m
Sprawdzenie czy konieczne jest uwzględnienie efektów II rzędu l 0( x, y)
λ
x y
=
> 7
( , )
h
l 0, x
1
,
4 1
λ
x =
=
= 1 ,
3 71 [−]
h
3
,
0
col , x
l 0, y
1
,
4 3
λ
y =
=
= 1 ,
3 75 [−]
h
3
,
0
col , y
naleŜy uwzględnić efekty II rzędu
Słup naleŜy zwymiarować w dwóch przekrojach, górnym i dolnym z uwzględnieniem wpływu smukłości
KaŜdy z przekrojów naleŜy zwymiarować na 2 kombinacje obciąŜeń powodujące: 1.) maksymalny co do wartości bezwzględnej moment i odpowiadającą mu siłę normalną 2.) maksymalną siłę normalną i odpowiadający jej moment W dalszej części zadania analizuję przekrój dolny „B” na kombinację obciąŜeń powodującą max. siłę normalną i odpowiadające jej momenty.
max NSd = 381,97 kN
odp. MSdx = 65,84 kNm
odp. MSdy = 56,76 kNm
str. 3/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
Wyznaczenie mimośrodów
- mimośród statyczny
M
65 8
, 4
e
Sdx
=
=
= 1 ,
7 24 cm
ex
N
381 9
, 7
Sd
M
5 ,
6 76
e
Sdy
=
=
= 14 8
, 6 cm
ey
N
381 9
, 7
Sd
- niezamierzony mimośród przypadkowy
l
400
dla jednej kondygnac i
j
col
:
=
= ,
0 67 cm
600
600
h
30
e
= e
col x
= max
,
=
= c
1 m
= c
1 m
ax
ay
30
30
c
1 m
- mimośród początkowy
eox = eex + eax = 17,24 + 1 = 18,24 cm eoy = eey + eay = 14,86 + 1 = 15,86 cm
- mimośród całkowity
zakładam:
η x= 1,2
etot,x = 1,2 · 18,24 = 21,88 cm η y= 1,2
etot,y = 1,2 · 15,86 = 19,03 cm
- mimośrody względem zbrojenia
es1x = etot,x + 0,5 hcol,x - a1 = 21,88 + 0,5·30 - 5 = 31,88 cm es2x = 0,5 hcol,x – etot,x - a2 = 0,5·30 – 21,88 - 5 = -11,88 cm es1y = etot,y + 0,5 hcol,y - a1 = 19,03 + 0,5·30 - 5 = 29,03 cm es2y = 0,5 hcol,y – etot,y - a2 = 0,5·30 – 19,03 - 5 = -9,03 cm Zbrojenie minimalne
N
381 9
, 7
Sd
2
1
,
0 5 ⋅
= 1,
0 5 ⋅
= ,
0 20 cm
2
A
= max
f
42
= ,
2 7 cm
s,min
yd
2
,
0 003 ⋅ A = ,
0 003 ⋅ b
⋅ h = ,
2 70 cm
c
col
col
As,min
2
A
= A
=
= 3
,
1 5 cm
1
s min
s 2,min
2
str. 4/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
Zwiększam wartość siły NSd o 80% (wyjaśnienie na zajęciach) Zakładam przypadek duŜego mimośrodu i przyjmuję ξ eff = ξ eff,lim.
Z równowagi momentów względem zbrojenia rozciąganego wyznaczamy zbrojenie As2(x,y): ξ eff
5
,
0
2
*
,lim
2
N e
− ξ
bd f
1
( −
)
687 5
, 5 ⋅ 31 8
, 8 − 5
,
0 ⋅ 30 ⋅ 25 ⋅ ,
1 42 ⋅ 1
( −
)
Sd
1
s x
eff ,lim
cd
2
2
2
A
=
=
= 1 ,
4 21 cm
s 2, x
( d − a ) f
(25 − )
5 ⋅ 42
2
yd
przyjmuję na kierunku x: 5 φ 20 o As2,prov,x = 15,71 cm2
ξ eff
5
,
0
2
*
,lim
2
N e
− ξ
bd f
1
( −
)
687 5
, 5 ⋅ 2 ,
9 03 − 5
,
0 ⋅ 30 ⋅ 25 ⋅ ,
1 42 ⋅ 1
( −
)
Sd
s 1 y
eff ,lim
cd
2
2
2
A
=
=
= 118
, 8 cm
s 2, y
( d − a ) f
(25 − )
5 ⋅ 42
2
yd
przyjmuję na kierunku y: 4 φ 20 o As2,prov,y = 12,57 cm2
PoniewaŜ As2(x,y) A s2,min, to A s1(x,y) obliczamy z sumy rzutów sił na oś X:
*
ξ
bdf
− N
⋅ ⋅
⋅
−
eff ,lim
cd
Sd
5
,
0
30 25 ,
1 42
687 5
, 5
2
A
=
+ A
=
+1 ,
5 71 = 12 0
, 2 cm
s ,
1 x
s 2, prov,
f
x
42
yd
przyjmuję na kierunku x: 4 φ 20 o As1,prov,x = 12,57 cm2
*
ξ
bdf
− N
⋅ ⋅
⋅
−
eff ,lim
cd
Sd
5
,
0
30 25 ,
1 42
687 5
, 5
2
A
=
+ A
=
+12 5
, 7 = ,
9 42 cm
s ,
1 y
s 2, prov,
f
y
42
yd
przyjmuję na kierunku y: 3 φ 20 o As1,prov,y = 9,42 cm2
Wyznaczenie siły krytycznej
Ecm = 31 GPa
Es = 200 GPa
l0x = 4,11 m
l0y = 4,13 m
Icol,x = Icol,y = 67500 cm4
2
2
d − a
25 − 5
2
4
I
= ( A
+ A
) ⋅
= 1
( 2 5
, 7 + 15 7
,
)
1 ⋅
= 2828 0
, 0 cm
s, x
s ,
1 prov, x
s 2, prov, x
2
2
2
2
d − a
25 − 5
2
4
I
= ( A
+ A
) ⋅
= ,
9
( 42 + 12 5
, 7) ⋅
= 2199 0
, 0 cm
s, y
s ,
1 prov, y
s 2, prov, y
2
2
N Sd, lt
687 5
, 5
k
φ
lt = 1 +
5
,
0
∞ t = 1 +
5
,
0 ⋅
⋅ 2 = 2
, o
N
687 5
, 5
Sd
str. 5/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
e
1 ,
8 24
ox
=
= ,
0 61
h
30
col ,
x
e
l
*
411
ox
= max 5
,
0 − ,
0 01 ox − ,
0 01 f
cd
= 5
,
0 − ,
0 01⋅
− ,
0 01⋅1 ,
4 2 = ,
0 22 = ,
0 61
h
h
30
col , x
col , x
,
0 05
eoy
15 8
, 6
=
= 5
,
0 3
h
30
col , y
e
l
oy
oy
*
413
= max 5
,
0 − ,
0 01
− ,
0 01 f
cd
= 5
,
0 − ,
0 01⋅
− ,
0 01⋅1 ,
4 2 = ,
0 22 = 5
,
0 3
h
h
30
col , y
col , y
,
0 05
9
E
⋅ I
,
,
1
,
0 1
N
cm
c col x
=
+ 1
,
0
+ E ⋅ I
=
crit , x
s
s, col , x
l 2
2 k
e
o, x
o, x
lt
1
,
0
+
h
col , x
9
3100 ⋅ 67500
1
,
0 1
=
+ 1
,
0 + 20000 ⋅ 2828 = 371 ,
9 26 kN
4112
2 ⋅ 2
1
,
0 + ,
0 61
9
E
⋅ I
,
,
1
,
0 1
N
cm
c col y
=
+ 1,
0 + E ⋅ I
=
crit , y
s
s , col , y
l 2
2 k
eo, y
o, y
lt
1,
0
+
h
col , y
9
3100 ⋅ 67500
1
,
0 1
=
+ 1,
0 + 20000 ⋅ 2199 = 308 ,
6 26 kN
4132
2 ⋅ 2
1
,
0 + 5
,
0 3
Sprawdzenie przyjętego η
1
1
η
x =
=
= ,123 [−]
N
687 5
, 5
1 −
Sd
1 −
N
371 ,
9 26
crit , x
1
1
η
y =
=
= ,
1 29 [−]
N
687 5
, 5
1 −
Sd
1 −
N
308 ,
6 26
crit , y
Obliczone η nie róŜni się więcej niŜ 10% od przyjętego Przyjęte η moŜna przyjąć za poprawne str. 6/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski
Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu PG Pomoce dydaktyczne
Sprawdzenie warunku na dwukierunkowe ściskanie
etot, x b
21 8
, 8 30
⋅ =
⋅
= 1
,
1 5
e
h
1 ,
9 03 30
tot , y
0,2 < 1,15 < 5
naleŜy sprawdzić słup jako podlegający dwukierunkowemu ściskaniu NRdx≈ NRdy≈ NSd’= 687,55 kN (wyjaśnienie na zajęciach)
N
*
Rd0 = h · b · fcd +( As1,prov,x +As2,prov,x +As1,prov,y +As2,prov,y)= 30 · 30 · 1,42 + (12,57 + 15,71 + 9,42
+ 12,57) · 42 = 3388,89 kN
mn = 1,0 – liczba prętów w przekroju ≥ 8
1
m N
≤
n
Sd
1
1
1
+
−
N
N
N
Rdx
Rdy
Rd 0
1
381 9
, 7 <
= 382 5
, 8
1
1
1
+
−
687 5
, 5
687 5
, 5
3388 8
, 9
warunek spełniony
przyjęte zbrojenie przeniesie kombinację sił wewnętrznych str. 7/7 Przykład obliczeniowy wymiarowania słupa autor: Jacek Sokołowski