STOŁECZNA
ZADANIA I ROZWIĄZANIA Z MATEMATYKI – PROFIL OGÓLNY
è
ø
(2 n + )
5 (2 n + 4) (2 n + )
3
Pytania
Część wspólna II
=
6
9 - 3 17
9 + 3 17
Zadanie 1.
m Î
;
-{ }
0
A – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech 2
2
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla któ-
liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą.
rych dziedziną funkcji
Dla m = –2 równanie ma postać
A′ – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech 2
3 x - 4 x + 5
4 = 0
liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
f ( x) =
4
2
2
zatem dla m = –2 nie ma rozwiązania ( m + 2) × x + 6 × ( m + 2) × x + m æ n + 3ö ( n + )
3 !
( n + )
3 ( n + 2) ( n + )
1
¢
A =
=
=
çç
÷÷
jest zbiór liczb rzeczywistych.
Odp. Warunki zadania spełnione są dla
3
n !
è
ø
×3!
6
m Î á-2+ µ) - { }
0
Zadanie 2.
P ( A) = 1 - P ( A )
¢
Zaznacz na płaszczyźnie zbiory A, B oraz A ∩ B, ( n + )
3 ( n + 2) ( n + )
1 × 6
gdy:
Zadanie 2.
P ( A) = 1 -
=
(2 n + )
5 2 ( n + 2) (2 n + )
3 6
A={( x, y): x ∈ R∧ y ∈ R∧ y ≥ x 2–2 x+1}, B={( x, y): x ∈ R∧ y ∈ R∧ y ≤ 2+ x – 1}.
Zbiór A
( n + )
3 ( n + )
1
7 2
n + 28 n + 27
= 1-
=
2 (2 n + )
5 (2 n + )
3
2 (2 n + )
5 (2 n + )
3
Zadanie 3.
Dany jest prostokąt o obwodzie 4 p. Każdy bok pro-b) Moc Ω nie ulega zmianie
stokąta jest średnicą półokręgu leżącego na zewnątrz Analogicznie wykazujemy, że ∆ BOS ≡ ∆ COS
B – zdarzenie polegające na wylosowaniu trzech tego prostokąta. Wyznacz długości boków prostoką-
czyli również ∆ AOS ≡ ∆ COS.
liczb, których suma jest liczbą parzystą.
ta tak, aby pole figury ograniczonej krzywą złożoną Z przystawania wynika, że | AO| = | BO| = | CO|, Suma trzech liczb jest parzysta, jeśli wylosujemy z tych czterech półokręgów było najmniejsze.
czyli O jest środkiem okręgu opisanego na pod-trzy liczby parzyste lub jedną parzystą i dwie nie-stawie, a zatem w przypadku trójkąta prostokątne-parzyste.
Zadanie 4,
go leży w połowie przeciwprostokątnej
a
æ n + 2ö æ n + 2ö æ n + 3ö Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny
| AO| = | BO| = | CO| =
B =
+
=
çç
÷÷ çç
÷÷ çç
÷÷
prostokątny, którego przeciwprostokątna ma dłu-2
3
1
2
è
ø è
ø è
ø
gość α . Wszystkie krawędzie boczne są nachylone Również z przystawania wynika, że
2
n n +
n +
n +
n +
do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod katem α .
|
(
)
1 (
2)
(
2) (
)
3
AS| = | BS| = | CS|.
=
+
;
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Pole ściany bocznej ACS.
6
2
Zbiór B
( n + 2) (4 2
n + 16 n +
)
18
P ( B) =
=
Zadanie 5a.
(2 n + )
5 (2 n + 4) (2 n + )
3
Ze zbioru liczb {1,2,3,... , 2 n+5} losujemy trzy ra-zy po jednej liczbie bez zwracania.
2 2
n + 8 n + 9
=
a) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech (2 n + )
5 (2 n + )
3
liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, b) Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania trzech liczb, których suma jest liczbą parzystą.
Zadanie 5*.
Zadanie 5b.
W tym zadaniu korzystamy z zadania 5a
Ze zbioru liczb {1,2,3,... , 2 n + 5} losujemy trzy ra-
æ2 n + 5ö (2 n + )
5 (2 n + 4) (2 n + )
3
zy po jednej liczbie bez zwracania. Przyjmijmy, że W =
=
çç
÷÷
3
6
A
è
ø
n oznacza zdarzenie: otrzymamy trzy liczby, któ-
rych suma jest liczbą parzystą, zaś B
A
n oznacza zda-
n – zdarzenie opisane tak jak zdarzenie B w rzenie: otrzymamy trzy liczby, których iloczyn jest zadaniu 5a
liczbą parzystą.
Bn – zdarzenie opisane tak jak zdarzenie A w za-Oblicz lim P ( A / B ) A ∩ B (część wspólna zbiorów)
daniu 5a
n
n
n®µ
SO = a
a
tg
Þ SO =
a
tg
P ( An Ç B )
a
2
P ( A / B )
n
n =
n
P ( B )
Rozwiązania
n
2
1
2
a
7 2
n + 28 n + 27
P D
= a SO =
ACS
a
tg
P ( B )
n = P ( A) =
Zadanie 1.
2
4
2 (2 n + 5) (2 n + )
3
2
Żądamy, aby mianownik naszej funkcji był róż-
2 n + 8 n + 9
P ( An Ç B )
n = P ( B) =
ny od zera,
(2 n + 5) (2 n + )
3
( m + 2) x 4 + 6 ( m + 2) x 2 + m 2 ≠ 0
P A
B
n
n =
Jest to równanie dwukwadratowe dla każdego lim
(
/
)
n®µ
m ≠ –2.
a
2
Równanie to nie ma pierwiastków, gdy równanie (2 n + 8 n + 9) × 2 (2 n + 5) (2 n + ) 3
2cos
= lim
=
kwadratowe (dokonujemy podstawienia x 2 =t) nie a
n®µ (2 n + 5) (2 n + ) 3 × (7 2
n + 28 n +
)
27
ma pierwiastków lub ma pierwiastki ujemne.
Zadanie 3.
4
=
Po podstawieniu równanie przyjmuje postać: 7
( m + 2) t 2+ 6 ( m + 2) t+ m 2 ≠ 0
PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI OPRACOWAŁY
ì m + 2 ¹ 0
BEATA KOWALCZYK-KOZŁOWSKA I ANNA MAKOWSKA, ï
NAUCZYCIELKI MATEMATYKI Z LIV PRYWATNEGO LO SIÓSTR
ì m + 2 ¹ 0 ïD ³ 0
a 2
NAZARETANEK, EGZAMINATORKI OKE W WARSZAWIE
í
í
îD <
2
0
ï t t
1 × 2 > 0
ïî t t
1 + 2 < 0
∆ = [6( m + 2)] 2– 4 m 2( m + 2) =
Tematy maturalne
= –4 ( m + 2) ( m 2 – 9 m – 18) z twierdzenia Pitagorasa
Szukamy pierwiastków wyrażenia w drugim na-
Ú HISTORIA
wiasie.
2
a
2 2
a
a 1- 2cos2a
1. Polska i jej sąsiedzi w XIV i XV stuleciu SF =
-
=
D = 81+ 72 =
;
153
4cos2a
4
2cosa
– Czechy, Węgry, Litwa i zakon krzyżacki.
Scharakteryzuj stosunki polityczne z tymi są-
- b - D 9 - 3 17
m =
=
È
siadami.
1
2 a
2
2. Scharakteryzuj przeobrażenia cywilizacyjne 1 a 2
1- 2cos2
a
a
-
w Europie w XIX stuleciu.
b + D
9 + 3 17
È m =
=
D
P =
×
=
3. Z dziejów Polski Ludowej. Zadanie polega-2
2
2
2cosa
2 a
2
Przyjmijmy oznaczenia boków prostokąta: 2x i 2y.
jące na analizie tekstów źródłowych i napisaniu Na pole figury składa się pole prostokąta i pola krótkiego wypracowania. Temat wypracowania.
dwóch kół
Scharakteryzuj jeden z trzech wymienionych 2
2
4 x + 4 y = 4 p ⇒ x + y = p ⇒ y = p – x; x ∈(0; p) a
2 - 4cos a
okresów w dziejach Polski Ludowej:
Przedstawmy pole figury jako funkcję zmiennej x
=
8cosa
a) lata 1948–1956
P( x) = Π x 2 + Π ( p – x)2 + 4 x ( p – x) =
b) lata 1956–1970
I. ∆ < 0
= (2Π – 4) x 2 + (4 p – 2Π p) x + Π p 2
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa
c) lata 1970–1980
m ∈(–2; m1) ∪ (m2; +∞)
Jest to funkcja kwadratowa, a jej dziedzina to Ú BIOLOGIA
II. ∆ ≥ 0
D p = (0; p). Ponieważ 2Π – 4 > 0, to funkcja kwa-a 2 2 - 4cos2a
a 2
1. W jaki sposób zależności pomiędzy gatun-dratowa przyjmuje wartość najmniejszą (w wierz-2 ×
+
tg a =
9 - 3 17
9 + 3 17
8cosa
4
kami w przyrodzie sprzyjają ich ewolucji.
m Î (- ;
µ - 2ñ È
;
chołku) dla
2. Organizacja materiału genetycznego i jego 2
2
- b
p (2P - 4)
p
2
ekspresja – u prokariota i eukariota.
t .
x =
czyli x =
= Î D p
a
1 t 2 > 0
3. Zestaw zadań. Budowa, czynności i współ-
2 a
2 (2P - 4)
2
=
( 2 - 4cos2a + sina)
Korzystamy ze wzorów Viete’a
4cosa
działanie narządów organizmu człowieka.
2
Zatem prostokąt jest kwadratem o boku „p”
Ú GEOGRAFIA
t ×
= c
t
Þ m > 0 Þ
1
2
= m>–2 i m ≠ 0
Zadanie 5.
1. Planeta Ziemia. Konsekwencje kształtu i ru-a
m + 2
Zadanie 4.
a) Podany zbiór posiada 2n + 5 elementów, w tym chów Ziemi.
t 1+ t 2 < 0
| AC| = a
jest n + 2 liczb parzystych i n + 3 nieparzystych.
2. Dzieje Ziemi. Dzieje geologiczne Polski.
Korzystamy ze wzorów Viete’a
∆ AOS ≡ ∆ BOS
3. Wody śródlądowe Polski, ich zasoby i wyko-
- b
- (
6 m + 2)
‡ SAO = ‡ SBO = α
rzystanie gospodarcze.
t + t =
Þ
< 0 Þ
1
2
‡ AOS = ‡ BOS = 90°
=
a
m +
æ2 n + 5ö
(2 n
(
2)
+ )!
5
4. Procesy industrializacji na świecie i w Polsce.
Odcinek SO jest wspólnym bokiem ∆ AOS i W =
=
=
çç
÷÷
è 3 ø (2 n + 5 - )!
3 3!
Þ
5. Handel zagraniczny.
KOZ
m Î R - {- }
2
∆ BOS.
8
GAZETA WYBORCZA STOŁECZNA Czwartek 8 maja 2003 www. gazeta.pl/warszawa 1 WAW