Zadanie 1 Centrala telefoniczna pracuje na połączeniach pięciocyfrowych, które uzyskuje z cyfr 0,1,2,…,9. Ilu abonentów może centrala zarejestrować, jeśli połączenia pięciocyfrowe, zaczynające się od zera nie mogą być brane pod uwagę? (2 punkty).
Zadanie 2 Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAAA, BBBB, CCCC
odpowiednio z prawdopodobieństwami 0.4, 0.3 i 0.3. Litery te (sygnały) podlegają niezależ-
nie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w rezultacie czego np. litera A może być odebra-na jako B albo C (zamiast A). Prawdopodobieństwa poprawnego przesłania albo przekłama-nia podaje tablica.
Sygnały nadane Sygnały odebrane
A
B
C
A
0.1
0.1
0.8
B
0.1
0.8
0.1
C
0.8
0.1
0.1
a) znaleźć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału BBBB(2 punkty), b) na wyjściu odebrano sygnał BCAB, oblicza prawdopodobieństwo, że został nadany jako BBBB (2 punkty).
Zadanie 3 Dobrać tak stałą C by funkcja 2
−
>
p ( x)
4 x
Cxe
dla x
0
=
0 poza tym
była gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (1 punkt), a następnie: a) wyznaczyć jej dystrybuantę (2 punkty), b) obliczyć P (1 ≤ X < 3) (2 punkty), c) obliczyć wartość średnią (2 punkt), d) wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y jeśli Y = X 2 (3 punkty) Zadanie 4 Dany jest rozkład zmiennej losowej ( X, Y) w postaci tabeli X
2
3
4
1 1/5
0
1/5
Y 2
0
1/5
0
3 1/5
0
1/5
a) obliczyć dystrybuantę (2 punkty) b) znaleźć rozkłady brzegowe (1 punkt) c) sprawdzić niezależność zmiennych losowych X Y (1 punkt) Część teoretyczna (na oddzielnej kartce) 1. Czy dwa zdarzenia, które są rozłączne są także niezależne? (Odpowiedź uzasadnij) (4p) 2. Napisz wzór pozwalający na obliczanie dystrybuanty wektora losowego przy znanej jego gęstości prawdopodobieństwa (3p)
3. Podaj aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa (3p)