Probabilistyka i statystyka – ćwiczenia (14.10.2010) Zmienna losowa dyskretna (skokowa)

= ,,… ,

: Ω →

Rzucamy kostką. Zmienna losowa przyjmuje wartość liczby oczek. Znajdź

1) Rozkład zmiennej losowej 2) Wartość oczekiwaną () 3) Wariancje i odchylenie standardowe (), = () 4) Dystrybuantę

Ad. 1

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

Ad. 2

1

1

1

1

1

1

() = Σ ! ∗ = 1 ∗ 6 + 2 ∗ 6 + 3 ∗ 6 + 4 ∗ 6 +5 ∗ 6 + 6 ∗ 6 = 3,5

Ad. 3

() =$%& [( − ())

() = () − ()

35

() =$%& (1 − 3,5) + (2 − 3,5) + (3 − 3,5) + (4 − 3,5) + (5 − 3,5) + (6 − 3,5) = 12

1 4 9 16 25 36 91

() = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6

91 49 182 − 147 35

() = () − () = 6 − 4 = 12 = 12

= -35

12

1

Ad. 4

0, / ∈6 1

31

116,1 7 / 6 2

12

116,2 7 / 6 3

.(/) = 3

9

26 , 3 7 / 6 4

14

116,4 7 / 6 5

15

16,5 7 / 6 6

0 1, / 8 6

Cechy dystrybuanty

1) niemalejąca

2) lewostronnie ciągła 3) lim=→>? .(/) = 0, lim=→? .(/) = 1

2. Ze zbioru liczb 2,3,4,5,6,7,8

lo

l suj

u e

j m

e y

y b

e

b z

z zw

z ra

r c

a an

a i

n a

i

a po

p je

j dn

d e

n j

j li

l c

i z

c b

z i

b e

i i

i końc

ń zy

z m

y y gr

g ę

r gd

g y

d

wylosujemy liczbę parzystą.

a)

a pa

p r

a z

r y

z sta

a wy

w lo

l so

s wa

w n

a a

n

a za

z

a 1

ra

r z

a e

z m

e – wygrywamy samochód za 5 zł

b) nieparzysta za 1,

, pa

p r

a z

r y

z sta

t

a za

z

a 2 – wy

w gr

g y

r w

y am

a y pr

p a

r l

a k

l ę w

ko

k lo

l ro

r w

o ej

j ga

g z

a e

z c

e ie

i za

z

a 2

zł

z

c) ni

n e

i pa

p r

a z

r y

z st

s a

a za

z

a 1

,2,

, pa

p r

a z

r y

z s

y ta

a za

z

a 3

3 – 1 zł

d)

d ni

n e

i pa

p r

a z

r y

z sta

a za

z

a 1,2

, ,3

, , pa

p r

a z

r y

z sta

a za

z

a 4

– przegrywamy 30 zł

Obl

b i

l c

i z

z pr

p z

r e

z cię

i tną

n

ą k

wo

w tę

t wy

w g

y r

g a

r n

a ą

n

ą lu

l b

u

b pr

p z

r e

z gr

g a

r n

a ą

n

ą w po

p jed

e y

d ńc

ń ze

z j

j gr

g z

r e

z

−30

1

2

5

2

8

2

4

70

70

7

7

4

@(A) = 7

3 4 2

@(A) = 7 ∗ 6 = 7

2

3 2 4

8

@(AB) = 7 ∗ 6 ∗ 5 = 70

3 2 1

2

@(AC) = 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 1 = 70

2

8

2

4

60

8

40 200 188 84

= ΣC! = −30 ∗ 70 + 1 ∗ 70 +2 ∗ 7 + 5 ∗ 7 = −70 + 70+ 70 + 70 =

70

35

Autor: she

h n

e l

n on

o

n (http://shenlon.eu)

3