Mathcad

II Równania i układy równań

II.1. Rozwiązywanie równań - Metody numeryczne II.1.1. Metoda funkcji root

3

3

Rozwiążmy równanie x

20⋅x +

=

1. Przekształcamy je do postaci x − 20⋅x − 1 = 0 i wstawiamy wykres.

x := −5 −

, 4.9 .. 5

Definiujemy punkt startowy dla przecięcia 40

z osią 0X w okolicy x=-5:

20

x := −5

3

x −20⋅x−1

0

0

Rozwiązanie:

− 20

3

root(x

)

− 20⋅x − 1 x

,

= −4.447

− 40

Drugie rozwiązanie:

− 6

− 4

− 2

0

2

4

6

x

3

x

(

)

:= 0

root x − 20⋅x − 1 x

,

= −0.05

Trzecie rozwiązanie:

3

x

(

)

:= 3

root x − 20⋅x − 1 x

,

= 4.497

Aby znaleźć jednocześnie wszystkie rozwiązania, definiujemy wektor punktów startowych:

−5





x :=  0 

3

:=

(

)





f (x)

root x − 20⋅x − 1 x

,

 3 

i := 0 .. 2

−4.447





wyniki := f (xi)

wynik =  −0.05 





 4.497 

x := −10 −

, 9.9 .. 10

2

Zad. Rozwiąż równanie sin(x)

−0.1⋅

=

x

1

−5 

sin( x) +0.1⋅x





0

−3

0





x :=  0 

− 1





4





− 2

 6 

− 10

− 5

0

5

10

x

6

f (x) := root(sin(x) + 0.1⋅x x

, )

−5.679 

i := 0 .. 4





−3.499





wyniki := f (xi)

wynik = 

0







3.499





 5.679 

II.1.2. Metoda funkcji polyroots wyznaczania pierwiastków wielomianów 3

Znajdź miejca zerowe wielomianu x − 50⋅x + 5.

Definiujemy wektor współczynników wielomianu o n+1 wierszach, gdzie n-maksymalna potęga wielomianu: x := −10 −

, 9.9 .. 10

600

0

 5 

x

400





1

−50

x





200

3

v :=

x −50⋅x+5

 0 

2

x

0





0



3

1 

x

− 200

− 400

−7.121





− 600

= 



− 10

− 5

0

5

10

polyroots(v)

0.1





x

 7.021 

Współczynniki można wyznaczyć za pomocą polecenia coeffs. Musimy wówczas zdefiniować wielomian jako funkcję:

x := x

(Ta linijka zapobiegnie wstawieniu zakresu x z powyższego wykresu do coeffs) (po w(x) naciskamy Ctrl Shift kropka)

 5 





−7.121





3

−50





w(x) := x − 50⋅x + 5

v2 := w(x) coeffs →

= 





polyroots(v2)

0.1

0 









 7.021 

 1 

3

2

Zad. Wyznacz współczynniki wielomianu (x + 2) = (x + 2) i oblicz jego miejsca zerowe.

4 

 

−2





3

2

8

 

q(x) := (x + 2) − (x + 2)

ws := q(x) coeffs →

= 





polyroots(ws)

−2

5 





 

−1 

1 

7

x := −3 −

, 2.9 .. 0

6

4

3

2

( x+2) −(x+2)

2

0

0

− 2

− 3

− 2

− 1

0

1

x

II.2. Rozwiązywanie równań - Metody symboliczne II.2.1. Metoda 1. - za pomocą menu symbolicznego Rozwiążmy równanie

2

x − 4 = 12

2

x − 4 = 12

(symbol = wstawiamy skrótem Ctrl

=)

−4 





Wybierany zmienną x obejmując ją niebieskim znacznikiem bez potęgi,

 4 

następnie klikamy na pasku Symbolics →Variable →Solve Zad. Rozwiąż równanie

2

x + x − 1.

2

2

x + x − 1

lub

x + x − 1 = 0



5

1 







5

1

−

−





−



2

2





2

2













5

1

5

1



−



−

−



 2

2 

 2

2 

II.2.2. Metoda 2. - za pomocą polecenia solve x := x

2

x + x − 1 = 0

Klikamy gdziekolwiek na równanie i wybieramy Ctrl Shift kropka, wpisujemy solve



5

1 



−



2

2

2





x + x − 1 = 0 solve → 



5

1

−

−



 2

2 

Zad. Rozwiąż równanie h⋅x + 15 = m gdzie h i m są parametrami.

Aby wskazać zmienną, po solve dajemy przecinek i wpisujemy x.

m − 15

h⋅x + 15 = m solve x

,

→

h

8

II.3. Rozwiązywanie układów równań II.3.1. Metoda bloków

2

Rozwiąż układ równań:

x − 2 = y

x + y = 2

x := −5 −

, 4.9 .. 5

Definiujemy punkty startowe dla każdej zmiennej: 30

x := 0

y := 0

20

Given

(słowo kluczowe Given)

2

x −2 10

2

x − 2 = y

2−x

0

x + y = 2

1.562 

− 10

= 



− 6

− 4

− 2

0

2

4

6

Find(x y

, )

0.438 

x

Znajdujemy jedno z rozwiązań. Aby obliczyć drugie musimy zmienić punkt startowy: x := −5

y := 0

Given

2

x − 2 = y

x + y = 2

−2.562 

Find(x y

, ) = 



 4.562 

Zad. Rozwiąż układ równań:

x := 0

y := 0

z := 0

Given

2

x + 2⋅y − z = 0

y − 5⋅z

−

=

1

x

2⋅

=

z

 0.338





Find(x y

,

z

, ) =  −0.155 





 0.169 

3

Zad. Metodą bloków można również rozwiązywać pojedyncze równania. Rozwiąż równanie 2⋅x = 67

x := 0

Given

3

2⋅x = 67

Find(x) = 3.224

9

II.3.2. Metoda bloków symboliczna Nie definiujemy punktów startowych. Zamiast = po Find wstawiamy strzałkę kombinacją Ctrl kropka.

Zad. Rozwiąż układ równań:

Given

2

x + 2⋅y − z = 0

y − 5⋅z

−

=

1

x

2⋅

=

z

2⋅ 34 + 12 12 − 2⋅ 34 





Find(x y

,

z

, ) →  5⋅ 34 + 29 29 − 5⋅ 34 







34 + 6

6 −

34 

Zad. Rozwiąż układ równań:

a := a

Given

x + a⋅y = 0

2

x

2⋅

=

y



2 

0 − 

a





Find(x y

, ) → 

2 

0





2



a 

II.3.3. Metoda macierzowa

− 1

Rozwiązaniem równania macierzowego A⋅X = B jest macierz X

A

⋅

=

B gdzie A to macierz

współczynników a B - wektor wyrazów wolnych.

Przykład. Rozwiąż układ równań:

2⋅x + y − z = 5

y + 7⋅z = 0

−x − y + 2⋅z = 1

 2

1

−1





5

 

 5.3





− 1

A :=  0

1

7 

B :=  0 

A

⋅ B =  −4.9 





 





−1 −1 2 

1 

 0.7 

10

Sprawdźmy wynik otrzymany metodą bloków.

x := 0

y := 0

z := 0

Given

2⋅x + y − z = 5

y + 7⋅z = 0

−x − y + 2⋅z = 1

 5.3





Find(x y

,

z

, ) =  −4.9 





 0.7 

lub

X0 := 0

X1 := 0

X2 := 0

Given

A⋅X = B

 5.3





Find(X) =  −4.9 





 0.7 

II.3.4. Metoda funkcji lsolve

Podobnie jak w metodzie macierzowej definiujemy macierze A i B.

Przykład.

x + 3⋅y = 0

x − 2⋅y = 5

1 3 

0 

 3 

A := 



B :=  

lsolve(A B

, ) = 



1 −2 

5 

−1 

Zad. Rozwiąż układ równań z parametrami a i b: a := a

b := b

a⋅x − 15⋅y = 1

5⋅x − b⋅y = 2

 30⋅a + a⋅b





a −15 

1 

a⋅(a⋅b + 75)





A(a b

, ) := 



B :=  

lsolve(A (a b

, ) B

, ) →

5 b 

2 

 2



⋅a − 5





 a⋅b + 75 

11