Wykład 4

4. Modelowe ujęcie popytu jako egzemplifikacja prawa popytu1

4.1. Definicja popytu w warunkach rynku doskonałego

Popyt jest rozumiany jako zgłaszane na rynku przez nabywcę zamiary zakupu towarów przy

danym poziomie cen i danym dochodzie nabywcy. Popyt materializuje się w postaci konkretnego

koszyka towarów zakupionego przez nabywcę.

Czynnikami wpływającymi na zgłaszany przez konsumenta popyt są przede wszystkim odczuwane

przez niego potrzeby oraz jego preferencje. Należy jednak podkreślić, że nie są to jedyne czynniki determinujące wybory konsumenta. Konsument, dokonujący wyborów koszyków towarów, może

bowiem wydać na zakupy towarów tylko pewną określoną wielkość dochodów. Zarówno dochody

konsumenta, jak i ceny towarów ograniczają konsumenta. Przy danych ograniczeniach konsument,

zachowujący się racjonalnie, będzie dążył do maksymalizacji użyteczności konsumpcji, dokonując

wyboru optymalnego jego zdaniem koszyka towarów, na który może sobie pozwolić ze względów

finansowych2.

Oznaczmy zatem przez p = ( p ,..., p )

wektor cen towarów na rynku, przy czym p

n

> 0

1

i

(i=1,2,…,n) to cena i-tego towaru, a przez x = ( x , x ,..., x

oznaczmy koszyk towarów

1

2

)

n

∈ X = R

n

+

z n-wymiarowej przestrzeni towarów X. Ponadto niech I>0 będzie dochodem konsumenta, natomiast

przez D( p, I ) oznaczmy zbiór koszyków towarów, które może zakupić na rynku konsument dysponujący dochodem I. Będą to wszystkie koszyki towarów, których wartość przy cenach p nie przekracza dochodu I, co zapisujemy:

D( p, I ) = { x ∈ Rn : p x

+

,

≤ I}.

Symbol p, x oznacza iloczyn skalarny wektorów p oraz x ( p, x = p x

.

1 1 + p x

2

2 + ... + p x

n

n )

Można go interpretować jako wartość rynkową koszyka towarów, zawierającego określone ilości

poszczególnych towarów, na które na rynku ustaliły się ceny p.

Zbiór koszyków towarów, na które konsument wydaje cały swój dochód, tj. zbiór postaci:

{ x∈ Rn : p x

+

,

= I}

nazywamy linią (płaszczyzną) budżetową konsumenta.

1 Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań 2000, rozdział 1

2 Proponujemy przypomnieć sobie kategorie rynku doskonałego i popytu z podręczników z zakresu mikroekonomii np. B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 2001, H. R. Varian, Mikroekonomia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, lub inne

dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

Jeżeli n=2, to mówimy o linii budżetowej ograniczającej koszyki towarów, które ze względu na swoją wartość mogą być zakupione przez konsumenta. Gdy rozważamy zachowania konsumenta

w wielowymiarowej przestrzeni towarów, wówczas linię budżetową zastępuje hiperpłaszczyzna.

Przykład 4.1.

Niech

2

X = R

,

. Konsument dokonuje wyboru koszyka towarów z całej

1

2

∈

+ oraz ( x

x ) X

przestrzeni towarów X. Na zakup koszyka może on wydać nie więcej niż wynoszą jego miesięczne dochody, czyli 2000 zł. Wiedząc, że cena pierwszego towaru wynosi p = 5 zł oraz cena drugiego 1

towaru wynosi p = 10 zł, zilustrujemy zbiór wszystkich koszyków towarów (rysunek 4.1.), na które 2

stać tego konsumenta, czyli zbiór postaci:

D( p, I ) = { x ∈ Rn : 5

+

x + 10 x ≤ 200

1

2

}0

x

2

20

10

D( p, I )

20

40

x

1

Rys.4.1 Zbiór D( p, I ) z przykładu 4.1.

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

4.2. Uogólniona funkcja popytu

Bez dodatkowych założeń, w zbiorze D( p, I ) może istnieć dokładnie jeden najlepszy ( D( p, I ) -

preferowany) koszyk, może istnieć wiele takich koszyków lub może w ogóle nie istnieć taki koszyk.

+

Uogólnion

n 1

D( p, I

ą funkcją popytu konsumenta nazywamy odwzorowanie

)

ϕ : int R+ → 2

zadane wzorem:

 zbiór wszystkich D( p, I) − preferowanych koszyków, gdy

p, x ≤ I



ϕ( p, I) = 

,

 zbiór Ø w przeciwnym wypadku, gdy

p, x > I



przy czym

n 1

int

+

n

D( p,

+

R

- wnętrze zbioru

1

+

R+ oraz

)

2

I - zbiór wszystkich podzbiorów zbioru

D( p, I ) .

Istotne ze względu na problem istnienia rozwiązania zadania maksymalizacji użyteczności

konsumpcji, o którym będzie mowa w kolejnym punkcie wykładu jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.1. Jeżeli:

(I) relacja preferencji f jest ciągła na n

R+ ,

~

(II) pole preferencji ( n

R ,

+ f) jest silnie wypukłe,

~

to odwzorowanie ϕ jest funkcj

n

ą z int

1

+

+

R

do

n

R+ (przyporządkowującą każdej parze p>0,

I>0 dokładnie jeden najlepszy w D( p, I ) koszyk.

4.3. Model decyzji racjonalnie zachowującego się konsumenta. Zadanie maksymalizacji

użyteczności konsumpcji

W ekonomii na gruncie teorii wyboru konsumenta rozważany jest mechanizm wyboru optymalnego

(najlepszego) koszyka towarów, przy danych warunkach rynkowych.

W naszych rozważaniach do opisu teorii wyboru konsumenta, działającego w warunkach

konkurencji doskonałej, zastosujemy model decyzji racjonalnie zachowującego się konsumenta,

u podstaw którego leżą cztery podstawowe założenia:

1. Na wielkość zgłaszanego przez konsumenta popytu wpływa wielkość jego dochodów.

2. Na wielkość zgłaszanego przez konsumenta popytu wpływają ceny dostępnych na rynku

towarów.

3. Na wielkość zgłaszanego przez konsumenta popytu wpływają preferencje (upodobania)

konsumenta, które pozwalają uporządkować koszyki towarów w zależności od satysfakcji jakiej

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

dostarczają konsumentowi.

4. Racjonalnie zachowujący się konsument dąży do zaspokojenia odczuwanych przez siebie

potrzeb w stopniu maksymalnym.

Zastosowany model zachowania konsumenta opisuje zachowania nabywców oraz jest próbą

wyjaśnienia, w jaki sposób rynek wpływa na decyzje konsumentów, których ograniczają określone dochody oraz ceny towarów. Model decyzji racjonalnie zachowującego się konsumenta pełni funkcję

poznawczą i predyktywną, czyli pozwala opisać oraz przewidywać reakcje konsumenta na

zmieniające się warunki rynkowe.

Zakładamy, że na podstawie relacji preferencji została zdefiniowana funkcja użyteczności

n

1

u : R+ → R . Wówczas zadanie wyboru najlepszego, zdaniem konsumenta, koszyka w zbiorze D( p, I ) , czyli w zbiorze towarów dostępnych ze względu na ceny p i dochód I (zadanie maksymalizacji użyteczności) możemy sformułować następująco:

Szukamy koszyka x, który:

max u( x) ,

przy dochodowych i cenowych ograniczeniach:

p, x ≤ I oraz x ≥ 0 .

Zadanie maksymalizacji użyteczności konsumenta oznacza zatem znalezienie maksimum funkcji

użyteczności u( x) konsumenta przy ograniczeniach: p, x ≤ I , x ≥ 0 .

Zakładamy, że funkcja użyteczności jest ciągła, silnie wklęsła, rosnąca i dwukrotnie

różniczkowalna. Na tej podstawie wnioskujemy, że związana z tą funkcją relacja preferencji jest ciągła

i silnie wypukła (wniosek z twierdzeń przedstawionych w paragrafie 3). Wówczas rozwiązaniem

zadania maksymalizacji jest wektor (koszyk) x , będący funkcją zmiennych p>0, I>0: x = ϕ( p, I ) .

Twierdzenie 4.2.

Jeżeli funkcja użyteczności jest silnie wklęsła, rosnąca i ciągła, to ∀ p > , 0 ∀ I > 0 funkcja

popytu ϕ jest ciągła.

Z warunku niedosytu (ciągłości oraz monotoniczności funkcji użyteczności) wynika, że rozwiązanie

zadania maksymalizacji użyteczności leży na linii budżetowej, ponieważ konsument, aby

zmaksymalizować użyteczność chce wydać swój cały dochód. Co więcej, rozwiązanie to leży na

przecięciu się linii budżetowej z najwyżej położoną krzywą obojętności konsumenta.

Ilustrację rozwiązania zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji, dla przypadku

dwuwymiarowego przedstawia rysunek 4.1.

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

x

2

I / p

2

K =

∈ +

=

x

{

2

x

R : u( x)

u( x }

)

x

p x

1 1 + p x

2

2 = I

I / p

x

1

1

Rys.4.1.

Rozwiązanie

zadania

maksymalizacji

użyteczności

konsumenta

dla

przypadku

dwuwymiarowego.

Przykład 4.2.

Wiemy,

2

że

funkcja

użyteczności

konsumenta

1

u : R+ → R zadana jest wzorem:

2

2

u(( x , x )) = x x oraz że konsument jest gotowy wydać cały swój dochód I na zakup dwóch dóbr.

1

2

1

2

Zadanie maksymalizacji użyteczności konsumpcji przyjmuje wówczas postać:

2

2

max x x ; x , x ≥ 0 ,

1

2

1

2

p x

.

1 1 + p x

2

2 ≤ I

Twierdzenie 4.3.

Przy założeniu, że funkcja użyteczności u jest silnie wklęsła, ciągła, różniczkowalna i rosnąca na

n

R+ oraz konsument nabywa każdy z n towarów, dodatniemu wektorowi cen p

i dodatniej wielkości dochodu I odpowiada zawsze dokładnie jedno rozwiązanie x, λ układu równań:

∂ u( x)



= λ p

 ∂ x

x= x

.

 I − p, x = 0

Z definicji krańcowej stopy substytucji i warunku zawartego w powyższym twierdzeniu

otrzymujemy:

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

u

∂ ( x) u

∂ ( x)

λ p

p

i

i

s ( x) =

:

=

=

ij

x

∂

x

∂

x=

λ

x

p

p

i

j

j

j

Wniosek:

Krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w optymalnym koszyku, będącym

rozwiązaniem zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji, jest równa stosunkowi cen tych

towarów. Im cena towaru substytuowanego jest wyższa, tym wyższa jest także krańcowa stopa

substytucji.3

O pochodnej u

∂ ( x) I

∂ , mówimy, że charakteryzuje krańcową użyteczność dochodu, jeżeli koszyk towarów x jest rozwiązaniem zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji.

u

∂ ( x)

u

∂ ( x)

1

O ile I = p, x , to:

=

⋅

.

I

∂

x

∂

p

i

i

x= x

u

∂ ( x)

∂ u( x)

Jednak ponieważ

= λ p , to ostatecznie otrzymujemy

= λ .

x

∂

∂ I

Wniosek:

1. Pojawiający

się

w

zadaniu

maksymalizacji

użyteczności

konsumpcji

optymalny

mnożnik λ charakteryzuje krańcową użyteczność dochodu.

2. Ze względu na definicję oraz interpretację pochodnej w matematyce, traktowanej jako miara przyrostu funkcji, możliwa jest jej interpretacja ekonomiczna oraz zastosowanie do budowania

mierników zależności pomiędzy popytem a jego uwarunkowaniami (krańcowa stopa

substytucji, elastyczność substytucji itd.).

4.4. Własności funkcji popytu a uwarunkowania popytu

Niech

n

1

n

ϕ :int R ×int R → R

+

+

+ będzie funkcją popytu konsumpcyjnego uzależniającą popyt

konsumenta na towary od cen towarów i dochodu konsumenta.

Zakładamy, że argumentami funkcji popytu są tylko dodatnie ceny i dodatnie dochody, przy których

funkcja przyjmuje wyłącznie dodatnie wartości.

Własność 1:

Funkcja popytu jest dodatnio jednorodna stopnia 0, ca zapisujemy:

3 Por. rozważania na ten temat w dowolnym podręczniku mikroekonomii.

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

p

∀ > ,

0

I

∀ > ,

0

λ

∀ > 0 (ϕ(λ p,λ I)

0

= λ ϕ( p, I))

tzn. popyt konsumpcyjny zależy od struktury cen i dochodów, a nie zależy od ich bezwzględnego

poziomu. Warunek ten nazywa się "brakiem iluzji pieniądza".4

Przykład 4.3.

1

1

Funkcja u

2

żyteczności konsumenta

1

u : R

2

=

+

+ → R zadana jest wzorem:

2

u( x)

x

x .

1

2



p

I

ϕ ( p, I ) = 2

1

⋅



p

p

p

1

1 +

ϕ ( p, I ) = 

2

Odpowiadająca jej funkcja popytu ma postać:

.



p

I

ϕ ( p, I ) = 1

2

⋅



p

p

p

2

1 +

2

Pokażemy, że funkcja popytu jest dodatnio jednorodna stopnia 0. Załóżmy, więc że ceny obu

towarów oraz dochód maleją o tyle samo procent:

p' = λ p , p' = λ p , I ' = λ I , gdzie λ > 0 .

1

1

2

2

Wówczas otrzymujemy:

λ p

λ I

p

I

ϕ ( p' , I') = ϕ (λ p ,λ I)

2

2

=

⋅

=

⋅

= ϕ ( p , I)

1

1

1

1

1

1

λ p λ p + λ p

p

p + p

1

1

2

1

1

2

oraz

λ p

λ I

p

I

ϕ ( p' , I') = ϕ (λ p ,λ I)

1

1

=

⋅

=

⋅

= ϕ ( p , I) .

2

2

2

2

2

2

λ p λ p + λ p

p

p + p

2

1

2

2

1

2

Zatem pokazaliśmy, że dana funkcja popytu jest dodatnio jednorodna stopnia 0, skąd wynika, że zmiana cen i dochodu, wszystkich w takim samym stopniu (np. trzykrotnie λ = 3 ), nie wpływa na zmianę popytu konsumenta.

Zanim omówimy kolejne własności funkcji popytu, wyjaśnimy pojęcie dochodu kompensującego

zmianę cen.

Na rynku obserwujemy bezustanne, różnokierunkowe zmiany cen. Zgodnie z prawem popytu,

wzrost ceny jakiegoś towaru powoduje zmniejszenie ilości towaru kupowanej przez nabywcę. Aby

konsument mógł kupować dotychczasowe ilości, musi wzrosnąć jego dochód.

4 Brak iluzji pieniądza oznacza, że konsument nie odczuje żadnej zmiany swojej sytuacji rynkowej, gdy wszystkie ceny wzrosną np. trzykrotnie i trzykrotnie wzrosną jego dochody. Nie wpłynie to na jego popyt.

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

Niech

*

p > ,

0

*

I > 0 oznaczają odpowiednio wektor cen oraz dochód w chwili

pocz

*

*

*

ątkowej. Zakładamy ponadto, że x = ϕ ( p , I ) .

Jeżeli w następnym okresie ceny towarów wzrosną do poziomu p, to różnicę

*

I ( p) − I

nazywamy przyrostem dochodu kompensującego zmianę cen (

*

z

p

na

p) , gdzie:

I ( p) = min{ I : u(ϕ( p, I )) ≥ u( *

x }

) lub inaczej I ( p) = min

p, x

u ( x) u ( x*

≥

)

Dla danego koszyka towarów

*

x , przyrost dochodu kompensujący zmianę cen z

*

p na p

utożsamiamy z minimalnym dodatkowym dochodem konsumenta, przy którym może on nabyć koszyk

towarów co najmniej indyferentny z *

x .

Znając definicję przyrostu dochodu kompensującego zmianę cen, możemy w następnej kolejności

zdefiniować funkcję kompensacyjnego popytu:

Funkcj

n

ę

n

f : int R → R

= ϕ

+

+ , zadaną wzorem f ( p)

( p, I ( p)) , przyporządkowującą każdej

cenie

n

p ∈ int R+ rozwiązanie zadania minimalizacji wydatków nazywamy funkcją

kompensacyjnego popytu (zwaną również funkcją popytu Hicksa).

Własność 2:

Zmiana popytu na i-ty towar przy kompensowanym, jednostkowym wzroście ceny j-tego towaru jest

równa zmianie popytu na j-ty towar przy kompensowanym, jednostkowym wzroście ceny i-tego

towaru.

f

∂ ( p)

f

∂ ( p)

j

i

=

, i, j = ,

1 ..., n

p

∂

p

∂

j

i

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

Własność 3:

Przy wzroście dochodu kompensującego wzrost ceny towaru, popyt na ten towar maleje:

f

∂ ( p)

i

< ,

0

i, j = ,

1 ..., n ,

p

∂ i

Własność 4:

Popyt na towar, którego cena rośnie, może jednak nie maleć, gdy wzrostowi ceny towaru nie

towarzyszy kompensujący wzrost dochodu. Jeżeli wraz ze wzrostem ceny, popyt na towar rośnie, to wraz ze wzrostem dochodu popyt na ten towar będzie maleć:

∂ϕ ( p, I)

ϕ

j

∂ ( p, I)

> 0 ⇒

j

< 0

∂

.

p j

∂ I

Zjawisko wzrostu popytu na towary, których cena rośnie, nosi nazwę "paradoksu Giffena".

Z funkcji popytu wyprowadza się miary reakcji popytu na jego uwarunkowania, są tu

wykorzystywane elastyczności funkcji.

∂ϕ ( p, I)

p



c

j

Tablic

i

ę

ε ( p, I) = 

⋅



nazywamy

macierzą

współczynników



p

∂

ϕ ( p, I)





j

i

 ( n, n)

elastyczności cenowej popytu.

Elementy głównej przek

c

ątnej tej macierzy εjj (i=j) nazywamy elastycznościami cenowymi

popytu.

Elementy znajduj

c

ące się poza główną przekątną macierzy εij (i≠j), nazywamy natomiast elastycznościami krzyżowymi popytu.

ϕ

∂ ( p, I)

d

j

I

Wyrażenie ε ( p, I ) =

⋅

j

I

∂

ϕ ( p, I)

j

nazywamy elastycznością dochodową popytu na j-ty towar (j=1,...,n)

Elastyczność cenowa popytu informuje o ile procent zmieni się popyt na towar przy wzroście jego

ceny o 1 procent.

Elastyczność krzyżowa popytu informuje o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście

ceny j-tego towaru o 1 procent.

Elastyczność dochodowa popytu informuje o ile procent zmieni się popyt na towar przy wzroście dochodu o 1 procent.

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

Uwagi:

1. Współczynniki elastyczności funkcji w ogóle mogą przyjmować wartości z przedziału [− ∞;+∞].

2. Zerowa wartość wskaźnika elastyczności oznacza, że zmienna objaśniana nie reaguje na

zmianę czynnika objaśniającego. W przypadku elastyczności cenowej popytu, mówimy, że

popyt jest na dany towar jest sztywny ze względu na zmiany jego ceny. W przypadku

elastyczności krzyżowej popytu, sytuacja taka oznacza, że na popyt na dane dobro, nie wpływa

zmiana ceny innego dobra i o takich dobrach mówimy, że są względem siebie neutralne.

Zerowa wartości elastyczności dochodowej popytu oznacza z kolei sztywność popytu względem

zmian dochodu.

3. Najbardziej typowe wartości przyjmowane przez wskaźnik elastyczności cenowej popytu, to

wartości ujemne, potwierdzające działanie prawa popytu. Natomiast najbardziej typowe wartości

wskaźnika elastyczności dochodowej popytu stanowią wartości dodatnie.

4. Należy zaznaczyć, że wartości elastyczności dochodowej popytu zależą w dużym stopniu od

znaczenia dobra w procesie zaspokajania potrzeb nabywcy. I tak w przypadku dóbr niższego

rzędu przy niskich dochodach nabywcy wartość tego wskaźnika jest dodatnia, wraz ze

wzrostem dochodów maleje do zera, a po przekroczeniu pewnego poziomu dochodów

przyjmować może wartości ujemne, co oznacza, że konsument rezygnuje z konsumpcji dóbr

niższego rzędu na rzecz dóbr bardziej luksusowych (np. konsument rezygnuje z zakupu

kaszanki na rzecz szynki).

5. Elastyczność dochodowa popytu w przypadku dóbr luksusowych jest dodatnia i przyjmuje do

pewnego poziomu dochodu wartości bliskie jedności.

6. Jeżeli wskaźniki elastyczności dochodowej bądź cenowej popytu przyjmują co do wartości

bezwzględnej wartość 1, to mówimy, że popyt reaguje proporcjonalnie na zmiany odpowiednio

dochodów bądź cen.

7. Kształtowanie się wartości współczynników elastyczności krzyżowej pozwala stwierdzić

istnienie relacji substytucji, komplementarności lub neutralności między towarami. I tak

w przypadku towarów substytucyjnych wskaźnik elastyczności krzyżowej przyjmuje wartości

ujemne, dla doskonałej substytucji − ∞ . Dla dóbr komplementarnych wartość wskaźnika

elastyczności krzyżowej jest dodatnia, a dla dóbr neutralnych wynosi zero.

8. Wartości przyjmowane przez wskaźniki elastyczności krzyżowej dla dóbr komplementarnych

zależą istotnie od relacji cen dobra podstawowego i komplementarnego oraz proporcji, w jakich

użytkuje się oba dobra.

Towary konsumpcyjne można podzielić ze względu na wartości miar elastyczności popytu.

Przykładową klasyfikację przedstawia tabela 4.1.

Tabela 4.1. Podział towarów ze względu na wartości miar elastyczności popytu.

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

Towary normalne

Towary Giffena

(ε c

c

jj <0)

(εjj >0)

Towary wyższego rzędu

kawior, brylanty

X

(ε d

j >0)

Towary niższego rzędu

chleb, ziemniaki w Irlandii

margaryna, kaszanka

(ε d

j <0)

pod koniec XIX w.

Przypomnijmy, że:

Towar, na który popyt rośnie wraz ze wzrostem jego ceny nazywamy towarem Giffena.

Jeżeli natomiast popyt na dany towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny, to taki towar nazywamy normalnym.

Towar, na który popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodu nazywamy towarem wyższego rzędu.

Jeżeli jednak popyt na dany towar maleje wraz ze wzrostem dochodów, to taki towar nazywamy towarem niższego rzędu.

Podsumowanie:

1. Funkcja popytu jest sformalizowanym sposobem przedstawienia prawa popytu.

2. Funkcja ta jest opisana w przestrzeni wielowymiarowej, co stanowi o trudności jej praktycznej identyfikacji. Jej uproszczoną postać przedstawia się w podręcznikach mikroekonomii jako

funkcję malejącą, uzależniającą popyt na dany towar od jednej zmiennej, najczęściej ceny, przy

założeniu stałego dochodu.

3. Funkcję popytu konstruuje się przy szeregu założeń upraszczających, a mianowicie przyjmuje się, że nabywca jest podmiotem zachowującym się racjonalnie, ma miejsce zjawisko niedosytu,

konsument dysponuje pełną informacją o rynku i charakteryzuje go doskonała mobilność,

ograniczają go tylko ceny i dochód, czyli konsument podejmujący racjonalne decyzję działa na

rynku doskonale konkurencyjnym.

4. Funkcja popytu, podobnie jak w przypadku funkcji użyteczności, funkcja popytu charakteryzuje

zachowania pojedynczego nabywcy.

5. Własności funkcji popytu wynikają z założeń o rynku doskonałym, są wynikiem przyjętych

wcześniej założeń o preferencjach nabywcy oraz funkcji użyteczności, np. ciągłość funkcji

popytu jest wyprowadzana z ciągłości i wklęsłości funkcji użyteczności, co jest następstwem

ciągłości i wypukłości pola preferencji i w ostateczności implikacją założenia o doskonałej

podzielności towarów.

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

Pytania kontrolne:

1. Sformułuj zadanie maksymalizacji użyteczności konsumpcji.

2. Podaj założenia modelu decyzyjnego racjonalnie zachowującego się konsumenta.

3. Narysuj i zinterpretuj linię ograniczenia budżetowego dla rynku dwóch towarów.

4. Podaj definicję zbioru D( p, I ) .

5. Jak interpretujemy ujemne wartości elastyczności dochodowej popytu? Kiedy przyjmuje ona

wartość 1?

6. Jakie założenia powodują, że funkcja popytu jest malejącą funkcją ceny?

7. Przy założeniu, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie zadania maksymalizacji użyteczności p

konsumpcji udowodni

i

ć, że s ( x ) =

.

ij

p j

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna I