Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Zadanie 1.
Oblicz podaną granicę ciągu
2
4
6
2 n 2 − 4 n !3 sin n− 2 n (a) lim
+
+
+ . . . +
; n > 3
n→∞
n 4 + 4 n 2
n 4 + 4 n 2
n 4 + 4 n 2
n 4 + 4 n 2
√
ln n !2 n− 1
(b) lim
9 n + 2 1 −
n→∞
2 n
n − 2 n− 2
(c) lim 2 n+2
n→∞
2 n + 4
n
4 n
(d) lim 16 n+13
n→∞
2 n + 333
√
√
(e) lim ( n −
n − nk) w zależności od k < 1
n→∞
sin 2
n
(f) lim
tg π + tg π sin2 1 n n→∞
4
n
q
(g) lim
3 n −
9 n 2 + n arctg( n!) n→∞
n + arctg n !ln 2 n (h) lim
n→∞
n − arctg n
2
1
3 n+4
(i) lim
n→∞
2 − 3 n + 3 − 2 n+3
(j) lim (1 + log 2)log4(2 n) n→∞
n
2 1+ctg 1 n
(k) lim
1 − sin
n→∞
n
√
(l) lim
n 2 + nα + αn − n w zależności od α ∈ R
n→∞
1
n
n− 1 n 2 + 32 −n (ł) lim
n
n→∞ (sin n)2 n + (arctg( n!)) n− 1
n
n+1
(m) lim 2 n− 13
n→∞
2 n − 13
2
log 8 n + 2 n
! n
(n) lim
2
n→∞
(tg 1 ) n + (log 2) n
n
8
Zadanie 2.
n ln nα
Dla jakich wartości α ∈ R zachodzi lim log
< 9?
n→∞
n 3
Zadanie 3.
√
Dla jakich wartości x > 0 mamy lim n− 1 2 n + x 1 −n ∈ (2 , 22)?
n→∞
Zadanie 4.
s 22 n + (arctg( −n)) n Dla jakich wartości a > 0 zachodzi lim n+1
n
< 1?
n→∞
3 n + a 2
Zadanie 5.
n 2 − β !(1 −n) ln( −β) Wyznacz zbiór tych wartości β ∈ R, dla których lim
< 4 .
n→∞
n 2 − βn
Zadanie 6.
An
n − A
Oblicz granicę lim
w zależności od A ∈ R. Wyznacz zbiór możliwych wartości liczbowych n→∞
n + A
tej granicy.
Zadanie 7.
√
√
Dla jakich wartości α ∈
3
R mamy lim
n 3 + nα − 3 n 3 − αn ∈ R, a dla jakich ∈ R \ { 0 }?
n→∞
Zadanie 8.
q
Naszkicuj wykres funkcji f ( x) = lim n 2 −n + (sin2 2 x) n; x ∈ [0 , π].
n→∞
Zadanie 9.
Wyznacz wszystkie wartości β ∈ R, dla których istnieje granica właściwa
n
n + 1
n + 2
3 n
n
lim
β
+
+
+ . . . +
.
n→∞
n 2 + 1
n 2 + 1
n 2 + 1
n 2 + 1
Jakie wartości może przyjąć wtedy ta granica?
Zadanie 10.
( n + 2)3 − ( n + 1)3
! n
Oblicz granicę lim
. Następnie bez obliczania wskaż, ile wyniosłaby n→∞
2(2 + 5 + 8 + . . . + (3 n − 4)) taka granica, gdyby ostatni składnik mianownika wyniósł (3 n + 2), a ile gdyby wyniósł on (6 n − 1).
2
Oblicz (bez wykorzystywania reguły de l’Hospitala) podane granice funkcji x
3 x − 4 x− 1
(a) lim
x→ 1
1 − 2 x
1
e x − cos(2 x)
(i) lim
cos( x − π )
1
x→ 0 −
(b) lim
2
w zależności od n ∈
e x + ctg x
N
x→π
tg nx
2
1
(j) lim 1 + sin2 x 1 − cos x
x + 1
x→ 0
(c) lim log
x→∞
1 − 5
x
x
x
(k) lim (1 + cos x) 2 x−π
x→ π
(d) lim(1 − ln x)log x e 2
x→ 1
3 x − 6 x
(e) lim x log
(l) lim
2 −x 2
x→ 0 cos 6 x− 3 π
x→ 1
2
(f) lim log ln x
4
2 x − 1 3 −x
x→∞
x
(m) lim
x→ 3
8 − x
x cos x + sin x (g) lim
x→ 0
e 4 x − 1
1 + x 3
(n) lim
x→− 1 sin( πx) + log ( x + 2) 2 · 4 x − 2 x+2
2
(h) lim
x→ 1
1 − x
Zadanie 12.
Znajdź asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji
√ 4 x − x 3
(a) f ( x) = √ 2 − x
| 1 + x|
(b) g( x) = √x 2 − 1
x 2 + 4 x + 3
(c) h( x) = √x 2 + 2 x − 3
Zadanie 13.
8 + x 3
W jakim punkcie i pod jakim kątem przetną się asymptoty funkcji f ( x) =
?
4 − x 2
Zadanie 14.
Wyznacz A z równania lim(ln( ex))log x(2 A) = A 2 − 7 .
x→ 1
Zadanie 15.
(
(1 − 22 x) ctg x dla 0 < x < π
Wyznacz wszystkie pary ( A, B), dla których funkcja f ( x) =
2
x 2 − Ax + B
dla x ∈ R \ (0 , π) jest ciągła w dokładnie jednym z dwóch punktów: 0 albo π.
3