1. Wypisać kilka początkowych wyrazów ciągu określonego następująco: π
n
n
a) a = 1 +
cos
n
n +
1
2
0 n =1
b) a = 2 n = 2,3
n
1
n ≥ 4
n
n
c) a =
,gdzie [ x] –cecha liczby x ( największa liczba całkowita, nie większa od liczby x) n
2
(1 + 5) n − (1 − 5) n d)
f =
n
2 n 5
a
+ a
e)
n 1
−
n−2
a = 2, a = 0, a =
dla n > 2
1
2
n
2
2 n +1
2. Dany jest ciąg a =
n
n
a) narysować wykres ciągu b) zbadać jego monotoniczność c) czy ciąg jest ograniczony?
3. Zbadać monotoniczność ciągu 2 n + 3
n + 7
a) a =
a = −
c) a =
n
n
n +
b)
( 1) n
1
n
3 n + 5
4. Czy dane ciągi są ograniczone?
π
n
a) a = ( 1
− ) n b) b = ( 2
− ) n
c) c = sin
d)
2
c = n
n
n
n
2
n
5. Znaleźć granicę ciągów ( a n) 2 n +10
3
( − n )2
6
(2 n + 2)
( n + 2)!+ ( n +1)!
a) 3
+
b)
c)
7 −16 n
15 + 4 n
5
( n −1)
( n + 2)!− ( n +
1)!
n
4
2
2
( n + 2) ⋅ n + 1
d)
e)
2
log(1 + n ) − 2log n f) 2
2 + 7 n − n
3
4 n + n + 1
6. Znaleźć granicę ciągów ( a n) a) 3 n − 9 2
n +1
b) 3 n + 9 2
n +1
c) 3 3
2
n + 7 n − n d) 3
− n 3
1
+ n
+
−
−
e)
n
n
n
n
7. Znaleźć granicę ciągów ( a n) n
9 n 2 +1
2
3⋅ 22 n 1
+ − 8
n 2
n
+ 3
a)
n
+
.
0 001 + b)
c)
n 2 + 4
3
4 n 1
− + 3
1
2 n
n
n + 2
d) 8 n
6 n
4 n
−
−
8. Znaleźć granicę ciągów ( a n) 1
1
1+
+ ...+
1
2
n
2
n
a)
+
+ ...+
b)
2
k
k
k
n
n
n
1
1
1 + + ... +
3
3 n
9. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granicę ciągów ( a n) 1
cos2 n + 3 n
a) n 3 n
n
π n
+ e +
b)
sin n!
c)
n
2 n −1
n
+ −
1
1
1
n
8 n
( 1)
d)
3
n + 5
e)
f) n ⋅
+
+ ...+
2 n + 1
n 2 +1 n 2 + 2
n 2 + n
10. Znaleźć granicę ciągów ( a n)
+57
10 n
n
n +
n
2
1
1+ n
a)
b) 1 −
c)
n + 3
n 2
n
3 + 1
2
n +2
n
2 n 2 +1
3
1
n + 7
d)
e) 1
+
f) n ln
2
n +1
2
n + n +1
n
11. Znaleźć granicę ciągu a = 6, a
= 6 + a
1
n 1
+
n