CIĄGI LICZBOWE

1. Wypisa

ć

kilka pocz

ą

tkowych wyrazów ci

ą

gu okre

ś

lonego nast

ę

puj

ą

co:

a)

π

1

cos

1

2

n

n

n

a

n

= +

+

b)

0

1

2

2,3

1

4

n

n

a

n

n

n





=



=

=







≥



c)

2

n

n

a

 

=

 

 

,gdzie [x] –cecha liczby x ( najwi

ę

ksza liczba całkowita, nie wi

ę

ksza od liczby x)

d)

(1

5)

(1

5)

2

5

n

n

n

n

f

+

− −

=

e)

1

2

1

2

2,

0,

dla

2

2

n

n

n

a

a

a

a

a

n

−

−

+

=

=

=

>

2. Dany jest ci

ą

g

2

1

n

n

a

n

+

=

a) narysowa

ć

wykres ci

ą

gu b) zbada

ć

jego monotoniczno

ść

c) czy ci

ą

g jest ograniczony?

3. Zbada

ć

monotoniczno

ść

ci

ą

gu

a)

2

3

1

n

n

a

n

+

=

+

b)

( 1)

n

n

a

= −

c)

7

3

5

n

n

a

n

+

=

+

4. Czy dane ci

ą

gi s

ą

ograniczone?

a)

( 1)

n

n

a

= −

b)

( 2)

n

n

b

= −

c)

π

sin

2

n

n

c

=

d)

2

n

c

n

=

5. Znale

źć

granic

ę

ci

ą

gów (a

n

)

a)

n

n

n

n

4

15

)

3

(

16

7

10

2

2

3

+

−

+

−

+

b)

6

5

(2

2)

(

1)

n

n

+

−

c)

(

2)! (

1)!

(

2)! (

1)!

n

n

n

n

+ + +
+ − +

d)

2

7

2

4

n

n

n

−

+













e)

2

log(1

)

2log

n

n

+

−

f)

2

2

3

(

2)

1

4

1

n

n

n

n

+

⋅

+

+ +

6. Znale

źć

granic

ę

ci

ą

gów (a

n

)

a)

1

9

3

2

+

−

n

n

b)

1

9

3

2

+

+

n

n

c)

3

3

2

7

n

n

n

+

−

d)

n

n

+

−

3

3

1

e)

n

n

n

n

+

−

−

7. Znale

źć

granic

ę

ci

ą

gów (a

n

)

a)

n

n

n

n













+

+

+

+

3

2

001

.

0

4

1

9

2

2

b)

3

4

8

2

3

1

1

2

+

−

⋅

−

+

n

n

c)

2

3

1

2

2

n

n

n

n

n

+

+

d)

8

6

4

n

n

n

−

−

8. Znale

źć

granic

ę

ci

ą

gów (a

n

)

a)

k

k

k

n

n

n

n

+

+

+

...

2

1

b)

1

1

1

...

2

2

1

1

1

...

3

3

n

n

+ + +

+ + +

9. Korzystaj

ą

c z twierdzenia o trzech ci

ą

gach znale

źć

granic

ę

ci

ą

gów (a

n

)

a)

3

π

n

n

n

n

e

+ +

b)

1

sin !

n

n

c)

1

2

3

cos

2

−

+

n

n

n

d)

3

5

n

n

+

e)

8

( 1)

2

1

n

n

n

+ −

+

f)













+

+

+

+

+

+

⋅

n

n

n

n

n

2

2

2

1

...

2

1

1

1

10. Znale

źć

granic

ę

ci

ą

gów (a

n

)

a)

57

3

2

+













+

+

n

n

n

b)

n

n

10

2

1

1













−

c)

n

n

n













+

+

1

3

1

d)

n

n

n













+

+

1

1

2

2

2

e)

3

2

2

2

1

1

1

+













+

+

+

n

n

n

f)

7

ln

n

n

n

+













11. Znale

źć

granic

ę

ci

ą

gu

1

1

6,

6

n

n

a

a

a

+

=

=

+