Ćwiczenia ze statystyki
Rozkład dwumianowy i rozkład poissona
Zad 1: Rozkład dwumianowy
Wyobraźmy sobie monetę tak wyważoną, że na 100 rzutów 98 razy wypada orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo tego że w 10 rzutach wypadną dokładnie 2 orły?
Co robimy?
1. Tłumaczymy zadanie na matematykę.
•
Rzucamy 10 razy monetą czyli mamy daną ilość zdarzeń n = 10
•
Chcemy by orzeł wypadnie 2 razy czyli mamy ilość sukcesów k = 2
•
Mamy również prawdopodobieństwo sukcesu p = 98/100 = 98%
2. Szukamy rozkładu który opisywał by nam to zdarzenie.
•
Zdarzenie ma rozkład dyskretny, skokowy czyli ilość sukcesów jest liczbą naturalną
•
Ilość zdarzeń jest mała*
•
Wynikiem zdarzenia losowego może być tylko sukces albo porażka 3. Zaglądamy do tablicy rozkładów którą mamy albo którą dopiero sobie przygotujemy(bo warto)
•
Rozkład dwumianowy
•
Rozkład Poissona
4. Wybieramy odpowiedni, czyli w naszym przypadku rozkład dwumianowy 5. Wstawiamy do wzoru na prawdopodobieństwo k sukcesów w n zdarzeniach P ( k )=( n) pk (1− p)( n− k) n
k
P (2)=(10)0,982 0,028
10
2
P (2)≈0,0000044
10
Zad 2: Rozkład Dwumianowy/Poissona 1
Jaki wynik byśmy otrzymali korzystając z rozkładu poissona?
λk
P ( λ , k )=
e− λ
k !
Gdzie:
λ: ilość zdarzeń razy prawdopodobieństwo sukcesu λ = np. (oczekiwana ilość sukcesów) K: ilość sukcesów
Zad 3: Dystrybuanta rozkładu dwumianowego
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 10 rzutach wyrzucimy resztkę mniej niż 9 razy?
Co robimy?
1. Tłumaczymy zadanie na matematykę.
•
Rzucamy 10 razy monetą czyli mamy daną ilość zdarzeń n = 10
•
Chcemy by resztka wypadła 1,2,3... albo 8 razy czyli k = 0,1,2,3 …,8
•
Czyli szukamy dystrybuanty F (9)= P ( K<9)= P (0)+ P (1)+... P (8) 10
10
10
10
•
Prawdopodobieństwo sukcesu tak jak w zad1 p = 98%
2. Rozkład opisujący to zdarzenie znaleźliśmy wcześniej więc tyko wstawiamy liczby.
F (9)= P (0)+ P (0)+...+ P (8)=(10) p 0(1− p)(10−0)+(10) p 1(1− p)(10−1)+...+(10) p 0(1− p)(10−8) 10
10
10
0
1
8
3. Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P (9)+ P (10)=(10) p 9(1− p)(1)+(10) p 10(1− p)(0) 10
10
9
10
10
10
4. Korzystamy z zależności między prawdopodobieństwami zdarzeń przeciwnych F (9)≈0,016
Komentarz:
Kiedy liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego? Zawsze gdy jest to łatwiejsze od policzenia prawdopodobieństwa zdarzenia szukanego.
Zad4:Prawdopodobieństwa przeciwne.
Wykonać poprzednie zadanie nie korzystając ze sztuczki ze zdarzeniem przeciwnym i porównać wyniki. Można skorzystać z arkusza kalkulacyjnego, program napisać, ewentualnie na kartce.
Zad5: Rozkład Dwumianowy/Poissona 2
Nadal mamy oszukaną monetę. Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania 39 razy reszki w 100
rzutach?
1. Dane:
•
n = 100; Ilość rzutów
•
k = 39; Ilość sukcesów
•
p = 0,02; Prawdopodobieństwo sukcesu. Tym razem chcemy otrzymać reszkę.
2. Z jakiego rozkładu skorzystać?
•
Rozkład dyskretny
•
Możliwe tylko dwa wyniki: Orzeł lub reszka, porażka lub sukces więc jest to rozkład dwumianowy.... ale
•
n > 20
•
p jest małe
więc możemy przybliżyć rozkład dwumianowy rozkładem Poissona.
3. Wstawiamy dane do wzorów
•
Z dwumianowego
P (39)=(100)0.0239(0,98)(61)
100
39
•
Z Poissona
239
P (2,39)=
e−2
39 !
4. Obliczenia proszę wykonać samodzielnie.
5. Porównujemy wyniki
Komentarz:
W rozkładzie poissona nigdzie nie występuje ilość zdarzeń losowych n. Występuje tam tylko wartość oczekiwana λ. Μοże to być przydatne, chociażby w zadaniu ze stacją benzynową do której przeciętnie w ciągu godziny podjeżdża samochód.
Zad6. Wartość oczekiwana
Ile razy należy rzucić oszukaną monetą by oczekiwana ilość resztek wynosiła 1?
Podpowiedź:
wzór na wartość oczekiwaną w obydwu omawianych zadaniach jest taki sam i jest równy iloczynowi ilości zdarzeń (n) oraz prawdopodobieństwa sukcesu (p) Zad.7 Gwiazdy w układach wielokrotnych 1
Załóżmy że 2/3 gwiazd znajduje się w układach wielokrotnych (dwu, trzy, cztero....krotnych). Ile
gwiazd pojedynczych spodziewamy się znaleźć gołym okiem na nocnym niebie? Gołym okiem na niebie widać około 2000 gwiazd.
Zad.8 Gwiazdy w układach wielokrotnych 2
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że patrząc przez teleskop na 10 przypadkowych gwiazd.
a) Dokładnie dwie będą pojedyncze.
b) co najmniej dwie będą pojedyncze.
Podpowiedź.
10 to jest mało.
Co najmniej dwie. To znaczy że nie może być jedna.