Funkcja wykładnicza

Zakres rozszerzony

Zadanie 1.
Aby obliczyć wartość sumy 2

x

+ 2

–x

wiedząc, że 4

x

+ 4

–x

= 23, możemy postąpić następująco:

•

4

x

+ 4

–x

= 23

⇔

(2

x

+ 2

–x

)

2

– 2 = 23

⇔

(2

x

+ 2

–x

)

2

= 25

•

∧

∈

R

x

2

x

+ 2

–x

> 0 i (2

x

+ 2

–x

)

2

= 25, więc 2

x

+ 2

–x

= 5.

Postępując podobnie, oblicz wartość sumy 2

⋅

3

x

+ 3

–x

, jeśli wiadomo, że 4

⋅

9

x

+ 9

–x

= 60.

Zadanie 2.

Rozwiąż graficznie równanie:

2

x

8

x

3

3

2

1

2

x

−

−

=

+













−

.

Zadanie 3.
Rozwiąż równanie oraz nierówność:
a) 4

3x

– 7

⋅

4

x

+ 6 = 0,

b)

125

27

3

5

5

3

x

1

1

x

≥











⋅













−

+

.

Zadanie 4.
Dla jakich wartości parametru m

∈

R, równanie: 2

2x

+ 2

2x – 1

+ 2

2x – 2

+ ... = (3 – m)

⋅

2

x

– 2m

2

ma

dwa różne rozwiązania?

Zadanie 5.***

Rozwiąż równanie:

6

2

2

3

2

2

3

x

x

=









−

+









+

.

Zadanie 6.

Aby rozwiązać układ równań









=

⋅

=

⋅

18

3

2

12

3

2

x

y

y

x

możemy postąpić tak:

•

mnożymy równania układu stronami 2

x

⋅

3

y

⋅

2

y

⋅

3

x

= 12

⋅

18, a następnie po zastosowaniu

prawa przemienności i łączności mnożenia oraz praw działań na potęgach otrzymujemy
równanie 6

x+y

= 6

3

, skąd x + y = 3, czyli y = 3 – x

•

podstawiamy y = 3 – x do pierwszego równania 2

x

⋅

3

3–x

= 12, skąd mamy

27

12

3

2

x

=













, czyli

2

x

3

2

3

2













=













, czyli x = 2

•

obliczamy y dla x = 2, czyli y = 1.

Układ równań spełnia para (2, 1).

Postępując podobnie, rozwiąż układ równań:









=

⋅

=

⋅

4

5

2

25

2

5

y

x

y

x

.

Zadanie 7.

Dane są funkcje f(x) =

2

m

2

3

1

+













oraz g(x) =

m

7

x

4

x

2

3

−

+

−

, gdzie x

∈

R. Wyznacz te wartości

parametru m (m

∈

R), dla których wykresy funkcji przecinają się w punkcie o odciętej 2.

Zadanie 8.
Rozwiąż równanie: 5

3

⋅

5

5

⋅

5

7

⋅

5

9

⋅

...

⋅

5

2n+1

=

( )

( )

(

)

6

n

3

6

n

3

2

5

+

−

, n

∈

N

+

.

Zadanie 9.

Rozwiąż nierówność: 3

x

+ 3

x–1

+ 3

x–2

+ ... >

9

2

3

13

3

x

x

2

−

⋅

−

.

Zadanie 10.
Dla jakich wartości parametru m

∈

R równanie (m – 3)4

|x|

– 2m + 1 = 0 ma dwa różne

rozwiązania?

Zadanie 11.***

Wykaż, że jeśli a

∈

(1, +

∞

) i x < 0, to prawdziwa jest nierówność

1

a

4

1

a

2

a

x

x

x

+

≥

−

−

.