Kongruencje liczbowe

Zad. 1. Wyznaczyć ostatnią cyfrę liczby:

(a) 6

2009

,

(b) 53

53

− 33

33

.

Zad. 2. Rozstrzygnąć, czy liczba 8

77

+ 13

99

jest podzielna przez 3.

Zad. 3. Uzasadnić, że liczba 123

123

− 57

57

jest podzielna przez 10.

Zad. 4. Wykazać, że liczba 2

222

+ 3

333

jest podzielna przez 7.

Zad. 5. Wyznaczyć resztę z dzielenia przez 7 liczby 12

47

+ 47

12

.

Zad. 6. Uzasadnić, że liczba 2

10

+ 2

11

+ 2

12

jest wielokrotnością 14.

Zad. 7. Uzasadnić, że 19|2 · 5

2n+1

+ 2

n

· 3

n+2

dla każdej liczby naturalnej n.

Zad. 8. Przy pomocy kongruencji wykazać, że każda liczba naturalna daje
przy dzieleniu przez 9 taką samą resztę, jak jej suma cyfr.

Zad. 9. Uzasadnić, że dla wszystkich liczb naturalnych n > 1 liczby postaci
9 · 2

2

n

+ 1 są złożone.

Wskazówka: sprawdzić reszty modulo 5.

Zad. 10.

Wykazać, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n

5

− n jest

podzielna przez 5.
Wskazówka: rozpatrzyć 5 przypadków w zależności od tego, jaką resztę z
dzielenia przez 5 daje liczba n.

1