Zadania i zagadnienia do wykªadu O równaniach i zbiorach liczbowych

I. Liczby zespolone

1. Obliczy¢ (tzn. doprowadzi¢ do postaci a + bi): 1

4 + i

(1 − 2i)2

(2 + i)2(1 − i),

,

,

.

1 − i

3 − 2i

3 − i

2. Wykaza¢, »e

(cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos(α + β) + i sin(α + β) dla α, β ∈ R.

3. Wykaza¢, »e

(cos α + i sin α)n = cos nα + i sin nα

dla α ∈ R, n ∈ N (a nawet dla n ∈ Z).

4. Moduªem liczby zespolonej z = a + bi (a, b ∈ R) nazywa si¦ liczb¦ |z| =

√a2 + b2. Udowodni¢, »e |z · w| = |z| · |w| dla dowolnych z,w ∈ C.

5. Ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ z = a+bi (a, b ∈ R) mozna przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej:

z = |z|(cos α + i sin α).

K¡t α speªniaj¡cy powy»szy warunek nazywa si¦ argumentem liczby z.

Znale¹¢ posta¢ trygonometryczn¡ liczb:

(a) 1,

(b) 1 + i,

√

(c)

3 − 2i.

6. Liczby zespolone mo»na traktowa¢ jako punkty pªaszczyzny (z danym ukªadem wspóªrz¦dnych prostok¡tnych): uto»samiamy liczb¦ a+ib z punk-tem o wspóªrz¦dnych (a, b). Na przykªad liczba zespolona i odpowiada punktowi (0,1).

Zaªó»my, »e na pªaszczy¹nie zaznaczono punkty odpowiadaj¡ce liczbom z oraz w. Wykaza¢, »e trójk¡t o wierzchoªkach 0,1,z jest podobny do trójk¡ta 0, w, z · w. (T)

7. Poda¢ konstrukcj¦ (przy pomocy cyrkla i linijki) punktu odpowiadaj¡cego liczbie

(a) z + w,

(b) z · w.

8. Znale¹¢ liczby zespolone z takie, »e (a) z2 = 2i,

(b) z2 = 3 − 4i,

(c) z2 + 2z + 10 = 0.

9. Znale¹¢ liczby zespolone z speªniaj¡ce równanie z6 = 1. Zaznaczy¢ je na pªaszczy¹nie zespolonej. Co widzimy? Uogólni¢ t¦ obserwacj¦ na pier-wiastki równania zn = 1, gdzie n jest dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. (T) II. Inne zagadnienia

√

√

1. Wykaza¢, »e liczby 5 i 3 2 s¡ niewymierne.

√

√

2. Wykaza¢, »e liczba 2 + 3 jest niewymierna. (T) 3. W hotelu Hilberta maj¡cym niesko«czenie wiele pokojów ponumerowanych liczbami naturalnymi wszystkie pokoje pewnego dnia byªy zaj¦te. Przyje»d»a spó¹niony go±¢ - jak zrobi¢ mu miejsce?

Powi¡za¢ to z nast¦puj¡cym zadaniem: wykaza¢, »e zbiory N = {1, 2, 3, ....}

i N0 = {0, 1, 2, ...} s¡ równoliczne, tzn. istnieje funkcja ró»nowarto±ciowa f : N0 → N

przeksztaªcaj¡ca N0 na N.

4. A co mo»na zrobi¢, je±li do hotelu Hilberta z kompletem go±ci przyjedzie wycieczka maj¡ca niesko«czenie wielu uczestników ponumerowanych liczbami naturalnymi?

Rozwi¡zanie mo»na skojarzy¢ z faktem, »e zbiory N i Z (Z= zbiór liczb caªkowitych) s¡ równoliczne.

5. Wykaza¢, »e zbiory C (liczb zespolonych) i R (liczb rzeczywistych) s¡

równoliczne. (T)

[(T) oznacza zadanie trudniejsze.]

Wskazówki

I.3: Dla naturalnych n dowód przez indukcj¦, zastosowa¢ zadanie 2.

I.6: Zastosowa¢ zadania I.2, I.4.

I.7: Zastosowa¢ zadanie I.6.

I.9: Zastosowa¢ zadanie I.3.

II.2: Je±li w jest wymierna, to w2 tak»e.

II.5: Parze liczb rzeczywistych (a, b) trzeba przyporz¡dkowa¢ jedn¡ liczb¦ rzeczywist¡ i zrobi¢ to tak, by przyporz¡dkowanie to byªo ró»nowarto±ciowe. Do tego wyko-rzysta¢ mo»na zapis dziesi¦tny liczb rzeczywistych i... wyobrazi¢ sobie (niesko«czony) zamek bªyskawiczny.