Laboratorium Analizy Sygnałów  Mechatronika semestr III 2010/2011
Prowadzący: mgr Maciej Mikulski
Ćwiczenie IV  Analiza statystyczna sygnałów.
1. Opis dwiczenia
W Matlabie zaimplementowanych jest wiele funkcji pozwalających na estymację ważnych wielkości
statystycznych, które charakteryzują sygnały deterministyczne i stochastyczne. Funkcję X(x1,x2,...xn)
określoną na elementach próby {xi} nazywamy statystyką. Statystyki służące estymacji (szacowaniu)
parametrów rozkładu prawdopodobieostwa w populacji zmiennej x, z której pobierana jest próba,
nazywamy estymatorami.
Celem dwiczenia jest zapoznanie studenta z najważniejszymi i najczęściej używanymi estymatorami.
Ćwiczenia ma służyd zrozumieniu roli poszczególnych estymatorów i nauce poprawnej interpretacji
uzyskanych wyników. Studenci powinni nauczyd się korzystad zarówno z definicji poszczególnych
funkcji analizy statystycznej, jak i wbudowanych bibliotek matlaba w celu obliczania poszczególnych
estymatorów.
2. Wstęp teoretyczny
Zagadnienia do przygotowania przez studenta przed rozpoczęciem zajęd laboratoryjnych:
1. Podstawowe pojęcia analizy statystycznej: prawdopodobieostwo, pojecie próby, zmienna
losowa, wartośd oczekiwana, funkcja statystyczna, estymator.
2. Estymatory wartości oczekiwanej  różne definicje wartości średniej: wartośd średnia próby,
średnia geometryczna, średnia harmoniczna.
3. Estymatory wariancji, dwa sposoby estymacji wariancji: estymata obciążona (ang. biased) i
nieobciążona (ang. unbiased). Odchylenie standardowe.
4. Uogólnienie pojęcia wariancji dla dwóch ciągów liczbowych  współczynnik kowariancji
dwóch wektorów. Macierz kowariancji. Znormalizowana macierz kowariancji.
5. Funkcje autokorelacji Rxx(k) i autokowariancji Cxx(k). Funkcje korelacji i kowariancji
wzajemnej.
Uwaga studenci muszą znad sens poszczególny estymatorów (jakie informacje niosą o badanych
sygnałach). Konieczna jest umiejętnośd obliczania poszczególnych estymatorów z definicji (wzory
matematyczne)!
Laboratorium Analizy Sygnałów  Mechatronika semestr III 2010/2011
Prowadzący: mgr Maciej Mikulski
3. Zadania do wykonania.
Opierając się na programie z Cwiczenie_1_sun.m (wykonywanym na wcześniejszych zajęciach)
pobrad z pliku dane_cwiczenie_1.dat dane pomiarowe liczby plam na Słoocu (tzw. liczba Wolfera)
zebrane podczas kilkudziesięciu prób pomiarowych (lat).
% Cwiczenie_1_sun.m
load dane_cwiczenie_1.dat %załadowanie danych do przestrzeni roboczej
year= dane_cwiczenie_1 (:,1); %definiowanie zmiennych
wolfer= dane_cwiczenie_1 (:,2);
plot(year,wolfer) %wykreślania
title('Sunspot Data')
ZAD 1. Obliczyd wartości średnie wektora liczby plam na słoocu. Sprawdzid poprawnośd wyliczeo
korzystając z wbudowanych funkcji matlaba.
a) Obliczyd wartośd średnią próby z definicji. Porównad z wynikiem polecenia xm=mean(x).
b) Obliczyd średnią geometryczną. Porównad z wynikiem polecenia xgm=geomean(x).
c) Obliczyd średnią harmoniczną. Porównad z wynikiem polecenia xh=harmmean(x).
d) Jaka jest interpretacja poszczególnych wyników?
Zadanie zrealizowad w odpowiednim mpliku. Podpunkt d) zrealizowad w postaci wyświetlenia
odpowiedzi pod wynikami obliczeo.
ZAD 2. Obliczyd poszczególne estymaty wariancji wektora liczby plam na słoocu. Sprawdzid
poprawnośd wyliczeo korzystając z wbudowanych funkcji matlaba.
a) Obliczyd estymatę nieobciążoną wariancji z definicji. Porównad z wynikiem polecenia var(x).
Obliczyd odchylenie standardowe.
b) Obliczyd estymatę obciążoną wariancji z definicji. Porównad z wynikiem polecenia var(x,1).
Obliczyd odchylenie standardowe.
c) Jaka jest interpretacja poszczególnych wyników?
Zadanie zrealizowad w tym samym mpliku co zadanie 1. Podpunkt c) zrealizowad w postaci
wyświetlenia odpowiedzi pod wynikami obliczeo.
ZAD 3. Z wektora danych pomiarowych liczby plam na słoocu wydzielid 4 równe wektory
[x1,x2,x3,x4], z których każdy będzie zawierał dane pomiarowe z 20 kolejnych lat. Do obliczeo
można wykorzystad polecenia matlaba cov(X) i corrcoef(X) (gdzie X jest macierzą zbudowaną z
wektorów x1..x4).
a) Obliczyd macierz kowariancji dla tych wektorów.
b) Obliczyd znormalizowaną macierz kowariancji.
c) Zidentyfikowad poszczególne elementy macierzy i podad interpretacje wyników. Które próby
są ze sobą silnie skorelowane, a które nie.
Zadanie zrealizowad w tym samym mpliku co zadanie 1 i 2. Podpunkt c) zrealizowad w postaci
wyświetlenia odpowiedzi pod wynikami obliczeo.