N

a fotografii obok sprawia wra-
˝enie cz∏owieka z dystansem,
nieco sztywnego, a przy tym

odrobin´ niedo˝ywionego. Ani jego
twarz, ani prace naukowe nie sà znane
ogó∏owi z wyjàtkiem niewielkiej grupy fi-
lozofów, logików i matematyków. To
Kurt Gödel, którego dorobek obejmuje
twierdzenia o niezupe∏noÊci, majàce da-
leko idàce konsekwencje dla podstaw
matematyki i informatyki. Jego ˝ycie
i dzie∏o to rozgrywajàca si´ na tle nawra-
cajàcych zaburzeƒ równowagi psychicz-
nej historia uporczywego poszukiwania
racjonalnoÊci we wszystkim, co istnieje.

Gödel udowodni∏, ˝e metody mate-

matyczne stosowane od czasów Eukli-
desa nie pozwalajà odkryç wszystkiego,
co jest prawdà o liczbach naturalnych.
Rezultat ten naruszy∏ podstawy, na któ-
rych a˝ do XX wieku opiera∏a si´ ma-
tematyka, i pobudzi∏ myÊlicieli do po-
szukiwania rozwiàzaƒ alternatywnych,
wywo∏ujàc o˝ywionà dyskusj´ filozo-
ficznà o naturze prawdy. Nowatorskie
techniki wynalezione przez Gödla, po-
zwalajàce ∏atwo tworzyç algorytmy ob-
liczeniowe, leg∏y równie˝ u podstaw
wspó∏czesnej informatyki.

Urodzony 28 kwietnia 1906 roku w

Brnie na Morawach Gödel by∏ m∏od-
szym z dwójki dzieci Rudolfa i Marian-
ny Gödlów, emigrantów niemieckich,
których rodziny zwiàza∏y swà egzysten-
cj´ z rozwijajàcym si´ w tym mieÊcie
przemys∏em tekstylnym. WÊród przod-
ków Gödla nie by∏o uczonych, a jego oj-
ciec mia∏ tylko wykszta∏cenie zawodo-
we. Jednak dzi´ki ambicji i ci´˝kiej pracy
Rudolf Gödel awansowa∏, dochodzàc
do dyrektorskiego stanowiska w jednej
z fabryk tekstylnych w Brnie, a nast´p-
nie zosta∏ jej wspó∏w∏aÊcicielem. Wzbo-
gaci∏ si´ przy tym na tyle, by kupiç wil-
l´ w dobrej dzielnicy i wys∏aç synów do
prywatnej szko∏y z niemieckim j´zykiem
wyk∏adowym, gdzie obaj ch∏opcy uczy-
li si´ bardzo dobrze.

Istotnie, w szkole podstawowej i Êred-

niej m∏ody Kurt tylko raz otrzyma∏ oce-
n´ gorszà od najwy˝szej z jakiegokol-

wiek przedmiotu (by∏a to matematy-
ka!), jednak nie zdradza∏ jeszcze wtedy
oznak geniuszu. By∏ dzieckiem wyjàtko-
wo dociekliwym i w∏aÊnie z tego po-
wodu zyska∏ przezwisko Herr Warum
(Pan Dlaczego). Zarazem jednak by∏ za-
mkni´ty w sobie, wra˝liwy i nieco choro-
wity. W wieku mniej wi´cej oÊmiu lat za-
pad∏ na goràczk´ reumatycznà i choç nie
spowodowa∏a ona u niego trwa∏ego
uszczerbku na zdrowiu, to jednak przez
jakiÊ czas nie pozwala∏a mu ucz´szczaç
do szko∏y i mog∏a byç powodem wy-
kszta∏cenia si´ u ch∏opca przesadnej dba-
∏oÊci o w∏asne zdrowie i sposób od˝y-
wiania, która to cecha stawa∏a si´ coraz
wyraêniejsza w jego dalszym ˝yciu.

Introwertyk

W roku 1924 po ukoƒczeniu w Brnie

gimnazjum realnego, czyli szko∏y Êred-
niej o profilu technicznym, Gödel opu-
Êci∏ rodzinnà miejscowoÊç, by wstàpiç na
Uniwersytet Wiedeƒski, gdzie jego brat
cztery lata wczeÊniej podjà∏ studia me-
dyczne. Stolica Austrii odczuwa∏a w tych
latach dotkliwie skutki kryzysu gospo-
darczego, niemniej jednak uniwersytet
zachowa∏ wiele z dawnej ÊwietnoÊci. Dla-
tego te˝ mimo niedostatku mi´dzywo-
jenny Wiedeƒ by∏ kwitnàcym oÊrodkiem
nauki, sztuki i myÊli filozoficznej.

Rozpoczynajàc studia, Gödel zamie-

rza∏ specjalizowaç si´ w fizyce. Wkrótce
jednak pod wp∏ywem wyk∏adów Phili-
pa Furtwänglera i Hansa Hahna przerzu-
ci∏ si´ na matematyk´. Jego niebywa∏y ta-
lent wczeÊnie zwróci∏ uwag´ wyk∏a-
dowców – ju˝ po dwóch latach studiów
Gödel zosta∏ zaproszony do udzia∏u
w posiedzeniach grupy dyskusyjnej za∏o-
˝onej dwa lata wczeÊniej przez Hahna
oraz filozofa Moritza Schlicka. Grupa ta,
która w przysz∏oÊci zas∏ynàç mia∏a jako
Ko∏o Wiedeƒskie, pozostawa∏a pod wp∏y-
wem pism Ernsta Macha – or´downika
racjonalizmu, uwa˝ajàcego, ˝e wszystko
mo˝na wyt∏umaczyç na gruncie logiki
i obserwacji empirycznej, bez uciekania
si´ do wyjaÊnieƒ metafizycznych.

Udzia∏ w pracach ko∏a pozwoli∏

Gödlowi nawiàzaç kontakt z takimi
uczonymi, jak filozof nauki Rudolf Car-
nap i matematyk Karl Menger, a tak˝e
zapoznaç si´ z literaturà z dziedziny lo-
giki matematycznej i filozofii. Szczegól-
nie wiele uwagi poÊwi´cano pismom
Ludwiga Wittgensteina. Jego rozwa˝a-
nia, w jakim stopniu j´zyk nadaje si´ do
opisu j´zyka, mog∏y zainspirowaç Gödla
do postawienia analogicznego pytania
w odniesieniu do matematyki. Niektó-
rzy cz∏onkowie ko∏a, m.in. Carnap,
Hahn oraz fizyk Hans Thirring, dzia∏a-
li aktywnie na polu badaƒ zjawisk pa-
rapsychologicznych – kwestià tà ˝ywo
interesowa∏ si´ tak˝e i Gödel. (Wiele lat
póêniej zauwa˝y∏ on w rozmowie ze
swym bliskim przyjacielem, ekonomi-
stà Oskarem Morgensternem, i˝ w przy-
sz∏oÊci za wielkà osobliwoÊç uzna si´
zapewne fakt, ˝e XX-wieczni uczeni od-
krywali elementarne czàstki Êwiata fi-
zycznego, nie dopuszczajàc nawet my-
Êli o mo˝liwoÊci istnienia elementarnych
czynników psychicznych.)

Gödel nie podziela∏ jednak pozytywi-

stycznych poglàdów filozoficznych ko∏a,
b´dàcych kontynuacjà idei Macha. Jako
platonik reprezentowa∏ poglàd, ˝e oprócz
przedmiotów istnieje Êwiat poj´ç, dost´p-
ny ludziom dzi´ki intuicji. Uwa˝a∏ wi´c,
˝e ka˝de stwierdzenie ma okreÊlonà „war-
toÊç logicznà” (prawda lub fa∏sz) nieza-
le˝nie od tego, czy zosta∏o udowodnione
i czy poddaje si´ empirycznej weryfika-
cji bàdê falsyfikacji. W jego przekonaniu
podejÊcie to u∏atwi∏o mu dokonanie wa˝-
nych odkryç matematycznych.

Ma∏omówny geniusz

Mimo spostrzegawczoÊci i wybitnej

inteligencji Gödel rzadko w∏àcza∏ si´
w dyskusje, chyba ˝e dotyczy∏y one ma-
tematyki. B´dàc cz∏owiekiem nieÊmia-
∏ym i stroniàcym od ludzi, nie mia∏ wie-
lu bliskich przyjació∏. (Lubi∏ jednak
towarzystwo kobiet i one równie˝ naj-
wyraêniej nim si´ interesowa∏y.) Po ro-
ku 1928 rzadko pojawia∏ si´ na spotka-

70 Â

WIAT

N

AUKI

Sierpieƒ 1999

Gödel i granice logiki

Ten genialny matematyk, w pracy naukowej bez reszty oddany prawom logiki,

w ˝yciu osobistym nie zawsze post´powa∏ racjonalnie

John W. Dawson, Jr.

Â

WIAT

N

AUKI

Sierpieƒ 1999 71

ZA ZGODÑ ARCHIVES OF THE INSTITUTE FOR ADVANCED STUDY

KURT GÖDEL udowodni∏, ˝e systemy aksjomatyczne sà z natury niezupe∏ne: nie jest mo˝liwe udowodnienie wszystkiego, co jest praw-
dà. W póêniejszym okresie ˝ycia interesowa∏ si´ wieloma innymi problemami, w tym teorià wzgl´dnoÊci. Reprodukowane zdj´cie, przed-
stawiajàce Gödla w jego gabinecie w Institute for Advanced Study w Princeton, wykona∏ w maju 1958 roku fiƒski logik Veli Valpola.

niach grupy, sta∏ si´ natomiast aktyw-
nym uczestnikiem seminarium mate-
matycznego zorganizowanego przez
Mengera. Wyniki prac tego gremium
ukazywa∏y si´ w formie rocznika, który
Gödel wspó∏redagowa∏ i w którym opu-
blikowa∏ póêniej kilkanaÊcie artyku∏ów.

W tym okresie Gödel zyska∏ nagle

mi´dzynarodowà pozycj´ w dziedzinie
logiki matematycznej. Renom´ zapew-
ni∏y mu przede wszystkim dwie prace:
jego rozprawa doktorska przedstawio-
na na Uniwersytecie Wiedeƒskim w 1929
i og∏oszona drukiem rok póêniej oraz
traktat „Über formal unentscheidbare
Sätze der Principia Mathematica und ver-
wandter Systeme” (O formalnie nieroz-
strzygalnych zdaniach Principia Ma-
thematica i systemów pokrewnych), opu-
blikowany w roku 1931 i przedstawio-
ny jako rozprawa habilitacyjna w 1932.

Praca doktorska Gödla nosi∏a tytu∏

„Die Vollständigkeit der Axiome des
logischen Funktionenkalküls” (Pe∏noÊç
rachunku predykatów) i zawiera∏a roz-
wiàzanie otwartego dotàd problemu, któ-
ry w 1928 roku postawili w swym pod-
r´czniku Grundzüge der theoretischen Logik
(Podstawy logiki teoretycznej) David
Hilbert i Wilhelm Ackermann. Chodzi∏o
o pytanie, czy podane w ksià˝ce uznane
regu∏y tworzenia i przekszta∏cania wy-
ra˝eƒ zawierajàcych spójniki zdanio-
we („i”, „lub” itp.) oraz kwantyfikatory
(„dla ka˝dego” i „istnieje” stosowane do
zmiennych, których wartoÊciami sà licz-

by lub zbiory) pozwalajà – po do∏àcze-
niu do aksjomatów okreÊlonej teorii
matematycznej – na uzyskanie drogà de-
dukcji wszystkich zdaƒ zachowujàcych
prawdziwoÊç we wszelkich strukturach
spe∏niajàcych aksjomaty i tylko takich
zdaƒ. Mówiàc zwyk∏ym j´zykiem: czy
mo˝na rzeczywiÊcie udowodniç wszyst-
ko to, co pozostaje prawdà niezale˝nie
od interpretacji symboli?

Na pytanie to oczekiwano odpowie-

dzi pozytywnej i Gödel takiej w∏aÊnie
odpowiedzi udzieli∏. W swej rozprawie
doktorskiej wykaza∏, ˝e wypracowane
dotàd zasady logiki sà odpowiednim
narz´dziem do realizacji stawianego
przed nimi celu, czyli dowodzenia
wszelkich zdaƒ prawdziwych przy da-
nym zestawie aksjomatów. Nie ozna-
cza∏o to jednak, ˝e wszystkie prawdzi-
we zdania dotyczàce liczb naturalnych
mo˝na udowodniç na bazie zestawu ak-
sjomatów przyj´tych do zdefiniowania
tych˝e liczb i ich arytmetyki.

WÊród aksjomatów tych, podanych

przez w∏oskiego matematyka Giuseppe
Peano w roku 1889, jest zasada indukcji
matematycznej. Zgodnie z nià ka˝da
w∏asnoÊç, która jest prawdziwa dla licz-
by zero i której prawdziwoÊç dla liczby
naturalnej n pociàga za sobà jej praw-
dziwoÊç dla liczby n + 1 (dla dowolnego
n), jest prawdziwa dla wszystkich liczb
naturalnych. Zasada ta, nazywana cza-
sem zasadà domina, gdy˝ potràcenie
pierwszego kamienia powoduje prze-

wrócenie wszystkich nast´pnych, wy-
dawaç si´ mo˝e oczywista. Budzi∏a ona
jednak wàtpliwoÊci niektórych matema-
tyków, poniewa˝ odnosi si´ nie do sa-
mych liczb, tylko do ich w∏asnoÊci. Tego
rodzaju „stwierdzenie drugiego rz´du”
uwa˝ano za nazbyt niejasne i ma∏o pre-
cyzyjne, by mog∏o stanowiç podstaw´
teorii liczb naturalnych.

W rezultacie aksjomat indukcji prze-

redagowano do postaci schematu nie-
skoƒczenie wielu podobnych aksjoma-
tów, które odnoszà si´ raczej do kon-
kretnych formu∏ ni˝ do ogólnych w∏asno-
Êci liczb. Niestety, aksjomaty te nie okre-
Êlajà ju˝ jednoznacznie liczb naturalnych,
jak to wykaza∏ na kilka lat przed pracà
Gödla norweski logik Thoralf Skolem
– spe∏niajà je tak˝e inne struktury.

Twierdzenie Gödla o pe∏noÊci mówi,

˝e mo˝liwe jest udowodnienie wszyst-
kich zdaƒ wynikajàcych z aksjomatów.
Z jednym wszak˝e zastrze˝eniem: je˝eli
pewne zdanie jest prawdziwe dla liczb
naturalnych, a nie jest prawdziwe dla in-
nego systemu, w którym aksjomaty te sà
równie˝ spe∏nione, wówczas zdanie ta-
kie nie mo˝e zostaç udowodnione. Pro-
blem ten nie wydawa∏ si´ jednak powa˝-
ny, gdy˝ matematycy mieli nadziej´, ˝e
nie istniejà twory, które „podszywa∏yby
si´” pod liczby, jednoczeÊnie istotnie si´
od nich ró˝niàc. Tym wi´kszym zasko-
czeniem by∏o kolejne twierdzenie Gödla.

W pracy z roku 1931 Gödel wykaza∏, ˝e

musi istnieç twierdzenie prawdziwe do-
tyczàce liczb naturalnych, którego nie da
si´ dowieÊç. (A wi´c twory, które spe∏-
niajà aksjomaty liczb naturalnych, lecz
nie zachowujà si´ jak liczby naturalne
pod pewnymi innymi wzgl´dami, fak-
tycznie istniejà.) Metodà ucieczki od te-
go „twierdzenia o niezupe∏noÊci” by∏o-
by uznanie wszystkich zdaƒ prawdzi-
wych za aksjomaty. W takim jednak przy-
padku pojawia si´ a priori trudnoÊç zwià-
zana ze stwierdzeniem, czy pewne kon-
kretne zdania sà prawdziwe. Gödel
wykaza∏, ˝e wsz´dzie tam, gdzie mo˝-
liwe jest okreÊlenie aksjomatów jako ze-
stawu mechanicznych regu∏, nie ma
znaczenia wybór zdaƒ przyj´tych za ak-
sjomaty: je˝eli sà one prawdziwe dla liczb
naturalnych, wówczas pewne inne praw-
dziwe zdania o tych liczbach nadal nie
b´dà mo˝liwe do udowodnienia.

Okazuje si´ m.in., ˝e pytanie o nie-

sprzecznoÊç uk∏adu aksjomatycznego
– sprowadzone do odpowiedniej posta-
ci numerycznej – jest „formalnie nieroz-
strzygalne” (niemo˝liwe do weryfika-
cji lub falsyfikacji) na gruncie tych˝e
aksjomatów. ˚aden dowód niesprzecz-
noÊci systemu nie mo˝e si´ wi´c opie-
raç wy∏àcznie na aksjomatach tego sys-
temu [patrz: Ernest Nagel i James R.

72 Â

WIAT

N

AUKI

Sierpieƒ 1999

OBU BRACI, Kurta (z prawej) i Rudolfa, ∏àczy∏y w m∏odoÊci bliskie wi´zi, jednak w do-
ros∏ym ˝yciu ich drogi si´ rozesz∏y. Zdj´cie wykonano w atelier oko∏o roku 1908.

ZA ZGODÑ JOHNA W. DAWSONA, JR.

Newman, „Gödel’s Proof”; Scientific
American, czerwiec 1956].

Ten ostatni wynik by∏ szokiem dla

Davida Hilberta, który przedstawi∏
wczeÊniej program ugruntowania pod-
staw matematyki za pomocà procesu
„redukcji”, dzi´ki któremu niesprzecz-
noÊç skomplikowanych teorii matema-
tycznych mog∏a zostaç wyprowadzona
z niesprzecznoÊci teorii prostszych, bar-
dziej oczywistych. Natomiast zdaniem
samego Gödla twierdzenie o niezupe∏-
noÊci nie Êwiadczy∏o o bezu˝ytecznoÊci
metody aksjomatycznej, a jedynie o tym,
˝e wyprowadzania twierdzeƒ nie mo˝-
na ca∏kowicie zaksjomatyzowaç. Uwa-
˝a∏ on, ˝e uzasadnia to rol´ intuicji w ba-
daniach matematycznych.

Poj´cia i metody wprowadzone przez

Gödla w jego pracy na temat niezupe∏no-
Êci majà fundamentalne znaczenie dla
teorii rekursji, le˝àcej u podstaw ca∏ej
wspó∏czesnej informatyki. Rozwój stwo-
rzonych przez niego idei przyniós∏ wie-
le dalszych rezultatów okreÊlajàcych gra-
nice mo˝liwoÊci procedur obliczenio-
wych. Jednym z nich jest niemo˝noÊç
stwierdzenia w przypadku ogólnym –
tj. dla dowolnego komputera i dowol-
nego zestawu danych wejÊciowych – czy
wykonywanie programu zakoƒczy si´
w którymÊ momencie wyprowadzeniem
danych wyjÊciowych, czy te˝ komputer
wpadnie w nieskoƒczonà p´tl´. Inny wy-
nik polega na wykazaniu, ˝e ˝aden pro-
gram, który nie modyfikuje systemu

operacyjnego komputera, nie jest w sta-
nie wykryç wszystkich programów, któ-
re system ten modyfikujà (wirusów).

Schronienie w Ameryce

Gödel sp´dzi∏ rok akademicki 1933

–1934 w nowo utworzonym Institute for
Advanced Study w Princeton w stanie
New Jersey, prowadzàc wyk∏ady na te-
mat swych prac dotyczàcych niezupe∏-
noÊci. Zaproszono go tak˝e na nast´pny
rok, ale za∏amanie psychiczne, które
prze˝y∏ wkrótce po powrocie do Wied-
nia, sprawi∏o, ˝e pojawi∏ si´ ponownie w
Princeton dopiero jesienià roku 1935.
Niestety, ju˝ po miesiàcu nastàpi∏ na-
wrót choroby, przez co podj´cie przez
Gödla na nowo wyk∏adów sta∏o si´
mo˝liwe dopiero wiosnà 1937 roku w
Wiedniu.

Bez dost´pu do poufnych danych me-

dycznych Gödla z Princeton (gdzie ko-
rzysta∏ z porad psychiatry) nie sposób
stwierdziç, jakà postawiono mu diagno-
z´. Wyglàda na to, ˝e k∏opoty zacz´∏y
si´ od hipochondrii: mia∏ obsesj´ na
punkcie w∏aÊciwej diety i regularnego
wypró˝niania si´; przez ponad 20 lat co-
dziennie mierzy∏ i notowa∏ temperatu-
r´ cia∏a oraz przyjmowane dawki mlecz-
ka magnezowego. PrzeÊladowa∏ go l´k
przed przypadkowym, a w póêniej-
szych latach tak˝e umyÊlnym otruciem.
Fobia ta sprawia∏a, ˝e unika∏ jedzenia,
przez co popad∏ w anemi´. Za˝ywa∏ za

to wiele rozmaitych tabletek na wyima-
ginowane dolegliwoÊci sercowe.

Co zaskakujàce, problemy psychicz-

ne Gödla nie mia∏y – oprócz momentów
przesilenia – wi´kszego wp∏ywu na je-
go prac´. Osobà, dzi´ki której móg∏ nor-
malnie funkcjonowaç, by∏a poznana
w czasach studenckich w wiedeƒskim
lokalu nocnym Adele Porkert – rozwód-
ka wyznania katolickiego, starsza od
Gödla o szeÊç lat. Pracowa∏a jako tancer-
ka, a jej twarz szpeci∏o znami´ w kolo-
rze portwajnu. Rodzice Gödla uwa˝ali
jà za skandalistk´, a mimo to Adele i Kurt
byli sobie bardzo oddani. Przyjmujàc ro-
l´ degustatorki jego posi∏ków, Adele po-
maga∏a Gödlowi pokonywaç nasilajàce
si´ l´ki, ˝e ktoÊ chce go otruç. We wrze-
Êniu 1938 roku po d∏ugim okresie narze-
czeƒstwa wzi´li Êlub. By∏o to tu˝ przed
kolejnym wyjazdem Gödla do USA na
wyk∏ady w Institute for Advanced Study
oraz w University of Notre Dame, doty-
czàce nowych fascynujàcych wyników
uzyskanych przez niego w dziedzinie
teorii mnogoÊci.

Osiàgni´cia te polega∏y na rozwiàza-

niu pewnych kontrowersyjnych zagad-
nieƒ teorii zbiorów. Pod koniec XIX wie-
ku niemiecki matematyk Georg Cantor
wprowadzi∏ poj´cie mocy zbiorów nie-
skoƒczonych. Zgodnie z podanà przez
niego definicjà zbiór A ma mniejszà moc
ni˝ zbiór B, je˝eli przy ka˝dym ró˝no-
wartoÊciowym przyporzàdkowaniu

1

elementów zbioru B elementom zbioru

Â

WIAT

N

AUKI

Sierpieƒ 1999 73

ADELE PORKERT i Kurt Gödel byli nietypowà, lecz oddanà sobie parà. Fotografia z wiedeƒskiej kawiarni na wolnym powietrzu po-
chodzi z okresu ich d∏ugoletniego narzeczeƒstwa. Adele chroni∏a Gödla przed najgorszymi przejawami jego irracjonalnych fobii, by∏a
te˝ cz´sto jedynà osobà, która potrafi∏a nak∏oniç go do jedzenia. Jej opieka pozwala∏a mu ˝yç i twórczo pracowaç.

ZA ZGODÑ ARCHIVES OF THE INSTITUTE FOR ADVANCED STUDY

A pozostanà w zbiorze B elementy, któ-
re nie odpowiadajà ˝adnemu z elemen-
tów zbioru A. Cantor udowodni∏, ˝e
zbiór liczb naturalnych ma mniejszà
moc ni˝ zbiór liczb rzeczywistych. Wy-
sunà∏ on nast´pnie przypuszczenie, ˝e
nie ma zbiorów o mocy poÊredniej mi´-
dzy tymi dwoma zbiorami – zyska∏o
ono nazw´ hipotezy continuum.

W roku 1908 rodak Cantora, Ernst

Zermelo, sformu∏owa∏ list´ aksjomatów
teorii mnogoÊci. Jednym z nich by∏ pew-
nik wyboru stwierdzajàcy (w jednym
z mo˝liwych sformu∏owaƒ), ˝e dla ka˝-
dej nieskoƒczonej rodziny zbiorów nie-
pustych i parami roz∏àcznych istnieje
zbiór zawierajàcy dok∏adnie jeden ele-
ment z ka˝dego zbioru z tej rodziny. Na
pierwszy rzut oka aksjomat ten nie bu-

dzi zastrze˝eƒ – dlaczego nie mia∏oby
byç mo˝liwe wybranie po jednym ele-
mencie z ka˝dego zbioru? – prowadzi
on jednak do licznych wyników ca∏ko-
wicie k∏ócàcych si´ z intuicjà. Jednym
z nich jest twierdzenie o istnieniu po-
dzia∏u kuli na skoƒczonà liczb´ pod-
zbiorów, z których mo˝na nast´pnie z∏o-
˝yç – poddajàc je wy∏àcznie ruchom
sztywnym – dwie kule takie same jak
kula wyjÊciowa

2

.

Pewnik wyboru sta∏ si´ w rezultacie

postulatem wysoce kontrowersyjnym.
Matematycy podejrzewali – jak si´ okaza-
∏o, s∏usznie – ˝e ani pewnik wyboru, ani
hipoteza continuum nie mogà zostaç wy-
prowadzone z innych aksjomatów teorii
mnogoÊci. Obawiano si´, ˝e korzystanie
z nich w dowodach twierdzeƒ mo˝e pro-

wadziç do sprzecznoÊci. Gödel wykaza∏
jednak, ˝e oba te postulaty sà niesprzecz-
ne z pozosta∏ymi aksjomatami

3

.

Wyniki uzyskane przez Gödla w

dziedzinie teorii mnogoÊci by∏y odpo-
wiedzià na pytanie postawione przez
Hilberta w roku 1900 w jego wyk∏a-
dzie na Mi´dzynarodowym Kongresie
Matematyków

4

. Stanowi∏y one same

w sobie znaczne osiàgni´cie, nie wystar-
czy∏y jednak, by zapewniç ich twórcy
trwa∏à pozycj´ w Êwiecie akademickim.
W czasie pobytu Gödla w Institute for
Advanced Study i University of Notre
Dame wygas∏y jego uprawnienia wy-
k∏adowcy w austriackich szko∏ach wy˝-
szych. Kiedy latem 1939 roku powróci∏
do oczekujàcej go w Wiedniu ˝ony, zo-
sta∏ powo∏any przed komisj´ wojsko-
wà i uznany za zdolnego do s∏u˝by w
si∏ach zbrojnych hitlerowskich Niemiec.

Narastajàce l´ki

Do tego czasu Gödel zdawa∏ si´ nie

zauwa˝aç niebezpiecznego rozwoju wy-
padków w Europie. Wprawdzie Êledzi∏
bie˝àce wydarzenia w polityce, ale wy-
kazywa∏ wobec nich dziwnà oboj´tnoÊç.
Mo˝liwe, ˝e dostrze˝enie powagi sytu-
acji utrudnia∏ mu brak wi´zi emocjonal-
nych z innymi ludêmi. Wyglàda∏o, jak-
by Gödla nie interesowa∏ los jego
kolegów z kr´gów akademickich, z któ-
rych wielu by∏o narodowoÊci ˝ydow-
skiej – pogrà˝ony by∏ w pracy nauko-
wej, a tymczasem Êwiat wokó∏ niego si´
rozpada∏. Teraz zrozumia∏, ˝e sam rów-
nie˝ mo˝e staç si´ ofiarà.

W tej rozpaczliwej sytuacji, bezrobot-

ny i zagro˝ony rych∏ym wcieleniem do
wojska, Gödel zwróci∏ si´ o pomoc do
Institute for Advanced Study, którego
poparcie dopomog∏o mu w uzyskaniu
zgody na wyjazd wraz z ˝onà z kraju.
W styczniu 1940 roku rozpocz´∏a si´ ich
d∏uga w´drówka na wschód – po po-
dró˝y kolejà transsyberyjskà i prze-
dostaniu si´ do Japonii wsiedli w Jo-
kohamie na statek p∏ynàcy do San
Francisco; pozosta∏à cz´Êç drogi do Prin-
ceton odbyli pociàgiem. Na miejsce do-
tarli oko∏o po∏owy marca.

Gödel nigdy ju˝ nie opuÊci∏ Stanów

Zjednoczonych. Po serii rocznych kon-
traktów w Princeton otrzyma∏ tam sta∏y
etat w roku 1946. Dwa lata póêniej uzy-
ska∏ obywatelstwo amerykaƒskie. (S´-
dzia, przed którym sk∏ada∏ przysi´g´,
zada∏ Gödlowi niefortunne pytanie, co
sàdzi na temat konstytucji amerykaƒskiej
– odpowiedzià by∏ ca∏y wyk∏ad, w któ-
rym uczony zawar∏ swe przemyÊlenia na
temat wewn´trznych sprzecznoÊci tego
dokumentu.) Profesorem zosta∏ jednak
mianowany dopiero w roku 1953 (w tym

74 Â

WIAT

N

AUKI

Sierpieƒ 1999

STWIERDZENIA

PRAWDZIWE

DLA KONKRETNEGO

PRZYK¸ADU

„NIETYPOWYCH LICZB”

STWIERDZENIA

PRAWDZIWE

DLA LICZB

NATURALNYCH

STWIERDZENIA PRAWDZIWE

DLA KA˚DEJ STRUKTURY

SPE¸NIAJÑCEJ AKSJOMATY

BRYAN CHRISTIE

Zdania nierozstrzygalne

N

ajbardziej znane z osiàgni´ç Gödla polega∏o na wykazaniu, ˝e pewne stwierdze-
nia o liczbach naturalnych sà prawdziwe, lecz niemo˝liwe do udowodnienia. Nieste-

ty, trwajàce od dawna poszukiwania zdaƒ nierozstrzygalnych – tj. takich, których nie da
si´ na bazie aksjomatów teorii ani wykazaç, ani obaliç – nie przynios∏y zbyt wielu prostych
przyk∏adów. Jednym z nich jest nast´pujàce zdanie:

Niniejsze stwierdzenie jest niemo˝liwe do udowodnienia.

Dzi´ki stworzonemu przez Gödla przyporzàdkowaniu mo˝e ono zostaç przedstawione

w postaci formu∏y arytmetycznej. Formu∏y tej nie da si´ udowodniç, co tym samym po-
twierdza znaczenie wyjÊciowego zdania wyra˝onego w j´zyku naturalnym. To oznacza
jednak, ˝e mamy do czynienia ze zdaniem prawdziwym.

Mniej banalnego przyk∏adu dostarczajà równania algebraiczne. Mo˝na sformu∏owaç

na przyk∏ad stwierdzenie, ˝e pewne równanie dane przez wielomian nie ma pierwiastków
(czyli rozwiàzaƒ) b´dàcych liczbami ca∏kowitymi. Tego rodzaju stwierdzenia mogà oka-
zaç si´ nierozstrzygalne.

Przedstawiony przez Gödla dowód pokazuje, ˝e system aksjomatyczny zawierajàcy aryt-

metyk´ liczb naturalnych nie jest zupe∏ny. Oznacza to, ˝e istniejà prawdziwe zdania
o liczbach naturalnych, których nie da si´ udowodniç na podstawie tych aksjomatów.
Rozumowanie Gödla dowodzi, ˝e istniejà „nietypowe liczby”, które spe∏niajà wspomnia-
ne aksjomaty, lecz majà inne w∏asnoÊci ni˝ liczby naturalne. Poniewa˝ wszystko to, co
mo˝na wyprowadziç z aksjomatów (pomaraƒczowy), musi odnosiç si´ do wszystkich
tworów, które je spe∏niajà, tak wi´c pewne prawdziwe stwierdzenia dotyczàce liczb na-
turalnych (niebieski, zielony i pomaraƒczowy) muszà pozostaç niemo˝liwe do dowiedze-
nia (niebieski i zielony).

samym roku zosta∏ te˝ cz∏onkiem Natio-
nal Academy of Sciences) – opóênienie
to wynika∏o po cz´Êci stàd, ˝e wyra˝ane
przez Gödla l´ki, jakoby z jego lodówki
wydobywa∏y si´ trujàce gazy, dawa∏y nie-
ustanne powody do obaw o jego stan
psychiczny. W tych latach zadania opie-
ki nad Gödlem podjà∏ si´ z pe∏nym od-
daniem jego przyjaciel Albert Einstein,
który odbywa∏ z nim codzienne spacery.
Rozmowy obu uczonych wp∏ywa∏y na
Gödla, jak si´ wydaje, uspakajajàco.

Na emigracji Gödel zarzuci∏ badania

z zakresu teorii mnogoÊci, kierujàc swe
zainteresowania ku filozofii i teorii
wzgl´dnoÊci. W roku 1949 dowiód∏, ˝e
wszechÊwiaty, w których jest mo˝liwa
podró˝ wstecz w czasie, sà zgodne z
równaniami Einsteina. W 1950 przed-
stawi∏ te wyniki na Mi´dzynarodowym
Kongresie Matematyków, a w nast´p-
nym roku wyg∏osi∏ presti˝owy Wyk∏ad
im. Gibbsa (Gibbs Lecture) podczas do-
rocznego zjazdu American Mathemati-
cal Society. Jednak pomi´dzy jednym
a drugim wystàpieniem niemal wy-
krwawi∏ si´ z powodu p´kni´tego wrzo-
du – do tak powa˝nego stanu doprowa-
dzi∏a go nieufnoÊç wobec lekarzy.

Ostatnia opublikowana praca Gödla

ujrza∏a Êwiat∏o dzienne w roku 1958.
Póêniej coraz bardziej zamyka∏ si´ w so-
bie, wychudzony i wycieƒczony popa-
da∏ w paranoj´ i hipochondri´. Wystàpi∏
jeszcze publicznie w roku 1972, kiedy
to Rockefeller University nada∏ mu tytu∏
doktora honoris causa. Trzy lata póêniej
otrzyma∏ National Medal of Science, od-
mówi∏ jednak udzia∏u w uroczystoÊci
wr´czenia tego odznaczenia, t∏umaczàc
si´ z∏ym stanem zdrowia.

Osiàgnàwszy ustawowy wiek eme-

rytalny (70 lat), Gödel uzyska∏ 1 lipca
1976 roku stanowisko profesora honoro-
wego w swoim instytucie. Nie oznacza-
∏o to jednak zwolnienia od obowiàzków,
gdy˝ ˝ona, która przez tyle lat piel´gno-
wa∏a go i ochrania∏a, dozna∏a kilka mie-
si´cy wczeÊniej ci´˝kiego udaru. Teraz
on musia∏ si´ o nià troszczyç. Robi∏ to
z wielkim zaanga˝owaniem do lipca
1977 roku, kiedy Adele musia∏a poddaç
si´ operacji i trafi∏a do szpitala na bli-
sko szeÊç miesi´cy.

W tym samym mniej wi´cej czasie

zmar∏ na raka przyjaciel Gödla Morgen-

stern, który opiekowa∏ si´ nim od Êmier-
ci Einsteina w roku 1955. Od tej chwili
Gödel, zdany sam na siebie, walczy∏
z nasilajàcà si´ paranojà. Jego stan zdro-
wia gwa∏townie si´ pogarsza∏. Obawia-
jàc si´ otrucia, zag∏odzi∏ si´ na Êmierç.
Zmar∏ 14 stycznia 1978 roku.

Adele Gödel prze˝y∏a m´˝a o trzy la-

ta. Po jej Êmierci w dniu 4 lutego 1981
roku prawa autorskie do dzie∏ Gödla
przesz∏y zgodnie z jej wolà na Institute
for Advanced Study. Choç snobistyczny
Êwiatek Princeton nigdy jej nie zaakcep-
towa∏, to jednak by∏a dumna z dorob-
ku m´˝a. Mia∏a te˝ zapewne Êwiado-
moÊç, ˝e bez jej wsparcia nie osiàgnà∏by
wiele.

Gödel opublikowa∏ w ˝yciu zaskaku-

jàco niewiele prac – mniej ni˝ jakikol-
wiek inny wielki matematyk, mo˝e
z wyjàtkiem Bernharda Riemanna – ale
spotka∏y si´ one z ogromnym oddêwi´-
kiem. Wywar∏y wp∏yw praktycznie na
wszystkie dziedziny wspó∏czesnej logi-
ki. W ciàgu ostatniego dziesi´ciolecia
przet∏umaczono z jego notatek – spo-

rzàdzonych za pomocà archaicznej nie-
mieckiej notacji stenograficznej – tak˝e
i inne prace Gödla, które z∏o˝y∏y si´ na
trzeci tom jego wydanych poÊmiertnie
Dzie∏ zebranych. Ich zawartoÊç, w tym
m.in. formalizacja tzw. dowodu onto-
logicznego na istnienie Boga, zaczyna
cieszyç si´ zainteresowaniem czytelni-
ków. Dorobek Gödla poznajà wreszcie
osoby spoza Êwiata matematyki.

T∏umaczy∏

Krzysztof KwaÊniewicz

Przypisy redakcji:

1

OkreÊlenie przyporzàdkowanie ró˝nowartoÊciowe (ina-

czej funkcja ró˝nowartoÊciowa lub iniekcja) oznacza

przyporzàdkowanie, w którym ró˝nym elementom

zbioru A odpowiadajà ró˝ne elementy zbioru B.

2

Ten paradoksalny wynik (uzyskany przez Pola-

ków: Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego) omawia

szerzej Marcin Braun, „Cudowne rozmna˝anie kul”;

Wiedza i ˚ycie, maj 1999.

3

W roku 1963 Paul Cohen wykaza∏, ˝e hipoteza

continuum jest nierozstrzygalna na gruncie teorii

mnogoÊci.

4

W wyk∏adzie tym Hilbert poda∏ 23 problemy,

o których sàdzi∏, ˝e b´dà inspirowaç rozwój mate-

matyki w rozpoczynajàcym si´ wkrótce XX stuleciu.

Hipoteza continuum, czyli problem Cantora z roku

1884, umieszczony zosta∏ przez Hilberta na pierw-

szym miejscu. Drugi problem dotyczy∏ niesprzecz-

noÊci aksjomatów arytmetyki.

Â

WIAT

N

AUKI

Sierpieƒ 1999 75

SPACERY Z ALBERTEM EINSTEINEM po terenie Institute for Advanced Study mia∏y
dla Gödla znaczenie terapeutyczne, u∏atwiajàc mu normalne funkcjonowanie. Foto-
grafia pochodzi z roku 1954.

ZA ZGODÑ RICHARDA ARENSA

Informacje o autorze

JOHN W. DAWSON, Jr., inwentaryzowa∏ spuÊcizn´ po Kurcie Gödlu

w Institute for Advanced Study w Princeton w stanie New Jersey.

Jest wspó∏redaktorem Collected Works (Dzie∏ zebranych) Gödla od

chwili podj´cia prac nad ich wydaniem. Doktorat z logiki matema-

tycznej uzyska∏ w University of Michigan w roku 1972, a obecnie jest

profesorem matematyki w Pennsylvania State University w miejsco-

woÊci York. Szczególnie interesuje si´ aksjomatykà teorii mnogoÊci

i historià logiki.

Literatura uzupe∏niajàca

TWIERDZENIE GÖDLA.

Ernst Nagel i James R. Newman; PWN, Warsza-

wa 1966.

COLLECTED WORKS,

t. 1-3. Kurt Gödel. Red. Solomon Feferman i in.;

Oxford University Press, 1986, 1990, 1995.

LOGICAL DILEMMAS: THE LIFE AND WORK OF KURT GÖDEL.

John W. Dawson,

Jr.; A. K. Peters Ltd., Wellesley, Mass., 1997.

GÖDEL, ESCHER, BACH: AN ETERNAL GOLDEN BRAID.

Douglas R. Hofstadter

(1 wyd.: Basic Books, 1979); Basic Books, 1999.