Podstawy mechaniki kwantowej
Lord, guard us from our fathers' ideas --
Hans Helmut Kirst
Falowa natura materii
Koniec XIX wieku: dualizm materii: cząstki fale (promieniowanie)
Cząstki (ciała charakteryzujące się określoną masą m, pędem p
i energią E), zlokalizowane w przestrzeni:
MECHANIKA klasyczna (Newtonowska)
F = m a,
Fale (charakteryzujące się częstością � i wektorem falowym k),
rozłożone przestrzennie
TEORIA ELEKTROMAGNETYCZNA (Maxwella)
1
"2�
gdzie � = E , H
"� - = 0
"t2
v2
MECHANIKA ELEKTROMAGNETYZM:
wzór Lorentza : m a = F = q (E + źźo v " H)
Falowa natura materii
Koniec XIX wieku: mechanika newtonowska święci triumfy 
 prawie wszystko w przyrodzie udało się wyjaśnić.
Pozostało jedynie kilka niejasnych  szczegółów :
1. wciąż pewne kłopoty z  Maxwellem
2. i światłem;
- Newton contra Young - walka dwóch obozów, korpuskularnego
i  falowego
3. promieniowanie ciała czarnego
4. efekt fotoelektryczny
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
promieniowanie cieplne ciała nagrzanego do temperatury T:
T
fale o wszystkich
częstotliwościach �
i różnym natężeniu,
zależnym od T i ciała
temperatura T maleje
Brak równowagi termodynamicznej
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
równowaga termodynamiczna ciało"!promieniowanie:
ciało emituje i pochłania całe padające promieniowanie
T
T
izolacja
temperatura T= const,
Gęstość energii promieniowania u(�,T) =const
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
równowaga termodynamiczna:
ciałopochłania tyle samo ile emituje nic zatem nie wnosi
T
izolacja
temperatura T= const,
Gęstość energii promieniowania u(�,T) =const
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Ciało doskonale czarne - nie istnieje w rzeczywistości, jest
abstraktem określającym ciało pochłaniające całkowicie
padające na nie promieniowanie.
Model ciała doskonale czarnego
7
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
gęstość mocy promieniowania u(�,T)
wyprowadzenie:
ciało dosk. czarne
D. Stefan  1879 doświadczalnie,
L. Boltzmann  1884 teoretycznie
T
u(T)
"
c c
4
prawo Stefana-Boltzmanna
u(T ) =
+"u(�,T )d� = �T
4 4
0
W. Wien  1893 wykazał, że funkcja u(�,T) ma maksimum
dla wartości �() spełniającej warunek (�"T)=const, (=2Ąc/�)
Promieniowanie ciała doskonale czarnego
Prawo przesunięć (Willy Wien 1894): (max �"T) E" 2,9 10-3 [m K]
nie udałosię go uzasadnić w ramach mechaniki klasycznej
f
1. próba Rayleigha  Jeansa (1900) z zastosowaniem
klasycznej zasady ekwipartycji energii katastrofa nadfioletowa
promieniowanie w zamkniętej wnęce stanowi układ fal stojących;
R-J założyli, że na każde drganie przypada energia:
�kT + �kT (pole E i H, w(E,H)<"�2 ):
�2
u(�,T) = kT
 katastrofa nadfioletowa
2
Ą c3
R-J
W
2. próba Wiena z zast. r.Boltzm.  przeszacowanie niskich częstości
f(E)
Tę!
E
f(E) = C exp[- E/kT)]
3. 1900 �! Max Planck:
skwantowane oscylatory atomowe
E = '
� ('
= h/2Ą, h = 6,626 �10-34 J �s)
(kwantowanie energii zamiast zasady ekwipartycji
+ rozkład Bosego-Einsteina
tj. fale o częstotliwości � niosą energię ('
�)
a prawdopodobieństwo ich występowania
określa rozkład B-E):
h�3 1
u(�,T ) = �"
2
Ą c3 eh� kT -1
Planck
Statystyka Bosego  Einsteina
Założenia: cząstki są nierozróżnialne i dowolna ich ilość może posiadać
jednakową energię = bozony;
W stanie energetycznym ek może być dowolna liczba spośród
nk bozonów, tj. n= 1,2,3,& nk;
Średnia liczba bozonów w k-tym stanie
energetycznym:
1
=
exp[(Ek - ź) / kT]-1
Dla Ek" exp(-Ek/kT) (rozkład Boltzmanna)
Przykład: fotony
Zjawisko fotoelektryczne
I(f)
v
e
+
Zjawisko fotoelektryczne
Klasyczna teoria falowa: E = Em cos(�t  k r + ą)
" I <" n Em2 energia elektronów : Eke <" I <" Em2 ;
" energia pochłoniętej fali gromadzona przez elektron: Eke <"�2(<"f2);
" ciągłe przekazywanie energii przez fale o dowolnej częstotliwości f
Doświadczenie:
" brak związku energii elektronów z natężeniem światła
" Eke <"�(<"f) Eke =me (v2/2)
" częstotliwość progowa fo
f=�/2Ą
fo
1905 �! Albert Einstein : interpretacja efektu fotoelektrycznego
fotony Efot = h � (� a" f )
(adaptacja hipotezy Plancka, światło=cząstki!)
Eke
h �
energia elektronu
w sieci = Kf
Eke = h �fot - Wo liniowa funkcja częstotliwości �
z wartością progową Wo
Efekt Comptona
1923 �! A. Compton : potwierdzenie hipotezy fotonowej
efekt Comptona polega na rozpraszaniu kwantów promieniowania
(rentgenowskiego), czyli fotonów na swobodnych lub słabo
związanych elektronach w krysztale ( np.grafitu).
pf = pf cos� + pe cosą
(h�/c) = (h� /c) cos� + pe cosą
�
(dla cząstki: E2/c2 = p2 + (mo2 c2) �
dla fotonu (mo=0): {pf = E/c = (h�f)/c})
ą
Ł p = const efekt korpuskularny!
Zjawisko kreacji par elektron-pozyton
Nie może zachodzić w próżni,
co wynika z warunku spełnienia prawa zachowania pędu
które wymaga, by proces ten zachodził z udziałem "trzeciego
ciała", jakim może być jądro atomowe lub elektron.
h� = 2mec2
h� =1,022MeV
efekt korpuskularny!
Co z dyfrakcjąświatła?
Jak wyjaśnić doświadczenie Younga?
Dualizm falowo  cząstkowy
1924 �! Louis de Broglie : hipoteza falowa materii
h
Ef = h ff p = ,

f
hf 1
= h
( p = Ef /c = )
c cT
c= h/pc = h/mcv
fala ~ cos(�t  kr) lub ~expi(�t  kr)
� = 2 Ą (f) = 2Ą(Ec /h), k = 2Ą / = 2Ą(p/h)
fala materii ~ exp[-2Ąi(Ec t- pr)/h]
Dualizm falowo  cząstkowy
1927 �! C.J.Davisson, L.H.Germer : dyfrakcja elektronów
1927 G.P.Thomson
Dyfrakcja elektronów
Elektrony ulegają dyfrakcji
na otworze o wielkości
400A w stopie Cu3Au.
Dyfrakcja elektronów na krysztale
Dyfrakcja światła
Dyfrakcja elektronów
Dyfrakcja elektronów -
statystyczna  nie- falowa - budowa obrazu dyfrakcyjnego
22
Wielki (kolejny!) paradoks
1. przy założeniu determinizmu cząstka może przejść przez
jedną ze szczelin  ale nie przez obie naraz;
2. przy przyjęciu zasady niepodzielności, cząstki elementarne (elektrony)
nie mogą przechodzić przez szczeliny w częściach
Jak to jest możliwe, żeby cząstki przechodzące przez jedną szczelinę
wpływały na inne cząstki przechodzące przez drugą szczelinę?
Czy zatem mikroobiekty (elektrony, nukleony atomy, fotony itd.) są
falami i cząstkami jednocześnie?
Raczej nie są ani falami ani cząstkami, ale obiektami, którym nie
potrafimy przyporządkowac żadnego ze znanych nam pojęc.
 Mikrociała nie są podobne do czegokolwiek,
co kiedykolwiek widzieliście R. Feynmann
Przy pomiarze mikroobiekty oddziałują z przyrządami;
w wyniku tego pomiar daje wartość wielkości, którą usiłujemy zmierzyć,
i którą z konieczności przypisujemy mierzonym mikroobiektom.
np. mierząc położenie (tor, pęd), w wyniku oddziaływania przyrząd-
mikrocząstka dostajemy pewną wartość; nie oznacza to jednak, że
położenie (tor, pęd) jest własnym parametrem mikroobiektu
Przy tym taki pomiar wskutek oddziaływania
na ogół zmienia stan mikroobiektu
Operacje obserwacji
podejście formalne (I)
 Bezwzględnie mały (obiekt)
Postulat Diraca:
Istnieje granica subtelności naszych środków obserwacji
i małości towarzyszącego mu zakłócenia,
której na drodze ulepszeń technicznych nie da się przekroczyć
 Obiekt duży  zakłócenia są do pominięcia; (fizyka klasyczna)
 Obiekt mały  mają wpływ na jego stan; (fizyka kwantowa)
Operatory obserwacji
W fizyce kwantowej wpływ obserwacji na stan obiektu musi więc
być uwzględniony w sposób jawny
Własności obserwacji:
1. Każdej obserwacji przyporządkowany jest zbiór liczb 
wyników obserwacji
2. Wyniki obserwacji A i B zależą od ich kolejności,
t. zn kolejność AB i BA daje w ogólności różne wyniki,
t.zn. operacje są nieprzemienne  czyli (AB  BA `" 0)
Funkcja (falowa) stanu
Fizyka klasyczna:
stan cząstki opisują dobrze określone parametry (zmienne):
położenie, pęd, energia, moment pędu, i.td. czyli t.zw.
zmienne dynamiczne
Fizyka kwantowa:
stan mikroobiektu opisuje funkcja falowa �.
Nie wszystkie zmienne dynamiczne są parametrami stanu
mikroobiektów, ale w wyniku określonego pomiaru
makroskopowego uzyskuje się odpowiednie ich wartości
Jednak nie wszystkie zmienne dynamiczne jako wynik tych
pomiarów są dobrze określone dla mikroobiektów.
Postulaty
Stan układu opisuje funkcja stanu ź-obiektu, zwana funkcją falową,
oznaczona symbolicznie �
Obserwację (pomiar) opisuje operator oznaczony symbolicznie A,
który, działając na funkcję stanu �, w ogólności może ją przekształcać
w inną funkcję: A (�) = �
Jeżeli A (�n) = n �n , to mówimy, że funkcja �n jest
funkcją (stanem) własną układu a wartości n to wartości własne układu
I. Jedynymi możliwymi wynikami obserwacji są wartości własne
operatora obserwacji (nawet jeśli nie są one param. własn. ukł.)
II. Jeśli układ jest w stanie własnym, to wynikiem obserwacji jest z
prawdopodobieństwem równym 1 wartość własna; ta sytuacja
odpowiada obserwacji idealnej (nie zmienia ona stanu układu)
Zasada superpozycji stanów
Określoną wartość zmiennej dynamicznej n dla mikroobiektu
otrzymuje się z prawdopodobieństwem 1 w jej stanach
własnych �n , czyli : n1, n2, n3, itd. dla stanów �1, �2, �3, itd.
Kwantowa zasada superpozycji stanów
Jeżeli stany �1 , �2 są stanami mikrobiektu, to również stan:
� = c1 �1 + c2 �2 jest stanem mikrobiektu.
W pomiarze mikrobiektu w stanie � odpowiadająca mu
zmienna dynamiczna n nie ma już jednak dobrze określonej
wartości, ale może przyjmować albo wartość n1 z prawdo-
podobieństwem |c1|2, albo n2 z prawdopodobieństwem |c2|2
Zasada superpozycji stanów
Zbiór funkcji własnych �n mikroobiektu
jest układem zupełnym,
t.zn. każdą funkcję � dowolnego stanu tego mikrobiektu można
przedstawić jako superpozycję jego stanów własnych:
� =
"c �n
n
W pomiarze mikroobiektu w stanie � otrzymuje się więc
wartości n z prawdopodobieństwami |cn|2,
a średnia wartość mierzona tej zmiennej jest:
2
n = cn n
"
Zasada odpowiedniości
Mechanika kwantowa opisuje obiekty z wszystkimi subtelnymi efektami
(m.in. z zakłóceniami). Jeśli te efekty (zakłócenia) przestają być
znaczące (obiekty  duże ) i mogą być pominięte,
M.K. powinna przechodzić do fizyki klasycznej
Relacje zachodzące w mechanice klasycznej są spełnione także
w mechanice kwantowej po zastąpieniu odpowiednich wielkości
operatorami
(z wyjątkiem relacji, w których występują pochodne  bowiem dotyczą
one małych zmian)
Równanie Schr�dingera
Edwin Schr�dinger , 1926
Funkcja falowa opisuje stan mikroobiektu
w nierelatywistycznej mechanice kwantowej.
Funkcja falowa jest rozwiązaniem równania Schr�dingera:
h h "�
- "2� +U (x, y, z,t)� = i
2Ą �" m 2Ą "t
Równanie Schr�dingera jest równaniem podstawowym
mechaniki kwantowej.
Nie może być wyprowadzone z innych zależności.
przy tym: grad U(x,y,z,t) = - Fźob
Równanie Schr�dingera
Jeśli funkcja U = U(x,y,z) w równaniu Schr�dingera
jest niezależna od czasu (wtedy U jest energią potencjalną
stacjonarnego pola siłowego), to funkcja falowa � jest:
�(x,y,z,t) = �(x,y,z) e-i2Ą(E/h) t
i równanie Schr�dingera:
h h - 2Ąi
- e-2Ąi(E / h)t"2� +Ue-2Ąi(E / h)t� = i Ee-2Ąi(E / h)t�
2Ą �" m 2Ą h
upraszcza się do postaci:
h
- "2� +U� = E�
2Ą �" m
t.zw. równania Schr�dingera niezależnego od czasu
Równanie Schr�dingera
Równanie Schr�dingera niezależne od czasu można zapisać w
postaci operatorowej:
h
(- "2 +U )�"� = E �" �
2Ą �" m
operator
h
(- "2 +U )
2Ą �" m
nosi nazwę hamiltonianu
Równanie Schr�dingera - interpretacja
Fizyka klasyczna; energia kinetyczna Ek(p) = p2/2m
energia potencjalna V(x)
energia całkowita E(p,x) = Ek(p) + V(x)
przy tym energia kinetyczna Ek(p) = p2/2m
Fizyka kwantowa  z zasady odpowiedniości:
E (p, x) operator energii całkowitej H(p, x),
i Ek(p) Ek(p), V(x) U(x)
oraz p = (-i'
�/�x),
więc operator energii kinetycznej Ek(p) = p2/2m = {('
2 /2m) �2/�x2 },
Stąd H(p, x) = Ek + U(x)
H({-i'
�/�x }, x) = {('
2 /2m) �2/�x2 + U(x)},
Równanie Schr�dingera - interpretacja
Porównując zapis operatorowy równania Schr�dingera
h
(- "2 +U )�"� = E �" �
2Ą �" m
widać, że jest ono równaniem własnym operatora energii H:
hamiltonianu H (p, x) = {('
2 /2m) �2/�x2 + U(x)},
(uproszczenie do jednego wymiaru "2 = �2/�x2 )
czyli: H �n = En �n ,
lub:
{('
2 /2m) �2/�x2 + U(x)} �n = En �n
Operatory zmiennych dynamicznych
W mechanice kwantowej istnieją operatory również
innych zmiennych dynamicznych, np. operator
kwadratu momentu pędu:
równanie własne: M2 � = Ml2 �
wartości własne operatora kwadratu momentu pędu:
Ml2 = l(l+1) '
2, l = 0,1,2,......
czyli momentu pędu:
Ml = '
" l(l+1), l = 0,1,2,......
Funkcja falowa
Intuicyjne  rozumienie przyrody w tym obszarze zjawisk zawodzi;
potrzebna zatem teoria, która w spójny sposób opisze te zjawiska.
" Fakty, które należy pogodzić (t.j. założenia szukanej teorii)
- niepodzielność cząstki
- interferencja na 2 szczelinach
do reprezentacji cząstki przyjmuje się funkcję �(x,y,z,t)
o charakterze fali, ponieważ musi opisać interferencję ;
funkcja falowa cząstki która spełnia właściwe
równanie falowe:
"2 �-k2 � = 0, k = 2Ą/
Rozłożona w przestrzeni i podzielna �(x,y,z,t)
nie jest tożsama z samą cząstką, lecz określa prawdopodobieństwo
jej znalezienia, ponieważ cząstka jest niepodzielna
W równaniu falowym "2 �-k2 � = 0
liczbę falową k = 2Ą/ ( 1/ = k/2Ą)
określa postulat de Broglie: p = h/,
�! p = (h/2Ą) k = h k (h= h/2Ą)
�! k2 = p2/ h2
ale p2 = 2mEkin = 2m (Ec  Upot),
2m
�! k2 = (E  U)
h2
2m
"2 �- (E  U) � = 0
h2
= równanie różniczkowe Schr�dingera (niezależne od czasu)
r. własne operatora energii H: {"2 + (2m/'
2)U(x)}
Funkcja falowa mikroobiektu stanowi rozwiązanie
równania Schr�dingera w danych warunkach
Co opisuje funkcja falowa � mikroobiektu ?????
praktycznie NIC, tj. niemierzalny stan mikroobiektu
bo mierzalny jest tylko kwadrat modułu funkcji falowej �#�(x)�#2
a" gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w miejscu x
(czyli  natężenie funkcji falowej, w ogólności zespolonej - analogia do
fali elektromagnetycznej E(x,y,z,t)  detektory mierzą tylko natężenie
fali I<" |E|2, a nie pole E)
Fizyczna interpretacja
Położenie mikroobiektu określić można tylko z określonym (przez
funkcję falową) prawdopodobieństwem
Dyfrakcji i interferencji ulega nie sama klasyczna cząstka,
lecz jej funkcja falowa; obserwowana cząstka pozostaje niepodzielna
Redystrybucji w przestrzeni w wyniku dyfrakcji ulega więc
prawdopodobieństwo znalezienia mikroobiektu
stąd statystyczna budowa obrazu interferencyjnego
Funkcja falowa cząstki w prostych sytuacjach
Cząstka swobodna [U(x)=0] o stałej energii całkowitej E
w jednowymiarowej (x) przestrzeni;
jedno z rozwiązań równania falowego
2
d � 2m
- E �" � = 0
dx2 h2
ko2 =(2Ą/o)2
w nieograniczonej przestrzeni to:
�?(x,t) = A cos(kox- �t);
Funkcja �?(x,t) nie opisuje jednak realnej cząstki, bowiem
gęstość prawdopodobieństwa byłaby dla niej równa
�#��#2 = A2 cos2 (kox- �t)
i zerowałaby się dla pewnych wartości x , a powinna być stała
Funkcja falowa cząstki swobodnej [U(x)=0]
Trzeba więc przyjąć inne rozwiązanie elementarne
równania falowego, zapewniające niezerowanie się
prawdopodobieństwa w żadnym miejscu:
jest to �(x,t) = A exp i(kox- �t);
wtedy �#��#2 = ��* = A2
Obie składowe funkcji �(x,t) = A exp i(kox-�t)
- rzeczywista i urojona - są funkcjami elementarnymi
(harmonicznymi); obie są istotne
Stała gęstość prawdopodobieństwa ��* = A2 oznacza,
że położenie cząstki (wartość x) jest nieokreślone;
wtedy jednak pęd p = '
ko (="2mE) , (oraz o),
jest dokładnie określony
Zasada nieokreśloności
(nieoznaczoności)
Inne, szczególne rozwiązanie równania falowego (część
przestrzenna z rozłożonym prawdopodobieństwem) to
funkcja Gaussa:
x2
�(x,0) = A exp (- ) exp(i kx)
2
2�
x
Gęstość prawdopodobieństwa
x2
��* = A2 exp ( - )
2
�
x
Jak widać, funkcja ta ma mniejszą nieokreśloność położenia "x;
przyjmuje się "x= �x, (odchylenie standardowe)
Prowadzi to jednak do nieokreśloności pędu, ponieważ:
B(k)eikxdk
�(x,0) = (Tw. Fouriera)
+"
gdzie dla p=hk
� ( p - po)2
x
exp[- ]
B(p) = , �p = � '
/�x
2
Ą
2�
p
�! �p = � h /�x
zatem �x �p = � h
Dla innych funkcji falowych
�x �p e" �h
lub "x "p e" �h
zasada nieoznaczoności Heisenberga
Zasada nieoznaczoności
aspekt pomiarowy
x
x=?
p=pz
px=0
z
Zasada nieoznaczoności
aspekt pomiarowy
x
x ą"x
p
px=0, x=?
Po pomiarze współrzędnej x (za przesłoną): x = x ą"x
Zasada nieoznaczoności
aspekt pomiarowy
x
x ą�"x
px
p
�
px=0, x=?
Po pomiarze współrzędnej x (za przesłoną): x = x ą"x
ale px`"0, px E" sin�
[ ale (d)sin� =  ("x)sin� = ]
px = p/"x
"px (= px- 0) E" p/"x , "px "x E" p
korzystając ze związku p= h/ (de Broghlie)
"px "x E" h
Zasada nieoznaczoności
aspekt pomiarowy
x
x ą"x
px
p
px=0, x=?
"px "x e" �h
Nieoznaczoność oznacza niemożność jednoczesnego określe-
nia dwóch zmiennych dynamicznych (np. położenia i pędu)
Takie pary wielkości nazywają się wielkościami kanonicznie
sprzężonymi. Sa nimi m. in także energia i czas:
"E "t e" �h
Cząstka w  pudle
(w jednowymiarowej, nieskończonej studni potencjału)
U
Równanie Schrodingera dla cząstki o energii E wewnątrz studni jest
takie, jak w przestrzeni swobodnej:
�(x,t) = A exp i(kox- �t);
ale dodatkowo U" poza studnią, więc warunki brzegowe są :
�(x=0, t) = 0 oraz �(x=L, t) = 0
Narzucone warunki brzegowe pozwalają przewidzieć
rozwiązanie  cząstka będzie się odbijać od ścian studni 
superpozycja fal (w przeciwfazie) biegnących w prawo
i w lewo:
�(x, t) = A exp i(kx - �t) - A exp i(-kx - �t);
�(x, t) = A(eikx  e-ikx) e-i�t ,
lub �(x, t) = 2i A sin(kx) e-i�t ,
�(x, t) = 2i A sin(kx) e-i�t ,
k wyznaczają warunki brzegowe:
�(x=0, t) = 0 oraz �(x=L, t) = 0
sin(kL) = 0,
Ą
czyli kL = nĄ, kn = n ,
L
Ą
oraz pn = h kn =n (h );
L
Daje to energie cząstki
pn2
h2
En = (= ) = n2 ;
2m 8mL2
Najmniejsza wartość energii
(n=1) E1 = h/8mL2 ( energia zerowa )
Wniosek 1
Dozwolone energie cząstki są skwantowane
(poziomy energetyczne), więc także energie emitowane
i pochłaniane (promieniowanie) przez cząstkę
są skwantowane
Wniosek 2
Cząstka nie może posiadać zerowej energii kinetycznej
(nawet w temperaturze zera bezwzględnego)
En nazywamy wartościami własnymi, a �n funkcjami
<"1/r
własnymi
Czy kwantyzacja energii dotyczy tylko mikroobiektów?
Jak zachowują się klasyczne (makro) cząstki?
Różnica energii między sąsiednimi stanami n i (n+1):
h2 h2 h2
"E = En+1 - En = (n +1)2 - (n)2 = (2n +1)
8mL2 8mL2 8mL2
h2
"E H" (n)
4mL2
Dla np. cząsteczki gazu w naczyniu m ~10-26kg i L ~ 0,1 m; daje to
"E ~ 10-39 n J
Tak gęsto zlokalizowane poziomy energetyczne dają praktycznie
widmo ciągłe. Analogiczny wynik dla elektronu w obszarze atomu
(me ~10-30kg, L ~ 10-10 m )
wynosi "E ~ 10-17n J
Trzy pierwsze funkcje własne
 studnia nieskończona
 studnia o skończonej wysokości